精品解析：湖南省衡阳市蒸湘区2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

2026年上学期期末监测试卷 七年级数学 考生注意：本试卷共6页，3大题，满分120分，考试时量为120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义．一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：A、未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意； B、是一元一次不等式，符合题意； C、未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意； D、没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意， 故选：B． 2. 下列正多边形中，能够铺满地面的是（ ） A. 正九边形 B. 正五边形 C. 正八边形 D. 正六边形 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出正多边形各内角的度数，看能否整除360°即可． 【详解】A．正九边形每个内角为140°，不能整除360°，所以不能铺满地面； B．正五边形每个内角为108°，不能整除360°，所以不能铺满地面； C．正八边形每个内角为135°，不能整除360°，所以不能铺满地面； D．正六边形每个内角为120°，能整除360°，所以能铺满地面； 故选：D． 【点睛】此题考查了平面镶嵌（密铺），计算正多边形的内角能否整除360°是解答此题的关键． 3. 下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据定义即可判断出答案． 【详解】解：选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 选项是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选： 【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟记两种图形的特点并准确判断是解题的关键． 4. 一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐项解不等式，选择符合题意的一项． 【详解】图中数轴表示的解集是x<2． A选项，解不等式得x>-2，故该选项不符合题意， B选项，解不等式得x<2，故该选项符合题意， C选项，解不等式得 ，故该选项不符合题意， D选项，解不等式得x>2，故该选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查不等式解集的表示方法和解简单的一元一次不等式．根据不等式的性质解一元一次不等式，主要是要细心． 5. 对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将①式代入②式消去去括号即可求得结果． 【详解】解：将①式代入②式得， ， 故选B． 【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 6. 下列四位同学对方程的变形中，正确的是（ ） 小明：若，则； 佳佳：若，则； 小红：若，则； 丽丽：若，则． A. 小明 B. 佳佳 C. 小红 D. 丽丽 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式的基本性质逐一判断每位同学的变形，即可得到正确结果． 【详解】解：小明：∵， ∴，故小明变形错误； 佳佳：∵， ∴，故佳佳变形错误； 小红：∵， ∴，故小红变形错误； 丽丽：∵， ∴，故丽丽变形正确． 7. 已知和都是关于、的二元一次方程的解，则、的值为（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】把两组解分别代入二元一次方程得到关于与的二元一次方程组，解方程组即可得到结果. 【详解】解：和都是二元一次方程的解， 将两组解分别代入方程，得：. 解得. 8. 坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∵ ∴ ∴ ∴段的长可能为． 故选：D． 9. 阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元一次方程的解的定义将代入方程得，再将所求代数式变形后整体代入计算即可. 【详解】解：是关于的一元一次方程的解. 把代入方程得. . 10. 如图，在中，，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，垂足为点O．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、垂直的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据垂直的定义可得，然后根据同角的余角相等即可判定A；根据角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，然后运用角的和差即可判定B；先根据三角形外角的性质可得，再结合可判定C；先说明，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故A正确； ∵、分别是高和角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 由A得：， ∴，故C错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故D正确． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 不等式组，的解集是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握和运用一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．首先解每一个不等式，求得每一个不等式的解集，据此再求不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 所以不等式的解集为：； 故答案为： 12. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 13. 已知是关于的一元一次方程，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的概念，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的概念可得且，求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， ∴． 故答案为：． 14. 如图，若，，则的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 全等三角形的性质：对应边相等，据此即可求解． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 15. 一次中学生宪法知识竞赛中共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．若小丽答了所有的题，要想获得优胜奖（75分及以上），则她至少要答对 _____道题． 【答案】17 【解析】 【分析】设小丽至少答对道题，则得分为分，失分为分，再列不等式即可. 【详解】解：设小丽至少答对道题，则 解得： 为正整数， 所以的最小值为17， 答：小丽至少答对道题. 故答案为：17 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，理解题意列出不等式是解本题的关键. 16. 如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2018根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多7个，那么能连续搭建正三角形的个数是_____． 【答案】293 【解析】 【分析】设搭建了x个正三角形，y个正六边形，则搭建正三角形用掉了（2x+1）根火柴棍，搭建正六边形用掉了（5y+1）根火柴棍，根据“搭建正三角形和正六边形共用了2018根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多7个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】设搭建了x个正三角形，y个正六边形，则搭建正三角形用掉了（2x+1）根火柴棍，搭建正六边形用掉了（5y+1）根火柴棍， 依题意，得：， 解得：． 故答案为293． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及规律型：图形的变化类，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，方法一利用代入消元法解二元一次方程组；方法二利用加减消元法解二元一次方程组． 【详解】解： 法一：由①得③ 将③代入②得 解得 将代入③得， 则方程组的解为． 法二：， ①×2得③ ③+②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 则方程组的解为． 19. 若一个正多边形的内角和比外角和多． （1）求这个多边形的边数； （2）求这个多边形每个角的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和、 （1）任意多边形的外角和均为360度，然后依据多边形的内角和公式列方程求解即可； （2）根据多边形内角和除以边数求解即可得． 【小问1详解】 解：设这个多边形的边数为n． 根据题意得：，解得：． 答：这个多边形的边数为8． 【小问2详解】 解：这个多边形每个角的度数为：， 答：这个多边形每个角的度数为． 20. 阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数x、y满足，证明：． 证明：因为且x，y均为正， 所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整． （2）尝试证明：若，则． 【答案】（1） 证明：因为且，均为正， 所以，．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 所以（不等式的传递性）， （2） 证明：， ， ． 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某市出租车的收费标准是：行程不超过3千米起步价为10元，超过3千米后每千米增收1.8元．某乘客乘坐出租车千米． （1）请用关于的代数式表示当时该乘客的付费． （2）如果该乘客坐了8千米，应付费多少元？ （3）如果该乘客付费26.2元，他乘坐了多少千米？ 【答案】（1）元 （2）乘客坐了8千米，应付费19元 （3）他乘坐了12千米 【解析】 【分析】（1）根据出租车的收费标准“行程不超过3千米起步价为10元，超过3千米后每千米增收1.8元”列出代数式即可； （2）将代入并计算即可； （3）设他乘坐了千米，由题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：当行程超过3千米即时，收费为：元． 【小问2详解】 解：当时，（元）． 答：乘客坐了8千米，应付费19元． 【小问3详解】 解：设他乘坐了千米， 由题意得：，解得． 答：他乘坐了12千米． 22. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，图①、图②、图③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点）， （1）在图1中，图①经过一次　　变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②； （2）在图1中，图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点　　（填“A”或“B”或“C”）； （3）在图2中画出图①绕点A顺时针旋转90°后的图④． 【答案】（1）平移 （2）A （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了网格中平移、旋转及旋转作图，作图时，抓住网格的特点，根据旋转的性质，先确定对应点，就能顺利作出图形，解题时要注意是顺时针还是逆时针方向．平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． （1）根据平移的定义可知图①向右上平移可以得到图②； （2）将图形②绕着点A旋转后能与图形③重合，可知旋转中心； （3）以A为旋转中心，顺时针旋转90°得到关键顶点的对应点连接即可． 【小问1详解】 图①经过一次平移变换可以得到图②， 故答案为：平移； 【小问2详解】 图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点A， 故答案为：A； 【小问3详解】 如图． 23. 某学校开展数学实验活动，需要购买A、B两种实验器材．已知购进5套A种实验器材和10套B种实验器材共需1750元；购进10套A种实验器材和15套B种实验器材共需3000元． （1）求购进一套A种实验器材和一套B种实验器材各需多少元？ （2）若学校购买A种实验器材不少于20套，购买A、B两种实验器材共45套所花费用不超过5600元，则有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】（1）购进一套A种实验器材需要150元，一套B种实验器材需要100元 （2）方案一：购买A种实验器材20套，购买B种实验器材25套， 方案二：购买A种实验器材21套，购买B种实验器材24套， 方案三：购买A种实验器材22套，购买B种实验器材23套； （3）购买A种实验器材22套，购买B种实验器材23套费用最少，此时费用为5000元 【解析】 【分析】（1）设购进一套A种实验器材需要元，一套B种实验器材需要元，根据“购进5套A种实验器材和10套B种实验器材共需1750元；购进10套A种实验器材和15套B种实验器材共需3000元” ，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A种实验器材套，则购买B种实验器材套，根据45套所花费用不超过5600元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中最小整数值即可得出结论； （3）根据（2）中的方案计算出每个方案的总费用进行比较即可． 【小问1详解】 解：设购进一套A种实验器材需要元，一套B种实验器材需要元， 依题意可得：，解得：， 答：购进一套A种实验器材需要150元，一套B种实验器材需要100元； 【小问2详解】 设购买A种实验器材套，则购买B种实验器材套， 依题意可得：，解得， ∵为整数， ∴的值为20，21，22， 则有以下三种购买方案， 方案一：购买A种实验器材20套，购买B种实验器材25套， 方案二：购买A种实验器材21套，购买B种实验器材24套， 方案三：购买A种实验器材22套，购买B种实验器材23套； 【小问3详解】 由（2）可知： 方案一所需费用：元， 方案二所需费用：元， 方案三所需费用：元， 即：购买A种实验器材22套，购买B种实验器材23套费用最少，此时费用为5000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 24. 【探究】 如图1，在中，的平分线与的平分线相交于点P． （1）若，求的度数； （2）与的数量关系为______，并说明理由； 【应用】 （3）如图2，在中，的平分线与的平分线相交于点P．的外角平分线与的外角平分线相交于点Q．直接写出与的数量关系为______． 【答案】（1）（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键． [探究]（1）由三角形内角和定理和角平分线定义进行计算即可； （2）由角平分线定义得，，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； [应用]（3）由角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】解：[探究] （1）∵， ∴； ∵的平分线与的平分线相交于点P， ． ． ∴； （2）． 理由如下： ∵分别平分， ． ∵， ． ． ； 故答案为：； [应用] （3）解：．理由如下： 的外角平分线与的外角平分线相交于点， ， ， 中，， 又， ； 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期期末监测试卷 七年级数学 考生注意：本试卷共6页，3大题，满分120分，考试时量为120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列正多边形中，能够铺满地面的是（ ） A. 正九边形 B. 正五边形 C. 正八边形 D. 正六边形 3. 下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ） A. B. C. D. 5. 对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ） A. B. C. D. 6. 下列四位同学对方程的变形中，正确的是（ ） 小明：若，则； 佳佳：若，则； 小红：若，则； 丽丽：若，则． A. 小明 B. 佳佳 C. 小红 D. 丽丽 7. 已知和都是关于、的二元一次方程的解，则、的值为（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（ ） A. B. C. D. 9. 阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（ ）. A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，垂足为点O．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 不等式组，的解集是_______． 12. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______． 13. 已知是关于的一元一次方程，则的值为_____． 14. 如图，若，，则的长度是________． 15. 一次中学生宪法知识竞赛中共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．若小丽答了所有的题，要想获得优胜奖（75分及以上），则她至少要答对 _____道题． 16. 如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2018根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多7个，那么能连续搭建正三角形的个数是_____． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 解方程组：． 19. 若一个正多边形的内角和比外角和多． （1）求这个多边形的边数； （2）求这个多边形每个角的度数． 20. 阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数x、y满足，证明：． 证明：因为且x，y均为正， 所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整． （2）尝试证明：若，则． 21. 某市出租车的收费标准是：行程不超过3千米起步价为10元，超过3千米后每千米增收1.8元．某乘客乘坐出租车千米． （1）请用关于的代数式表示当时该乘客的付费． （2）如果该乘客坐了8千米，应付费多少元？ （3）如果该乘客付费26.2元，他乘坐了多少千米？ 22. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，图①、图②、图③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点）， （1）在图1中，图①经过一次　　变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②； （2）在图1中，图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点　　（填“A”或“B”或“C”）； （3）在图2中画出图①绕点A顺时针旋转90°后的图④． 23. 某学校开展数学实验活动，需要购买A、B两种实验器材．已知购进5套A种实验器材和10套B种实验器材共需1750元；购进10套A种实验器材和15套B种实验器材共需3000元． （1）求购进一套A种实验器材和一套B种实验器材各需多少元？ （2）若学校购买A种实验器材不少于20套，购买A、B两种实验器材共45套所花费用不超过5600元，则有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？ 24. 【探究】 如图1，在中，的平分线与的平分线相交于点P． （1）若，求的度数； （2）与的数量关系为______，并说明理由； 【应用】 （3）如图2，在中，的平分线与的平分线相交于点P．的外角平分线与的外角平分线相交于点Q．直接写出与的数量关系为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $