26.3 二次函数与一元二次方程&26.4 实际问题与二次函数（课外拓展提高）-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

026.3二次函数与一元二 1.若一元二次方程x2一mx十n=0无实数根，则 抛物线y=一x2十x一n的图象位于() A.第一、二、三象限B.x轴上方 C.x轴下方 D.第二、三、四象限 2.已知二次函数y=a.x2+(2a一3)x+a一1 (x是自变量)的图象经过第一、二、四象限， 则实数a的取值范围为 ( ) .9 A.1≤a<8 3 B.0<a<2 C.0<a<8 9 D.1<a<2 3.已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2 时，y=x2一2x;当x>2时，y=2x一4.若直 线y=x十b与这个函数图象有且仅有四个 不同交点，则实数b的范围是 ( A.- 4<b<0 1 B.- 4<6<-4 1 C.-4≤6≤0 D.b≤-4或b>0 4.把二次函数y=x2十4x十m的图象向上平移1 个单位长度，再向右平移3个单位长度.如果平 移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共 点，那么m应满足的条件为 5.抛物线y=ax2+bx十c经过A(一3,0)，B(4, 0)两点，则关于x的一元二次方程a(x一1)2十 c=b一bx的解是 6.已知二次函数y=x2-(m十2)x十2m一1. (1)求证：不论m取何值，该函数图象与x 轴总有两个交点. 次方程 。（建议用时：30分钟） (2)若该函数的图象与y轴交于点(0,3)，求 当0<x<5时，y的取值范围. 7.（2025一2026新余分宜检测)已知二次函数 y1=x2+bx一3的图象与直线y2=x十1交 于点A(-1,0)和点C(4,m) (1)求y1的解析式和m的值. (2)当y1>y2时，求自变量x的取值范围. (3)将直线AC沿y轴上下平移，当平移后 的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移 后的直线解析式. 4444件 上册课外拓展提高 111 》26.4实际问题与二次函数 目第1课时最大高度与几何图形面积问题（建议用时：30分钟） 1.如图，一座桥呈抛物线形，桥的最大高度是 计).若OP和OQ两段篱笆的总长为60m, 16m,跨度是40m.在线段AB上离中心M 则该花坛（△POQ)面积的最大值为 处5m的地方，桥的高度是 ) m2. A.14m B.15m 5.某年教师节的主题是“大力弘扬教育家精 C.13m D.12m 神，加快建设教育强国”.为庆祝节日，学校 A 为教师定制了水杯.下图是定制的水杯包装 E 盒的表面展开图，设包装盒的高为xcm. B (1)若此包装盒的容积为1500cm3,请列出 第1题图 第2题图 关于x的方程，并求出x的值， 2.如图，若用长10m的铁丝靠墙AB围成一 (2)一题多解法是否存在这样的x,使得此包 个斜边为ED的直角三角形ECD,则所围成 装盒的容积为1560cm3？若存在，请求出相应 的△ECD的最大面积为 ( 的x的值；若不存在，请说明理由.（用两种方法 A.5.5m2 B.7.5m 解答) C.10.5m2 D.12.5m (单位：cm 3.如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其 两条隔断EF,GH的总长为am,且隔断 EF,GH分别与矩形的两条邻边平行.设 40 BC的长为xm,矩形ABCD的面积为ym2, y关于x的函数图象如图②所示，则下列说 法中，正确的是 () A.矩形ABCD的最大面积为8m B.y与x之间的函数解析式为y=一x2 +2.x C.当x=4时，矩形ABCD的面积最大 D.a的值为12 2 x/m 图① 图② 0 Q 第3题图 第4题图 4.如图，要在夹角为30°的两条小路OA与OB 形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别 在边OA和边OB上取点P和点Q,并扎起 篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不 15515 112 九年级数学RJ版 目第2课时最大利润问 1.某公司销售一种成本为20元/盏的LED护 眼台灯.销售过程中发现，若销售单价为x 元，则月销售量为（一10x十500）盏.为使每 月获得的利润最大，该台灯应定价为() A.30元/盏 B.35元/盏 C.40元/盏 D.45元/盏 2.“七星披肩”是纳西族妇女最喜爱的服饰之 一，承载着纳西族对生活、自然以及传统的 多重理解与寄托.某服装店每日销售“七星 披肩”所获利润心（单位：元）与销售量x(单 位：件)之间满足的解析式为w=一48(x一 曾》+1218，则当销售 件 “七星披肩”时，该服装店每日所获得的总利 润最大 3.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每 人800元.旅行社对超过30人的旅游团给予 优惠，优惠方案如下：旅游团的人数每增加 1,每人都降低10元.当一个旅游团的人数 为 时，这个旅行社可以获得最大 的营业额. 4.为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人 故里，某文旅公司推出多款文创产品.已知 某款巴小虎吉祥物的成本价是30元/件，当 销售单价为40元时，每天可以售出60件.经 调查发现，销售单价每降价1元，每天可以 多售出10件. (1)设该款巴小虎吉祥物每件降价x元，则 每天售出的数量是 件. (2)为让利于游客，且使文旅公司每天的利 润是630元，该款巴小虎吉祥物每件应该降 价多少元？ (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的 利润为W元，当销售单价为多少元时，每天 的利润最大？最大利润是多少？ ]题（建议用时：30分钟） 5.(2025一2026赣州信丰期中)绿水青山就是 金山银山.某乡镇充分利用本地资源，组织 生产一种成本为每盒60元的土特产，为了 解市场情况，准备先试销一段时间.试销期 间规定，销售单价不低于成本价，且获利不 得高于成本的40%.经试销发现，销售量y (单位：万盒)与销售单价x(单位：元)之间的 函数图象如下图所示. (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自 变量x的取值范围. (2)当销售单价为多少元时，销售利润最大？ 最大利润为多少万元？ 57 50. 606370 44444 上册课外拓展提高 113 目第3课时建立适当坐标系解 1.随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自 动喷灌系统.该系统中的喷灌器从喷水口喷 出的水柱成抛物线形.下图是喷灌器OA喷 水时的示意图，喷水口A点离地高度为 0.25m,喷出的水柱在离喷水口水平距离为 2m处达到最高点，最高点离地高度为 0.45m,且水柱刚好落在庭院围墙和地面的 交界点B处，则喷灌器OA与围墙的水平距 离OB为 A.4 m B.4.5m C.5m D.5.5m 水嘴 AB C 水槽 第1题图 第2题图 2.跨物理学科“水幕电影”的工作原理是把影 像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折 射出图象.水幕是由若干个水嘴喷出的水柱 组成的（如图），水柱的最高点为P,AB= 2m,BP=9m,水嘴高AD=5m,则水柱落 地点C到水嘴所在墙的距离AC是 m. 3.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线 形，左右两个抛物线形是全等的.正常水 位时，大孔水面宽度为20m,顶点距水面6 m,小孔顶点距水面3m.当水位上涨刚好淹 没小孔时，大孔的水面宽度为 m 第3题图 114 九年级数学RJ版 实际问题（建议用时：30分钟） 4.（2025一2026宜春期中)小明同学运用数学 知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他 对击球线路的分析.如下图，在平面直角坐 标系中，点A,C在x轴上，球网AB与y轴 的水平距离OA=3m,CA=2m,击球点P 在y轴上.若选择吊球，羽毛球（看作一点） 的飞行高度y(单位：m)与水平距离x（单 位：m)近似满足二次函数关系式y=a(x 1)2十3；若选择扣球，羽毛球的飞行高度y (单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足 一次函数关系式y=一0.4x十2.7. (1)求点P的坐标和a的值. (2)若球网的高度为1.55m,请通过计算说 明上面两种击球方式是否能使球过网.如果 能过网，再计算并判断球的落地点能不能在 近网区AC内. y/m A C x/m1 Sa=2X4X4=8. (2)设点P的坐标为(x,(x一1)2一4)， 则△ABP的面积S=2·AB·y,=号×4·(z 1 -1)2-41=21(x-1)2-41. 令S=6,则2|(.x-1)2-4|=6,.1(x-1)2-4|=3, 即(x-1)2-4=3或(x-1)2-4=-3. ①当(x-1)2-4=3时，(x-1)2=7,x一1=土√7， ∴.x=1士√7. 此时y=3,∴点P,(1十√7,3)，P2(1-√7,3). ②当(x-1)2-4=-3时，(x-1)2=1,x-1=士1， ∴.x1=0,x2=2. 此时y=-3,.点P3(0,-3),P,(2,-3). 综上所述，符合条件的点P的坐标有四个，分别为(1 +√7,3)，(1-√7,3)，(0，-3)，(2，-3). 26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1.A2.D 3.D【解析】：一次函数y=a.x十b的图象经过第一、 二，四象限，a<0,b>0, .二次函数y=ax2十bx的图象开口向下，对称轴为 直线x三一22>0，在y轴右侧 4.A【解析】y1<y2,.mx号-2m2x1十n<m.x2一 2mx2十n,∴.m(xi-x2)<2m(x1一x2),则m(x1+ x2)(x1-x2)<2m(x1-x2). x1<x2,.x1-x2<0,.m(x1十x2)>2m. 当m>0时，x1十x2>2m.:x1十x2>4,.2m≤4，解 得m≤2，此时m的取值范围为0<m≤2. 当m<0时，x1+x<2m<0,与x1+x2>4矛盾， .此种情况不存在。 综上所述，m的取值范围为0<m≤2. 5.-2 6.(1)-2(2)2 7.1或-号 【解析】，抛物线的解析式可化为y=(x一 3m)2一3m2十5m十3，.抛物线的顶点坐标为(3m, 一3m2+5m十3).，抛物线的顶点在直线y=x十2 上，.-3m2+5m+3=3m+2,解得m1=1,m2= 8.1【解析】对于x1=一1，x2=3,有y1=y2, .a-b+c=9a+3b+c, ∴.8a+4b=0,∴ b一2 b “对称轴为直线x=一2a=1心1=1 9.解：(1)抛物线y=ax2-2ax(a≠0)经过A(1-a, y1),B(m,y2), .y1=a(1-a)2-2a2(1-a),y2=am2-2am. ,y1=y: .a(1-a)2-2a2(1-a)=am2-2a2m, 整理得m2-2am-(3a-1)(a-1)=0, 即(m-3a十1)(m+a-1)=0, 解得m1=3a一1，m2=一a十1. (2)当a=1时，抛物线y=x2-2x=(x-1)2-1, ∴.抛物线的对称轴为直线x=1,且图象开口向上. 点A(0,y1),B(m,y2)位于对称轴的两侧，且y <y2· .m>1且m-1>1-0, ∴.m>1且m>2, 解得m>2. 26.3二次函数与一元二次方程 1.C 2.A【解析】，二次函数y=a.x2十(2a-3)x十a-1的 图象经过第一、二、四象限，∴.(2a-3)2-4a(a-1)>0 且a-1≥0e>0,解得1<a<号，e的取值范固为 9 1≤a<8 3.A【解析】根据对称性画出函数图象如图. 4 3 -】 21 43234 当-2≤<0时，联立1十2r得r+-6=0. y=x+b, 1 当△=1十4b=0,解得b=一4 当直线y=x十b过点(0,0)时，b=0.画出图象如图 所示。 1 结合图象可知，当-4<b<0时，直线y=x+6与这 个函数图象有且仅有四个不同的交点。 4.m>3 5.x1=-2,x2=5【解析】，抛物线y=a.x2+b.x十c经 过点A(一3,0)，B(4,0), ∴.ax2+b.x十c=0的两根为x1=一3，x2=4. ,方程a(x-1)2+b(.x-1)+c=0可看作关于(x 1)的一元二次方程， ∴.x一1=一3或x一1=4， 解得x1=-2,x2=5. 6.解：(1)证明：令y=0,则x2一(m+2)x十2m一1=0， ∴.△=[-(m+2)]2-4(2m-1)=(m-2)2+4≥4， .△>0， ∴.方程总有两个不相等的实数根，即该函数图象与x 轴总有两个交点. (2)该函数的图象与y轴交于点(0,3)， 上册详解详析 33 ..2m-1=3, ∴.m=2, ∴.二次函数的解析式为y=x2一4x+3. y=x2-4x+3=(x-2)2-1, ∴函数的图象开口向上，当x=2时，函数y取最小 值，最小值为一1. 当x=0时，y=3; 当x=5时，y=25-20+3=8. 故当0<x<5时，y的取值范围为一1≤y<8. 7.解：(1)把A(-1,0)代入y1=x+bx-3,得b=-2, ∴y1的解析式为y1=x2-2x-3. 把C(4,m)代入y2=x+1,得m=5, ∴.m的值为5， (2)如图.由(1)可知C(4,5), A(-1,0). 根据图象可知，当y1>y2时，自变 量x的取值范围是x<一1或x >4. (3)设直线AC平移后的解析式为 y=x十k, 得x2一2x一3=x十k,即x2一3x一3-k=0. 令△=0，得(-3)2-4(-3-k)=0, 解得k=一 4 六平移后的直线解析式为y=工-2头 4 26.4实际问题与二次函数 第1课时最大高度与几何图形面积问题 1.B【解析】如图，建立平面直角 yt 坐标系，则点A的坐标为（一20， 0),点C的坐标为(0,16).设抛 O(M D 物线的解析式为y=a.x2十k(a≠ 0).把A,C两点的坐标分别代入y=a.x2+k,得 1 400a十k=0, 解得a= 251 k=16, k=16, ∴抛物线的解析式为y=一无x十16，把x=5代入y 1 、1 一25x+16,得y=15,即在线段AB上离中心M 处5m的地方，桥的高度是15m. 2.D【解析】设CE=xm,则CD=(10-x)m. S6m=2CE·CD=2x·(10-x)=- 1 2x2+5.x 2(x-5)2+12.5,当x=5时，围成的△ECD的 1 面积最大，最大面积为12.5m. 3.D【解析】由图②可知，函数图象最高点为P(2,4),经 过原点 设二次函数的解析式为y=a(x一2)2+4， 34 九年级数学RJ版 代入(0,0)，解得a=-1,∴.y=-(x-2)2十4=-x +4x. 由此判断： A.矩形ABCD的最大面积是4m,本选项错误； B.二次函数解析式为y=一x2十4x,本选项错误； C.矩形ABCD的面积最大时，x=2,本选项错误； D.当x=2时，矩形ABCD的面积取最大值4， ,∴.AB=4÷2=2,.a=3(AB+BC)=3X(2+2)= 12,本选项正确. 4.225【解析】如图，过点P作PC⊥ OB于点C.设OP的长为xm, △POQ的面积为Sm,则OQ的 长为(60-x)m.∠POQ=30°，0℃ 1、1 PC=20P=2xm.S=2X2x·(60-x)= -(x-30)2+225(0<x<60),∴.当x=30时，S取 得最大值，最大值为225，即当OP的长为30m时， △POQ的面积最大，最大值为225m. 5.解：(1)由图得，包装盒的长为 h40-2x=(20-x)cm,高 2 为xcm,宽为15cm. 此包装盒的容积为1500cm3,.15x(20-x)= 1500, 解得x1=x2=10,.x的值为10. (2)【解法一】利用二次函数的性质解答： 不存在.理由： 设该包装盒的容积为ycm. 依题意得y=15x(20一x)=-15(x-10)2+1500. -15<0,.当x=10时，此包装盒的容积最大，为 1500cm3,,∴.不存在这样的x,使得此包装盒的容积 为1560cm3. 【解法二】利用一元二次方程根的判别式解答： 不存在.理由： 假设存在这样的x,则15x(20一x)=1560,整理得x -20x+104=0. ,△=（一20）2一4×1×104=一16<0，.此方程无实 数根，·不存在这样的x,使得此包装盒的容积 为1560cm3. 第2课时最大利润问题 1.B【解析】设每月获得的利润为y元.根据题意，得y =(x-20)(-10x+500)=-10x2+700x-10000= -10(x-35)2十2250.-10<0，∴.当x=35时，y取 得最大值，最大值为2250，∴.为使每月获得的利润最 大，该台灯应定价为35元/盏 2.17或18 3.55【解析】设一个旅游团的人数为x(x>30),旅行社 的营业额为y元.根据题意，得y=x[800一10(x一 30)]=-10(x-55)2+30250,.当x=55时，y取得 最大值.故当一个旅游团的人数为55时，这个旅行社 可以获得最大的营业额。 4.解：(1)(60+10x) (2)设该款巴小虎吉祥物每件降价x元.根据题意得 (40-30-x)(60+10x)=630, 解得x1=1,x2=3. 由于要让利于游客，故x=1舍去， ,∴.该款巴小虎吉祥物每件应该降价3元. (3)设该款巴小虎吉祥物每件降价m元， 则W=(40-30-m)(60+10m) =(10-m)(60+10m) =-10m2+40m+600 =-10(m-2)2+640. .-10<0, ∴.当m=2时，W取得最大值，最大值为640元，此时 销售单价为38元. 答：当销售单价为38元时，每天的利润最大，最大利润 是640元 5.解：(1)设y=k.x十b(k≠0) 63k+b=57. 将(63,57)，(70,50)代入该解析式，得 70k+b=50, 解得一1， b=120. .y=-x+120. “成本为每盒60元的土特产，销售单价不低于成本单 价，且获利不得高于40%， ∴.60≤x≤60×(1+40%)， 即60≤x≤84， ∴.y与x之间的函数关系式为y=一x十120(60≤x ≤84). (2)设利润为W,可得 W=(x-60)(一x+120)》 =-x2+180.x-7200 =-(x-90)2+900(60≤x≤84). ,图象开口向下，对称轴为直线x=90,取值范围在对 称轴左侧，y随x的增大而增大， .当x=84时，W最大=-(84-90)2+900=864. 答：当销售单价为84元时，销售利润最大，最大利润为 864万元. 第3课时建立适当坐标系解决实际问题 1.C【解析】以O为原点建立坐标系，如图所示. 设该抛物线的解析式为y=a(x个 -2)2+0.45(a≠0). :点(0,0.25)在该函数图象上， ∴.0.25=a(0-2)2+0.45, 1 解得a=一20，即y=-20x-2)+0.45. 1 当y=0时.0=-20(x-2)+0.45, 解得x1=5,x2=一1（不符合题意，舍去）， ∴.OB=5m. 2.5 3.10√2【解析】如图.C为大孔的抛物 线的顶点，其坐标为(0,6)，则 A(一10,0)，B(10,0).设抛物线ACB 的解析式为y=ax2十6(a≠0).，点 A在此抛物线上，∴.0=a×(一10)2+6，解得a= 3 3 ,即抛物线ACB的解析式为y=一0x2+6.当y =3时，3=一0+6，解得x=5区=-52， 3 当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为 52-(-5√2)=102(m). 4.解：(1)在y=-0.4x十2.7中，当x=0时，y=2.7, 点P的坐标为(0,2.7) 将P(0,2.7)代入二次函数解析式y=a(x一1)2+3可 得a·(0-1)2+3=2.7, 解得a=-0.3. (2)将x=3代入y=-0.4x+2.7可得y=一0.4×3 十2.7=1.5<1.55，.扣球不能过网 由(1)得a=一0.3，即二次函数的解析式为y= -0.3(x-1)2+3. 将x=3代入二次函数的解析式y=一0.3(x一1)2+3 可得y=-0.3×(3-1)2+3=1.8>1.55,.吊球能 过网. 在y=一0.3(x-1)2+3中，令y=0,则-0.3(x-1)2 十3=0， 解得x1=1十√10，x2=1-√10（不符合题意，舍去）， .x=1+10 .9<10<16, ∴√<√10<16，即3<√10<4， .4<1+w/10<5. .OA=3 m,CA=2 m, ∴.OC=OA+CA=5m, .落地点能在近网区AC内. 第二十七章反比例函数 27.1反比例函数的概念 1.B2.D 3.-9变式题y=王 6 4.- 【解桥】由题意，得=-2=2y=-} 3 y1=一 ,…小每3次计算为一个循环：2026÷3 3 =675…1,y2s=y1=-21 3 5.解：(1)由题意，得k=0.1×700=70, 70 .s关于a的函数解析式为s=一 上册详解详析 35Λ