第1讲 静电力作用下物体的平衡模型（模型与方法）物理人教版必修第三册

本讲义聚焦静电力作用下物体的平衡模型这一核心知识点，系统梳理共线库仑力平衡、平面不共线静态与动态平衡、三维非共线平衡、两电悬绳平衡四大模型，从基础到复杂层层递进，通过模型构建、剖析及例题变式形成完整学习支架。 该资料以模型建构强化科学思维，每个模型明确规范思维路径，结合真题演练与分层练测提升实战能力。如共线模型总结“三点共线、两同夹异”规律，三维模型采用降维法转化问题，助力教师高效授课，学生课后可精准查漏补缺。

第1讲 静电力作用下物体的平衡模型 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.共线库仑力的平衡问题 模型02.平面不共线库仑力的静态与动态平衡问题 模型03.三维非共线库仑力的平衡问题 模型04.两电悬绳平衡问题 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.共线库仑力的平衡问题 模型构建：如图，A、B、C三个自由带电体按照一定的位置排列后在不受除库仑力以外的其他力的作用下处于平衡状态，对于带电体电性及所处位置的分析可依照力学问题一样，具体方法是：确定研究对象，受力分析，列出平衡方程，联立求解。 模型剖析：1.平衡条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。 (1)分析静电力作用下点电荷平衡问题的步骤 ①确定研究对象。如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”。 ②对研究对象进行受力分析，此时多了静电力(F＝k)。 ③建立坐标系。 ④根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0。 ⑤求解方程。 2.平衡规律可概括为 “三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上； “两同夹异”——正、负电荷相互间隔； “两大夹小”——中间电荷的电荷量最小； “近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。 3.只要其中两个点电荷平衡，第三个点电荷一定平衡，只需根据平衡条件对其中的两个点电荷列式即可。 【例1】（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）（多选）如图所示，在倾角为的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与球连接。、、三小球的质量均为，，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为，则（　　） A．弹簧的压缩量为 B．球的电荷量大小 C．相邻两小球的间距为 D．A球受到的库仑力为 【变式1-1】（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）在光滑水平面的x轴上有三个带电小球M、N、P（均视为质点）均处于静止状态，其中M、N的电荷量分别为C、C，坐标分别为0、4cm（如图所示）。则P的电荷量Q和坐标x分别为（    ） A．C，cm B．C，cm C．C，cm D．C，cm 【变式1-2】（25-26高一下·全国·期末）（多选）如图所示，同一直线上的三个点电荷a、b、c恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知a、b间的距离是b、c间距离r的2倍，a、b、c所带电荷量的绝对值分别为q1、q2、q3。下列说法正确的是（　　） A．若a、c带正电，则b带负电 B．若a、c带负电，则b带正电 C．q1∶q2∶q3＝36∶4∶9 D．三个点电荷的电荷量均变为原来的一半，b仍静止，a、c将会运动 模型02.平面不共线库仑力的静态与动态平衡问题 模型构建：平面不共线库仑力的平衡问题是电磁学与力学平衡结合的核心题型，需同时满足库仑定律（力的大小计算）和力学平衡条件（力的方向与矢量合成）。根据运动状态差异，可分为 “静态平衡”（物体静止或匀速直线运动）和 “动态平衡”（物体缓慢移动、力的方向 / 大小随位置变化但始终平衡）两类，模型建立需遵循 “明确研究对象→分析受力→列平衡方程→结合约束条件求解” 的逻辑 模型剖析：库仑力作用下平衡问题的分析方法与纯力学平衡问题的分析方法是相同的，只是在原来受力的基础上多了静电力。具体步骤如下： 利用三角形相似法处理带电小球的平衡问题： 常见模型 几何三角形和力的矢量三角形 比例关系 【例2】（25-26高一下·浙江温州·期末）如图所示，A、B两带电小球用绕过光滑定滑轮长为L的绝缘轻线连接，B球紧靠竖直光滑绝缘挡板。系统静止时，A、B球处于同一高度，悬挂A球的轻线与水平方向夹角为37°，悬挂B球的轻线竖直。已知A、B球带等量正电荷，B球质量为m，静电力常量为k，重力加速度为g，两小球均可视为质点，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（     ） A．A球的质量为m B．A球所受拉力大小为0.8mg C．A球所受库仑力大小为0.6mg D．A球所带的电荷量为 【变式2-1】（2023高三·全国·专题练习）如图所示，A、C为带异种电荷的带电小球，B、C为带同种电荷的带电小球，A、B被固定在绝缘竖直杆上，C球静止于粗糙的绝缘水平天花板上，已知，，下列说法正确的是（　　） A．C所受的摩擦力不为零 B．杆对B的弹力为零 C．缓慢将C向右移动，则仍可能保持静止 D．缓慢将C向左移动，则其一定会掉下来 【变式2-2】（2026·贵州毕节·三模）（多选）如图所示，光滑绝缘的半圆环竖直固定，带同种电荷的两小球甲、乙套在圆环上处于静止状态，甲、乙与半圆环圆心的连线与竖直方向的夹角分别为和。下列说法正确的是（     ） A．甲、乙质量之比为 B．甲、乙质量之比为 C．甲、乙电荷量缓慢减少一些，两小球间的库仑力不变 D．甲、乙电荷量缓慢减少一些，和减小，不变 模型03.三维非共线库仑力的平衡问题 模型构建： 降维法是将一个三维图变成几个二维图，即应选两个合适的平面去观察，当遇到一个空间受力问题时，将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解。由于三维问题不好想象，选取适当的角度，可用降维法求解。降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来，使我们很容易找到各物理量之间的关系，从而正确解决问题。 模型剖析：分析静电力作用下点电荷的平衡问题时，方法仍然与力学中分析物体的平衡方法一样，具体步骤如下： (1)确定研究对象：如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”。 (2)对研究对象进行受力分析，此时多了静电力(F＝)。 (3)根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0。 (4)求解方程。 【例3】水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量为Q的正点电荷，将另一质量为m的带正电的小球(可视为点电荷)放置在O点，OABC恰构成一棱长为L的正四面体，如图所示。已知静电力常量为k，重力加速度为g，为使小球能静止在O点，小球所带的电荷量为（  ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）如图所示，在水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量为的正点电荷，将另一质量为m的带正电的小球（可视为点电荷）放置在O点，恰构成一棱长为L的正四面体。已知静电力常量为k，重力加速度为g。为使小球能静止在O点，则关于小球所受电场力的合力方向和所带的电荷量，下列说法中正确的是（　　） A．所受电场力的合力方向竖直向上 B．所受电场力的合力方向竖直向下 C．电荷量为 D．电荷量为 【变式3-2】水平面上A、B、C、D为边长为L的正方形的四个顶点，四点固定着四个电荷量均为Q的正点电荷.O点到A、B、C、D的距离均为L.现将一质量为m的带正电的小球（可视为点电荷）放置在O点，如图所示，为使小球能静止在O点，小球所带的电荷量应为（已知静电力常量为k，重力加速度为g）（    ） A． B． C． D． 模型04.两电悬绳平衡问题 模型构建： + + )θ1 α β θ2( l1 l2 m1、q1 m2、q2 如图，比较m1和m2、q1和q2大小? (1)电荷间的库仑力是相互作用力，无论q1和q2大小关系如何，二者间的库仑力始终等值反向，所以q1和q2大小无法判断； 模型剖析：方法一、正弦定理法 对m1、m2受力分析，三力平衡可构成矢量三角形，根据正弦定理有， 对m1： [来源:学+科+网Z+X+X+K] + + )θ1 α β θ2( l1 l2 m1、q1 m2、q2 m1g m2g F F α β )θ1 θ2( 对m2： 对悬绳构成的三角形有： 联立解得m1gl1sinα=m2gl2sinβ 特殊情况：若l1=l2，α=β，则m1=m2。 方法二、力乘力臂法 + + α β l1 l2 m1、q1 m2、q2 m1g m2g α 以整体为研究对象，以悬点为转动轴，两根轻绳拉力的力臂均为零，根据转动平衡知:动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂，即m1g·l1sinα=m2g·l2sinβ。 方法三、重心法 + + α β l1 l2 m1、q1 m2、q2 重心 以整体为研究对象，整体受重力和两根轻绳的拉力，根据三力平衡必共点，因此整体的重心必过悬点正下方。所以有m1·l1sinα=m2·l2sinβ。 【例4】（24-25高一下·浙江金华·期末）如图所示，带电量分别为、的A、B小球，用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时，它们位于同一水平面上，相距，线与竖直方向的夹角分别为、，且，重力加速度为，静电力常数为。若同时剪断两根细线，空气阻力不计，两球带电量不变，则（　　） A． B．球的质量为 C．两球将同时落地 D．落地时，球的水平位移更大 【变式4-1】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图所示，在定滑轮C的正下方固定一个带负电的小球A，另一带电小球B用绝缘细线拴着，细线跨过定滑轮，另一端用适当大小的力F拉住，使小球B处于静止状态。现拉动细线，使小球B缓慢地向定滑轮移近一小段距离，关于此过程，下列说法正确的是（　　） A．小球A对小球B的库仑力先减小后增大 B．细线对小球B的拉力可能先增大后减小 C．小球A与小球B之间的电势能不变 D．小球B所经位置的电势逐渐升高 【变式4-2】（24-25高一下·福建福州·期末）（多选）如图所示，质量为m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量也为q的小球B固定在O点正下方的绝缘柱上，其中O点与小球A的间距为l，O点与小球B的间距为，当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角。带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k。则（　　）。 A．A、B间库仑力大小 B．A、B间库仑力大小 C．细线拉力大小 D．细线拉力大小 1. （2025·湖南·高考真题）如图，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．A球静止时，轻绳上拉力为 B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为 C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小 2. （2025·河北·高考真题）（多选）如图，真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B，带有等量同种电荷，电荷量为q，两者间距远大于小球直径，两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触，再跟B接触，移走C后，A和B之间的静电力大小仍为F，则的绝对值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 3. （2025·安徽·高考真题）（多选）如图，两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内，空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球（均可视为质点）在轨道上同一高度保持静止，间距为L，甲、乙所带电荷量分别为q、，质量分别为m、，静电力常量为k，重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为、，匀强电场的电场强度大小为E，不计空气阻力，则（　　） A． B． C．若将甲、乙互换位置，二者仍能保持静止 D．若撤去甲，乙下滑至底端时的速度大小 【基础夯实】 1. （25-26高二下·四川宜宾·期末）如图所示，光滑绝缘圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知三个小球均处于静止状态，其中小球c位于圆环最高点，a、c连线与竖直方向成角，b、c连线与竖直方向成角。下列说法正确的是（     ） A．小球a、b、c带同号电荷 B．小球a、b带异号电荷 C．小球a、b电荷量之比为 D．小球a、b电荷量之比为 2. （25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）（多选）在竖直平面内固定一半径为的金属细圆环，质量为的金属小球（视为质点）通过长为的绝缘细线悬挂在圆环的最高点。当圆环、小球都带有相同的电荷量（未知）时，发现小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，如图所示。已知静电力常量为。则下列说法中正确的是（     ） A．电荷量 B．电荷量 C．绳对小球的拉力 D．绳对小球的拉力 3. （25-26高一下·浙江金华·阶段检测）如图所示，水平面上放置一个绝缘支杆，支杆上的带电小球A位于光滑小定滑轮O的正下方，绝缘细线绕过定滑轮与带电小球B相连，在拉力F的作用下，小球B静止，此时两球处于同一水平线。假设两球的电荷量均不变，现缓慢拉动细线，使B球移动一小段距离，支杆始终静止。在此过程中以下说法不正确的是（     ） A．细线上的拉力一直减小 B．B球受到的库仑力先减小后增大 C．B球的运动轨迹是一段圆弧 D．支杆受到地面向右的摩擦力逐渐减小 4. （25-26高一下·河南新乡·阶段检测）（多选）如图所示，光滑绝缘水平面上固定两个带正电的小球A、B，且小球A电荷量大于小球B电荷量。将一带负电的绝缘小球C放置在A、B连线之间，小球C保持静止。下列说法正确的是（     ） A．静止时，小球C到A的距离大于小球C到B的距离 B．仅增大小球C的电荷量，C静止的位置不变 C．仅小幅增大A的电荷量，小球C将向B侧移动 D．仅将A、B两球电荷量同时增加两倍，C静止的位置一定向左偏移 5. （25-26高一下·浙江·阶段检测）如图所示，水平桌面上固定一半径为R的半球形光滑绝缘碗，球心为O。有两个完全相同可视为点电荷的带电金属球甲、乙，电荷量分别为3q和q（q＞0）。甲固定于碗内壁A点，将乙放于碗内壁B点时，它恰好能处于静止状态。已知A、O、B三点位于同一个竖直平面内，O、B在同一水平面上，，静电力常量为k，重力加速度为g。下列说法正确的是（     ） A．两球之间的库仑力大小为 B．乙球的质量为 C．碗对乙球的支持力为 D．若用绝缘镊子将乙与甲充分接触后，再置于B点，乙球依然能静止 6. （25-26高一下·重庆渝中·期中）有A、B、C三个完全相同的金属小球，最开始只有A球带电，现将三个小球按图a放在绝缘水平面上靠在一起，然后将它们分开放在一个四周绝缘且光滑的容器中，结果三个小球恰好能静止在一个边长为d的、处在竖直平面的一个等边三角形的三个顶点（如图b所示），已知每个小球质量为m，静电力常量为k，重力加速度为g，每个小球都可以看成点电荷。问： (1)A球最开始带电量大小； (2)容器底对B球弹力大小。 7. （2026·湖北襄阳·三模）如图所示，光滑绝缘圆形轨道水平放置在光滑绝缘桌面上，为圆心，、连线过点，，，在点固定正点电荷，点固定正点电荷，带正电的小球静止于轨道内侧点（、两点均位于圆内，且、、三点不共线），已知。下列说法正确的是（     ） A．与的电荷量大小之比为 B．点的电场强度方向垂直于向左 C．将小球的电荷量加倍后，它仍能静止在点 D．、连线上点电场强度最大 【培优拔高】 8. （2026·山东·模拟预测）（多选）如图所示，在倾角为的光滑绝缘斜面底端固定一个挡板，在挡板上连接一根与斜面平行的劲度系数为的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与小物块C相连接。A、B、C三个小物块的质量均为，三个小物块均带电且，当系统处于静止状态时，三个小物块等间距排列。已知静电力常量为，重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A． B．弹簧压缩量为 C．相邻两物块间距为 D．物块B受到的库仑力大小为 9. （25-26高一下·江苏淮安·期中）如图所示，在倾角为的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A球质量为，B球质量为，且均带电，其中A球带电荷量，系统处于静止状态。已知静电力常量，重力加速度。 (1)若已知两球间距为，求B球所带电荷量大小； (2)求弹簧伸长量 10. （25-26高二下·河南平顶山·期中）如图所示，在天花板上点通过两根长度分别为、的细绳悬挂两个带电小球P、Q，静止时两根细绳与竖直方向之间的夹角分别为和，已知，，则P、Q质量之比为（　　） A．3∶2 B．2∶3 C．9∶4 D．∶4∶9 11. （25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）如图所示，固定在竖直面内半径为R的光滑绝缘半圆形轨道内部有A、B两带电小球，质量均为m，A球锁定在轨道最低点，B球可沿轨道滑动。初始时，A、B两球间距为R，由于缓慢漏电，B球逐渐下滑靠近A球，两球可视为质点，重力加速度为g，以下说法正确的是（　　） A．初始时，A、B两球间的库仑力大小为 B．初始时，B球对轨道的压力大小为2mg C．漏电过程中，B球受轨道的支持力逐渐变大 D．漏电过程中，A、B两球间的库仑力逐渐变小 12. （24-25高一下·江苏南京·期中）如图所示，倾角为37°的光滑绝缘斜面体固定在水平面上，带电量为q的负点电荷A固定在斜面底端，质量为m的带电小球B在斜面上离点电荷A距离为L的M点由静止释放，释放的瞬间，小球B的加速度大小为a=0.5g，小球B向下运动到N点时，速度达到最大值。已知重力加速度为g，静电力常量为k，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： (1)小球B所带电的电性； (2)小球B所带电量qB=？ (3)A、N之间的距离d=？ 13. （25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）如图，距离为的、两点连线水平，是的竖直中垂线，带电量为的正点电荷固定在点，另一点电荷固定在点，质量为的带电小球恰好静止在上的点，与间的夹角为30°，重力加速度大小为，静电力常量为，则（　　） A．固定在点的电荷带电量为 B．固定在点的电荷可能带负电 C．带电小球的带电量为 D．将带电小球沿向上移动一段距离后释放小球可能静止 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 静电力作用下物体的平衡模型 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.共线库仑力的平衡问题 模型02.平面不共线库仑力的静态与动态平衡问题 模型03.三维非共线库仑力的平衡问题 模型04.两电悬绳平衡问题 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.共线库仑力的平衡问题 模型构建：如图，A、B、C三个自由带电体按照一定的位置排列后在不受除库仑力以外的其他力的作用下处于平衡状态，对于带电体电性及所处位置的分析可依照力学问题一样，具体方法是：确定研究对象，受力分析，列出平衡方程，联立求解。 模型剖析：1.平衡条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。 (1)分析静电力作用下点电荷平衡问题的步骤 ①确定研究对象。如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”。 ②对研究对象进行受力分析，此时多了静电力(F＝k)。 ③建立坐标系。 ④根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0。 ⑤求解方程。 2.平衡规律可概括为 “三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上； “两同夹异”——正、负电荷相互间隔； “两大夹小”——中间电荷的电荷量最小； “近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。 3.只要其中两个点电荷平衡，第三个点电荷一定平衡，只需根据平衡条件对其中的两个点电荷列式即可。 【例1】（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）（多选）如图所示，在倾角为的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与球连接。、、三小球的质量均为，，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为，则（　　） A．弹簧的压缩量为 B．球的电荷量大小 C．相邻两小球的间距为 D．A球受到的库仑力为 【答案】BC 【详解】A．将三个小球看作一个整体，则根据平衡条件可得 解得弹簧的压缩量为，故A错误； BC．对C球受力分析，可知C球也带正电。对B球列平衡等式，有 对C球列平衡等式有 联立解得，，故BC正确； D．对A受力分析，有 解得A球受到的库仑力为，故D错误。 故选BC。 【变式1-1】（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）在光滑水平面的x轴上有三个带电小球M、N、P（均视为质点）均处于静止状态，其中M、N的电荷量分别为C、C，坐标分别为0、4cm（如图所示）。则P的电荷量Q和坐标x分别为（    ） A．C，cm B．C，cm C．C，cm D．C，cm 【答案】D 【详解】根据“两同夹一异，两大夹一小”可知，带电小球P应该在带电小球N右侧且带正电，设坐标为x，则由平衡可知 解得C， 故选D。 【变式1-2】（25-26高一下·全国·期末）（多选）如图所示，同一直线上的三个点电荷a、b、c恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知a、b间的距离是b、c间距离r的2倍，a、b、c所带电荷量的绝对值分别为q1、q2、q3。下列说法正确的是（　　） A．若a、c带正电，则b带负电 B．若a、c带负电，则b带正电 C．q1∶q2∶q3＝36∶4∶9 D．三个点电荷的电荷量均变为原来的一半，b仍静止，a、c将会运动 【答案】ABC 【详解】AB．三个点电荷在同一直线上处于平衡状态，则一定满足“两同夹异，近小远大”原理，即两边的电荷电性相同和中间的电性相反，判断电量大小关系时，距离远的电量大于距离近的电量，故AB正确； C．根据库仑定律和矢量的合成，已知q1、q2间的距离是q2、q3间的距离的2倍，则有 解得q1：q2：q3=36：4：9，故C正确。 D．三个点电荷的电荷量均变为原来的一半，即电量之比不变，则仍静止，a、b、c仍会都静止，故D错误。 故选ABC。 模型02.平面不共线库仑力的静态与动态平衡问题 模型构建：平面不共线库仑力的平衡问题是电磁学与力学平衡结合的核心题型，需同时满足库仑定律（力的大小计算）和力学平衡条件（力的方向与矢量合成）。根据运动状态差异，可分为 “静态平衡”（物体静止或匀速直线运动）和 “动态平衡”（物体缓慢移动、力的方向 / 大小随位置变化但始终平衡）两类，模型建立需遵循 “明确研究对象→分析受力→列平衡方程→结合约束条件求解” 的逻辑 模型剖析：库仑力作用下平衡问题的分析方法与纯力学平衡问题的分析方法是相同的，只是在原来受力的基础上多了静电力。具体步骤如下： 利用三角形相似法处理带电小球的平衡问题： 常见模型 几何三角形和力的矢量三角形 比例关系 【例2】（25-26高一下·浙江温州·期末）如图所示，A、B两带电小球用绕过光滑定滑轮长为L的绝缘轻线连接，B球紧靠竖直光滑绝缘挡板。系统静止时，A、B球处于同一高度，悬挂A球的轻线与水平方向夹角为37°，悬挂B球的轻线竖直。已知A、B球带等量正电荷，B球质量为m，静电力常量为k，重力加速度为g，两小球均可视为质点，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（     ） A．A球的质量为m B．A球所受拉力大小为0.8mg C．A球所受库仑力大小为0.6mg D．A球所带的电荷量为 【答案】D 【详解】AB．设滑轮到 A 球的绳长为 ，则滑轮到 B 球的竖直绳长为 ，由绳长关系得 解得 对 B 球竖直方向平衡可得绳中拉力 ；对 A 球竖直方向平衡有 解得，故A错误，B错误。 CD．对 A 球水平方向平衡有库仑力 A、B 两球间距离为 设每球电荷量为 ，由库仑定律得 解得，故C错误，D正确。 故选D。 【变式2-1】（2023高三·全国·专题练习）如图所示，A、C为带异种电荷的带电小球，B、C为带同种电荷的带电小球，A、B被固定在绝缘竖直杆上，C球静止于粗糙的绝缘水平天花板上，已知，，下列说法正确的是（　　） A．C所受的摩擦力不为零 B．杆对B的弹力为零 C．缓慢将C向右移动，则仍可能保持静止 D．缓慢将C向左移动，则其一定会掉下来 【答案】C 【详解】A．对C球进行受力分析可知，C 球受到重力、A对C的库仑引力（水平向左）、B对C的库仑斥力（沿BC连线斜向右上方）、天花板对C可能存在竖直向下的弹力, 如图所示 由平衡条件，结合矢量的合成法则，若小球C不受摩擦力，则 其中为小球对小球的库仑力与水平方向的夹角。由几何知识可得， 根据库仑定律有 解得 故假设成立，此时C所受的摩擦力为零，故A错误； B．若B球仅受A球的吸引力、C球的排斥力、重力，则C球的排斥力水平方向分量无法平衡，B球不能静止，因此杆对B球一定有弹力作用，故B错误； C．由上述分析可知，竖直方向 若，则此时不等于零，即天花板对小球存在向下的压力，若缓慢将C向右移动，则减小，减小，但水平方向可能满足 小球C仍可能保持静止，故C正确； D．缓慢将C向左移动，变大，其竖直向上的分量变大，C球一定不会掉下来，故D错误。 故选C。 【变式2-2】（2026·贵州毕节·三模）（多选）如图所示，光滑绝缘的半圆环竖直固定，带同种电荷的两小球甲、乙套在圆环上处于静止状态，甲、乙与半圆环圆心的连线与竖直方向的夹角分别为和。下列说法正确的是（     ） A．甲、乙质量之比为 B．甲、乙质量之比为 C．甲、乙电荷量缓慢减少一些，两小球间的库仑力不变 D．甲、乙电荷量缓慢减少一些，和减小，不变 【答案】BD 【详解】AB．对甲、乙两球受力分析如图所示 沿切线方向分解，对甲球，有 对乙球，有 根据几何关系易知 甲、乙质量之比为，故A错误，B正确； D．当甲、乙电荷量缓慢减少时，两球会向圆环下方滑动，和均减小。但关系式仍满足，所以保持不变，故D正确； C．由上分析可知库仑力为 小球下滑后减小，减小，所以库仑力会减小，故C错误。 故选BD。 模型03.三维非共线库仑力的平衡问题 模型构建： 降维法是将一个三维图变成几个二维图，即应选两个合适的平面去观察，当遇到一个空间受力问题时，将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解。由于三维问题不好想象，选取适当的角度，可用降维法求解。降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来，使我们很容易找到各物理量之间的关系，从而正确解决问题。 模型剖析：分析静电力作用下点电荷的平衡问题时，方法仍然与力学中分析物体的平衡方法一样，具体步骤如下： (1)确定研究对象：如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”。 (2)对研究对象进行受力分析，此时多了静电力(F＝)。 (3)根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0。 (4)求解方程。 【例3】水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量为Q的正点电荷，将另一质量为m的带正电的小球(可视为点电荷)放置在O点，OABC恰构成一棱长为L的正四面体，如图所示。已知静电力常量为k，重力加速度为g，为使小球能静止在O点，小球所带的电荷量为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对小球进行受力分析，小球受重力和A、B、C处正点电荷施加的库仑力，将A、B、C处正点电荷施加的库仑力正交分解到水平方向和竖直方向，设是A、B、C处正点电荷施加的库仑力方向与竖直方向的夹角，将库仑力分解到水平方向与竖直方向，根据竖直方向平衡条件得，在竖直方向上 ， 根据几何关系得 解得 故选C。 【变式3-1】（多选）如图所示，在水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量为的正点电荷，将另一质量为m的带正电的小球（可视为点电荷）放置在O点，恰构成一棱长为L的正四面体。已知静电力常量为k，重力加速度为g。为使小球能静止在O点，则关于小球所受电场力的合力方向和所带的电荷量，下列说法中正确的是（　　） A．所受电场力的合力方向竖直向上 B．所受电场力的合力方向竖直向下 C．电荷量为 D．电荷量为 【答案】AD 【详解】AB．对小球受力分析可知，小球重力与所受电场力的合力平衡，故电场力的合力方向竖直向上，A正确，B错误； C．A、B、C三个电荷对小球的库仑力大小相等，方向与竖直方向夹角均为，根据竖直方向的平衡可得 其中 由几何关系可得 联立解得 D正确。 故选AD。 【变式3-2】水平面上A、B、C、D为边长为L的正方形的四个顶点，四点固定着四个电荷量均为Q的正点电荷.O点到A、B、C、D的距离均为L.现将一质量为m的带正电的小球（可视为点电荷）放置在O点，如图所示，为使小球能静止在O点，小球所带的电荷量应为（已知静电力常量为k，重力加速度为g）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对小球进行受力分析，小球受重力和A、B、C、D处正点电荷施加的库仑力.由于正方形的边长为L，O点到正方向四个顶点的距离均为L，设小球所带电荷量为q，根据库仓定律可得正方形四个顶点处的点电荷对O处小球的库仑力大小均为，根据静电力的叠加和对称性可得正方形四个顶点处的点电荷对O处小球的库仑力的合力为： ，为A、B、C、D处点电荷对小球施加的库仑力的方向与竖直方向的夹角，由几何关系可知，小球在O点静止，根据平衡条件有，联立解得： ， 故C正确，ABD错误。 模型04.两电悬绳平衡问题 模型构建： + + )θ1 α β θ2( l1 l2 m1、q1 m2、q2 如图，比较m1和m2、q1和q2大小? (1)电荷间的库仑力是相互作用力，无论q1和q2大小关系如何，二者间的库仑力始终等值反向，所以q1和q2大小无法判断； 模型剖析：方法一、正弦定理法 对m1、m2受力分析，三力平衡可构成矢量三角形，根据正弦定理有， 对m1： [来源:学+科+网Z+X+X+K] + + )θ1 α β θ2( l1 l2 m1、q1 m2、q2 m1g m2g F F α β )θ1 θ2( 对m2： 对悬绳构成的三角形有： 联立解得m1gl1sinα=m2gl2sinβ 特殊情况：若l1=l2，α=β，则m1=m2。 方法二、力乘力臂法 + + α β l1 l2 m1、q1 m2、q2 m1g m2g α 以整体为研究对象，以悬点为转动轴，两根轻绳拉力的力臂均为零，根据转动平衡知:动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂，即m1g·l1sinα=m2g·l2sinβ。 方法三、重心法 + + α β l1 l2 m1、q1 m2、q2 重心 以整体为研究对象，整体受重力和两根轻绳的拉力，根据三力平衡必共点，因此整体的重心必过悬点正下方。所以有m1·l1sinα=m2·l2sinβ。 【例4】（24-25高一下·浙江金华·期末）如图所示，带电量分别为、的A、B小球，用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时，它们位于同一水平面上，相距，线与竖直方向的夹角分别为、，且，重力加速度为，静电力常数为。若同时剪断两根细线，空气阻力不计，两球带电量不变，则（　　） A． B．球的质量为 C．两球将同时落地 D．落地时，球的水平位移更大 【答案】C 【详解】A．虽然二者之间所受的库仑力相等，但是没法判断二者之间电荷量的关系，故A错误； B．对A、B两球进行受力分析，均受重力、细线的拉力和库仑斥力三个力的作用而处于平衡状态，对A球有 对B有 解得 由于，所以 且 解得 故B错误； C．二者在竖直方向上均只受重力，故在竖直方向上均做自由落体运动，运动时间相同，两球同时落地，故C正确； D．剪断细线后，在水平方向上，A、B组成的系统动量守恒，故任一时刻有 因 ，所以 ；又因时间相等，所以，故D错误。 故选C。 【变式4-1】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图所示，在定滑轮C的正下方固定一个带负电的小球A，另一带电小球B用绝缘细线拴着，细线跨过定滑轮，另一端用适当大小的力F拉住，使小球B处于静止状态。现拉动细线，使小球B缓慢地向定滑轮移近一小段距离，关于此过程，下列说法正确的是（　　） A．小球A对小球B的库仑力先减小后增大 B．细线对小球B的拉力可能先增大后减小 C．小球A与小球B之间的电势能不变 D．小球B所经位置的电势逐渐升高 【答案】C 【详解】A．对B进行受力分析，如图所示， 小球B缓慢移动，可认为一直处于平衡状态在B缓慢移动过程中，设B与A点的距离为R，根据三角形关系和矢量三角形相似可得，整个过程中满足 得B与点电荷间的距离不变，B受到的库仑力大小不变，故A错误； B．同理，根据三角形关系和矢量三角形相似可得 当L逐渐减小时，比值不变，F逐渐减小，故B错误； CD．B与点电荷间的距离不变，库仑力始终与位移方向垂直，不做功。小球A与小球B之间的电势能不变，小球B的电势不变，故C正确，D错误。 故选C。 【变式4-2】（24-25高一下·福建福州·期末）（多选）如图所示，质量为m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量也为q的小球B固定在O点正下方的绝缘柱上，其中O点与小球A的间距为l，O点与小球B的间距为，当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角。带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k。则（　　）。 A．A、B间库仑力大小 B．A、B间库仑力大小 C．细线拉力大小 D．细线拉力大小 【答案】AD 【详解】A．由余弦定理有 因此A、B间库仑力大小，故A正确； BCD．A的受力如图所示 几何三角形OAB与力三角形相似，由对应边成比例有 解得绳子拉力，，故BC错误，D正确。 故选AD。 1. （2025·湖南·高考真题）如图，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．A球静止时，轻绳上拉力为 B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为 C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球加速度大小为g D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小 【答案】C 【详解】AB．根据题意A球静止时，对A球受力分析，如图所示 由平行四边形定则及几何关系，轻绳上拉力为 A球与B球间的库仑力 故AB错误； C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球受到轻绳的拉力消失，其它两力保持不变，根据三力平衡知识，此时A球的合外力大小为，则加速度大小为g，故C正确； D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间B球受到的库仑力、重力不变，小球仍然处在静止状态，则轻杆对B球的作用力不变，故D错误。 故选C。 2. （2025·河北·高考真题）（多选）如图，真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B，带有等量同种电荷，电荷量为q，两者间距远大于小球直径，两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触，再跟B接触，移走C后，A和B之间的静电力大小仍为F，则的绝对值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】AD 【详解】C先跟A接触后，两者电荷量均变为，C再跟B接触后，两则电荷量均变为，此时AB之间静电力大小仍为，则有 解得或； 则的绝对值可能是1或者5。 故选AD。 3. （2025·安徽·高考真题）（多选）如图，两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内，空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球（均可视为质点）在轨道上同一高度保持静止，间距为L，甲、乙所带电荷量分别为q、，质量分别为m、，静电力常量为k，重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为、，匀强电场的电场强度大小为E，不计空气阻力，则（　　） A． B． C．若将甲、乙互换位置，二者仍能保持静止 D．若撤去甲，乙下滑至底端时的速度大小 【答案】ABD 【详解】AB．如图，对两球进行受力分析，设两球间的库仑力大小为F，倾角为，对甲球根据平衡条件有，① 对乙球有， 联立解得② 故 同时有 解得 故AB正确； C．若将甲、乙互换位置，若二者仍能保持静止，同理可得对甲有， 对乙有， 联立可得，无解 假设不成立，故C错误； D．若撤去甲，对乙球根据动能定理 根据前面分析由①②可知 联立解得 故D正确。 故选ABD。 【基础夯实】 1. （25-26高二下·四川宜宾·期末）如图所示，光滑绝缘圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知三个小球均处于静止状态，其中小球c位于圆环最高点，a、c连线与竖直方向成角，b、c连线与竖直方向成角。下列说法正确的是（     ） A．小球a、b、c带同号电荷 B．小球a、b带异号电荷 C．小球a、b电荷量之比为 D．小球a、b电荷量之比为 【答案】C 【详解】AB．对a，a受到重力、环的支持力以及b、c对a的库仑力，重力的方向在竖直方向上，环的支持力以及b对a的库仑力均沿圆环直径方向，故c对a的库仑力为引力，同理可知，c对b的库仑力也为引力，所以a与c的电性一定相反，与b的电性一定相同。即：a、b小球带同种电荷，b、c小球带异种电荷，故AB错误； CD．对c小球受力分析，将力沿水平方向和竖直方向正交分解后可得 又 解得，故D错误，C正确。 故选C。 2. （25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）（多选）在竖直平面内固定一半径为的金属细圆环，质量为的金属小球（视为质点）通过长为的绝缘细线悬挂在圆环的最高点。当圆环、小球都带有相同的电荷量（未知）时，发现小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，如图所示。已知静电力常量为。则下列说法中正确的是（     ） A．电荷量 B．电荷量 C．绳对小球的拉力 D．绳对小球的拉力 【答案】AC 【详解】AB．根据题意分析可知，圆环、小球都带有相同的电荷量，取圆环顶端长为的一小段，其带电量为 对金属球的库仑力为 同理，圆环最底端长为d的一小段，对金属球的库仑力也为，且两力的竖直分力平衡，设绳子与竖直方向夹角为，则在水平方向的分力为： 故整个圆环对小球的合力方向水平向右，大小为 小球受重力、拉力和电场力而平衡，由相似三角形关系可得 解得，故A正确，B错误； CD．根据题意分析可知，小球受重力、拉力和电场力而平衡，由相似三角形关系可得 解得，故C正确，D错误。 故选AC。 3. （25-26高一下·浙江金华·阶段检测）如图所示，水平面上放置一个绝缘支杆，支杆上的带电小球A位于光滑小定滑轮O的正下方，绝缘细线绕过定滑轮与带电小球B相连，在拉力F的作用下，小球B静止，此时两球处于同一水平线。假设两球的电荷量均不变，现缓慢拉动细线，使B球移动一小段距离，支杆始终静止。在此过程中以下说法不正确的是（     ） A．细线上的拉力一直减小 B．B球受到的库仑力先减小后增大 C．B球的运动轨迹是一段圆弧 D．支杆受到地面向右的摩擦力逐渐减小 【答案】B 【详解】ABC．如图所示，设A、B间的距离为r，O、A间的距离为h，O、B间距离为l，B球重力为mg，A、B之间的库仑力大小为 根据力的矢量三角形与距离的几何三角形相似可得 解得， 现缓慢拉动细线，使B球移动一小段距离，支杆始终静止，且两球的电荷量均不变，则l减小，h不变，所以F减小，即细线上的拉力一直减小；r不变，即B球的运动轨迹是一段圆弧，并且B球受到的库仑力大小不变，故AC说法正确，B说法错误； D．根据平衡条件可知，支杆受到的地面的摩擦力与B对A的库仑力的水平分量大小相等、方向相反，而B对A的库仑力大小不变，方向由水平向左变为斜向左下，所以水平分量变小，即支杆受到地面向右的摩擦力逐渐减小，故D说法正确。 故选B。 4. （25-26高一下·河南新乡·阶段检测）（多选）如图所示，光滑绝缘水平面上固定两个带正电的小球A、B，且小球A电荷量大于小球B电荷量。将一带负电的绝缘小球C放置在A、B连线之间，小球C保持静止。下列说法正确的是（     ） A．静止时，小球C到A的距离大于小球C到B的距离 B．仅增大小球C的电荷量，C静止的位置不变 C．仅小幅增大A的电荷量，小球C将向B侧移动 D．仅将A、B两球电荷量同时增加两倍，C静止的位置一定向左偏移 【答案】AB 【详解】A．带负电的小球C静止，受力平衡，即A、B对C的库仑力大小相等，列出平衡方程为 得 其中为C到A的距离，为C到B的距离。已知，则，故A正确； B．平衡方程中C的电荷量 被约去，即平衡位置与无关，因此仅增大C的电荷量，C静止的位置不变，故B正确； C．仅小幅增大A的电荷量，则A对C的吸引力增大，大于B对C的吸引力，小球C将向A侧移动，故C错误； D．仅将A、B两球电荷量同时增加两倍，即A、B两球电荷量同时变为原来的三倍，仍然满足平衡方程，故C静止的位置不变，故D错误。 故选AB。 5. （25-26高一下·浙江·阶段检测）如图所示，水平桌面上固定一半径为R的半球形光滑绝缘碗，球心为O。有两个完全相同可视为点电荷的带电金属球甲、乙，电荷量分别为3q和q（q＞0）。甲固定于碗内壁A点，将乙放于碗内壁B点时，它恰好能处于静止状态。已知A、O、B三点位于同一个竖直平面内，O、B在同一水平面上，，静电力常量为k，重力加速度为g。下列说法正确的是（     ） A．两球之间的库仑力大小为 B．乙球的质量为 C．碗对乙球的支持力为 D．若用绝缘镊子将乙与甲充分接触后，再置于B点，乙球依然能静止 【答案】B 【详解】A．几何关系可知，两球之间的库仑力大小为，故A错误； BC．对乙球，根据平衡条件有 联立解得，故B正确，C错误； D．两球充分接触后带电量平分，导致两球间的库仑力发生了变化，乙球不能在B点处于静止状态，故D错误。 故选B。 6. （25-26高一下·重庆渝中·期中）有A、B、C三个完全相同的金属小球，最开始只有A球带电，现将三个小球按图a放在绝缘水平面上靠在一起，然后将它们分开放在一个四周绝缘且光滑的容器中，结果三个小球恰好能静止在一个边长为d的、处在竖直平面的一个等边三角形的三个顶点（如图b所示），已知每个小球质量为m，静电力常量为k，重力加速度为g，每个小球都可以看成点电荷。问： (1)A球最开始带电量大小； (2)容器底对B球弹力大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设A球最开始带电量大小为Q，三个小球接触后，每个小球带电量为 对A球，竖直方向由平衡条件可得 解得 （2）对 B 球，由平衡条件可得 解得 7. （2026·湖北襄阳·三模）如图所示，光滑绝缘圆形轨道水平放置在光滑绝缘桌面上，为圆心，、连线过点，，，在点固定正点电荷，点固定正点电荷，带正电的小球静止于轨道内侧点（、两点均位于圆内，且、、三点不共线），已知。下列说法正确的是（     ） A．与的电荷量大小之比为 B．点的电场强度方向垂直于向左 C．将小球的电荷量加倍后，它仍能静止在点 D．、连线上点电场强度最大 【答案】C 【详解】对小球P受力分析可知，因AB两点的点电荷对小球的斥力分别沿AP和BP方向，小球P受轨道的弹力指向圆心， A．小球静止，合力为零，如图所示，因为，根据角平分线特征可知OP平分，则，则两正点电荷对P点的小球的电场力大小相等，即，解得，A错误； B．由上述分析可知，P点的电场方向沿OP方向，B错误； C．小球电荷量加倍，仍满足，小球仍能静止在P点，C正确； D．A、B连线上O点场强为，则O点场强最小，D错误。 故选C。 【培优拔高】 8. （2026·山东·模拟预测）（多选）如图所示，在倾角为的光滑绝缘斜面底端固定一个挡板，在挡板上连接一根与斜面平行的劲度系数为的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与小物块C相连接。A、B、C三个小物块的质量均为，三个小物块均带电且，当系统处于静止状态时，三个小物块等间距排列。已知静电力常量为，重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A． B．弹簧压缩量为 C．相邻两物块间距为 D．物块B受到的库仑力大小为 【答案】BC 【详解】AC．设三个物块间距为，根据平衡条件可知物块A应带正电，有 对物块B受力分析，根据平衡条件有 两式联立可解得，，故A错误，C正确； B．将A、B、C三个物块作为整体进行受力分析，根据平衡条件有 解得弹簧压缩量，故B正确； D．对物块B受力分析，根据平衡条件有 解得物块B受到的库仑力合力为，故D错误。 故选BC。 9. （25-26高一下·江苏淮安·期中）如图所示，在倾角为的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A球质量为，B球质量为，且均带电，其中A球带电荷量，系统处于静止状态。已知静电力常量，重力加速度。 (1)若已知两球间距为，求B球所带电荷量大小； (2)求弹簧伸长量 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据平衡可知，对B球 解得 （2）对AB整体分析： 解得 10. （25-26高二下·河南平顶山·期中）如图所示，在天花板上点通过两根长度分别为、的细绳悬挂两个带电小球P、Q，静止时两根细绳与竖直方向之间的夹角分别为和，已知，，则P、Q质量之比为（　　） A．3∶2 B．2∶3 C．9∶4 D．∶4∶9 【答案】A 【详解】将两个小球视为整体，以悬挂点O为转轴，整体静止，合力矩为零：绳子拉力作用点在O，力矩为零；两球之间的库仑力是内力，一对相互作用力的总力矩为零，因此只有两个重力的力矩平衡，则有 解得 故选A。 11. （25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）如图所示，固定在竖直面内半径为R的光滑绝缘半圆形轨道内部有A、B两带电小球，质量均为m，A球锁定在轨道最低点，B球可沿轨道滑动。初始时，A、B两球间距为R，由于缓慢漏电，B球逐渐下滑靠近A球，两球可视为质点，重力加速度为g，以下说法正确的是（　　） A．初始时，A、B两球间的库仑力大小为 B．初始时，B球对轨道的压力大小为2mg C．漏电过程中，B球受轨道的支持力逐渐变大 D．漏电过程中，A、B两球间的库仑力逐渐变小 【答案】D 【详解】对球进行受力分析，球受重力、轨道支持力和库仑力作用处于平衡状态。 由几何关系和力的平衡条件可知，力矢量三角形与几何三角形相似。对应边成比例，即 已知 设 则有 A．初始时，代入比例式可得 ，故A错误； B．初始时 根据牛顿第三定律，球对轨道的压力大小为，故B错误； C．漏电过程中，球缓慢下滑，始终处于平衡状态，由可知支持力大小保持不变，故C错误； D．漏电过程中，球靠近球，间距逐渐减小，由 可知库仑力逐渐变小，故D正确。 故选D。 12. （24-25高一下·江苏南京·期中）如图所示，倾角为37°的光滑绝缘斜面体固定在水平面上，带电量为q的负点电荷A固定在斜面底端，质量为m的带电小球B在斜面上离点电荷A距离为L的M点由静止释放，释放的瞬间，小球B的加速度大小为a=0.5g，小球B向下运动到N点时，速度达到最大值。已知重力加速度为g，静电力常量为k，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： (1)小球B所带电的电性； (2)小球B所带电量qB=？ (3)A、N之间的距离d=？ 【答案】(1)带负电 (2) (3) 【详解】（1）由于小球B向下运动到N点时，速度达到最大值，说明此时电场力与重力沿斜面向下的分力平衡，A带负电，则小球B也带负电。 （2）释放的瞬间，小球B的加速度大小为a=0.5g, 根据牛顿第二定律可得 解得 （3）小球B向下运动到N点时，速度达到最大值，根据平衡条件可得 解得 13. （25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）如图，距离为的、两点连线水平，是的竖直中垂线，带电量为的正点电荷固定在点，另一点电荷固定在点，质量为的带电小球恰好静止在上的点，与间的夹角为30°，重力加速度大小为，静电力常量为，则（　　） A．固定在点的电荷带电量为 B．固定在点的电荷可能带负电 C．带电小球的带电量为 D．将带电小球沿向上移动一段距离后释放小球可能静止 【答案】D 【详解】AB．小球静止，处于平衡状态，重力竖直向下，因此两个点电荷对小球的库仑力合力必须竖直向上。由对称性可知，固定在点的电荷与固定在点的电荷 同性质，点的电荷一定带正电，设固定在、点的电荷对小球的静电力分别为和，小球静止，水平方向受力平衡有 可得 又因为 由库仑定律 可得，AB错误； C．由几何关系有 与夹角为，可得 小球静止，竖直方向受力平衡，两个库仑力的竖直分量之和等于重力，即 可得 代入库仑定律有 解得，C错误； D．设MN上某点距O点高度为，该点处库仑力的合力为 对函数分析单调性，求导可知，在时递增，时递减，即先增后减，存在最大值。因此方程有两个解， 一个是原平衡位置，另一个解在原c点上方存在另一个平衡位置，因此将小球向上移动到该位置释放，小球可以静止，D正确。 故选D。 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $