第15讲 椭圆的简单几何性质（培优讲义）新高二数学人教A版

第15讲 椭圆的简单几何性质（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 椭圆的简单几何性质 2 知识点02 直线与椭圆的位置关系 3 剖题型·讲技巧 4 题型1 根据椭圆的标准方程研究几何性质 5 题型2 根据椭圆的几何性质求标准方程 6 题型3 求椭圆的离心率 8 题型4 点与椭圆的位置关系 11 题型5 椭圆的实际应用 12 题型6 直线与椭圆的位置关系 16 题型7 椭圆的弦长问题 18 题型8 椭圆的三角形面积问题 20 释疑惑·重难拓展 24 题型1 求椭圆离心率的最值或取值范围 24 题型2 椭圆的中点弦问题 27 题型3 椭圆的定点问题 30 题型4 椭圆的定值问题 35 知高考·真题探源 40 练好题·提分培优 48 课标要点 1．掌握椭圆基础几何性质，包括范围、对称性、顶点、长短轴、焦点与焦距；理解离心率含义，能根据离心率判断椭圆扁平程度，知晓离心率趋近0时椭圆接近圆形。 2．会联立直线与椭圆方程，通过一元二次方程判别式区分相交、相切、相离三种位置关系。 3．掌握椭圆弦长计算公式，结合韦达定理处理交点坐标关系，求解弦长相关习题。 知识点01 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴x轴和y轴,对称中心 范围 顶点 轴长 长轴长,短轴长 焦点 焦距 离心率 注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度． 由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时, ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 练习 1．已知点在椭圆上，的焦距为4，则的离心率为______． 2．已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. (1)写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； (2)求△的周长. 知识点02 直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示． 2、利用方程讨论直线与椭圆的位置关系 设直线方程为,椭圆方程为,由方程组消去一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则有下列结论： 直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交； 直线与椭圆有且只有一个公共点⇔直线与椭圆相切； 直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离． 3、弦长问题 设直线交椭圆于点两点,则， 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 练习 3．已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 4．已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 题型1 根据椭圆的标准方程研究几何性质 例1．椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 变式1-2．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，则（ ） A．的长轴长为5 B．的离心率等于 C． D．的周长为16 变式1-3．已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 题型2 根据椭圆的几何性质求标准方程 例2．离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知椭圆的离心率，则实数的值为（    ） A．3 B．3或 C． D．或 变式2-2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 变式2-3．求与椭圆有公共焦点，且过点的椭圆方程. 题型3 求椭圆的离心率 方法技巧 1.直接求值法：题干直接给出长度，直接代入计算。 2.等式转化法：结合，将题干边长、角度、线段等量关系统一转化为只含的等式，等式两边同除以，构造关于的一元方程求解。 3.范围约束：椭圆离心率固定范围，算出方程根后，舍去大于等于1或小于等于0的解。 例3．椭圆C：的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式3-1．已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．设椭圆的右顶点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型4 点与椭圆的位置关系 方法技巧 1.判定核心方法：将点代入椭圆标准方程左侧，将计算结果与1对比。 2.三种位置判定：结果＞1，点在椭圆外部；结果＝1，点落在椭圆上；结果＜1，点在椭圆内部。 例4．过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 变式4-1．已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 变式4-2．已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 变式4-3．直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是___________. 题型5 椭圆的实际应用 方法技巧 1.建系建模：根据实物对称特征建立平面直角坐标系，将椭圆中心放在原点，对称轴贴合坐标轴简化计算。 2.参数对应：把实物中长、宽、间距等实际长度转化为椭圆，求出椭圆标准方程。 3.求值计算：利用方程求解实物特定位置的高度、宽度、距离；求解后结合实际场景舍去负数、不合逻辑的数值。 例5．北斗卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，北斗卫星的运行轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，平均轨道高度约为2万千米到3.6万千米，属于中高地球轨道.某颗北斗卫星运动至近地点时，距离地球表面高度约为1.56万千米；运动至远地点时，距离地球表面高度约为3.16万千米.已知地球的半径约为0.64万千米，则该卫星运行轨迹的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 变式5-2．椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质.体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波.依据椭圆光学性质，冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小. 现有一个离心率为的椭圆反射面，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，则该椭圆的焦距为_______. 变式5-3．已知太阳系中水星绕太阳旋转的轨道是一个椭圆，现将水星与太阳视作质点（忽略大小），如图所示建立平面直角坐标系，太阳在椭圆轨道的焦点处.资料显示，水星在点处离太阳最近，距离为46百万公里，在点处离太阳最远，距离为70百万公里.为水星某一时刻运行在轨道上的位置，将水星从远日点绕逆时针旋转到得到的角记为. (1)根据题干中的数据，计算水星绕太阳旋转轨道的离心率； (2)当时，求水星到太阳的距离.（单位：百万公里，精确到整数）. 题型6 直线与椭圆的位置关系 例6．直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 变式6-1．已知椭圆以和为焦点，且与直线相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．（多选）已知曲线与直线只有一个公共点，则m，n可能的取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 变式6-3．已知直线与椭圆，若无论k取何值，直线与椭圆恒有公共点，则m的取值范围______. 题型7 椭圆的弦长问题 例7．已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______． 变式7-1．著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求. 变式7-2．已知、分别为椭圆C：的左、右焦点，直线l交椭圆C于A、B两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆C的离心率e的值； (2)若直线l过点且与圆相切，求弦长的值； 变式7-3．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 题型8 椭圆的三角形面积问题 方法技巧 底高法通用思路：以椭圆内弦为底边，用弦长公式算出底边长；用点到直线距离公式求定点/焦点到直线的垂直距离作为高，面积底高。 例8．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知，，设直线与椭圆的另一个交点为，求三角形的面积． 变式8-1．已知椭圆：，右焦点和右顶点分别为，.倾斜角为的直线经过且与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 变式8-2．如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B．      (1)求该椭圆的离心率； (2)记直线l与椭圆的另一交点为A，求的面积S． 变式8-3．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点为的一个焦点，且的离心率为. (1)求的标准方程； (2)已知为的左顶点，直线与交于两点，求的面积. 释疑惑·重难拓展 题型1 求椭圆离心率的最值或取值范围 方法技巧 1.列出不等约束：根据题目线段长度限制、角度范围、点的位置、直线相交条件，列出含的不等式。 2.统一变量为：借助消去，不等式两边同除，转化为只含离心率的不等式。 3.结合范围求解：利用解不等式；求最值时搭配基本不等式、余弦定理、二次函数单调性确定临界值。 例1．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为A.若是钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．设椭圆与双曲线的离心率分别为、，双曲线一条渐近线的倾斜角为，当时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．设椭圆的中心为，右顶点为，若上存在一点满足，则的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式1-3．若椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为4:1，则的离心率的取值范围为__________. 题型2 椭圆的中点弦问题 例2．已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 变式2-1．已知圆与椭圆：交于两点，且线段恰好为圆的直径，则（    ） A．2 B． C． D． 变式2-2．已知椭圆（），斜率为的一条直线与椭圆交于点，且的中点坐标为，则椭圆的离心率__________． 变式2-3．已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为2，离心率为. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与相交于两点，若线段的中点的纵坐标为，求的面积. 题型3 椭圆的定点问题 方法技巧 1.设参联立：设带参数的动直线、动点坐标，与椭圆方程联立，整理出韦达关系式或交点坐标表达式。 2.分离参数：将所求直线、等式整理为“参数×代数式+常数代数式=0”的形式。 3.求定点坐标：令含参数的代数式系数全部等于0，解方程组得到固定点；再取两组特殊参数验证，确认该点恒满足条件。 例3．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 变式3-1．已知椭圆右焦点，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)直线与椭圆交于不同的两点，点，若（是坐标原点），判断直线是否过定点，如果是，求该定点的坐标；如果不是，说明理由. 变式3-2．已知椭圆：过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线：与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点． 变式3-3．已知椭圆的焦距为2，C上的点到两个焦点的距离之和为4，直线l过C的右焦点F且与C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D． (1)求C的标准方程； (2)证明：直线恒过定点． 题型4 椭圆的定值问题 方法技巧 1.参数设元：设出动点坐标、动直线斜率等变量，联立椭圆得到坐标之间的等量关系。 2.目标式化简：将题目要求的线段长度、斜率乘积、距离和差、向量数量积等量，全部用参数表示。 3.消参得定值：对表达式化简，最终所有变量全部抵消，剩余常数即为定值；可选取特殊位置代入验算，保证结果准确。 例4．已知为椭圆：的右焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，坐标原点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过的直线与椭圆交于，两点（不与椭圆的左，右顶点重合），设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； 变式4-1．已知椭圆的右焦点为，短轴长为． (1)求E的方程； (2)过点F的直线与E交于两点，点．证明：直线与的斜率之和为定值，求该定值． 变式4-2．已知椭圆的左焦点为，短轴长是长轴长的． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，点，证明：直线与的斜率之和为定值． 变式4-3．已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当为何值时，为定值． 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 3．（2026·上海·高考真题）在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 4．（2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 5．（2026·天津·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 6．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 一、单选题 1．比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 3．设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知A，B，C分别是椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，点在椭圆上且位于第四象限，连接PC与轴交于点．若的面积比的面积大1，则点的横坐标为（   ） A．1 B． C． D． 6．如图，直线交椭圆于两点，分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 7．设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 9．已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（    ） A． B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．面积的最大值为 三、填空题 10．过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则__________. 11．设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若0，则的面积为________． 12．已知椭圆，且点和点在该椭圆上.若过点的直线交于另一点，且的面积为9，则的方程为__________. 四、解答题 13．已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 14．已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 15．已知椭圆：的离心率为，左顶点为．点，点M在C上，且线段的中点在y轴正半轴上．设直线与C的另一个交点为H． (1)求C的方程； (2)求直线的斜率及点H的坐标． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 椭圆的简单几何性质（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 椭圆的简单几何性质 2 知识点02 直线与椭圆的位置关系 3 剖题型·讲技巧 4 题型1 根据椭圆的标准方程研究几何性质 5 题型2 根据椭圆的几何性质求标准方程 6 题型3 求椭圆的离心率 8 题型4 点与椭圆的位置关系 11 题型5 椭圆的实际应用 12 题型6 直线与椭圆的位置关系 16 题型7 椭圆的弦长问题 18 题型8 椭圆的三角形面积问题 20 释疑惑·重难拓展 24 题型1 求椭圆离心率的最值或取值范围 24 题型2 椭圆的中点弦问题 27 题型3 椭圆的定点问题 30 题型4 椭圆的定值问题 35 知高考·真题探源 40 练好题·提分培优 48 课标要点 1．掌握椭圆基础几何性质，包括范围、对称性、顶点、长短轴、焦点与焦距；理解离心率含义，能根据离心率判断椭圆扁平程度，知晓离心率趋近0时椭圆接近圆形。 2．会联立直线与椭圆方程，通过一元二次方程判别式区分相交、相切、相离三种位置关系。 3．掌握椭圆弦长计算公式，结合韦达定理处理交点坐标关系，求解弦长相关习题。 知识点01 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴x轴和y轴,对称中心 范围 顶点 轴长 长轴长,短轴长 焦点 焦距 离心率 注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度． 由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时, ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 练习 1．已知点在椭圆上，的焦距为4，则的离心率为______． 【答案】/ 【详解】设的半焦距为，由焦距为4，得，， 所以， 将代入椭圆方程，得，解得， 故，得，离心率. 2．已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. (1)写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； (2)求△的周长. 【答案】(1)长轴长为，短轴长为，焦距为，坐标为 (2) 【详解】（1）因为椭圆方程为，所以，，所以， 所以，，，所以长轴长为，短轴长为，焦距为， 坐标为； （2）因为，两点在椭圆上，所以 ， ， 所以的周长为 . 知识点02 直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示． 2、利用方程讨论直线与椭圆的位置关系 设直线方程为,椭圆方程为,由方程组消去一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则有下列结论： 直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交； 直线与椭圆有且只有一个公共点⇔直线与椭圆相切； 直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离． 3、弦长问题 设直线交椭圆于点两点,则， 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 练习 3．已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【答案】A 【详解】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交. 故选：A 4．已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 【答案】/ 【详解】由题意知，椭圆的右焦点的坐标为，直线的方程为． 联立方程，消去y整理得． 设，由根与系数的关系，得． 则. 题型1 根据椭圆的标准方程研究几何性质 例1．椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆方程知，故短轴长为. 变式1-1．已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为椭圆的短轴的长为6， 所以，解得， 所以， 所以离心率. 变式1-2．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，则（ ） A．的长轴长为5 B．的离心率等于 C． D．的周长为16 【答案】CD 【详解】由题意知， 所以的长轴长为10，， 所以离心率为的周长为， 故AB错误，CD正确. 故选：CD. 变式1-3．已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，椭圆的长轴在轴上，长半轴长为，短半轴长为． 设椭圆的半焦距为，则. 因为椭圆的焦距为，即. 解得.代入，得. 即. 所以.解得. 因为，所以. 题型2 根据椭圆的几何性质求标准方程 例2．离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 变式2-1．已知椭圆的离心率，则实数的值为（    ） A．3 B．3或 C． D．或 【答案】B 【详解】①当焦点在轴上时，，，，则，解得； ②当焦点在轴上时，，，， ，解之得. 综合①②知，适合条件的实数或. 变式2-2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由条件知，所以，，则， 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或. 变式2-3．求与椭圆有公共焦点，且过点的椭圆方程. 【答案】 【详解】由椭圆方程为，则其焦点在轴，且， 根据椭圆焦点公式可得，故焦点坐标为， 设所求椭圆方程为，因其与已知椭圆有公共焦点， 故，又所求椭圆过点，将该点代入方程得： ，即，结合， 可得所求椭圆的标准方程为. 题型3 求椭圆的离心率 方法技巧 1.直接求值法：题干直接给出长度，直接代入计算。 2.等式转化法：结合，将题干边长、角度、线段等量关系统一转化为只含的等式，等式两边同除以，构造关于的一元方程求解。 3.范围约束：椭圆离心率固定范围，算出方程根后，舍去大于等于1或小于等于0的解。 例3．椭圆C：的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，设， 则·， 所以椭圆的离心率=. 变式3-1．已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆的对称性可知，又因为的周长为， 所以， 设，， 则， 因为，所以，即， 又因为点，在上，所以， 所以，整理得， 即，所以.    变式3-2．设椭圆的右顶点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于椭圆的右顶点为，上顶点为， 所以，，故直线的方程为即， 若直线与圆：相切， 则， 化简得， 两边除以，得 ， 设，那么，解得 ，或（舍去）， 所以，，，. 变式3-3．已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨设，则，， 由椭圆定义可得，， 因为是以为斜边的直角三角形，由勾股定理可得， 即，整理可得， 即，解得或（舍去）， 所以，，， ， 由余弦定理可得， 整理可得，故椭圆的离心率为. 题型4 点与椭圆的位置关系 方法技巧 1.判定核心方法：将点代入椭圆标准方程左侧，将计算结果与1对比。 2.三种位置判定：结果＞1，点在椭圆外部；结果＝1，点落在椭圆上；结果＜1，点在椭圆内部。 例4．过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 【答案】C 【详解】，在椭圆上， 过点 的直线与椭圆交点个数有1 个或 2 个. 故选：C. 变式4-1．已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 【答案】A 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以， 则的长轴长为，焦距为，故B、D错误； 因为，所以，所以，所以，所以点在外，故A正确，C错误. 故选：A 变式4-2．已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【答案】A 【详解】直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离，即， ， 又， 点在椭圆内部. 故选：A. 变式4-3．直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】直线方程可化为，故该直线恒过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点， 则点在椭圆内或椭圆上，所以，，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型5 椭圆的实际应用 方法技巧 1.建系建模：根据实物对称特征建立平面直角坐标系，将椭圆中心放在原点，对称轴贴合坐标轴简化计算。 2.参数对应：把实物中长、宽、间距等实际长度转化为椭圆，求出椭圆标准方程。 3.求值计算：利用方程求解实物特定位置的高度、宽度、距离；求解后结合实际场景舍去负数、不合逻辑的数值。 例5．北斗卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，北斗卫星的运行轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，平均轨道高度约为2万千米到3.6万千米，属于中高地球轨道.某颗北斗卫星运动至近地点时，距离地球表面高度约为1.56万千米；运动至远地点时，距离地球表面高度约为3.16万千米.已知地球的半径约为0.64万千米，则该卫星运行轨迹的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，卫星的运行轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点， 设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则由题可知， 近地点到焦点距离为：， 即，所以椭圆方程可以为：， 故选：B． 变式5-1．如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，    则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为， 又，所以. 故选：A. 变式5-2．椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质.体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波.依据椭圆光学性质，冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小. 现有一个离心率为的椭圆反射面，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，则该椭圆的焦距为_______. 【答案】 【详解】如下图所示： 不妨设椭圆的焦点在轴上，、分别为椭圆的左、右焦点，连接， 延长、交于点， 由题意可知，点与点关于直线对称，则，且为的中点， 又因为为的中点，则， 所以，点在以圆心为原点，半径为的圆上，故， 由题意可得，解得，故该椭圆的焦距为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用光线反射结合椭圆的定义、中位线的性质计算出的值，结合已知条件以及、、的关系求解. 变式5-3．已知太阳系中水星绕太阳旋转的轨道是一个椭圆，现将水星与太阳视作质点（忽略大小），如图所示建立平面直角坐标系，太阳在椭圆轨道的焦点处.资料显示，水星在点处离太阳最近，距离为46百万公里，在点处离太阳最远，距离为70百万公里.为水星某一时刻运行在轨道上的位置，将水星从远日点绕逆时针旋转到得到的角记为. (1)根据题干中的数据，计算水星绕太阳旋转轨道的离心率； (2)当时，求水星到太阳的距离.（单位：百万公里，精确到整数）. 【答案】(1)； (2)约为68百万公里. 【分析】 【详解】（1）令水星绕太阳旋转的椭圆轨道长半轴长为，半焦距为， 依题意，，解得， 所以水星绕太阳旋转轨道的离心率. （2）令水星绕太阳旋转的椭圆轨道的另一个焦点为， 在中，，令，则， 由余弦定理得， 即，整理得， 由（1）得， 所以水星到太阳的距离约为68百万公里. 题型6 直线与椭圆的位置关系 例6．直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【详解】直线，化简可得：，则直线过定点， 将定点代入椭圆方程，则得到：， 因为，所以定点在椭圆的内部， 所以过定点的直线与椭圆相交. 故选：A. 变式6-1．已知椭圆以和为焦点，且与直线相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得 椭圆焦点为，，因此焦点在轴上，， 由，得，椭圆标准方程为 . 将直线代入椭圆方程，整理得 ， 因为椭圆与直线相切，因此一元二次方程判别式 ， 整理得，解得（舍去，因），因此， 离心率. 变式6-2．（多选）已知曲线与直线只有一个公共点，则m，n可能的取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【详解】A选项，，时，联立与得 ，解得，故与只有一个公共点，满足要求； B选项，，时，联立与得 ，解得，故与只有一个公共点，满足要求； C选项，，时，联立与得 ，，故有两个不相等的实根， 即与有两个公共点，C错误； D选项，，时，联立与得 ，，故有两个相等的实根， 即与只有一个公共点，D正确. 变式6-3．已知直线与椭圆，若无论k取何值，直线与椭圆恒有公共点，则m的取值范围______. 【答案】 【详解】由于表示椭圆，则且，① 直线恒过定点，若满足题意，则点在椭圆上或椭圆内， 所以，②，由①②得， 所以的取值范围是 题型7 椭圆的弦长问题 例7．已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______． 【答案】4 【详解】联立，得 ， 则，解得，且， 所以，解得． 变式7-1．著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）椭圆 的方程为 ，所以 ，则 .所以椭圆 的面积 . （2）联立，得 . 设，则. 所以. 变式7-2．已知、分别为椭圆C：的左、右焦点，直线l交椭圆C于A、B两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆C的离心率e的值； (2)若直线l过点且与圆相切，求弦长的值； 【答案】(1) ，， (2) 【分析】 【详解】（1）椭圆为标准形式，得，， 因此，. 故焦点坐标为，，离心率. （2）当直线的斜率存在时， 设过的直线方程为，即. 因直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径1： ， 平方化简得，即. 将代入椭圆方程，代入整理得： 设，由韦达定理得，. 由弦长公式： 代入数值计算： 斜率不存在时直线到原点距离为，不满足相切，故舍去，最终.    变式7-3．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题可知解得a＝2，， 所以C的方程为. （2）设直线l：y＝x＋m，. 由得，则， ， 解得，所以l的方程为. 题型8 椭圆的三角形面积问题 方法技巧 底高法通用思路：以椭圆内弦为底边，用弦长公式算出底边长；用点到直线距离公式求定点/焦点到直线的垂直距离作为高，面积底高。 例8．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知，，设直线与椭圆的另一个交点为，求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. （2）由，可得， 所以直线：，    由 ，解得（舍），或， 所以. 因为，， 所以三角形的面积为. 变式8-1．已知椭圆：，右焦点和右顶点分别为，.倾斜角为的直线经过且与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为椭圆：，所以， 所以椭圆的离心率为； （2）由题直线的斜率为， 所以直线的方程为，代入椭圆方程得， 设，则， 所以 又点A到直线的距离为 所以的面积为 变式8-2．如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B．      (1)求该椭圆的离心率； (2)记直线l与椭圆的另一交点为A，求的面积S． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为直线过椭圆的左焦点和一个顶点B， 令，解得，则上顶点，即， 令，解得，则左焦点，即， 所以，则离心率 （2）由（1）得，椭圆的方程为，与直线联立 ，消去y得， 解得或，则A点的横坐标， 所以的面积.    变式8-3．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点为的一个焦点，且的离心率为. (1)求的标准方程； (2)已知为的左顶点，直线与交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）椭圆一个焦点为，则，椭圆的离心率为，所以，即， 所以，所以椭圆的标准方程. （2） 如图所示，左顶点， 则点到直线的距离为. 联立方程组得，消去得， 根据弦长公式得， 所以. 释疑惑·重难拓展 题型1 求椭圆离心率的最值或取值范围 方法技巧 1.列出不等约束：根据题目线段长度限制、角度范围、点的位置、直线相交条件，列出含的不等式。 2.统一变量为：借助消去，不等式两边同除，转化为只含离心率的不等式。 3.结合范围求解：利用解不等式；求最值时搭配基本不等式、余弦定理、二次函数单调性确定临界值。 例1．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为A.若是钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是钝角三角形，且，所以为钝角， 则，则，则， 则，得， 故椭圆的离心率的取值范围是.    故选：B 变式1-1．设椭圆与双曲线的离心率分别为、，双曲线一条渐近线的倾斜角为，当时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，且， ，， 所以. 变式1-2．设椭圆的中心为，右顶点为，若上存在一点满足，则的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，，，， 由，得， 化简得， 联立椭圆方程为， 化简得， 代入， 化简得， 解得（舍），另一根为， 又因为点在上，，即， 代入， 得，解得， 又因为椭圆离心率，故. 故选：B 变式1-3．若椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为4:1，则的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【详解】设是椭圆的左右焦点， 又椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为4:1，可知， 又，所以， 因此，解得，即， 又椭圆离心率的取值范围为，所以. 故答案为： 题型2 椭圆的中点弦问题 例2．已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】设直线与椭圆相交于，， 由题意得，， 直线的斜率为， 由，两式相减得， 所以，即，所以，即. 所以椭圆的短半轴长为4. 变式2-1．已知圆与椭圆：交于两点，且线段恰好为圆的直径，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，直线的斜率为， 由已知，则，， ，， 两式相减整理得：，故可得：， 故直线， 由可得， 由可得， 由题设，两个方程均有解， 故，故． 变式2-2．已知椭圆（），斜率为的一条直线与椭圆交于点，且的中点坐标为，则椭圆的离心率__________． 【答案】 【详解】设，有， 两式相减得，则， 即， 又因为弦的中点坐标为，直线的斜率为， 所以，则，即， 则，即，则，所以. 变式2-3．已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为2，离心率为. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与相交于两点，若线段的中点的纵坐标为，求的面积. 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）由题意知：椭圆短轴长为，即，所以， 离心率，且， 代入得 ， 所以，从而， 因此，椭圆的标准方程为； （2）由题意，直线过右焦点， 当直线斜率不存在时，，此时中点纵坐标为，不合题意，    设直线的方程为， 代入椭圆方程中，得， 整理得关于的一元二次方程， 设，，由韦达定理得，， 已知线段的中点的纵坐标为，即，所以， 因此， 整理得， 因式分解得，解得或， 由， 其中， 当时，，面积， 当时，，面积， 综上所述，的面积为或. 题型3 椭圆的定点问题 方法技巧 1.设参联立：设带参数的动直线、动点坐标，与椭圆方程联立，整理出韦达关系式或交点坐标表达式。 2.分离参数：将所求直线、等式整理为“参数×代数式+常数代数式=0”的形式。 3.求定点坐标：令含参数的代数式系数全部等于0，解方程组得到固定点；再取两组特殊参数验证，确认该点恒满足条件。 例3．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，恒过定点 【分析】 【详解】（1）因为离心率，所以. 因为，所以，所以的方程可写为. 因为过点，所以，解得，因此， 所以的标准方程为. （2）由题可知直线斜率存在,否则直线与椭圆没有交点. 设直线的方程为，与的方程联立， 消去得， 由，解得. 设，则. 直线的方程为，令，可得. 因为， 所以 故直线恒过定点. 变式3-1．已知椭圆右焦点，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)直线与椭圆交于不同的两点，点，若（是坐标原点），判断直线是否过定点，如果是，求该定点的坐标；如果不是，说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【分析】 【详解】（1）由得，而， 则， 因此椭圆的方程为：. （2）设，，联立 ， 得， 则， 由韦达定理得， 由，得，即：， 代入，，整理得：， 即， 所以， 化简得：， 所以， 故直线恒过定点，且时满足，符合题意. 变式3-2．已知椭圆：过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线：与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)直线过定点，证明见解析 【分析】 【详解】（1）由抛物线，得焦点， 因为椭圆过抛物线的焦点，所以. 由双曲线，得焦点， 因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以. 由椭圆的性质，， ∴椭圆的方程为. （2）设，， 联立，消去得， ， ，， 由已知， 所以， 所以， 则， ， ，解得，满足， ∴直线的方程为，故直线恒过定点 变式3-3．已知椭圆的焦距为2，C上的点到两个焦点的距离之和为4，直线l过C的右焦点F且与C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D． (1)求C的标准方程； (2)证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)直线恒过定点 【分析】 【详解】（1）由条件可知，焦距为，则，，则， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）可知，椭圆的右焦点， 设直线， 与椭圆方程联立得，设，， 则， 又，，直线的方程为， 令，得，（*） 由韦达定理可知，，即，代入（*）得 ， 所以直线恒过定点， 当直线的斜率为0时，直线，满足条件的直线为，也过点 综上可知，直线恒过定点. 题型4 椭圆的定值问题 方法技巧 1.参数设元：设出动点坐标、动直线斜率等变量，联立椭圆得到坐标之间的等量关系。 2.目标式化简：将题目要求的线段长度、斜率乘积、距离和差、向量数量积等量，全部用参数表示。 3.消参得定值：对表达式化简，最终所有变量全部抵消，剩余常数即为定值；可选取特殊位置代入验算，保证结果准确。 例4．已知为椭圆：的右焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，坐标原点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过的直线与椭圆交于，两点（不与椭圆的左，右顶点重合），设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； 【答案】(1) (2)设过的直线方程为，交点，联立方程可得： ，消去整理得：，， 由韦达定理得： ， 化简得：，由知，斜率，， 因此：，代入，化简可得： ，故为定值，定值为. 【分析】 【详解】（1）已知右焦点，所以椭圆中， 右顶点，上顶点，根据两点式的方程可得： 直线的方程：，原点到直线的距离为： ，两边平方得， 又因为， 所以 代入上式可得：，化简可得：， 解得（负根舍去），故，因此椭圆的方程为： . （2）略. 变式4-1．已知椭圆的右焦点为，短轴长为． (1)求E的方程； (2)过点F的直线与E交于两点，点．证明：直线与的斜率之和为定值，求该定值． 【答案】(1) (2)定值为 【分析】 【详解】（1）因为右焦点为，故半焦距， 因为短轴长为，所以， 由，得， 因此，椭圆的标准方程为； （2） 证明: 设，，点， 直线的斜率分别为，， 情况 1：当直线斜率为 0时， 此时直线为 x 轴，方程为，与椭圆的交点为，， ，故 ，成立； 情况 2：当直线斜率不为 0时， 设直线 的方程为，与椭圆方程联立， 消去 并整理：， 故方程有两个不等实根，由韦达定理得 , 由，， 得 ，，代入得： 将代入分子 因此 ， 综上，无论直线的斜率是否为 0，直线与的斜率之和恒为定值. 变式4-2．已知椭圆的左焦点为，短轴长是长轴长的． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，点，证明：直线与的斜率之和为定值． 【答案】(1) (2)直线与的斜率之和为定值 【分析】 【详解】（1）由题意知， 又，，解得，， 所以的方程为. （2）当直线的斜率为时，易知直线的斜率均为， 此时直线与的斜率之和为； 当直线的斜率不为时，设直线方程为， 设，， 联立，消去得， ， 所以，， 易知直线与的斜率均存在，设直线的斜率分别为， 则， 又， 所以， 综上所述，直线与的斜率之和为定值.    变式4-3．已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当为何值时，为定值． 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）依题意知， ，解得， 所以椭圆的方程为； （2） 联立，可得， 由，设． 则， 在上， ， ， 若为定值，则与无关， 故需使，解得，此时． 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：C. 3．（2026·上海·高考真题）在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 【答案】 【详解】因为， 根据对称性可知：点其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点. ①当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1 则或，解得或无解； ②当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2， 则或，方程组均无解； 综上所述：，，，所以离心率. 4．（2026·上海·高考真题）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 【答案】 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，代入椭圆中， 得，又，故， 故答案为： 5．（2026·天津·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即， 由于，所以， 将代入椭圆方程，得，即，解得，即， 由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，所以圆的方程为， 设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示， 则圆心到直线的距离，解得， 椭圆上顶点，分两种情况讨论： ①当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 则当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时； ②当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时. 综上所述，的值为. 6．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【分析】 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 一、单选题 1．比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆离心率； 对于椭圆 ，其离心率， 对于椭圆 ，则离心率， 对于椭圆 ，离心率， 对于椭圆 ，离心率， 因为，所以， 离心率越小椭圆越接近于圆，因为选项D的椭圆离心率最小，所以更接近于圆. 2．已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆的焦距为. 由题意得，则， 所以，即， 结合选项依次判断，只有A选项满足. 3．设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以， 又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以， 即椭圆的方程为. 4．已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，椭圆中，右顶点，上顶点， 直线的截距式方程为：， 以短轴为直径的圆的圆心在原点，半径为，方程为， 为正三角形，，结合在第一象限，可得点坐标为， 将的坐标代入直线方程可得， 化简得：， 因为椭圆离心率，且， 所以，解得. 5．已知A，B，C分别是椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，点在椭圆上且位于第四象限，连接PC与轴交于点．若的面积比的面积大1，则点的横坐标为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，由题可知， 又，所以． 设为坐标原点，则，所以， 设，则，解得. 6．如图，直线交椭圆于两点，分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设 将代入椭圆，可得， 两式相减，可得，即， 因为，所以， 则直线的斜率为． 7．设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，即， 由于，，则， 设，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 则， 解得，即.    二、多选题 8．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【详解】由题可知，，则，则离心率，故A正确； 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故B正确； 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为，即，故C错误； 由，则当点在上顶点或下顶点时， 即取得最大值时，面积的最大值为，故D正确. 9．已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（    ） A． B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．面积的最大值为 【答案】ACD 【详解】对于A，点在椭圆上，，解得， ，故A正确. 对于B，设点，则.将点的坐标代入椭圆的方程， 得，即，点的轨迹方程为， 则的最小值为点到圆心的距离减去半径， 即，故B错误. 对于C，由B可知，，则当时，的面积最大， 为，故C正确. 对于D，由椭圆对称性，设点在第一象限，， . ，当且仅当时，等号成立， 面积的最大值为，故D正确. 三、填空题 10．过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则__________. 【答案】 【详解】由题意可得，所以直线的方程为， 由，得或， 不妨设，则， 所以. 11．设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若0，则的面积为________． 【答案】 【详解】， ，． 设，，则． ，． ，． ．． 12．已知椭圆，且点和点在该椭圆上.若过点的直线交于另一点，且的面积为9，则的方程为__________. 【答案】或 【详解】，则直线的方程为，即， ， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 四、解答题 13．已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）依题意可得，，可得， 则， 故椭圆的标准方程为. （2）联立，消元整理得 由，解得或. 即实数的取值范围为. 14．已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题知得，， 所以椭圆的方程为． （2）椭圆的右焦点，所以直线的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 设，，由韦达定理知，，， 故． 由弦长公式，得， 即弦的长度为． 15．已知椭圆：的离心率为，左顶点为．点，点M在C上，且线段的中点在y轴正半轴上．设直线与C的另一个交点为H． (1)求C的方程； (2)求直线的斜率及点H的坐标． 【答案】(1) (2)斜率为，点的坐标为 【分析】 【详解】（1）因为椭圆：的离心率为，左顶点为， 所以，解得：， 所以椭圆C的方程为：. （2）    设点的坐标为， 因为点， 则线段的中点的坐标为. 因为线段的中点在y轴正半轴上， 所以，解得. 又因为点M在椭圆C上， 所以， 则，即点的坐标为， 所以直线的斜率为，直线的方程为，即. 联立椭圆C和直线的方程，整理得：， 解得：或. 结合题目要求可知点H的横坐标为. 将代入直线的方程可得， 所以点的坐标为 . 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $