1.1.2空间向量的数量积运算（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，涵盖夹角定义、数量积性质与运算律、投影向量等核心知识点。课堂导入通过回顾平面向量数量积，类比推广至空间，前情回顾空间向量线性运算及共线共面定理，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以正方体、正四面体为实例，引导学生用数学眼光观察空间关系，通过题型训练中证明垂直、求模长等问题培养逻辑推理的数学思维，投影向量公式推导体现数学语言的精确表达。帮助学生构建知识体系，提升立体几何解题能力，为教师提供结构化教学流程和丰富例题，便于高效教学实施。

第一章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算 前情回顾 空间向量及其线性运算 空间向量 常见的空间向量 线性运算 共面向量定理 共线向量定理 定义、长度（模）、表示法 零向量、单位向量、 相等向量、相反向量、共线向量 加法、减法、数乘 ，，，使. A B C 前情回顾 、、三点共线 、、、 点共面 学 习 目 标 1 2 3 了解空间向量的夹角的概念. 掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律. 理解并掌握空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 读教材 阅读课本P6-P8，5分钟后完成下列问题： 1. 空间中两个非零向量的夹角的定义是什么？ 我们一起来探究“空间向量的数量积运算”吧！ 2. 空间向量的数量积及其运算律、投影向量的定义？ 新课引入 平面向量及其线性运算 空间向量及其线性运算 推 广 平面向量的数量积运算 空间向量的数量积运算 思考： 学习平面向量时，我们是如何研究它的数量积运算的？ 我们学习了平面向量的线性运算，任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此空间向量的线性运算与平面向量完全一致. 夹角 数量积的定义 运算律及性质 应用 学习过程 01 03 02 目录 1 空间向量的数量积 2 空间向量的投影向量 3 题型训练 新知探究1 探究1：在正方体为的中点，点为 上靠近的三等分点处，如何确定， 的夹角与数量积？ 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 两平面向量的夹角是如何求得的？该过程能推广到空间吗？ 概念 空间向量的夹角 空间向量的夹角： 如图，已知两个非零向量 ，在空间中任取一点作向量 ，则 叫做向量 与 的夹角，记作 O B A 注：1.. 2.两个向量的夹角是唯一确定的，且. 关键是起点相同！ O A B O A B O A B 与 反向 与 垂直 与 同向 特殊情况： 练习巩固 练习1 在正三角形ABC中，求下列夹角： 60° 120° 60° 练习巩固 练习2 判断正误. (1)向量与的夹角等于与的夹角.（ ） (2)对于非零向量，，与相等.（ ） (3)对于非零向量，，与相等.（ ） 解：×，√，×。 概念 空间向量的数量积 空间向量的数量积 如图，已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积(或内积)，记作 ， 即 注意：①两个向量的数量积不是向量，而是数量， 的正负由cos〈〉确定； 　 ②与任何向量的数量积为0； ③与数的乘法不同，书写时不能写成。 概念 空间向量的数量积 数量积的性质： 以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题. 两个向量数量积的性质 (1)若 与 是非零向量， 则a⊥b⇔a·b＝0 证垂直 求夹角 求范围 求模长 | || |　 则有 (3)设的夹角是，则 ＝ 　 (4)| · |≤ _________. 概念 空间向量的数量积 数量积的运算律： (1) (对数乘的结合律) (2)；(交换律) (3).(分配律) (4)完全平方公式： + (5)平方差公式： (1)若，则 (2)若，则 (3) 向量的数量积不满足消去律 向量没有除法 向量的数量积不满足对数量积的结合律 思考下列三个问题 练习巩固 练习1 判断正误. (1)若，则或.（ ） (2)若，且，则.（ ） (3)若均为非零向量，则是与共线的充要条件. （ ） 解：×，×，×. 练习巩固 练习2 如图，在平行六面体中， 求:(1); (2)的长。 解:(1) (2) 学习过程 01 03 02 目录 1 空间向量的数量积 2 空间向量的投影向量 3 题型训练 新知探究2 探究2：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影. 类似地， （）向量向向量的投影有什么意义？ （）向量向直线的投影呢？ （）向量向平面的投影呢？ 概念 空间向量的投影 如图 ，在空间，向量 向向量的投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量 ,则向量称为： 向量 在向量上的投影向量. 投影向量 1、向量 向向量的投影 2、向量 向直线 的投影 类似地，如图 ，在空间，向量 向直线 的投影，由于向量 是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 内，进而利用平面上向量的投影，得到与直线 共线的向量 ,则向量 称为: 向量 在直线 上的投影向量. 概念 空间向量的投影 3、向量 向平面 的投影 如图，向量 向平面 投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，得到与平面平行的向量，向量称为: 向量在平面上的投影向量. 注：向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角。 练习巩固 1 1 1 E 解：由题意 如图，过点作,垂足为则向量即为 上的投影向量，∴ 练习1 如图，已知正方体的棱长为 1，则 在上 的投影向量的模为 . 练习巩固 练习2 如图，已知 平面 , , ， 则向量 在 上的投影向量等于_ ______. <m></m> 解：因为 <m> </m> ， 所以向量 <m></m> 在 <m></m> 上的投影向量为 <m></m> . 练习巩固 练习3 已知向量<m><m>满足，且向量<m>在向量<m> 上的 投影向量为<m>求<m>的模？ 解：因为向量在向量上的投影向量为 ， 所以, 即,解得 负值舍去 学习过程 01 03 02 目录 1 空间向量的数量积 2 空间向量的投影向量 3 题型训练 空间向量的数量积 题型1 题型探究 例1正四面体OABC的棱长为1，如图所示，若分别是 的中点，求: ; ; ; . 解：(1) . (2) . (3) . (4) , . 空间向量数量积的应用 题型2 题型探究 例2 如图，在空间四边形中， 求与所成角的余弦值？ 解：∵ ∴ 所以 即所成角的余弦值为 空间向量数量积的应用 题型2 题型探究 例3 如图，在四棱锥<m></m>中，底面<m></m>为平行四边形，<m></m>， <m></m>，<m></m> 底面<m></m> .证明：<</m> . 证明：由底面为平行四边形 知则 由底面，知则又 ∴ 即. 空间向量数量积的应用 题型2 题型探究 例4 在正四面体中，棱长为，分别是棱上的点， 且，求 解：∵ ∴ 故即 课堂小结 空间向量的 数量积运算 空间向量的夹角 定义 范围 空间向量的数量积 定义 投影向量 运算律 性质 投影向量 感谢聆听! $