周测四 二次函数与几何图形的综合-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

周测四二次函数与几何图形的综合 (时间：60分钟满分：100分) 题型①利用二次函数图象解决与线段相 (2)求△ABC的面积. 关的问题 (3)在该二次函数的对称轴上是否存在点 1.(20分)如右图，抛物线交 Q,使得△ABQ是以AB为腰的等腰三角 x轴于A(-1,0),B(3,0) 形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐 两点，交y轴于点C(0, 标；若不存在，请说明理由. 一3)，Q为线段BC上的 动点。 (1)求抛物线的解析式. (2)求QO+IQA|的最小值. 题型②利用二次函数图象解决与三角形相 关的问题 2.(25分)如下图，二次函数的图象的顶点C 的横坐标为一1，直线y=一x十n与该二次 函数的图象交于A,B两点，其中点A的坐 标为（一3,2），点B在y轴上 (1)求n的值及二次函数的解析式. 长4444号 上册限时周测 145 题型③ 利用二次函数图象解决与特殊四边 题型④ 利用二次函数图象解决与面积相 形相关的问题 关的问题 3.(27分)已知抛物线y=ax2+bx+c,对称轴 4.(28分)(2025一2026瑞金检测)如下图，在 为y轴，直线l:y=kx十1与抛物线交于A, 3 平面直角坐标系中，直线)=一2x十3分别 B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点 C.当女=一时，点A,B的横坐标分别为 与x轴、y轴交于点C,D,抛物线y= —（-2十0为常数)经过点D,且交 -4,1. (1)求抛物线的解析式. x轴于A,B两点， (2)点P(m,n)在AB下方的抛物线上，过 (1)求抛物线表示的函数解析式， 点P作PQ∥y轴交直线1于点Q,D(0, (2)若P为抛物线的顶点，连接AD,DP, 一n).若四边形CDPQ是平行四边形，求m CP,求四边形ACPD的面积. 3 的值（用含k的式子表示）. t3 (x-2)2+h 1154119 146 九年级数学RJ版7.3+√13【解析】把(3,0)代入y=a(x-1)+4,则0 =a(3-1)2+4, 解得a=一1， .二次函数解析式为y=一(x一1)2十4. 令x=0,则y=3, .C(0,3). ,抛物线的对称轴为直线x=1, 如图，作点O关于直线x=1的对称 1 点D,连接CD交直线x=1于P点， 则PO=PD, ,∴.PC+PO=PC+PD=CD, 此时PC十PO的值最小， 1D3 .此时△PCO周长有最小值 ,CD=√OC2+OD=√3+2=√/13， ,.△PCO周长的最小值为CD十CO=√/13+3. 1 8.解：(1)将A(-1,0),C(0,2)分别代人y=-2x+ bx十c,得 1 3 一b+c=0, 6= 2 解得 2 c=2, c=2, 1 则抛物线的函数解析式为y=二27+3 2x+2. (②)令y=0,得-+号+2=0，解得=-1 1 =4,.B(4,0). 1 3 设D(m,-2m+2m+2） :Samw=Sm+5ew=专×2m+号×4(-名m 1 1 多m十2=一m牛4m+4 1 小S△n=Sg边形0cmB一S△0=一m2十4m十4-2X4 ×2=-m2+4m=-(m-2)2+4. 当m=2时，S△cD取得最大值4， 1 此时yD三-，×4+号×2+2=3，即D(2,3) 9.D【解析】，抛物线的对称轴为直线x=一1，与x轴 的一个交点为(1,0)，∴抛物线与x轴的另外一个交点 为(-3,0)，.一元二次方程一x2+bx十3=0的根为 x1=1,x2=-3. 一题多解法《 由图象可设一元二次方程一x2十bx十3=0的根 为x1=1,x2,则x1x2=-3,解得x2=一3，∴一 元二次方程一x2+bx十3=0的根为x1=1,x2 =-3. 10.x1=1,x2=3 11.解：(1)由二次函数的图象与直线y=2a2有两个交 点，知函数的最小值小于2a2. 二次函数的最小值为 (3a2-2a+3)-4(a+1)2 4 2a2-4a+2, 1 .2a2-4a十2<2a2,解得a>2 (2):二次函数的图象与x轴有交点， .△=4(a+1)2-4×1·(3a2-2a+3)=-8a2+ 16a-8=-8(a-1)2≥0. .8(a-1)2≤0. 又，8(a-1)≥0，.8(a-1)2=0,解得a=1. (3)证明：当x=0时y=3a-2a+3=3(a-号）'+ 号>0，二次函数的图象不经过原点。 12.解：(1)由题意设y1=a(x-1)2+4,则把点A(3,0) 代入，得a(3-1)2+4=0,解得a=-1, .y1=-(x-1)2+4. (2)0<x<3 (3)0≤y1≤4 周测四二次函数与几何图形的综合 1.解：(1)抛物线交x轴于A(一1,0)，B(3,0)两点， ∴.设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x一3). 将C(0,-3)代入，得-3a=-3,解得a=1, .抛物线的解析式为y=(x+1)(x一3)=x2一 2x-3. (2)如图，过点O作关于直线BC 的对称点O',连接AO',BO, C0',Q0'. A(-1,0),B(3,0),C(0,-3), ..AB=4,0B=OC=3. :∠COB=90°， .∴.∠OBC=∠BCO=45° :点O,O关于直线BC对称， ∴.BC垂直平分OO', .四边形BOCO'是正方形， 点O的坐标为(3，-3)，∴.B0=3. :1Q01+1QA1=|Q0'1+1QA|≥|AO'1, ∴.1Q0+|QA|的最小值为√3+4=5. 2.解：(1)：直线y=-x十n过点A(一3,2)， .2=3十n,解得n=-1, .y=一x一1. 令x=0,则y=-1, 点B(0,-1). 设二次函数的解析式为y=a.x2十bx十c.由题意，得 c=-1, a=1, 9a-3b十c=2·解得b=2, b 2a =一1， c=-1, ∴二次函数的解析式为y=x2+2x一1. (2)由(1)知，直线AB的解析式为y=一x-1,二次函 上册详解详析 49 数的对称轴为直线x=一1. 如图，设直线y=一x一1与二次函数图象的对称轴交 于点D,连接AC,BC,则D(-1,0). 把x=-1代入y=x2+2.x-1,得y=-2, .点C(-1,-2), 1 △ABC的面积=SAm+S△m=2X2X2+X2 ×1=3. (3)存在. 设Q(-1,m). B(0,-1),A(-3,2), .AB2=18,AQ=4+(2-m)2, BQ=1+(m+1)2. 分以下两种情况讨论： ①当AB=AQ时，18=4+(2- m)2, 解得m=2士√14， .点Q的坐标为(-1,2+√14)或（一1,2-√14）； ②当AB=BQ时，18=1+(m+1)2, 解得m=士17一1， ∴点Q的坐标为(-1，√17-1)或(-1，-√17-1) 综上所述，点Q的坐标为（一1,2+√14）或（一1,2 √14)或(-1，√17-1)或(-1，-√7-1). 3.解：(1)当=一 时，点A,B的横坐标分别为 -4,1 A(-44.B(1,) :抛物线y=ax+bx十c的对称轴为y轴， .b=0, .y=a.x2+c. 将A(-4,4.B(1,)代入y=ax2+c,得 16a十c=4, 1 1解得 a=4 a+c=4 c=0, 1 .抛物线的解析式为y= 4x (2)如图. .P(m,n), 1 Q(m,km十1)n=4m ,四边形CDPQ是平行四边 形，直线1与y轴交于点C, .PQ=CD,C(0,1), ∴.(km+1)-n=1-(-n) 1 1 km+1-4m=1+4m, 解得m1=2k,m2=0(舍去). 故m=2k. 50 九年级数学RJ版 3 4.解：1)在y=-2x+3中，令x=0,得y=3, .D(0,3) x-2)2+k经过点D(0,3), 1 ,抛物线y=一 1 ∴.3= ×(0-2)2+k,解得k=4, 4 y=- 4(x-2)2+4. (2)如图，连接OP. 1= 3 x+3 3 在y=-2x十3中，令y= 0,得x=2, .C(2,0),OC=2 1 在y= Γ4(x-2)2+4中， -(x-22+h 1 令y=0,得0=一 4（x-2)2+4,解得x1=6,x,= -2, ∴.A(-2,0),OA=2. 1 由y=一4(x一2)+4可得顶点P的坐标为(2,4)， 1 1 :S边EAm=SAAD十S△mw十SAx=之X2X3十2 ×3×2+2×2×4=3+3+4=10. 周测五二次函数的实际应用 1.解：(1)设花圃的宽AB为xm,则BC=(24-4x)m. 根据题意，得S=x(24-4x)=一4x2十24x(4≤x<6). (2)S=-4x2+24.x=-4(x2-6x)=-4(x-3)2 +36. 4≤x<6,a=-4<0, ∴.当x=4时，S最大，S大=32. 故当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是 32m2. 2.解：设MH=xm.如图，过点F作FP⊥MH,垂足为 P,则四边形AMPF为矩形， ∴.AF=PM=1m,AM=PF, ..HP=(x-1)m. ∠AFE=135°， ∴.∠PFE=135°-90°=45°， ∴△PFH为等腰直角三角形， ∴.PF=HP=(x-1)m,∴.AM=PF=(x-1)m. 同理可得BN=(x-1)m, ∴.MN=3-2(x-1)=(5-2.x)m, ∴.Se形MH=MH·MN=x(5-2x)=-2.x2+5.x= -2-》+ 由题意可知，1≤x≤2. -2<0,·当x=4 5