第2章 第13节 第1课时 利用导数证明不等式（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

**基本信息** 聚焦导数证明不等式，以构造函数、换元转化为核心方法，系统整合导数几何意义、单调性与不等式证明的逻辑链条，培养推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |双变量不等式|1（红河州模拟）|换元法（t=x₂/x₁）+构造函数证单调性|导数求切线斜率→双变量转化为单变量→函数单调性证明不等式| |单变量不等式|1（乐山市模拟）|构造新函数（g(x)=eˣ-ln x-2）+极值分析|导数研究函数单调性→构造辅助函数→极值点判断证明不等式| |中值不等式|1（岳阳市模拟）|比值换元（t=x₂/x₁）+双向不等式证明|导数与函数单调性→不等式等价变形→构造函数分方向证明| |数列不等式|1（天津卷）|函数不等式放缩+累加求和|导数证明函数不等式→数列项放缩→累加求和证明数列不等式|

令学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第13节导数的综合应用 课时冲关20利用导数证明不等式 学生用书P302 1.(2024红河州模拟)己知函数x)=一lnx(,n∈R). (1)若函数fx)在(1,1)处的切线与直线x一y=0平行，求实数n的值： (2)若n=1时，函数x)恰有两个零点x1,x2(0<x1<x2),证明：x1十x2>2. 解：(1)因为f()=-,且切线与直线x-y=0平行，可得f(1)=n-1=1,所以n= 2; (2)证明：当n=1时，fx)=--lnx, 由题意知， ②-①得：hx2-hx1=, 即n=.③ 令t=,则x3=1,且t>1, 又因为x1+2=x1+c1=(1+0x1,由③知： In t=, 所以x1=(t>1). 要证x1+3>2, 只需证1+0>2， 即证>2nt, 即t--2lnt>0. 令h(0=t--2lnt(t>1),则h')=>0, 所以(0在(1，+∞)上单调递增且(1)=0， 所以当t∈(1，+∞)时，h(④>0， 即x1+2>2. 2.(2024·乐山市模拟)已知函数fx)=x2-(a一2)x一anx(a∈R) (1)求函数y=x)的单调区间： 1 令学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)当a=1时，证明：对任意的x>0,x)十e>x2+x十2. 解：(1)函数fx)的定义域是(0，+∞)， f(x)=2x-(a-2)-=, 当a≤0时，f(x)>0对任意x∈(0，+∞)恒成立， 所以函数fx)在区间(0，+∞)上单调递增； 当a>0时，由fx)>0得x>,由fx)<0,得0<x<,所以函数x)在区间上单调 递增，在区间上单调递减.综上所述，当a≤0时，函数x)的单调递增区间为(0，+∞)， 无减区间；当aα>0时，函数fx)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)当a=1时，x)=x2+x-lnx, 要证明fx)+e>x2+x+2,只需证明e-nx-2>0, 设gw)=e-lnx-2,则问题转化为证明对任意的x>0,gx)>0,令g'(x)=e-=0, 得e=， 易知方程有唯一解，不妨设为和，则x满足xo=, 当x变化时，g'(x)和g()变化情况如下表： (0,xo) (0,+o) g'(x) 0 + 8(x) 递减 极小值 递增 g(x)min=g(xo)=exo-In xo-2=+xo-2 因为和>0，且0≠1，所以g(x)mm>2-2=0, 因此不等式得证 3.(2024岳阳市模拟)已知函数fx)=2+nx+2. I)若a∈R,讨论函数w)的单调性： (2)曲线g(x)=x)一ax2与直线I交于A(心1，)，Bx2,y2)两点，其中x1<x2,若直线1斜 率为k,求证：x1<x2. 解：(1f(x)=2ax+=(x>0), a≥0时，恒有f(x)>0,x)在(0，+∞)上单调递增， 2 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 a<0时，令f()>0,即22+1>0，解得0<x<,令fx)<0,即22+1<0，解 得x> 综上，a≥0时，fx)在(0，+∞)上单调递增， a<0时，x)在上单调递增，在上单调递减； (2)证明：k==, 要证x1<x2,即证x1<x2, 等价于1<，令t=,则D1, 只需证1<<t, 由t>1知lnt>0,故等价于nt<t-1<tnt, 设o(0=t-1-lnt,则o'(①=1->0， 所以o(0在(1，+∞)上单调递增，所以p)>0(1)=0,即t-1>nt 又设)=nt-(t-1),则h'()=nt>0, 所以()在(1，+∞)上单调递增 所以h(①>h(1)=0,即tnt>t-1, 故x<<x2, 4.(2023天津卷)已知函数x)=ln(x+1). 1)求曲线y=x)在x=2处切线的斜率： (2)当x>0时，证明：x)>1: 3)证明：<nn!)-lnn十n≤l,n∈N*. 解：I)x)=+, 则fx)=+·, 所以f(2)=-, 故y=fx)在x=2处的切线斜率为-. (2)证明：要证x>0时fx)=ln(x+1)>1,即证lnx+1)>x>0), 令gx)=lnx+1)-且x>0, 零学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 则gx)=-=>0, 所以g(x)在(0，+∞)上递增，则g(w)>g(0)=0, 即nx+1)>. 所以当x>0时，x)>1. (3)证明：设h(m=ln(n！)-n(m+n,n∈N, 则hn+1)-h)=1+lnn -n(n+1)=1-ln, 由(2)知：x=∈(0,1]， 则f=n>1, 所以hn+1)-h(m<0,故hm在n∈N上递减，故hm≤h(1)=1; 下证n!)-lnn+n>, 令ox)=lnx-且x>0, 则o'(x)=, 当0<x<1时，9'(x)>0,(x)递增 当x>1时，9'(x)<0,x)递减， 所以(x)≤0(1)=0， 故在x∈(O,+o)上lnx≤恒成立， 则h()-hn+1)=ln-1≤·-1=<，所以h(2)-h3)<,h(3)-h(4<,…,hn-1)- m<, 累加得(2)-m<, 而h(2)=2-n2,h(1)=1,因为>> n2,所以h2)=2-ln2>,则-h()<-2+ln2(n≥3)， 所以1)-hm<ln2-1+<n2-1+<,故m>n≥3)； 综上，<hm≤l,即<ln!)-hn+n≤1，n∈N