26.4 第1课时 最大高度与几何图形面积问题-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

26.4 实际问 第1课时最大高度 知识要点扫描 1.利用二次函数解决实际问题的一般步骤 二次函数在现实生产、生活中有着广泛的 应用，我们身边的很多问题都可以通过建立二 次函数模型来解决.利用二次函数解决实际问 题的思路与列方程解应用题相似，可按下列步 骤进行： (1)阅读并理解题意； (2)找出问题中的变量与常量，并分析它 们之间的关系.若有图形，则要注意结合图形 进行分析； (3)设适当的未知数，用二次函数表示出 变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二 次函数的解析式； (4)根据题目中的条件，借助二次函数的 解析式、图象和性质等求解； (5)检验结果的合理性，必要时进行合理 的取舍. 2.求抛物线的最高点坐标的方法 已知二次函数的解析式，求抛物线的最高 点坐标，可以把函数解析式配方，转化成二次 函数的顶点式，写出顶点坐标.也可以根据二 次函数的一般式，用公式法直接计算出顶点坐 标.若二次函数解析式是未知的，可观察抛物 线的已知点、对称轴等条件，用待定系数法求 得解析式，再求解. 3.运用二次函数解决面积最值问题的 方法 (1)利用题目中的已知条件和学过的有关 数学公式列出二次函数的解析式 (2)把函数解析式转化为二次函数的顶 点式 (3)根据二次函数自变量的取值范围求二 题与二次函数 与几何图形面积问题 次函数的最大值或最小值.若自变量的取值范 围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最值； 若自变量的取值范围不含顶点的横坐标，则应 根据函数的增减性确定最值. 已经典例题剖析 【例】某农场准备修建三间 .50m 长方形种牛饲养室，饲养室的 一面靠墙（墙长50m),中间用 两面墙隔开（如右图）.已知现有建筑材料可修建 成48m长的墙，则这三间长方形种牛饲养室占地 总面积最大为 m(不考虑墙的厚度). 【点拨】求这三间长方形种牛饲养室占地 总面积的最大值，可设占地总面积为Sm,中 间墙的长度为xm.根据题目所给出的条件列 出S与x的关系式，再根据函数的性质求出S 的最大值即可. 【解】144 已基础对点训练 知识点①求抛物线轨迹的最大高度 1.向空中发射一枚炮弹，炮弹飞行的路线可以 看成是一条抛物线，经过xs后炮弹的高度 为ym,且y与x之间的关系式为y=ax2十 bx十c(a≠0).若此炮弹在第6s与第14s时 的高度相等，则下列时间中，炮弹所在高度 最高的是 ( A.第8s B.第9s C.第10s D.第11s 2.如图，一个圆形喷水池的中m 央竖直安装了一个柱形喷水 装置OM,喷头M向外喷水， x/m 水流在各个方向上沿形状相 第2题图 同的抛物线路径落下.按如图所示的直角坐 33 上册第二十六章 标系，水流喷出的高度y(单位：m)与水平距 离x(单位：m)之间的关系式是y=一x2十 2:十子>0)，则水流喷出的蚊大商度是 () A.3 m B.2.75mC.2mD.1.75m 3.跨物理学科根据物理学规律，如果不考虑 空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面 成30°角的方向击出，小球的飞行高度h(单 位：m)与飞行时间t(单位：s)之间的函数关 系是h=一5t2+20t,则小球运动中的最大 高度是 m. 4.数形结合思想如下图，某高尔夫球手击出 一个球，球的高度h(单位：m)和经过的水平 距离d(单位：m)可用公式h=d-0.01d2 来估计。 (1)球上升的最大高度是多少？ (2)若在击球点A正东方向101m处有一球 洞B,判断此高尔夫球手这一杆能否把球从 点A直接打入球洞B,并说明理由. 知识点② 求几何图形面积的最值 5.已知一个直角三角形的两直角边长之和为 20cm,则这个直角三角形的面积最大为() A.25 cm2 B.50 cm2 C.100cm2 D.不确定 6.(教材变式)如图，四边形ABCD的两条对角 线互相垂直，AC+BD=16,则四边形AB CD面积的最大值是 A.16 B.32 C.36 D.64 34 九年级数学RJ版 B30 第6题图 第7题图 7.如图，已知□ABCD的周长为8cm,∠B= 30°.若边AB=xcm,□ABCD的面积为 ycm2,则y的最大值为 8.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每 一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形， 则这两个正方形的面积之和S的最小值为 cm2. 9.(2025一2026上饶鄱阳检测)如下图，一个矩 形养鸡场，一边靠墙（墙长为am),另外三边 用长为48m的篱笆围成 (1)①若a=30,求养鸡场的面积的最大值： ②若a=20,求养鸡场的面积的最大值， (2)若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值 为270m2,求a的值.26.3二次函数与一元二次方程 1.A【解析】由题意，知二次函数的解析式为y=一(x -1)2十5=-x2+2x+4,则-x2+bx+c-4=0,即 -x2十2x=0,解得x1=0,x2=2.故该方程有两个不 相等的实数根. ◆一题多解法《 抛物线y=一x2十bx十c 开口向下，顶点坐标为(1， 5),.画出抛物线y=一x +b.x十c与直线y=4如图 所示.由图可知，抛物线y y=-x2+bx+0 =一x2十bx十c与直线y=4有两个交点.故方 程一x2十bx十c一4=0有两个不相等的实数根. 2.C 3.解：(1)把A(1,0)代入直线y=x十m,得0=1十m,解 得m=-1. 把A(1,0),B(3,2)代入抛物线y=x2+bx十c,得 10=1十b十c,解得 b=一3， 2=9+3b+c, c=2, .抛物线的解析式为y=x2一3x十2. (2)x<1或x>3. 重难题型专练二次函数的最值 及函数值的范围 1.-22.1 3.(1)直线x=1(2)-17 4.-2<y≤2 5.解：(1)把M(-2,3)代入y=-x2+m.x+3,得-4- 2m十3=3，解得m=-2, ∴.y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, .抛物线的顶点坐标为（一1,4）. (2):y=-(x+1)2+4, ∴.抛物线开口向下，对称轴为直线x=一1，最大值 为4. 当x=0时，y=3; 当x=-3时，y=0. 故当一3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4. 6.C 7.D【解析】：二次函数y=a.x2+2a.x+3a2+3, 心其图象的对称轴是直线x三一一1 当x≥2时，y随x的增大而增大，.a>0. ,当一2≤x≤1时，y的最大值为9，.当x=1时，y =a+2a+3a2+3=9, ∴.3a2+3a-6=0, 解得a1=1,a2=-2(舍去). 8.-19.-1 10.解：由题意可知，二次函数图象的开口向下，对称轴为 直线x=m.分以下三种情况讨论： ①当m<一2时，函数的最大值在x=一2处取得，即 一（-2-m)+m2+1=4,解得m=- 4,不合题意， 舍去； ②当-2≤m≤1时，函数的最大值在x=m处取得， 即m2+1=4,解得m1=√3（不合题意，舍去），m2= -√3； ③当m>1时，函数的最大值在x=1处取得， 即-(1-m)2+m2+1=4, 解得m=2. 综上所述，实数m的值为一√3或2. 26.4实际问题与二次函数 第1课时最大高度与几何图形面积问题 1.C2.B3.20 4.解：(1).h=d-0.01d2=-0.01(d-50)2+25, .当d=50时，h有最大值，最大值为25， .球上升的最大高度是25m. (2)不能.理由如下： 依题意，得d-0.01d=0,解得d,=100,d2=0(舍 去). ,100≠101，∴.此高尔夫球手这一杆不能把球从点A 直接打入球洞B. 5.B6.B7.2 8.12.5【解析】设其中一段铁丝的长为xcm,则另一段 铁丝的长为(20一x)cm.做成的两个正方形的面积之 和s=(任）》'+(20)-=名-10+12.5 .当x=10时，S取得最小值，最小值为12.5. 9.解，1)设矩形养鸡场的长为xm,则宽为8。m由 题意可知x≤a. 1 矩形养鸡场的面积为S,则S=x·”,=分 2 1 +24x=-2(x-24)2+288. :一2<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=24, .当0<x≤24时，S随x的增大而增大；当x>24时， S随x的增大而减小. ①，a=30,x≤a, 即x≤30， ∴.当x=24时，S有最大值，最大值为288m. ②，a=20,x≤a,即x≤20， ∴.当x=20时，S有最大值，最大值为280m. (2②)令5=270，得-7（x-240+288=270. 解得x1=18,x2=30. 由x≤a可知，当x=30时，a≥30. 上册详解详析 由(1)知，此时矩形面积最大值在x=24时取得，面积 最大值为288m2. 故x=30舍去， ,∴.a=18 第2课时最大利润问题 1.B2.B 3.D【解析】日销售利润=(x一120)（一x+200)=一x +320x一24000， b .当x=一2a =160时，日销售利润最大， 即为获得最大的日销售利润，每件产品的售价应定为 160元. 4.B【解析】设每件工艺品降价x元。 利润=(135-100-x)(100+4.x)=-4(x-5)2+ 3600, .要使每天获得的利润最大，每件工艺品需降价5元. 5.A【解析】设每张床每晚收费提高4x元，则租出的床 数量为(100一10.x)张 总收入=(10-10x)(20十4x)=-40(x-号）广十 2250. ,每次提高的价格为4的整数倍， x的取值为整数. 故当x的取值为2或3时，总收入最大，此时每张床每 晚收费提高4×2=8（元）或4×3=12（元）. 6.47.602400 8.解：(1)设y=kx+b(k≠0). 112k+b=56, k=一2， 由题意得 解得 14k+b=52, b=80. ∴.y关于x的函数解析式为y=一2x十80. (2)设日销售利润为0元· 根据题意，得0=(x-10)(-2x十80)=-2x2+100x -800=-2(.x-25)2+450, .当x=25时，0有最大值，最大值为450. 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大， 最大利润为450元. 9.解：(1)根据题意知，(x一15)（一10x十450）=1250， 整理，得x2-60x十800=0，解得x1=20,x2=40. ‘要让消费者得到实惠，.x=20. 答：该超市每天要获得利润1250元，同时又要让消费 者得到实惠，则售价x应定为20元/kg. (2)设该超市每天获利W元. W=(x-15)(-10x+450)=-10x2+600x-6750= -10(x-30)2+2250 a=一10<0，.开口向下. :对称轴为直线x=30,∴在x≤28时，W随x的增大 而增大， ∴.x=28时，W的最大值=13×170=2210（元） 答：售价定为28元/kg时，该超市每天销售樱桃所获 的利润最大，最大利润为2210元. 8 九年级数学RJ版 第3课时建立适当坐标系解决实际问题 1.D 2.B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系. 由题意，得抛物线过点A(一4,0)， B(4,0),D(-3,4). 设y=a(x+4)(x-4). 把D(-3,4)代入y=a(x十4)(x- 0 B 4),得4=a(-3+4)(-3-4), 4 解得a=一7· 4 ∴y=-7（x+4)(x-4). 64 令x=0,得y=7 :.OE=7m 64 64 门的高度为7m. 3.C【解析】建立如图所示的平 单位：m 面直角坐标系，则点A的坐标 0.5 为（一1,0），点B的坐标为(1， D0.4下 0),点C的坐标为(0,0.5)，点 D的坐标为(0.2,0)，点F的坐标为(0.6,0). 设抛物线的解析式为y=a(x一1)(x十1). 把C(0,0.5)代入，解得a=一0.5， .抛物线的解析式为y=-0.5.x2十0.5. 当x=0.2时，y=-0.5×0.22+0.5=0.48. 当x=0.6时，y=-0.5×0.62+0.5=0.32, .DE=0.48,FP=0.32, ,.每段护栏需要不锈钢支柱的长度为2(DE十FP) 2×(0.48+0.32)=1.6(m), .这条护栏需要不锈钢支柱的总长度为100×1.6= 160(m). 4.2 5.8【解析】建立如图所示的平面直角 y↑ 坐标系.设抛物线形水柱的解析式为 y=a.x2+bx十c.由题意知，当c= 2.5 2.5时，抛物线过点(2.5,0)，当c=4 时，抛物线过点(3,0)， 02.534x /6.25a+2.5b+2.5=0, a=- 3, 解得 9a+3b+4=0, 2 b3 2 2 将(4,0)代人y=3x2十3x十，得一X16十 7 ×4+c=0,解得c=8. 故当喷头高8m时，水柱落点距点O4m. 醒：()由题意，得抛物线的顶点坐标为()2,8)，门 即(6,8).