专题06 圆（5大考点）（山西专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 圆专题山西二模试题汇编，覆盖垂径定理、圆周角定理等5大考点，题型含选择、填空、解答，融入勒洛三角形、滚铁环等文化与实际情境，注重推理与探究能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|------|----------|----------| |选择|23|垂径定理、圆周角定理推论|结合二十四节气瓦当考扇形面积| |填空|5|三角形外接圆、弧长计算|以正五边形、钟表设计考弧长| |解答|14|切线证明、圆内接四边形性质|设置滚铁环实践题及婆罗摩笈多定理探究|

专题06 圆 5大考点概览 考点01垂径定理及其应用 考点02圆周角定理及其推论 考点03与圆有关的位置关系 考点04三角形的内切圆与外接圆 考点05圆的相关计算 垂径定理及其应用 考点01 1．（2026·山西阳泉·二模）如图，为的直径，为的弦，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西阳泉·二模）如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山西太原·二模）如图，内接于，为的直径，D为延长线上一点，作直线，过点O作于点E，交于点F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 4．（2026·山西晋中·二模）为的直径，为的弦，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，为的弦，交于点，连接，，点为垂足，过作的平行线交于点，求证：． 5．（2026·山西太原·二模）如图，是的弦，，垂足为为的直径，，与分别交于． (1)证明：； (2)求的值； (3)求的长度． 6．（2026·山西晋中·二模）如图，，是的弦，，垂足为，为的直径，，与、分别交于、． (1)证明：； (2)求的值； (3)求的长度． 圆周角定理及其推论 考点02 1．（2026·山西晋中·二模）如图，内接于，连接，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西阳泉·二模）如图，四边形内接于，为的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西晋中·二模）如图，为的直径，点C，D分别为上的点，且C为的中点，连接，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山西大同·二模）如图，为的半径，，为上的点，连接，，为的切线，为切点，交的延长线于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山西临汾·二模）如图，是的外接圆，是的切线，连接交于点D，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山西阳泉·二模）如图，是的直径，是的弦，点，在上，，的延长线交于点．若，，则的度数为（    ） A．60° B．65° C． D． 7．（2026·山西吕梁·二模）如图，是的直径，，，是的弦．若，，，则长为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山西太原·二模）如图，点是外一点，，与相切于点，，是的直径，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·山西太原·二模）如图，过上一点作的切线，交直径的延长线于点，连接、，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·山西晋中·二模）阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 如图1，圆内接四边形的对角线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求证：为的中点． 下面是部分证明过程： ， ， ． ，（_________________________）． ………． 任务一：请你写出上述材料中的证明过程中空缺处所利用的依据是______________________________； 任务二：请你利用所学知识将上述证明过程补充完整． 任务三：如图2，在中，把边绕点顺时针旋转得到，把边绕点逆时针旋转得到．连接，取的中点，连接并延长交于点，延长至点，使，连接，．若，则的长为________________． 与圆有关的位置关系 考点03 1．（2026·山西吕梁·二模）如图，是的直径，与相切于点，连接交于点，连接．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．（2026·山西运城·二模）如图，的顶点在上，边经过圆心，且边与相切于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西朔州·二模）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为点，且点为的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山西吕梁·二模）如图，在中，以为直径的交边于点，交边于点，连接．若为的中点，，则的度数为______． 5．（2026·山西临汾·二模）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点F，连接，过点D作的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若的半径为5，，直接写出阴影部分的面积． 6．（2026·山西晋城·二模）如图，在中，，连接并延长，与过点的切线相交于点．已知，求和的度数． 7．（2026·山西临汾·二模）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目，滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点，推杆与铅垂线的夾角为，点在同一平面内．当推杆与铁环相切于点时，手上的力量通过切点传遥到铁环上，会有较好的启动效果． (1)求证：． (2)实践中发现，切点只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点是该区域内最低位置，此时点距地面的距离最小，测得，已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长． 8．（2026·山西太原·二模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 点和直线的等距圆在学习了圆的有关知识后，老师给出了“等距圆”的定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为该点和这条直线关于切点的等距圆． 概念理解：如图1，已知点B是直线l外一点，经过点B，且与直线l相切于点A，则为点B和直线l关于点A的等距圆．对等距圆圆心的位置分析如下：在图1的基础上连接，，，得到图2． ∵为点B和直线l关于点A的等距圆， ∴与直线l相切于点A， ∴①________， ∴点O在过点A且与直线l垂直的直线上． ∵与直线l相切于点A，且经过点B， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上．（依据：②________） 任务： (1)分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①________；②________； (2)问题解决：如图3，已知直线m上一点C和直线m外一点D，求作：点D和直线m关于点C的等距圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (3)联系拓广：如图4，已知直线l和直线l外一点E，于点F、． ①求作和直线l上一点M，使是点E和直线l关于点M的等距圆，点M在点F左侧，且的半径为d．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若是点E和直线l关于直线l上另一点N的等距圆，点N在点E右侧，且的半径为，则两点之间的距离用含d的式子表示为______． 三角形的内切圆与外接圆 考点04 1．（2026·山西吕梁·二模）勒洛三角形是一种特殊的定宽曲线，由三段圆弧围成，具有在任何方向上宽度恒定的性质．图1就是用勒洛三角形设计的一种井盖．勒洛三角形的构造方法如图2所示：以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径，在另外两个顶点间画弧，三段圆弧围成的闭合曲线即为勒洛三角形．若等边三角形的边长为，则图2中勒洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西阳泉·二模）为改善宜居环境，某社区在广场修建一处圆形花坛．花坛设计图如图所示，已知是上两点，以点为圆心画弧，分别与交于点，且直径与相切于点，其中空白部分种植花卉，阴影部分种植草坪．若，则种植草坪的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山西临汾·二模）如图，在边长为的正六边形中，以点为圆心，分别以，长为半径画弧，形成图中的阴影部分，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山西吕梁·二模）如图，四边形是正方形，，分别以点A，B为圆心，半径为1作和，两弧交于点O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山西阳泉·二模）二十四节气是我国上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系．如图①是故宫博物院收藏的紫檀北极恒星图时辰节气钟，表盘内侧为星象图，外侧为一道铜圈，进行24等分，镌刻着二十四节气名．如图②是节气圈的示意图，已知内圈半径为，外圈半径为，则指针从“谷雨”开始到“芒种”结束，扫过的节气圈（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山西大同·二模）如图，为的直径，为上一点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·山西晋中·二模）如图，已知正八边形的边长为4，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧，得，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山西运城·二模）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，分别与，的延长线交于点，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·山西晋城·二模）如图，已知一钟表的分针长为，若该钟表的分针从到，则分针顶端经过的路径长为________． 10．（2026·山西太原·二模）如图，以线段为边，在其两侧作正五边形，再分别以点，为圆心，的长为半径作和，得到的扇形和扇形与两个五边形组成一个轴对称图形，其中，点，，，均为五边形的顶点．若，则这个轴对称图形的周长为_______． 11．（2026·山西晋中·二模）如图①是一扇圆弧形拱门屏风，为中国古代家庭常见的装饰隔断，图②是其几何示意图，四边形是正方形，圆弧与边，相切，通过测量可得，，则阴影部分的面积为________． 12．（2026·山西长治·二模）山西现存全国重点文物保护单位531处，居全国第一．古建筑屋顶的国瓦当发展历程悠久，其艺术风格和功能随着历史时期的变化而演变．现有一瓦当，它的一面是呈扇形的一部分，如图1所示，其中两边，所在直线构成的夹角，点O是扇形所在圆的圆心，，如图2所示，则该瓦当此面的面积为_______．（结果保留π） 13．（2026·山西阳泉·二模）如图，已知，以为直径的与相切于点B，交于点D．若，，求的长（结果保留）． 圆的相关计算 考点05 1．（2026·山西太原·二模）如图，的内接正六边形的边心距为，分别以、、为圆心，正六边形的半径画弧，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西吕梁·二模）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径是6.5，，则的值为_____． 3．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 请认真阅读材料，并完成相应任务． 婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，这类四边形被称为“婆罗摩笈多四边形”．我们一起了解这位数学家的研究成果吧！ 如图1，已知⊙O的内接四边形，对角线于点．婆罗摩笈多发现等于⊙O半径平方的4倍． 下面是他的探究思路： 于点， ． ．（依据1） 如图2，连接并延长交⊙O于点，连接， 则．（依据2） ． 又，． ，． ．． …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指： ，依据2是指： ； (2)请完成材料中的剩余证明； (3)如图3，⊙M的半径为5，四边形内接于⊙M，且于点，则的长为 ． 4．（2026·山西阳泉·二模）阅读与思考 在学习了“圆内接四边形的对角互补”后，数学兴趣小组的同学们研究了它的逆命题“如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆”．发现该逆命题是真命题，下面是他们按照“提出问题一分析问题一解决问题”的路径，对该逆命题的探究过程，请你仔细阅读并完成相应的任务． 对“圆内接四边形的对角互补”的逆命题的探究 提出问题： 证明命题“如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆”是真命题，即已知：在四边形中，，求证：四边形内接于圆． 分析问题： 我们知道，不在同一条直线上的三个点，确定一个圆，所以一定内接于圆，若证明点也在该圆上，则可得四边形内接于该圆．但是发现直接证明行不通，于是考虑采取反证法来证明． 解决问题： 证明：在四边形中，过点作． 假设点不在上，则点在外或点在内．分以下两种情况讨论： ①当点在外时，如图1．设交于点； 连接，则四边形是的内接四边形， ∴， 是的外角， ∴， ∴， 这与已知“”相矛盾，即点在外不成立． ②当点在内时，如图2． ．．．．．． 任务： (1)下列四边形中，一定内接于圆的是__________．（填序号） A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)将材料中的证明过程补充完整． (3)如图3，已知，求作四边形和，使得四边形内接于，且对角线平分．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 5．（2026·山西太原·二模）阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等邻对补四边形”的研究报告 善思小组研究对象：等邻对补四边形 研究思路：类比平行四边形，按“概念—性质—判定—作图”的路径，由特殊到一般进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—推理证明—实践作图 研究内容： 【一般概念】有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻对补四边形．我们学习过的正方形就是等邻对补四边形．如图，在四边形中，若，，则四边形是一个等邻对补四边形．   【特例研究】根据等邻对补四边形的定义，对等邻对补四边形研究如下： 概念理解： 如图，若四边形是等邻对补四边形，那么，． 性质探索：根据定义，探索等邻对补四边形的性质，得到如下结论： 对角：等邻对补四边形的对角 ① 任务： (1)直接写出研究报告中①处空缺的内容， ；若，则 ； (2)善思小组对等邻对补四边形进一步探究，如图，，，发现平分．善思小组提供的解题思路是：过点分别作交的延长线于点，于点，… 请补充完善证明过程： (3)如图，请在图中作一个等邻对补四边形内接于，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： (4)如图，在等邻对补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，则 ． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆 5大考点概览 考点01垂径定理及其应用 考点02圆周角定理及其推论 考点03与圆有关的位置关系 考点04三角形的内切圆与外接圆 考点05圆的相关计算 垂径定理及其应用 考点01 1．（2026·山西阳泉·二模）如图，为的直径，为的弦，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径地理，圆周角定理，根据垂直得到，由圆周角定理得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，设于点， ∴， ∵， ∴， ∵所对圆周角为，所对圆心角为， ∴， 故选：D ． 2．（2026·山西阳泉·二模）如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积，先根据是的直径，得，因为，得，，运用圆周角定理得，，则，，，即可算出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， ， 则， 故选：D． 3．（2026·山西太原·二模）如图，内接于，为的直径，D为延长线上一点，作直线，过点O作于点E，交于点F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、垂径定理，相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，熟练掌握切线的判定和相似三角形的性质是解题的关键． （1）连接，先根据等边对等角得到，再利用三角形的内角和定理及等量代换得到，然后根据切线的判定定理可得结论； （2）先根据垂径定理推导 是的中位线，则，，证明，利用相似三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，又为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴，又， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴． 4．（2026·山西晋中·二模）为的直径，为的弦，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，为的弦，交于点，连接，，点为垂足，过作的平行线交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，垂径定理，圆周角，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角为直角可得，结合勾股定理可得，即可证明． （2）根据垂径定理可得，再根据，可得，根据对应边成比例即可求解． 【详解】（1）证明：连接． ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵点为圆心，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 5．（2026·山西太原·二模）如图，是的弦，，垂足为为的直径，，与分别交于． (1)证明：； (2)求的值； (3)求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）过圆心作于，于，由垂径定理得，，，结合得，再由证，推出；又因，判定矩形为正方形，得；最后由，证得 （）先由直径所对圆周角为直角得，再由同弧所对圆周角相等得，将求转化为求；结合已知条件和（）的结论得到相关线段长度，再由正方形性质算出，在中求出半径，进而得到直径；最后在中，根据余弦定义算出，即的值为； （）先由（）的结论得到各线段长度，建立平面直角坐标系并确定各点坐标，再分别求出直线和直线的解析式，联立方程求出交点的坐标，最后用两点间距离公式算出的长度为． 【详解】（1）解：过圆心作于，于，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴，， ∵、， ∴． （2）解：过圆心作于，于，连接，， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由（）得，矩形是正方形， ∴， 在中，， ∴直径， 在中，，， ∴， 即 ； （3）解：由（）得， 建立坐标系：设 ，，，，，， 设直线得解析式，代入点，， 得， 解得， ∴直线方程：， 即：直线方程：， 同理：代入点、，直线方程：， 联立方程直线、，得， 解得， ∴交点， 由两点间距离公式：． 6．（2026·山西晋中·二模）如图，，是的弦，，垂足为，为的直径，，与、分别交于、． (1)证明：； (2)求的值； (3)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点O作于点H，于点K，求出，证明四边形是矩形，可得，再求出即可； （2）连接，得到，求出，得，求出，故可求出； （3）由勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：过点O作于点H，于点K，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∵和都是所对的圆周角， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，, ∴； （3）解：在中，， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 圆周角定理及其推论 考点02 1．（2026·山西晋中·二模）如图，内接于，连接，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据圆周角定理可以求出. 【详解】解：在中，， ，， ， ， ， ． 2．（2026·山西阳泉·二模）如图，四边形内接于，为的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由圆内接四边形对角互补求出，然后利用为的中点求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴ ∵为的中点 ∴． 3．（2026·山西晋中·二模）如图，为的直径，点C，D分别为上的点，且C为的中点，连接，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接．由圆周角定理得，由为的中点，得，进而得到，即可求出． 【详解】如图，连接． 为的直径， ，即． 为的中点， ， ， ． 4．（2026·山西大同·二模）如图，为的半径，，为上的点，连接，，为的切线，为切点，交的延长线于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据圆周角定理得出，根据切线的性质得出，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得出答案． 【详解】如图，连接， ，， ， 为的切线，为的半径， ， ． 5．（2026·山西临汾·二模）如图，是的外接圆，是的切线，连接交于点D，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由切线的性质得到，根据得到，从而根据角的和差求得，再由得到，因此，再由圆周角定理即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外接圆， ∴． 6．（2026·山西阳泉·二模）如图，是的直径，是的弦，点，在上，，的延长线交于点．若，，则的度数为（    ） A．60° B．65° C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质；连接，由，可得，由为直径，可得，依据即可求出结果． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴． 故选：C． 7．（2026·山西吕梁·二模）如图，是的直径，，，是的弦．若，，，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，圆周角定理，得到，解直角三角形求出的长，等边对等角求出的度数，再根据弧长公式进行求解即可. 【详解】解：是的直径，，， ∴，， ∵， ∴， 连接，则， ∴， ∴长为. 8．（2026·山西太原·二模）如图，点是外一点，，与相切于点，，是的直径，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由切线的性质和圆周角定理求出，的度数，最后利用三角形的内角和计算即可. 【详解】解：连接， ∵，与相切于点，， ∴，， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∴. 9．（2026·山西太原·二模）如图，过上一点作的切线，交直径的延长线于点，连接、，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由切线的性质得，由得，由直径的性质得，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 10．（2026·山西晋中·二模）阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 如图1，圆内接四边形的对角线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求证：为的中点． 下面是部分证明过程： ， ， ． ，（_________________________）． ………． 任务一：请你写出上述材料中的证明过程中空缺处所利用的依据是______________________________； 任务二：请你利用所学知识将上述证明过程补充完整． 任务三：如图2，在中，把边绕点顺时针旋转得到，把边绕点逆时针旋转得到．连接，取的中点，连接并延长交于点，延长至点，使，连接，．若，则的长为________________． 【答案】任务一：同弧或等弧所对的圆周角相等；任务二：见解析；任务三： 【分析】任务一：根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得； 任务二：根据余角的性质证明，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出，得出，根据等腰三角形的判定得出，同理得出，即可得出结论； 任务三：作于点G，根据直角三角形的性质求出，，求出，根据勾股定理求出，再证明，根据全等三角形的性质求出． 【详解】解：任务一：根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得， 故答案为：同弧或等弧所对的圆周角相等； 任务二：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴F为的中点； 任务三：如图，作于点G， 由条件可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵把边绕点顺时针旋转得到，把边绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴在和中， ∴， ∴． 故答案为：． 与圆有关的位置关系 考点03 1．（2026·山西吕梁·二模）如图，是的直径，与相切于点，连接交于点，连接．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相切性质结合可以求出的度数，再根据圆半径相等即可求出的度数． 【详解】∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，是的直径， ∴， ∴． 2．（2026·山西运城·二模）如图，的顶点在上，边经过圆心，且边与相切于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用圆的切线的性质得出直角，然后利用等边对等角以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·山西朔州·二模）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为点，且点为的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，正确进行计算是解题关键．根据C为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解． 【详解】解：点为的中点， ， ， ， ∵直线与相切， ， ， 故选：． 4．（2026·山西吕梁·二模）如图，在中，以为直径的交边于点，交边于点，连接．若为的中点，，则的度数为______． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．连接，根据为的直径，以及为的中点，可得，从而得到，再由圆内接四边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 5．（2026·山西临汾·二模）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点F，连接，过点D作的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若的半径为5，，直接写出阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，扇形面积的求解，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角证明，再由圆的切线得到，即可求证； （2）连接，记与交于点，由圆周角定理得，则，解求出，求出，，，可求，，则由即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴ ∴； （2）解：连接，记与交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（2026·山西晋城·二模）如图，在中，，连接并延长，与过点的切线相交于点．已知，求和的度数． 【答案】， 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得，证明是等边三角形，可得，如图，连接，根据切线的性质得，根据圆内接三角形的性质、全等三角形的性质及等边对等角得，，根据，最后由可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 如图，连接，， ∵与相切于点， ∴， 由题意知：内接于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·山西临汾·二模）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目，滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点，推杆与铅垂线的夾角为，点在同一平面内．当推杆与铁环相切于点时，手上的力量通过切点传遥到铁环上，会有较好的启动效果． (1)求证：． (2)实践中发现，切点只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点是该区域内最低位置，此时点距地面的距离最小，测得，已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用； （1）过点作，分别交于点，交于点，根据切线的性质可得，进而得出，根据为的切线得出，得出，等量代换得出，即可得证； （2）在中，根据含30度角的直角三角形的性质得出，解得出，根据矩形的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点作，分别交于点，交于点． 与相切于点 ， 为的切线， ； （2）解：如图1，在中 由（1）知， 在中， 四边形为矩形， ． 8．（2026·山西太原·二模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 点和直线的等距圆在学习了圆的有关知识后，老师给出了“等距圆”的定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为该点和这条直线关于切点的等距圆． 概念理解：如图1，已知点B是直线l外一点，经过点B，且与直线l相切于点A，则为点B和直线l关于点A的等距圆．对等距圆圆心的位置分析如下：在图1的基础上连接，，，得到图2． ∵为点B和直线l关于点A的等距圆， ∴与直线l相切于点A， ∴①________， ∴点O在过点A且与直线l垂直的直线上． ∵与直线l相切于点A，且经过点B， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上．（依据：②________） 任务： (1)分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①________；②________； (2)问题解决：如图3，已知直线m上一点C和直线m外一点D，求作：点D和直线m关于点C的等距圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (3)联系拓广：如图4，已知直线l和直线l外一点E，于点F、． ①求作和直线l上一点M，使是点E和直线l关于点M的等距圆，点M在点F左侧，且的半径为d．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若是点E和直线l关于直线l上另一点N的等距圆，点N在点E右侧，且的半径为，则两点之间的距离用含d的式子表示为______． 【答案】(1)；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】本题主要考查了尺规作图、切线的性质和判定定理、正方形的性质与判定、勾股定理，理解等距圆的定义是解题的关键． （1）利用切线的性质定理、垂直平分线的判定定理即可解答； （2）利用尺规过点作直线的垂线，以及的垂直平分线，两条直线交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求； （3）①在直线l上点F左侧截取点M使得，再分别以点E、点M为圆心，为半径画弧交于点，再以点为圆心，为半径画圆，则和点M即为所求；②作于点，根据等距圆的定义可得，，通过证明四边形是矩形，得到，，利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：∵为点B和直线l关于点A的等距圆， ∴与直线l相切于点A， ∴， ∴点O在过点A且与直线l垂直的直线上． ∵与直线l相切于点A，且经过点B， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上．（依据：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） 故答案为：；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． （2）解：如图所示， 由作图可得，，点在的垂直平分线上， 与直线相切，， 经过直线外一点， 为点和直线关于点的等距圆， 点D和直线m关于点C的等距圆即为所求． （3）解：①如图所示， 由作图可得，， 又， 四边形是正方形， ， 与直线相切， 为点和直线关于点的等距圆， 和直线l上一点M即为所求． ②如图，作于点，则， 是点E和直线l关于直线l上另一点N的等距圆，且的半径为， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 由①中的结论得，， ． 故答案为：． 三角形的内切圆与外接圆 考点04 1．（2026·山西吕梁·二模）勒洛三角形是一种特殊的定宽曲线，由三段圆弧围成，具有在任何方向上宽度恒定的性质．图1就是用勒洛三角形设计的一种井盖．勒洛三角形的构造方法如图2所示：以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径，在另外两个顶点间画弧，三段圆弧围成的闭合曲线即为勒洛三角形．若等边三角形的边长为，则图2中勒洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】勒洛三角形由段完全相同的圆弧组成，每段圆弧的半径等于等边三角形的边长，圆心角等于等边三角形的内角，根据弧长公式计算即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， 的长， 勒洛三角形的周长为． 2．（2026·山西阳泉·二模）为改善宜居环境，某社区在广场修建一处圆形花坛．花坛设计图如图所示，已知是上两点，以点为圆心画弧，分别与交于点，且直径与相切于点，其中空白部分种植花卉，阴影部分种植草坪．若，则种植草坪的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接,过点作，可知是等边三角形，所以,，可知，弧与线段围成的面积为: ，弧，弧与线段围成的面积为: ，进而可求解． 【详解】解：连接,过点作， 则, ∴是等边三角形， ∴, ∴ ∴, ∴ ∴弧与线段围成的面积为： ∴弧与线段围成的面积为: , ∴弧，弧与线段围成的面积为: ， ∴阴影部分的面积为： ∴种植草坪的面积为． 3．（2026·山西临汾·二模）如图，在边长为的正六边形中，以点为圆心，分别以，长为半径画弧，形成图中的阴影部分，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，过点作于点，利用正六边形性质得，，可证，利用三角函数求出、，进而得的长度及的度数，再分别计算两个三角形和两个扇形的面积，最后通过即可求得结果． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， ∵正六边形的边长为， ∴，， ∴，， ∴，， 在中， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴． 4．（2026·山西吕梁·二模）如图，四边形是正方形，，分别以点A，B为圆心，半径为1作和，两弧交于点O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，由题意可得为等边三角形，先求出扇形的面积，再求出等边三角形的面积，即可求解． 【详解】解：连接，，如图， 由题意可得，为等边三角形，则，， 则底边上的高为， 则扇形的面积为， ， 则阴影部分的面积为两个扇形的面积减去等边三角形的面积， 即. 5．（2026·山西阳泉·二模）二十四节气是我国上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系．如图①是故宫博物院收藏的紫檀北极恒星图时辰节气钟，表盘内侧为星象图，外侧为一道铜圈，进行24等分，镌刻着二十四节气名．如图②是节气圈的示意图，已知内圈半径为，外圈半径为，则指针从“谷雨”开始到“芒种”结束，扫过的节气圈（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆环扇形面积公式为，根据题意找到半径和圆心角代入即可． 【详解】∵24 节气将圆周 24 等分，因此每一等分的圆心角为：， ∴从谷雨到芒种间隔4个节气，圆心角的度数为， 由题意可知内圈半径为，外圈半径为， ∴． 6．（2026·山西大同·二模）如图，为的直径，为上一点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，则和为等边三角形，且，所以，，故得，求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， ， 和为等边三角形，且， ，， ，， ，， ， ， ， ． 7．（2026·山西晋中·二模）如图，已知正八边形的边长为4，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧，得，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作，垂足为M，求出，再利用弧长公式即可求出答案． 【详解】解：如图，过点E作，垂足为M， 正八边形的每一个内角, 由题意可得四边形是矩形，与均为等腰直角三角形， ，，， ， 即所求弧的半径为， 的长为． 8．（2026·山西运城·二模）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，分别与，的延长线交于点，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，连接，利用锐角三角函数求出，然后利用扇形面积公式和三角形面积公式求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∵四边形为平行四边形，且，， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积为． 9．（2026·山西晋城·二模）如图，已知一钟表的分针长为，若该钟表的分针从到，则分针顶端经过的路径长为________． 【答案】 【分析】根据分针每分钟旋转，结合题意求出分针共旋转的度数，再运用弧长公式即可求解． 【详解】∵分针每分钟旋转，分针从到共走分钟， ∴分针共旋转， ∵分针长为， ∴分针顶端经过的路径长为：． 10．（2026·山西太原·二模）如图，以线段为边，在其两侧作正五边形，再分别以点，为圆心，的长为半径作和，得到的扇形和扇形与两个五边形组成一个轴对称图形，其中，点，，，均为五边形的顶点．若，则这个轴对称图形的周长为_______． 【答案】 【分析】牢记正多边形的内角和为，算出和的圆心角度数，根据弧长公式（n为圆心角度数，r为半径）算出和长度，最后根据周长定义进行求解． 【详解】解：由题意可知：正五边形的内角和为：， 每个内角的度数为， ， ， ，， 所以这个图形的周长为：． 11．（2026·山西晋中·二模）如图①是一扇圆弧形拱门屏风，为中国古代家庭常见的装饰隔断，图②是其几何示意图，四边形是正方形，圆弧与边，相切，通过测量可得，，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】根据阴影部分面积等于正方形的面积减去扇形面积，再减去三角形面积，进行计算即可 【详解】解：∵为圆的半径 ∴为等边三角形 ∴圆的半径 ∵圆弧与边相切 ∴正方形的边长等于圆的直径 ∴正方形边长 ∵阴影部分由正方形减去一个大扇形和一个三角形构成 ∴大扇形的圆心角为 ∵是边长为的等边三角形 故阴影部分的面积为． 12．（2026·山西长治·二模）山西现存全国重点文物保护单位531处，居全国第一．古建筑屋顶的国瓦当发展历程悠久，其艺术风格和功能随着历史时期的变化而演变．现有一瓦当，它的一面是呈扇形的一部分，如图1所示，其中两边，所在直线构成的夹角，点O是扇形所在圆的圆心，，如图2所示，则该瓦当此面的面积为_______．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积， 根据此面的面积，再代入数值可得答案． 【详解】解：∵，， ∴此面的面积（）． 故答案为：． 13．（2026·山西阳泉·二模）如图，已知，以为直径的与相切于点B，交于点D．若，，求的长（结果保留）． 【答案】的长为 【分析】连接，根据切线的性质可得，从而得到，再由圆周角定理可得，然后根据弧长公式解答即可． 【详解】解：连接， ∵与相切， ． ． ， ， 是所对的圆心角，是所对的圆周角， ． ， ． 的长． 圆的相关计算 考点05 1．（2026·山西太原·二模）如图，的内接正六边形的边心距为，分别以、、为圆心，正六边形的半径画弧，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，连接，，作于点，由题意知，是等边三角形，则，，由勾股定理得，解得，则，根据计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，，作于点， 由题意知． ∵，， ∴是等边三角形 ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴ ． 故选A． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 2．（2026·山西吕梁·二模）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径是6.5，，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，求一个角的正弦值，连接，将要求的值转化到中求解是解题的关键； 连接，利用题中条件和勾股定理得出的三边长，进而可求的值，根据同弧所对的圆周角相等得，即可作答． 【详解】如图，连接， 为直径，的半径是6.5， ， ， ， 又在中，， ， 故答案为： 3．（2026·山西吕梁·二模）阅读与思考 请认真阅读材料，并完成相应任务． 婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，这类四边形被称为“婆罗摩笈多四边形”．我们一起了解这位数学家的研究成果吧！ 如图1，已知⊙O的内接四边形，对角线于点．婆罗摩笈多发现等于⊙O半径平方的4倍． 下面是他的探究思路： 于点， ． ．（依据1） 如图2，连接并延长交⊙O于点，连接， 则．（依据2） ． 又，． ，． ．． …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指： ，依据2是指： ； (2)请完成材料中的剩余证明； (3)如图3，⊙M的半径为5，四边形内接于⊙M，且于点，则的长为 ． 【答案】(1)勾股定理；直径所对的圆周角是直角 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理和直径所对的圆周角是直角即可解答； （2）根据圆周角定理进行线段的转换，再利用勾股定理即可解答； （3）直接利用（2）中原理即可解答． 【详解】（1）解：材料中的依据1是指勾股定理，依据2是指直径所对的圆周角是直角， 故答案为：勾股定理；直径所对的圆周角是直角； （2）证明：于点， ， ， 如图2，连接并延长交⊙O于点，连接， 则， ， 又， ， ， ． ， ， ， ， 即等于⊙O半径平方的4倍； （3）解：根据（2）中结论可得， ， 故答案为：． 4．（2026·山西阳泉·二模）阅读与思考 在学习了“圆内接四边形的对角互补”后，数学兴趣小组的同学们研究了它的逆命题“如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆”．发现该逆命题是真命题，下面是他们按照“提出问题一分析问题一解决问题”的路径，对该逆命题的探究过程，请你仔细阅读并完成相应的任务． 对“圆内接四边形的对角互补”的逆命题的探究 提出问题： 证明命题“如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆”是真命题，即已知：在四边形中，，求证：四边形内接于圆． 分析问题： 我们知道，不在同一条直线上的三个点，确定一个圆，所以一定内接于圆，若证明点也在该圆上，则可得四边形内接于该圆．但是发现直接证明行不通，于是考虑采取反证法来证明． 解决问题： 证明：在四边形中，过点作． 假设点不在上，则点在外或点在内．分以下两种情况讨论： ①当点在外时，如图1．设交于点； 连接，则四边形是的内接四边形， ∴， 是的外角， ∴， ∴， 这与已知“”相矛盾，即点在外不成立． ②当点在内时，如图2． ．．．．．． 任务： (1)下列四边形中，一定内接于圆的是__________．（填序号） A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)将材料中的证明过程补充完整． (3)如图3，已知，求作四边形和，使得四边形内接于，且对角线平分．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)B、D (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）一定内接于圆的四边形，对角一定是互补的，矩形和正方形的对角一定是互补的，而平行四边形与菱形的对角不一定互补； （2）延长交于点，连接，则四边形是的内接四边形，利用是的外角，得出，与已知“”相矛盾，从而证明点在内不成立，从反面证明点在上； （3）作出、的垂直平分线交于点，以点为圆心，以为半径，作，此时在上，作出的角平分线，与交于点，连接、，四边形与即为所求． 【详解】（1）解：∵矩形和正方形四个内角都是， ∴矩形和正方形的对角是互补的， ∴矩形和正方形一定内接于圆， 而平行四边形与菱形的对角只是相等不一定互补， ∴平行四边形与菱形不一定内接于圆． （2）解：当点在内时，如图2，延长交于点，连接，则四边形是的内接四边形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 这与已知“”相矛盾，即点在内不成立． 综上所述，点在上，即四边形内接于． （3）解：如图所示，分别作出、的垂直平分线，、的垂直平分线交于点；以点为圆心，以为半径，作；作出的角平分线，与交于点；连接、，四边形与即为所求． ∵点是、的垂直平分线的交点， ∴为的外接圆，即在上， 又∵的角平分线，与交于点， ∴平分，点也在上， ∴四边形与即为所求． 5．（2026·山西太原·二模）阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等邻对补四边形”的研究报告 善思小组研究对象：等邻对补四边形 研究思路：类比平行四边形，按“概念—性质—判定—作图”的路径，由特殊到一般进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—推理证明—实践作图 研究内容： 【一般概念】有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻对补四边形．我们学习过的正方形就是等邻对补四边形．如图，在四边形中，若，，则四边形是一个等邻对补四边形．   【特例研究】根据等邻对补四边形的定义，对等邻对补四边形研究如下： 概念理解： 如图，若四边形是等邻对补四边形，那么，． 性质探索：根据定义，探索等邻对补四边形的性质，得到如下结论： 对角：等邻对补四边形的对角 ① 任务： (1)直接写出研究报告中①处空缺的内容， ；若，则 ； (2)善思小组对等邻对补四边形进一步探究，如图，，，发现平分．善思小组提供的解题思路是：过点分别作交的延长线于点，于点，… 请补充完善证明过程： (3)如图，请在图中作一个等邻对补四边形内接于，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： (4)如图，在等邻对补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，则 ． 【答案】(1)互补， (2)∵，， ∴， 在四边形中， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 平分； (3) (4) 【分析】根据四边形的内角和及等邻对补四边形的定义解答即可； 证明，得到，再根据角平分线的判定即可求证； 作互相垂直的两条直径，连接，作弦的垂直平分线，交于点，连接，可知，，，故四边形即为所求； 连接，证明 ，再利用相似三角形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴等邻对补四边形的对角互补； ∵， ∴， ∴， 故答案为：互补；； （2）略 （3）解：如图，作互相垂直的两条直径，连接，作弦的垂直平分线，交于点，连接，可知，，，故四边形即为所求； （4）解：如图，连接， ∵四边形是等邻对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ , 同理得，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网 考点01 垂径定理及其应用 1.D 2.D 3.(1)CD是00的切线 (2)AC=12 4.(1)AC=BC (2AH =HF 5.(1)AF=CF (23v0 10 ③5v 4 6.(1)AF=CF (2)3v0 10 同aMF-号 考点02 圆周角定理及其推论 1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.C 9.B 10.任务一：同弧或等弧所对的圆周角相等； 任务二：：AC⊥BD,EF⊥AD, www.zxxk.com 让教 专题06圆 3/3 与学更高效 命学科网 www. .LEGD+LFGC=90°，LEGD+∠EDG=90°， ∠EDG=LFGC, .∠ADB=∠ACB, ∠ACB=∠FGC, ..CF=FG, 同理BF=FG, .BF=CF, F为BC的中点； 任务三：2√万 与圆有关的位置关系 考点03 1.C 2.C 3.A 4.70°170度 5.(1)DE1AC 2 6.∠BAC=60°，∠ADB=30° 7.(1)LB0C+∠BAD=90° (2)70-15√3cm 8.(1)0A11;到一条线段两个端点距离相等的点， 2 m zxxk.com 让教与学更高效 在这条线段的垂直平分线上 2/3 扇学科网 WWW.Zx (3)① ;②(5+1d M 三角形的内切圆与外接圆 考点04 1.B 2.D 3.A 4.D 5.D 6.A 7.C 8.A 9.10π 10.32π+16 5 11.16-10r-5 3 12.56π 13. BD的长为)元 11 圆的相关计算 考点05 1.A 5 2 3.(1)勾股定理；直径所对的圆周角是直角 (2)证明：AC⊥BD于点P, ∴∠APB=90°，∠CPD=90°， :AP2+BP2=AB2,CP2+DP2=CD2, 3 xk.com 让教与学更高效 3 命学科网 www.zxxk.com 如图2，连接C0并延长交⊙0于点0，连接DQ, B D 0 图2 则∠CDQ=90°， .∠1+∠9=90°， 又CD=CD, ∠Q=∠2， :AC⊥BD, ∠BPC=90°」 .∠3+∠2=90°， ∠1=∠3， .AB=OD, .AP2+BP2+CP2+DP2=AB2+CD2=OD2+CD2=CO 2=4C02, 即AP2+BP2+CP2+DP2等于⊙O半径平方的4倍； (3)221 4.(1)B、D (②)解：当点D在O0内时，如图2，延长AD交⊙0于点D,连接CD', 形， D C 图2 .∠ABC+∠AD'C=180°， :∠ADC是△DD'C的外角， .LADC>∠AD'C, 2/3 让教与学更高效 则四边形ABCD'是OO的内接四边 命学科网 www.zxxk.com 让教 .∠ABC+∠ADC>180°， 这与已知∠ABC+∠ADC=180°”相矛盾，即点D在⊙0内不成立. 综上所述，点D在OO上，即四边形ABCD内接于OO. 3 5.(1)互补，90° (2)DE⊥BC,DF⊥BA, ∠DEB=∠DFB=90°， 在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC+∠A+∠DCB=360°， :∠ADC+∠ABC=180°， ∠A+∠DCB=180°， :∠DCE+∠DCB=180°， .∠DCE=∠A, AD=CD, △ADF≌△CDE AAS）, ∴.DE=DF, :BD平分∠ABC; 米F (3) E (4)√101-1 3/3 与学更高效