26.4 第3课时 建立适当坐标系解决实际问题-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

由(1)知，此时矩形面积最大值在x=24时取得，面积 最大值为288m2. 故x=30舍去， ,∴.a=18 第2课时最大利润问题 1.B2.B 3.D【解析】日销售利润=(x一120)（一x+200)=一x +320x一24000， b .当x=一2a =160时，日销售利润最大， 即为获得最大的日销售利润，每件产品的售价应定为 160元. 4.B【解析】设每件工艺品降价x元。 利润=(135-100-x)(100+4.x)=-4(x-5)2+ 3600, .要使每天获得的利润最大，每件工艺品需降价5元. 5.A【解析】设每张床每晚收费提高4x元，则租出的床 数量为(100一10.x)张 总收入=(10-10x)(20十4x)=-40(x-号）广十 2250. ,每次提高的价格为4的整数倍， x的取值为整数. 故当x的取值为2或3时，总收入最大，此时每张床每 晚收费提高4×2=8（元）或4×3=12（元）. 6.47.602400 8.解：(1)设y=kx+b(k≠0). 112k+b=56, k=一2， 由题意得 解得 14k+b=52, b=80. ∴.y关于x的函数解析式为y=一2x十80. (2)设日销售利润为0元· 根据题意，得0=(x-10)(-2x十80)=-2x2+100x -800=-2(.x-25)2+450, .当x=25时，0有最大值，最大值为450. 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大， 最大利润为450元. 9.解：(1)根据题意知，(x一15)（一10x十450）=1250， 整理，得x2-60x十800=0，解得x1=20,x2=40. ‘要让消费者得到实惠，.x=20. 答：该超市每天要获得利润1250元，同时又要让消费 者得到实惠，则售价x应定为20元/kg. (2)设该超市每天获利W元. W=(x-15)(-10x+450)=-10x2+600x-6750= -10(x-30)2+2250 a=一10<0，.开口向下. :对称轴为直线x=30,∴在x≤28时，W随x的增大 而增大， ∴.x=28时，W的最大值=13×170=2210（元） 答：售价定为28元/kg时，该超市每天销售樱桃所获 的利润最大，最大利润为2210元. 8 九年级数学RJ版 第3课时建立适当坐标系解决实际问题 1.D 2.B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系. 由题意，得抛物线过点A(一4,0)， B(4,0),D(-3,4). 设y=a(x+4)(x-4). 把D(-3,4)代入y=a(x十4)(x- 0 B 4),得4=a(-3+4)(-3-4), 4 解得a=一7· 4 ∴y=-7（x+4)(x-4). 64 令x=0,得y=7 :.OE=7m 64 64 门的高度为7m. 3.C【解析】建立如图所示的平 单位：m 面直角坐标系，则点A的坐标 0.5 为（一1,0），点B的坐标为(1， D0.4下 0),点C的坐标为(0,0.5)，点 D的坐标为(0.2,0)，点F的坐标为(0.6,0). 设抛物线的解析式为y=a(x一1)(x十1). 把C(0,0.5)代入，解得a=一0.5， .抛物线的解析式为y=-0.5.x2十0.5. 当x=0.2时，y=-0.5×0.22+0.5=0.48. 当x=0.6时，y=-0.5×0.62+0.5=0.32, .DE=0.48,FP=0.32, ,.每段护栏需要不锈钢支柱的长度为2(DE十FP) 2×(0.48+0.32)=1.6(m), .这条护栏需要不锈钢支柱的总长度为100×1.6= 160(m). 4.2 5.8【解析】建立如图所示的平面直角 y↑ 坐标系.设抛物线形水柱的解析式为 y=a.x2+bx十c.由题意知，当c= 2.5 2.5时，抛物线过点(2.5,0)，当c=4 时，抛物线过点(3,0)， 02.534x /6.25a+2.5b+2.5=0, a=- 3, 解得 9a+3b+4=0, 2 b3 2 2 将(4,0)代人y=3x2十3x十，得一X16十 7 ×4+c=0,解得c=8. 故当喷头高8m时，水柱落点距点O4m. 醒：()由题意，得抛物线的顶点坐标为()2,8)，门 即(6,8). 设抛物线的函数解析式为y=a(x一6)2十8(a≠0). 将点(12,0)代入，得a(12-6)2+8=0, 2 解得a=一9： .该抛物线的函数解析式为y=一。(z一6)”十8(0≤ x≤12). (2)能安全通过.理由如下： 如图，设甲车的左边线与x轴交于点A. y 一12 122 由题意，得xn=2一2 -3=2. 将x=2代入y=-。（x-6)2+8, 40 得y号×(2-6)+8=0 “9-.5-00.5 17 .这两辆车能安全通过. 章未对点导练 1.B2.C 3.(1,0)【解析】：抛物线y=a.x2-4x十1上一点B的 “简朴点”是B,(2,3),即当x=2时，x十y=x十ax2一 4x+1=3,.2十a×22-4×2+1=3,解得a=2,∴.该 抛物线解析式为y=2x2-4x十1.将点C(1,m)代人， 可得m=2×12-4×1+1=-1,.C(1,-1),点 C(1,m)的“简朴点”C,的坐标为(1,0). 4.解：(1)当a=0,b=3时，y=x2+x(x-3)十x(x-3) =x2+x2-3x十x2-3x=3.x2-6.x, 六对称轴为直线=一6=1 6 (2),b=2a,.y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x -2a)=x2-a.x+x2-3a.x+2a2+x2-2a.x=3.x2- 6ax+2a2, ·抛物线的对称轴为直线x=一一6a =a. 6 ,3>0,抛物线的开口向上. ,该函数在0≤x≤1时，y随x的增大而减小；在3≤ x≤4时，y随x的增大而增大，.1≤a≤3. 5.B 6.B【解析】当a>0时，如图①.，方程a.x2十b.x十c一a =0的两根为m,n,.二次函数y=a.x2十b.x十c与直 线y=a的交点在x轴上方，其横坐标分别为m,n, ,∴.mx1<xe<n. y=ax+bx+0 -y=a y=ax+bx+c 图① 图② 当a<0时，如图②.：方程a.x2+bx十c一a=0的两 根为m,n,.二次函数y=a.x2+bx十c与直线y=a 的交点在x轴下方，其横坐标分别为m,n,.m<x1< x2<n.而x1与x2,m与n均关于对称轴对称，∴.m十 n=x1十x2.由题意可知，b2一4ac>0.综上所述，符合 题意的只有B选项. 7.k>-子且k≠0变式题1A变式题21 7 变式题36K一号 8.3【解析】，一元二次方程a.x2十bx十m=0有实数 根，.△=b2-4am≥0.由y=a.x2十bx的图象知，顶 点的纵坐标为一3， =-3,b2=12a, ∴.△=b2-4am=12a-4am≥0. ,a>0,∴.m≤3， .m的最大值为3. 9.解：(1)：BO=4m, ∴.抛物线L1的顶点B的坐标为(0,4)， .可设抛物线L,的函数解析式为y=ax2+4. 由题可知AC=16m,结合二次函数的对称性得 A(-8,0),C(8,0).将(8,0)代入y=ax2+4, 1 得0=64a十4，解得a=一16 1 故抛物线L,的函数解析式为y=一62+4. (2)设N(n,-16+4),则由NQ⊥AC,可知点Q的 银坐标为一一4。 Q-号+4-[-0a-0r]- 「3 整理，得n2-12n+36=0,即(n-6)2=0, 解得n=6,.MN=12m. 10.B【解析】由函数图象知抛物线与y轴交点在原点 下方，则c<0,故选项A不符合题意.当x=一2时，y =a.x2+bx十c<0,即4a-2b+c<0,故选项B符合 题意.由图象知抛物线与x轴有两个不同的交点，则 △=b2一4ac>0,故选项C不符合题意.图象的对称 轴是直线工=1十5=3，故选项D不符合题意. 2 11.C【解析】：抛物线y=x2-2nx经过点A(3,a), B(5,b), .∴.a=32-2n·3=9-6n, 上册详解详析 9第3课时 建立适当 知识要点扫描 建立适当平面直角坐标系解决实际问题 许多实际问题（与隧道洞口、桥洞、球的运 动轨迹、喷泉喷出的水的轨迹等相关的实际问 题)中都存在着与抛物线相关的图形.此类问 题可以通过构建二次函数解析式来求解，求解 的一般步骤如下： (1)建立适当的平面直角坐标系，将抛物 线图形放在平面直角坐标系中； (2)结合图形和已知条件，分析变量间的 关系； (3)用待定系数法求函数解析式： (4)利用二次函数的解析式及其性质求解 实际问题 已经典例题剖析 【例】(2025一2026新余期中)投壶，源于射 礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏.投 壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的 地方，用手把箭投向壶中并计算得分.箭在空 中飞行的轨迹可以近似看成抛物线.同学们受 游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了下 图所示的平面直角坐标系（单位长度为1m). 某同学将箭从A(0,1.5)处抛出，箭的飞行轨 迹为抛物线L:y=ax2十bx十c的一部分，且 当箭的最大高度为2m时，距离投出点的水平 距离为1m.把壶近似看作矩形DEFG,已知壶 口的宽度GF=0.2m,壶的高度EF=0.72m. DE (1)求抛物线L的解析式. (2)若箭刚好由点G处擦边投入壶中，求 人离壶的距离OE 【点拨】(1)由题可知抛物线的顶点为（一1， 坐标系解决实际问题 2),则可列y=a(x十1)2+2，将A(0,1.5)代入，即 3 可求出函数的解析式：(2)令一22一x十 0.72,求出x=一2.6，则0E=2.6一0.2= 2.4(m). 【解】(1).箭的最大高度为2m时，距离 投出点的水平距离为1m, .抛物线的顶点为（一1,2）， .y=a(x+1)2+2. 抛物线经过点A(0,1.5), .a+2=1.5,解得a=-0.5, y=0.5(x+1)2十2=7x2 3 2 2)令22-x+20.72 解得x1=一2.6，x2=0.6(不符合题意， 舍去)， .∴.OE=2.6-0.2=2.4(m), ∴.人离壶的距离OE为2.4m. 基础对点训练 --0 知识点建立适当平面直角坐标系解决实际 问题 1.（2025—2026上 饶弋阳期中)如 第1题图 图，以50m/s的 速度将小球沿与地面成45°角的方向击出 时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果 不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位： m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关 系h=20t一5t2.下列叙述错误的是() A.小球飞出3s时的飞行高度为15m B.小球从飞出到落地要用时4s C.小球的飞行高度可以达到20m D.小球的飞行高度不能达到15m 上册第二十六章 37△ 2.如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门， 小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽 度AB=8m,然后用一根长为4m的竹竿 CD竖直接触地面和门的内壁，并测得AC =1m,则门高OE为 () 64 A.9 m B.7mC.8.7mD.9.3m 单位：m 0.5 AC O B 0.4亦不 -2 第2题图 第3题图 3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛 物线形护栏组成的.为了牢固起见，现每段护栏 每隔0.4m需要加设一根不锈钢支柱，防护栏 的最高点距离底部0.5m(如图)，则这条防护栏 需要不锈钢支柱的总长度为 () A.50mB.100mC.160mD.200m 4.西安大雁塔的喷泉以其激动人心的表演和 世界级的设计而闻名，如图所示的为喷泉某 一截面的水流，可看作关于y轴对称的两条 抛物线，右侧水流的竖直高度y(单位：m)与 距水管的水平距离x(单位：m)之间满足y )x2+x士(x>0),则AB的长为 m. 4 单位：m y 2.5 2.534 第4题图 第5题图 5.模型观念如图，要在水池中心点O处竖直 安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水 柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖 直上下平移，水柱落点与点O在同一水平 面.安装师傅调试发现，当喷头高2.5m时， 水柱落点距点O2.5m;当喷头高4m时，水 柱落点距点O3m;当喷头高 m 时，水柱落点距点O4m. 38 九年级数学RJ版 6.天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它 将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大 提升区域交通效率，促进经济发展.下图是 隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的 一部分.若隧道底部宽12m,高8m,按照下 图所示的方式建立平面直角坐标系. (1)求该抛物线的函数解析式， (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶 部在竖直方向上与隧道的空隙不少于 0.5m.当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿 中心线两侧行驶，且两车至少间隔2m(中心 线宽度不计).若宽3m、高3.5m的两辆车 并排行驶，能否安全通过？请说明理由 -12-