第1章 第6节 一元二次不等式的解法-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课件PPT（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦一元二次不等式解法及应用，依据新课标要求覆盖不含参数、含参数不等式解法，恒成立问题及实际应用等核心考点，对接高考评价体系分析恒成立问题、分式不等式转化等高频考点，归纳解答题为主的常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“考点分层突破+真题变式训练”，如通过典例2含参数不等式分类讨论培养逻辑推理素养，恒成立问题用分离参数法提升数学运算能力，含易错点分析（如忽略二次项系数符号），帮助学生掌握解题步骤，教师可据此精准教学，助力高效备考。

第6节 一元二次不等式的解法 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 02 课后 素养提能 03 夯实 必备知识 01 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 课时作业 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 高考总复习 人教数学B版（新教材） 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 1.一元二次不等式的解法，达成直观想象和数学运算素养． 2．与一元二次不等式有关的恒成立问题，提升直观想象和数学运算素养． 3．一元二次不等式的实际应用，增强数学建模和数学运算素养 　　一元二次不等式、分式不等式的解法，及一元二次不等式的恒成立问题是高考的热点，常常与集合运算、函数定义域求解、用导数求单调区间等问题结合考查．题型多样，选择题或填空题考查解法及恒成立问题，难度不大，属于低中档题，解答题与导数结合，考查函数的单调性，难度中等及以上，属于中高档题 1．一元二次不等式的概念 一般地，形如　ax2＋bx＋c>0　的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c为常数，而且a≠0. 2．用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是　(x1，x2)　，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是　(－∞，x1)∪(x2，＋∞)　. 3．用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为　(x－h)2>k　或　(x－h)2<k　的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集． 　 简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系 1.eq \f(x－a,x－b)＞0等价于(x－a)(x－b)＞0. 2.eq \f(x－a,x－b)＜0等价于(x－a)(x－b)＜0. 3.eq \f(x－a,x－b)≥0等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－ax－b≥0，,x－b≠0.)) 4.eq \f(x－a,x－b)≤0等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－ax－b≤0，,x－b≠0.)) [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　 ) (2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　 ) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　 ) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　 ) (5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ [小题查验] 1．函数f(x)＝eq \f(1,ln－x2＋4x－3)的定义域是(　　 ) A．(－∞，1)∪(3，＋∞)　　 B．(1,3) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 解析：D　[由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋4x－3>0，,－x2＋4x－3≠1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1<x<3，,x≠2，)) 故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．] 2．(教材改编)不等式eq \f(x－2,x＋1)≤0的解集是(　　 ) A．(－∞，－1)∪(－1,2] B．[－1,2] C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．(－1,2] 解析：D　[eq \f(x－2,x＋1)≤0⇔(x＋1)(x－2)≤0，且x≠－1，即x∈(－1,2].] 3．(教材改编)若不等式ax2＋bx－2<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2<x<\f(1,4)))，则ab等于(　　 ) A．－28 B．－26 C．28 D．26 解析：C　[由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2＋\f(1,4)＝－\f(b,a),－2×\f(1,4)＝－\f(2,a)))， ∴a＝4，b＝7，∴ab＝28.] 4．不等式(x＋3)(1－x)≥0的解集为　________　. 解析：(x＋3)(1－x)≥0⇔(x＋3)(x－1)≤0，解得－3≤x≤1，所以不等式的解集为{x|－3≤x≤1}． 答案：{x|－3≤x≤1} 5．已知不等式x2－2x＋k2－1>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为　________　. 解析：由题意，知Δ＝4－4×1×(k2－1)<0， 即k2>2，∴k>eq \r(2)或k<－eq \r(2). 答案：(－∞，－eq \r(2))∪(eq \r(2)，＋∞) 一元二次不等式的解法 ◆[命题角度1]　不含参数的一元二次不等式的解法(基础点)　 [典例1]　解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0； (2)0＜x2－x－2≤4. 解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤eq \f(4,3)， 所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤\f(4,3))))). (2)原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－2≤4))⇔ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－6≤0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2x＋1＞0，,x－3x＋2≤0))⇔ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＞2或x＜－1，,－2≤x≤3.)) 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2≤x＜－1或2＜x≤3)). 解一元二次不等式的4个步骤 [口诀助解] 求解不含参数的一元二次不等式口诀 函数方程不等式，图像交点是标志； 首项系数先化正，判别式，符号定； 若为正，记口诀，小于中间大于侧； 或为负，或为零，配方观察解自明． ◆[命题角度2]　含参数的一元二次不等式(应用点)　 [典例2]　解不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. [解]　原不等式可化为(x－1)(ax－1)<0， ∴①当a＝0时，可解得x>1， ②当a>0时，不等式可化为(x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))<0， ∴当a＝1时，不等式可化为(x－1)2<0，解集为∅； 当0<a<1时，eq \f(1,a)>1，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1<x<\f(1,a)))； 当a>1时，eq \f(1,a)<1，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,a)<x<1))； 当a<0时，不等式可化为(x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0， ∴不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>1或x<\f(1,a))) 综上，可知，当a<0时， 不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>1或x<\f(1,a)))； 当a＝0时，解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1<x<\f(1,a)))； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,a)<x<1)). 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； (2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集． [口诀助读] 求解含参数一元二次不等式的分类口诀 含参二次不等式，有无实根判别式； 或为负，或为零，配方法，解自明； 若为正，求两根，两种题型要区分； 首项系数无参数，根的大小定胜负； 首项系数含参数，先论系数零正负； 系数化一是旨要，负数变换不等号． 求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集． 解：原不等式可化为12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0， 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－eq \f(a,4)，x2＝eq \f(a,3). 当a>0时，不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(a,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))； 当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a<0时，不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)，＋∞)). 与一元二次不等式有关的恒成立问题 ◆[命题角度1]　在实数R上的恒成立(基础点)　 [典例1]　若一元二次不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　 ) A．(－3,0]　　　　　　　　 B．[－3,0) C．[－3,0] D．(－3,0) [解析]　D　[2kx2＋kx－eq \f(3,8)＜0对一切实数x都成立， 因为2kx2＋kx－eq \f(3,8)＜0是一元二次不等式，所以k≠0. 则必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2k＜0，,Δ＝k2－4×2k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))＜0，)) 解得－3＜k＜0.] ◆[命题角度2]　在给定区间上的恒成立问题(重难点)　 [典例2]　设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是　________　. [破题关键点]　函数f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，即meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．方法一：构造函数g(x)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6，x∈[1,3]，分m＞0与m＜0两种情况判断g(x)在[1,3]上单调性，由g(x)max＜0求出m的取值范围； 方法二：由于x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)＞0，所以将参数m分离出来，即m＜eq \f(6,x2－x＋1)， 转化为求函数y＝eq \f(6,x2－x＋1)在[1,3]上的最小值． [解析]　要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立， 则mx2－mx＋m－6＜0， 即meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法： 法一：令g(x)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6，x∈[1,3]． 当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数， 所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0. 所以m＜eq \f(6,7)，则0＜m＜eq \f(6,7). 当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数， 所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0. 所以m＜6，所以m＜0. 综上所述，m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|0＜m＜\f(6,7)或m＜0)). 法二：因为x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)＞0， 又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜eq \f(6,x2－x＋1). 因为函数y＝eq \f(6,x2－x＋1)＝eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值为eq \f(6,7)，所以只需m＜eq \f(6,7)即可． 因为m≠0，所以m的取值范围是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|0＜m＜\f(6,7)或m＜0)). [答案]　eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|0＜m＜\f(6,7)或m＜0)) ◆[命题角度3]　给定参数范围的恒成立问题(基础点)　 [典例3]　已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(　　 ) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3) 解析：C　[把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立， 所以f(－1)＝x2－5x＋6＞0， 且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－5x＋6＞0，,x2－3x＋2＞0，))得x＜1或x＞3.] 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ解题，一元二次不等式在给定区间上恒成立，一般不能用判别式Δ处理，而应用分离参数求最值或分类讨论求解． 若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] B．(－∞，0] C．[1，＋∞) D．(－∞，1] 解析：A　[法一：令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f－1＝－12－2×－1＋a≤0，,f2＝22－2×2＋a≤0，))解得a≤－3. 法二：当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1,2])．而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3.] 一元二次不等式的实际应用(应用点) [典例]　某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ [关键突破点]　(1)由年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量，建立年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)由本年度的年利润比上年度有所增加，建立关于投入成本增加的比例x的不等式组求x的取值范围． [解]　(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x) (0<x<1)，整理得y＝－6 000x2＋2 000 x＋20 000(0<x<1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－12－10×10 000>0，,0<x<1，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－6 000x2＋2 000x>0，,0<x<1，))解得0<x<eq \f(1,3)， 所以投入成本增加的比例应在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))范围内． 求解不等式应用题的四个步骤 (2024·安徽工业大学附属中学校考)为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一．湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备．生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产x台(x∈N＋)需要另投入成本a(x)(万元)，当年产量x不足45台时， a(x)＝eq \f(1,2)x2＋30x－300万元，当年产量x不少于45台时，a(x)＝61x＋eq \f(2 500,x＋1)－900万元．若每台设备的售价与销售量的关系式为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(60＋\f(100,x)))万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完． (1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式； (2)年产量x为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？ 解：(1)当x＜45，x∈N＋时， y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(60＋\f(100,x)))x－200－a(x)＝60x＋100－200－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋30x－300))＝－eq \f(1,2)x2＋30x＋200； 当x≥45，x∈N＋时， y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(60＋\f(100,x)))x－200－a(x)＝60x＋100－200－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(61x＋\f(2 500,x＋1)－900))＝－x－eq \f(2 500,x＋1)＋800； 综上所述，y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋30x＋200，x＜45，,－x－\f(2 500,x＋1)＋800，x≥45))(x∈N＋)． (2)当x＜45，x∈N＋时，y＝－eq \f(1,2)x2＋30x＋200＝－eq \f(1,2)(x－30)2＋650，则当x＝30时，y的最大值为650； 当x≥45，x∈N＋时， y＝－x－eq \f(2 500,x＋1)＋800＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋1＋\f(2 500,x＋1)))＋801≤－2eq \r(x＋1·\f(2 500,x＋1))＋801＝701(当且仅当x＋1＝eq \f(2 500,x＋1)，即x＝49时等号成立)． ∴当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利最大，最大利润是701万元． $