第3讲 点电荷及电场的叠加问题模型（模型与方法）物理人教版必修第三册

本高中物理讲义聚焦点电荷及电场叠加问题核心知识点，以点电荷模型为基础，通过对比等量同种与异种电荷的电场线分布、场强大小变化及对称点场强特点，构建电场叠加的分析框架，为解决粒子运动、静电平衡等复杂问题提供学习支架。 资料以“模型破解-真题演练-分层练测”为主线，通过模型建构（如电偶极子匀速圆周运动模型）和科学推理（如电场叠加的对称法、填补法）培养科学思维，结合真题及变式题提升实战能力。课中辅助教师系统授课，课后助力学生分层巩固，精准查漏补缺。

第3讲 点电荷及电场的叠加问题模型 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型1　点电荷 等量同种（异种）电荷 模型2　电场叠加问题 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.点电荷 等量同种（异种）电荷 模型构建：点电荷的 “等量同种电荷” 与 “等量异种电荷” 模型是静电场中的核心基础模型，其电场分布、电势规律及受力特点具有典型性，是解决静电场问题（如粒子运动、电场能量、静电平衡）的关键框架 模型剖析： 一、等量异种点电荷与等量同种点电荷的电场线比较 等量异种点电荷 等量同种(正)点电荷 电场线 分布图 连线上电场强度大小 O点最小，从O点沿连线向两边逐渐变大 O点为零，从O点沿连线向两边逐渐变大 中垂线上电场强度大小 O点最大，从O点沿中垂线向两边逐渐变小 O点为零，从O点沿中垂线向两边先变大后变小 场强最大点B的连线和连线的夹角的正切值 关于O点对称的点A与A′、B与B′的电场强度 等大同向 等大反向 二、电偶极子系统（距离远大于间距）中的匀速圆周运动 1.带电粒子在等量异号电荷的电场中某点P引入负电荷q，其受到负点电荷的库仑斥力和正点电荷的库仑引力，若满足 且 则给负电荷q一合适的垂直纸面方向的初速度，它就可以以O为圆心、以OP为半径在垂直于纸面的平面内做匀速圆周运动。 2.如图所示，竖直平面内有两个固定的点电荷，电荷量均为＋Q，与其连线中点O的距离均为h，质量为m、电荷量为－q的试探电荷以O为圆心垂直两固定的点电荷的连线做匀速圆周运动，圆周上的两点A、B与O在同一直线上，A、B两点各自和两个正点电荷连线与AB连线的夹角均为θ＝30°，已知静电力常量为k，重力忽略不计， 以试探电荷为研究对象，其做匀速圆周运动，两正点电荷对其静电力的合力提供向心力，做匀速圆周运动所需的向心力大小为 由 可得负点电荷做匀速圆周运动的角速度 【例1】（2026·甘肃张掖·一模）（多选）边长为L的正方体顶点A固定一个电荷量为的正点电荷，顶点B处固定一个电荷量为的负点电荷，下列说法正确的是（    ） A．D点的场强和G点的场强等大同向 B．D点的场强和G点的场强等大反向 C．在顶点F处放置一电子，同时施加一场强大小为的匀强电场可能使电子保持静止 D．在顶点F处放置一电子，同时施加一场强大小为的匀强电场可能使电子保持静止 【变式1-1】（2025·四川成都·模拟预测）如图所示，等量异种点电荷 A、B 固定在光滑绝缘水平面上，一个带电小球（可视为点电 荷）在两点电荷连线上从靠近负点电荷的 P 点由静止释放，小球沿着两点电荷的连线向正点电荷运动的过程中，下列说法正确的是 （    ） A．小球带正电 B．小球向右运动的加速度先变小后变大 C．小球向右运动的速度先变大后变小 D．小球向右运动的速度先变小后变大 【变式1-2】（2025·山东青岛·模拟预测）如图所示，水平面内的等边三角形BCD的边长为L，顶点C恰好位于光滑绝缘直轨道AC的最低点，A点到B、D两点的距离均为L，A点在BD边上的竖直投影点为O。y轴上B、D两点固定两个等量的正点电荷，在轴两电荷连线的中垂线上必定有两个场强最强的点，这两个点关于原点O对称。在A点将质量为m、电荷量为的小球套在轨道AC上忽略它对原电场的影响将小球由静止释放，已知静电力常量为k，重力加速度为g，且，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．图中的A点和C点的场强相同 B．轨道上A点的电场强度大小为 C．小球刚到达C点时的加速度为 D．小球刚到达C点时的动能为 模型02.电场叠加问题 模型构建： 电场强度是矢量，叠加遵循平行四边形定则 / 正交分解； 电势是标量，叠加直接代数求和（无穷远； 点电荷场强公式：，方向：正电荷向外，负电荷向内。 模型剖析：1. 基础规律：点电荷电场强度公式 任意点电荷在空间某点产生的电场强度，是叠加问题的 “基本单元”，其计算公式为： 公式中：（静电力常量），Q 为场源电荷的电荷量（正电荷取正，负电荷取负，直接反映电场方向），r 为该点到场源电荷的距离。 方向判断：正电荷产生的电场，方向沿 “场源电荷→该点”（背离正电荷）；负电荷产生的电场，方向沿 “该点→场源电荷”（指向负电荷）。 2. 叠加规则：矢量合成法则 多个点电荷在某点产生的合场强，需对每个点电荷的分场强进行矢量合成 具体遵循： 同一直线叠加：若分场强方向共线，取某一方向为正方向，用 “代数加减” 计算合场强（方向与正方向相同则为正，相反则为负）。 非共线叠加：若分场强方向不共线（如夹角为θ，需用平行四边形定则（或三角形定则）合成，可通过 “正交分解法” 将分场强分解到 x、y轴，再分别求轴上合场强，最终用勾股定理求总合场强大小与方向。 3.求解非点电荷带电体的电场强度的“四种巧法” 对称法 利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化 填补法 将有缺口的带电圆环补为完整圆环，或将半球面补为完整球面，然后再应用对称的特点进行分析，有时还要用到微元思想 微元法 将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先根据点电荷电场强度公式求出每个电荷元的电场强度，再结合对称性和电场强度叠加原理求出合电场强度 带点圆环 等效法 在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景 等效于 【例2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图所示，半径为2r的均匀带电球体电荷量为Q，过球心O的x轴上有一点P，已知P到O点的距离为3r，现若挖去图中半径均为r的两个小球，且剩余部分的电荷分布不变，静电力常量为k，则下列分析中正确的是（　　） A．挖去两小球前，两个小球在P点产生的电场强度相同 B．挖去两小球前，整个大球在P点产生的电场强度大小为 C．挖去两小球后，P点电场强度方向与挖去前相同 D．挖去两小球后，剩余部分在P点产生的电场强度大小为 【变式2-1】（2025·山东·模拟预测）如图所示，半径为的水平固定绝缘圆环上均匀分布着正电荷，点为圆环的圆心，点位于点正上方处。若从圆环上的点处取走长为的小圆弧，剩余电荷分布不变，则剩余电荷在点产生电场的电场强度与竖直向上方向夹角的正切值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·山东·二模）三维坐标系yOz平面内有一圆心在坐标原点、半径为d的均匀带电细圆环，y轴上y=位置有一带电量为＋q的点电荷，x轴上的P点到圆心O的距离也为。若P点场强沿y轴负方向，则关于带电圆环说法正确的是（　　） A．带正电，电量为 B．带负电，电量为 C．带正电，电量为 D．带负电，电量为 1. （2025·湖北·高考真题）（多选）如图所示，在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形，顶点到O点的距离为R。在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷，且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k，则O点处的电场强度（   ） （　　） A．方向沿x轴负方向 B．方向与x轴负方向成夹角斜向下 C．大小为 D．大小为 2. （2024·贵州·高考真题）如图，A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上，直径与弦间的夹角为。A、B两点分别放有电荷量大小为的点电荷时，C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，则等于（　　）    A． B． C． D．2 3. （2024·河北·高考真题）如图，真空中有两个电荷量均为的点电荷，分别固定在正三角形的顶点B、C．M为三角形的中心，沿的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为．已知正三角形的边长为a,M点的电场强度为0，静电力常量的k．顶点A处的电场强度大小为（    ） A． B． C． D． 【基础夯实】 4. （25-26高一下·浙江温州·期末）（多选）如图所示，在水平面内有一正方形abcd，各顶点到中心O的距离均为R。各顶点均固定正点电荷，其中a、b、c点的电荷量为q，d点的电荷量为2q，静电力常量为k，则O点处的电场强度（     ） A．方向沿Ob方向 B．大小为 C．方向沿Od方向 D．大小为 5. （25-26高一下·山东德州·阶段检测）用电场线能很直观、很方便地比较电场中各点场强的大小。如图甲是等量异种点电荷形成的电场的电场线，图乙是场中的一些点：是电荷连线的中点，、是连线中垂线上相对对称的两点，、和、也相对对称。则（     ） A．图中左侧点电荷带负电，右侧点电荷带正电 B．B、C两点场强大小和方向都相同 C．A、D两点场强大小相等，方向相反 D．E、O、F三点比较，O点场强最小 6. （25-26高一下·江西抚州·阶段检测）（多选）如图所示，、是电荷量相等的两个点电荷，为、连线的中点，、是、连线延长线上的两点，、是、中垂线上的两点，与关于点对称，与关于点对称。则（     ） A．若、为同种电荷，则与点电场强度相同，与点电场强度相同 B．若、为同种电荷，则与点电场强度不同，与点电场强度不同 C．若、为异种电荷，则与点电场强度相同，与点电场强度相同 D．若、为异种电荷，则与点电场强度不同，与点电场强度不同 7. （2026·陕西·模拟预测）点电荷和无限大接地金属平板之间的电场分布与等量异种点电荷连线的中垂面间的电场分布完全相同。如图所示，电荷量为的点电荷到接地的无限大金属板距离为，已知静电力常量为，则金属板上距点电荷处的点处的电场强度为（　　） A． B． C． D． 8. （25-26高二上·云南大理·期末）反天刀鱼是生活在尼罗河的一种鱼类，沿着它身体的长度方向分布着电器官，这些器官能在鱼周围产生类似于等量异种点电荷形成的电场，其电场线分布如图所示，、、为电场中的三个点，下列说法正确的是（　　） A．鱼的头部带负电，尾部带正电 B．点的电场强度小于点的电场强度 C．点的电势高于点的电势 D．把一个带负电的试探电荷从点移动到点，电场力做负功 9. （25-26高二上·福建漳州·期末）（多选）如图甲，真空中固定两点电荷P、Q，O为PQ连线的中点，MN为PQ连线的中垂线。一试探电荷从中垂线上C点静止释放，仅在电场力作用下沿MN做直线运动，其速度v随时间t变化的图像如图乙所示，该图像关于虚线对称，则（　　） A．P、Q为等量异种电荷 B．t1时刻，试探电荷通过O点 C．t2时刻，试探电荷回到C点 D．从C到O，电场强度先增大后减小 10. （25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）如图所示，在坐标轴x上固定两个等量同种正点电荷qa、qb，其坐标分别是（﹣x0，0）和（x0，0），关于这两个点电荷在xOy平面内各点产生的电场，下列说法不正确的是（　　） A．原点O处的电场强度一定为0 B．对于x轴上任意一点，一定存在另一个点的电场强度与该点等大同向 C．在y轴正半轴上一点由静止释放一个带正电的粒子，只在静电力作用下运动，一定是速度不断增大、加速度不断减小 D．如果增大，使得，但仍然都带正电，y轴上各点的电场方向都偏向右侧 11. （2026·贵州黔东南·模拟预测）真空中两点电荷、形成的电场的部分电场线如图所示，点为、连线的中点，电场线关于过点且垂直连线的虚线对称。下列说法正确的是（　　） A．、带等量的正电荷 B．带等量的负电荷 C．带不等量的正电荷 D．带不等量的负电荷 12. （25-26高三下·河南开封·阶段检测）如图所示，光滑绝缘圆形轨道水平放置在光滑绝缘桌面上，O为圆心，A、B连线过O点，，，在A点固定正点电荷，B点固定正点电荷，带正电的小球静止于轨道内侧P点（A、B两点均位于圆内，且A、B、P三点不共线），已知。下列说法正确的是（    ） A．与的电荷量大小之比为 B．P点的电场强度方向垂直于AB向左 C．将小球的电荷量加倍后，它仍能静止在P点 D．A、B连线上O点电场强度最大 13. （25-26高二上·安徽宣城·期末）如图所示，某空间内存在等量同种电荷形成的电场，O处为两电荷连线的中点，现将一试探电荷以一定的初速度从某一位置射入电场中，不考虑重力及试探电荷对原电场分布的影响，以下说法正确的是（    ） A．带负电的试探电荷可能在电场中做匀变速直线运动 B．带正电的试探电荷可能在电场中做匀变速曲线运动 C．带负电的试探电荷可能在电场中做匀速圆周运动 D．带正电的试探电荷可能在电场中做圆周运动 【培优拔高】 14. （25-26高二上·云南昆明·期中）（多选）如图所示，水平面上有一均匀带电圆环，所带电荷量为＋Q，其圆心为O点。有一电荷量为＋q、质量为m的小球恰能静止在O点上方的P点，O、P间距为L。P与圆环上任一点的连线与PO间的夹角都为，重力加速度为g，以下说法正确的是（　　） A．P点场强方向竖直向上 B．P点场强大小为 C．P点场强大小为k D．P点场强大小为k 15. （25-26高一下·江苏常州·期中）两个半径为的半球壳球面上分别均匀分布着电荷量为的正电荷，两半球壳球心分别位于和处，如图所示。现测得处的电场强度大小为，方向沿轴负向。已知静电力常量为，则左半球壳在处的电场强度大小为（    ） A． B． C． D． 16. （24-25高二上·安徽蚌埠·期中）已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B的距离为R、B和A间的距离为R。现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为，则（　　） A． B． C． D． 17. （24-25高二上·重庆铜梁·阶段检测）如图所示，有一个均匀带负电的绝缘细圆环，半径为，总带电量为。点A、B、C将圆环三等分，现在移除A、B两处各一小段长度为的圆弧。的延长线交圆环于点，静电力常量为。关于圆心O点的电场强度，下列说法正确的是（　　） A．O点的电场强度方向沿OD方向 B．O点的电场强度大小为零 C．O点的电场强度大小与的大小无关 D．O点的电场强度大小与的大小成正比 18. （24-25高二上·辽宁朝阳·阶段检测）如图所示，一带正电绝缘球体（球心为）半径为，所带电荷量为且均匀分布，现将其中半径为与相切的小球体（球心为）部分的电荷量变为等量负电（球其他部分电荷量分布情况不变），静电力常量为，则在连线上，与距离为的点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 19. （25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）一半径为R的绝缘球壳上均匀地带有电荷量为的电荷，另一电荷量为的点电荷放在球心O上。由于对称性，点电荷受力为零。现在球壳上挖去半径为（）的一个很小的圆孔，则此时置于球心处的点电荷（     ） A．受力大小为零 B．受力大小为，方向由圆孔指向球心 C．受力大小为，方向由圆孔指向球心 D．受力大小为，方向由球心指向圆孔 20. （25-26高一下·河北邯郸·阶段检测）如图所示，真空中a、b、c、d四点共线且等距，a、b、c、d连线水平。先在a点固定一点电荷+Q，测得b点场强大小为E。若再将另一点电荷+2Q放在d点，则（     ） A．b点场强大小为，方向水平向左 B．b点场强大小为，方向水平向右 C．C 点场强大小为9 E，方向水平向右 D．C 点场强大小为9 E，方向水平向左 21. 如图所示，是边长为的正方体一顶点，与等间距的另外三个顶点上分别固定电荷量为的点电荷，则点场强大小为（     ） A． B． C． D． 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 点电荷及电场的叠加问题模型 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型1　点电荷 等量同种（异种）电荷 模型2　电场叠加问题 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.点电荷 等量同种（异种）电荷 模型构建：点电荷的 “等量同种电荷” 与 “等量异种电荷” 模型是静电场中的核心基础模型，其电场分布、电势规律及受力特点具有典型性，是解决静电场问题（如粒子运动、电场能量、静电平衡）的关键框架 模型剖析： 一、等量异种点电荷与等量同种点电荷的电场线比较 等量异种点电荷 等量同种(正)点电荷 电场线 分布图 连线上电场强度大小 O点最小，从O点沿连线向两边逐渐变大 O点为零，从O点沿连线向两边逐渐变大 中垂线上电场强度大小 O点最大，从O点沿中垂线向两边逐渐变小 O点为零，从O点沿中垂线向两边先变大后变小 场强最大点B的连线和连线的夹角的正切值 关于O点对称的点A与A′、B与B′的电场强度 等大同向 等大反向 二、电偶极子系统（距离远大于间距）中的匀速圆周运动 1.带电粒子在等量异号电荷的电场中某点P引入负电荷q，其受到负点电荷的库仑斥力和正点电荷的库仑引力，若满足 且 则给负电荷q一合适的垂直纸面方向的初速度，它就可以以O为圆心、以OP为半径在垂直于纸面的平面内做匀速圆周运动。 2.如图所示，竖直平面内有两个固定的点电荷，电荷量均为＋Q，与其连线中点O的距离均为h，质量为m、电荷量为－q的试探电荷以O为圆心垂直两固定的点电荷的连线做匀速圆周运动，圆周上的两点A、B与O在同一直线上，A、B两点各自和两个正点电荷连线与AB连线的夹角均为θ＝30°，已知静电力常量为k，重力忽略不计， 以试探电荷为研究对象，其做匀速圆周运动，两正点电荷对其静电力的合力提供向心力，做匀速圆周运动所需的向心力大小为 由 可得负点电荷做匀速圆周运动的角速度 【例1】（2026·甘肃张掖·一模）（多选）边长为L的正方体顶点A固定一个电荷量为的正点电荷，顶点B处固定一个电荷量为的负点电荷，下列说法正确的是（    ） A．D点的场强和G点的场强等大同向 B．D点的场强和G点的场强等大反向 C．在顶点F处放置一电子，同时施加一场强大小为的匀强电场可能使电子保持静止 D．在顶点F处放置一电子，同时施加一场强大小为的匀强电场可能使电子保持静止 【答案】AC 【详解】AB．在平面中，根据等量异种电荷的电场分布可知，D点的场强和G点的场强等大同向，故A正确，B错误； CD．A点点电荷在顶点F处的电场强度大小为 方向由A指向F；点点电荷在顶点F处的电场强度大小为 方向由F指向B，则A、B两点电荷在顶点F处的合电场为 为使电子保持静止，则顶点F处的合电场为0，即需施加一场强与等大反向的匀强电场，即施加电场的大小为，故C正确，D错误。 故选AC。 【变式1-1】（2025·四川成都·模拟预测）如图所示，等量异种点电荷 A、B 固定在光滑绝缘水平面上，一个带电小球（可视为点电 荷）在两点电荷连线上从靠近负点电荷的 P 点由静止释放，小球沿着两点电荷的连线向正点电荷运动的过程中，下列说法正确的是 （    ） A．小球带正电 B．小球向右运动的加速度先变小后变大 C．小球向右运动的速度先变大后变小 D．小球向右运动的速度先变小后变大 【答案】B 【详解】A．等量异种电荷连线上的场强方向指向负电荷，静止释放的小球向正电荷运动，受到指向正电荷的电场力，故小球带负电，A错误； B．根据等量异种电荷电场分布特点可知，连线上的场强先减小后增大，故小球受到的电场力先减小后增大，加速度先减小后增大，B正确； CD．小球在靠近正电荷的过程中，所受的电场力的方向始终指向正电荷，电场力对小球做正功，小球的速度增大，C错误，D错误。 故选B。 【变式1-2】（2025·山东青岛·模拟预测）如图所示，水平面内的等边三角形BCD的边长为L，顶点C恰好位于光滑绝缘直轨道AC的最低点，A点到B、D两点的距离均为L，A点在BD边上的竖直投影点为O。y轴上B、D两点固定两个等量的正点电荷，在轴两电荷连线的中垂线上必定有两个场强最强的点，这两个点关于原点O对称。在A点将质量为m、电荷量为的小球套在轨道AC上忽略它对原电场的影响将小球由静止释放，已知静电力常量为k，重力加速度为g，且，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．图中的A点和C点的场强相同 B．轨道上A点的电场强度大小为 C．小球刚到达C点时的加速度为 D．小球刚到达C点时的动能为 【答案】B 【详解】A．由几何可知： 如图1所示 P为z轴上一点，PD连线与z轴的夹角为，根据等量同种电荷的电场分布可知P点的电场强度方向竖直向上，大小为 解得 由不等式可得时，电场强度最大 此时 由此可知，z轴上距离O为处的两点电场强度最大，A错误； B．由几何关系，轨道上A点的电场强度大小为 B正确； C．由几何关系有 根据 由对称性可知，A、C两点的电场强度大小相等，因此，C点的电场强度方向沿x轴正方向，电场强度大小表示为 小球在C点时的受力情况，如图2所示 小球在C点受到的电场力为 沿杆方向的合力为 解得 由此可知小球刚到达C点时的加速度为0，C错误； D．根据等量同种点电荷的电场分布和对称关系可知，A、C两点电势相等，电荷从A到C的过程中电场力做功为零，根据动能定理可得 解得，D错误。 故选B。 模型02.电场叠加问题 模型构建： 电场强度是矢量，叠加遵循平行四边形定则 / 正交分解； 电势是标量，叠加直接代数求和（无穷远； 点电荷场强公式：，方向：正电荷向外，负电荷向内。 模型剖析：1. 基础规律：点电荷电场强度公式 任意点电荷在空间某点产生的电场强度，是叠加问题的 “基本单元”，其计算公式为： 公式中：（静电力常量），Q 为场源电荷的电荷量（正电荷取正，负电荷取负，直接反映电场方向），r 为该点到场源电荷的距离。 方向判断：正电荷产生的电场，方向沿 “场源电荷→该点”（背离正电荷）；负电荷产生的电场，方向沿 “该点→场源电荷”（指向负电荷）。 2. 叠加规则：矢量合成法则 多个点电荷在某点产生的合场强，需对每个点电荷的分场强进行矢量合成 具体遵循： 同一直线叠加：若分场强方向共线，取某一方向为正方向，用 “代数加减” 计算合场强（方向与正方向相同则为正，相反则为负）。 非共线叠加：若分场强方向不共线（如夹角为θ，需用平行四边形定则（或三角形定则）合成，可通过 “正交分解法” 将分场强分解到 x、y轴，再分别求轴上合场强，最终用勾股定理求总合场强大小与方向。 3.求解非点电荷带电体的电场强度的“四种巧法” 对称法 利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化 填补法 将有缺口的带电圆环补为完整圆环，或将半球面补为完整球面，然后再应用对称的特点进行分析，有时还要用到微元思想 微元法 将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先根据点电荷电场强度公式求出每个电荷元的电场强度，再结合对称性和电场强度叠加原理求出合电场强度 带点圆环 等效法 在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景 等效于 【例2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图所示，半径为2r的均匀带电球体电荷量为Q，过球心O的x轴上有一点P，已知P到O点的距离为3r，现若挖去图中半径均为r的两个小球，且剩余部分的电荷分布不变，静电力常量为k，则下列分析中正确的是（　　） A．挖去两小球前，两个小球在P点产生的电场强度相同 B．挖去两小球前，整个大球在P点产生的电场强度大小为 C．挖去两小球后，P点电场强度方向与挖去前相同 D．挖去两小球后，剩余部分在P点产生的电场强度大小为 【答案】C 【详解】A．大球半径为，体积 每个小球半径为，体积 电荷均匀分布，因此单个小球电荷量 电场强度是矢量，两个小球关于轴对称，它们在P点的场强分量方向相反，方向不同，因此电场强度不同，故A错误； B．P到大球球心O的距离为，P在大球外部，大球在P点的场强，故B错误； C．挖去前，大球在P点的场强方向沿轴正方向。挖去后，两个小球关于轴对称，它们在P点的场强分量相互抵消，合场强只剩分量，方向仍沿轴，和挖去前方向相同，故C正确； D．单个小球球心到P的距离 单个小球在P点场强大小 其分量 两个小球合场强的分量 原大球场强 因此剩余场强，故D错误。 故选C。 【变式2-1】（2025·山东·模拟预测）如图所示，半径为的水平固定绝缘圆环上均匀分布着正电荷，点为圆环的圆心，点位于点正上方处。若从圆环上的点处取走长为的小圆弧，剩余电荷分布不变，则剩余电荷在点产生电场的电场强度与竖直向上方向夹角的正切值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由几何关系可知，与的夹角满足 解得 设整个圆环的电荷量为Q，每一段长为小圆弧的电荷量为，由于圆环上的电荷均匀分布，可知，每一段长为小圆弧在M处产生的电场强度沿方向的分量为 被取走的A处弧长为的小圆弧在M处产生的电场强度沿垂直OM方向的分量为 故可知当从圆环上的点处取走长为的小圆弧，剩余电荷场强沿OM方向的分量为 沿垂直OM方向的分量与等大反向，故剩余电荷在点产生电场的电场强度与竖直向上方向夹角的正切值为 故选C。 【变式2-2】（2025·山东·二模）三维坐标系yOz平面内有一圆心在坐标原点、半径为d的均匀带电细圆环，y轴上y=位置有一带电量为＋q的点电荷，x轴上的P点到圆心O的距离也为。若P点场强沿y轴负方向，则关于带电圆环说法正确的是（　　） A．带正电，电量为 B．带负电，电量为 C．带正电，电量为 D．带负电，电量为 【答案】B 【详解】+q在P点的场强为 方向与x轴夹角为45°斜向右下，圆环在P点的场强沿水平方向，因P点场强沿y轴负方向，可知圆环在P点的场强与点电荷+q在P点在x方向的场强的分量等大反向，可知圆环在P点的场强方向沿x轴负向，可知圆环带负电；圆环在P点的场强 解得 故选B。 1. （2025·湖北·高考真题）（多选）如图所示，在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形，顶点到O点的距离为R。在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷，且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k，则O点处的电场强度（   ） （　　） A．方向沿x轴负方向 B．方向与x轴负方向成夹角斜向下 C．大小为 D．大小为 【答案】AD 【详解】由题意可知，如图 将五个点电荷等效成 五个点电荷与O点距离为R，设 则O点场强大小为 代入可得 方向沿x轴负方向； 故选AD。 2. （2024·贵州·高考真题）如图，A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上，直径与弦间的夹角为。A、B两点分别放有电荷量大小为的点电荷时，C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，则等于（　　）    A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】根据题意可知两电荷为异种电荷，假设为正电荷，为负电荷，两电荷在C点的场强如下图，设圆的半径为r，根据几何知识可得 ， 同时有 ， 联立解得 故选B。    3. （2024·河北·高考真题）如图，真空中有两个电荷量均为的点电荷，分别固定在正三角形的顶点B、C．M为三角形的中心，沿的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为．已知正三角形的边长为a,M点的电场强度为0，静电力常量的k．顶点A处的电场强度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】B点C点的电荷在M的场强的合场强为 因M点的合场强为零，因此带电细杆在M点的场强，由对称性可知带电细杆在A点的场强为，方向竖直向上，因此A点合场强为 故选D。 【基础夯实】 4. （25-26高一下·浙江温州·期末）（多选）如图所示，在水平面内有一正方形abcd，各顶点到中心O的距离均为R。各顶点均固定正点电荷，其中a、b、c点的电荷量为q，d点的电荷量为2q，静电力常量为k，则O点处的电场强度（     ） A．方向沿Ob方向 B．大小为 C．方向沿Od方向 D．大小为 【答案】AD 【详解】根据对称性，a、c处点电荷在O点位置产生的合电场的电场强度为0。 b处点电荷在O点处产生电场的电场强度，方向由O点指向d点。 d处点电荷在O点处产生电场的电场强度，方向由O点指向b点。 故O点处合电场的电场强度，方向由O点指向b点。 故选AD。 5. （25-26高一下·山东德州·阶段检测）用电场线能很直观、很方便地比较电场中各点场强的大小。如图甲是等量异种点电荷形成的电场的电场线，图乙是场中的一些点：是电荷连线的中点，、是连线中垂线上相对对称的两点，、和、也相对对称。则（     ） A．图中左侧点电荷带负电，右侧点电荷带正电 B．B、C两点场强大小和方向都相同 C．A、D两点场强大小相等，方向相反 D．E、O、F三点比较，O点场强最小 【答案】B 【详解】A．根据电场线分布可知，图中左侧点电荷带正电，右侧点电荷带负电，A错误； B．B、C两点电场线疏密相同，场强方向均水平向右，则场强大小和方向都相同，B正确； C．由对称性可知，A、D两点场强大小相等，方向相同，C错误； D．E、O、F三点比较，O点电场线最密集，则场强最大，D错误。 故选B。 6. （25-26高一下·江西抚州·阶段检测）（多选）如图所示，、是电荷量相等的两个点电荷，为、连线的中点，、是、连线延长线上的两点，、是、中垂线上的两点，与关于点对称，与关于点对称。则（     ） A．若、为同种电荷，则与点电场强度相同，与点电场强度相同 B．若、为同种电荷，则与点电场强度不同，与点电场强度不同 C．若、为异种电荷，则与点电场强度相同，与点电场强度相同 D．若、为异种电荷，则与点电场强度不同，与点电场强度不同 【答案】BC 【详解】AB．若、为同种电荷，则与点电场强度大小相同，方向相反，即与点电场强度不同；与点电场强度大小相同，方向相反，则与点电场强度不同，A错误，B正确； CD．若、为异种电荷，则与点电场强度大小方向均相同，则与点电场强度相同，与点电场强度大小方向均相同，即与点电场强度相同，C正确，D错误。 故选BC。 7. （2026·陕西·模拟预测）点电荷和无限大接地金属平板之间的电场分布与等量异种点电荷连线的中垂面间的电场分布完全相同。如图所示，电荷量为的点电荷到接地的无限大金属板距离为，已知静电力常量为，则金属板上距点电荷处的点处的电场强度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】金属板接地，点电荷和无限大接地金属平板之间的电场分布与等量异种点电荷连线的垂直平分线的电场分布完全相同，则点处的场强为 故选B。 8. （25-26高二上·云南大理·期末）反天刀鱼是生活在尼罗河的一种鱼类，沿着它身体的长度方向分布着电器官，这些器官能在鱼周围产生类似于等量异种点电荷形成的电场，其电场线分布如图所示，、、为电场中的三个点，下列说法正确的是（　　） A．鱼的头部带负电，尾部带正电 B．点的电场强度小于点的电场强度 C．点的电势高于点的电势 D．把一个带负电的试探电荷从点移动到点，电场力做负功 【答案】C 【详解】A．由图可知，鱼的头部带正电，尾部带负电，故A错误。 B．电场线的疏密反映场强的大小，由图可知点的电场强度大于点的电场强度，故B错误。 CD．设无穷远处电势为零，等量异种电荷连线中垂线的电势为零，靠近正电荷一侧的点电势大于零，靠近负电荷一侧的点电势小于零，所以点电势高于点电势，点电势也高于点电势，所以把一个带负电的试探电荷从点移动到点，电场力做正功，故C正确，D错误。 故选C。 9. （25-26高二上·福建漳州·期末）（多选）如图甲，真空中固定两点电荷P、Q，O为PQ连线的中点，MN为PQ连线的中垂线。一试探电荷从中垂线上C点静止释放，仅在电场力作用下沿MN做直线运动，其速度v随时间t变化的图像如图乙所示，该图像关于虚线对称，则（　　） A．P、Q为等量异种电荷 B．t1时刻，试探电荷通过O点 C．t2时刻，试探电荷回到C点 D．从C到O，电场强度先增大后减小 【答案】BD 【详解】A．试探电荷沿MN做直线运动，再根据v-t图像关于虚线对称可知，受到P、Q两电荷等大引力，故P、Q为等量同种电荷，故A错误； B．根据v-t图像的斜率表示加速度，可知t1时刻，图像斜率为零，加速度为零，根据qE=ma可知此时电场强度为零，故试探电荷位于O点，B正确； C．t2时刻，试探电荷速度为零，运动到关于O对称的点，故C错误； D．从C到O，图像的斜率先增大后减小，加速度先增大后减小，根据qE=ma可知电场强度先增大后减小，D正确。 故选BD。 10. （25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）如图所示，在坐标轴x上固定两个等量同种正点电荷qa、qb，其坐标分别是（﹣x0，0）和（x0，0），关于这两个点电荷在xOy平面内各点产生的电场，下列说法不正确的是（　　） A．原点O处的电场强度一定为0 B．对于x轴上任意一点，一定存在另一个点的电场强度与该点等大同向 C．在y轴正半轴上一点由静止释放一个带正电的粒子，只在静电力作用下运动，一定是速度不断增大、加速度不断减小 D．如果增大，使得，但仍然都带正电，y轴上各点的电场方向都偏向右侧 【答案】C 【详解】A．根据可知两等量同种正电荷在O处的电场强度大小相等，方向相反，可知原点O处的电场强度一定为0，故A正确； B．在区间，电场强度方向向右，大小从左往右由无穷大逐渐减小到零；在区间，电场强度方向向右，大小从左往右由无穷大逐渐减小到零；所以，在和两个区间内一定存在电场强度等大同向的两个点，根据对称性可得对于x轴上任意一点，一定存在另一个点的电场强度与该点等大同向，故B正确； C．在y轴的正半轴，电场强度向上，正电荷所受电场力向上，正电荷向上做加速运动，速度一定增大。在O点电场强度等于0，电场力等于0，加速度等于0。在无穷远处，电场强度等于0，电场力等于0，加速度等于0。在y轴的正半轴的某一点，该点的电场强度最大，电场力最大，加速度最大。正电荷的初始位置未知，所以加速度的变化不确定，故C错误； D．如果增大，使得，但仍然都带正电，根据可得在y轴上各点产生的电场一定大于产生的电场，如图所示 则合电场的方向一定偏向右侧，故D正确。 本题选错误的，故选C。 11. （2026·贵州黔东南·模拟预测）真空中两点电荷、形成的电场的部分电场线如图所示，点为、连线的中点，电场线关于过点且垂直连线的虚线对称。下列说法正确的是（　　） A．、带等量的正电荷 B．带等量的负电荷 C．带不等量的正电荷 D．带不等量的负电荷 【答案】A 【详解】电场线起始于正电荷（或无穷远），终止于负电荷（或无穷远）。本题图中电场线箭头向外，从、出发指向外侧，说明、都带正电。 题干说明电场分布关于过点的虚线对称，说明、的电荷量相等，即二者带等量正电荷，符合等量正点电荷的电场线分布特征。 故选A。 12. （25-26高三下·河南开封·阶段检测）如图所示，光滑绝缘圆形轨道水平放置在光滑绝缘桌面上，O为圆心，A、B连线过O点，，，在A点固定正点电荷，B点固定正点电荷，带正电的小球静止于轨道内侧P点（A、B两点均位于圆内，且A、B、P三点不共线），已知。下列说法正确的是（    ） A．与的电荷量大小之比为 B．P点的电场强度方向垂直于AB向左 C．将小球的电荷量加倍后，它仍能静止在P点 D．A、B连线上O点电场强度最大 【答案】C 【详解】A．小球静止，沿切线方向合力为零（沿切线方向电场强度为零），如图所示，因为 根据角平分线特征可知 根据平衡条件 解得，A错误； B．因为P点切线方向电场强度为零，则P点的电场方向沿OP方向，B错误； C．因为P点切线方向电场强度为零，小球电荷量加倍，会增大轨道对小球的弹力，小球仍能静止在P点，C正确； D．A、B连线上接近A点（或B点）处点电荷场强大于O点，D错误。 故选C。 13. （25-26高二上·安徽宣城·期末）如图所示，某空间内存在等量同种电荷形成的电场，O处为两电荷连线的中点，现将一试探电荷以一定的初速度从某一位置射入电场中，不考虑重力及试探电荷对原电场分布的影响，以下说法正确的是（    ） A．带负电的试探电荷可能在电场中做匀变速直线运动 B．带正电的试探电荷可能在电场中做匀变速曲线运动 C．带负电的试探电荷可能在电场中做匀速圆周运动 D．带正电的试探电荷可能在电场中做圆周运动 【答案】C 【详解】A．匀变速直线运动的条件是物体所受的合外力为恒力，且合外力方向与初速度方向在同一直线上。等量同种电荷形成的电场是非匀强电场，试探电荷在电场中受到的电场力是变力，因此不可能做匀变速直线运动，故A错误； B．匀变速曲线运动的条件是物体所受的合外力为恒力，且合外力方向与初速度方向不在同一直线上。等量同种电荷形成的电场是非匀强电场，试探电荷在电场中受到的电场力是变力，因此不可能做匀变速曲线运动，故B错误； C．在两电荷连线的中垂面上，所有点的电场强度方向都与该平面垂直，且指向远离两电荷连线的方向（若为正电荷）或指向两电荷连线的方向（若为负电荷）。对于两个正的源电荷，如果一个带负电的试探电荷在该中垂面内，它受到的电场力将指向两电荷连线的中点O。如果在中垂面内以O为圆心、半径为r的圆周上，该负电荷受到的电场力大小恒定，方向始终指向圆心O。若给予该负电荷一个大小合适且与半径垂直的初速度，电场力就可以提供向心力，使其做匀速圆周运动，故C正确； D．带正电的试探电荷在等量同种正电荷的电场中受到的是斥力，合力方向背离两电荷连线的中点O。这样的力无法提供做圆周运动所需的向心力（向心力需要指向圆心）。因此，带正电的试探电荷不可能在该电场中做圆周运动，故D错误。 故选C。 【培优拔高】 14. （25-26高二上·云南昆明·期中）（多选）如图所示，水平面上有一均匀带电圆环，所带电荷量为＋Q，其圆心为O点。有一电荷量为＋q、质量为m的小球恰能静止在O点上方的P点，O、P间距为L。P与圆环上任一点的连线与PO间的夹角都为，重力加速度为g，以下说法正确的是（　　） A．P点场强方向竖直向上 B．P点场强大小为 C．P点场强大小为k D．P点场强大小为k 【答案】ABD 【详解】将圆环分为n等份（n很大，每一份可以认为是一个点电荷），则每份的电荷量为 每份在P点的电场强度大小： 根据对称性可知，水平方向的合场强为零，P点的电场强度方向竖直向上，其大小 同时，由二力平衡可得在P点 解得P点场强为，故ABD正确，C错误。 故选ABD。 15. （25-26高一下·江苏常州·期中）两个半径为的半球壳球面上分别均匀分布着电荷量为的正电荷，两半球壳球心分别位于和处，如图所示。现测得处的电场强度大小为，方向沿轴负向。已知静电力常量为，则左半球壳在处的电场强度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设左半球壳（球心在 处）在 处产生的电场强度大小为 ，由于带正电，电场强度方向沿 轴正向。 设右半球壳（球心在 ）在 处产生的电场强度大小为 ，由于带正电，电场强度方向沿 轴负向。 根据题意， 处的合场强大小为 ，方向沿 轴负向，故 将 处的左半球壳补全为一个完整的均匀带电球壳，由于原半球壳所带电荷量为 ，补全后的完整球壳总电荷量为 。 根据点电荷的电场强度公式，完整球壳在 处产生的电场强度大小为 ，方向沿 轴正向。 根据电场叠加原理，其中 为补上的右半球壳（位于 右侧）在 处产生的场强。 由对称性可知，补上的右半球壳（分布在 ）与题目中 处的左半球壳（分布在 ）关于 对称，且电荷量均为 ，因此它们在 处产生的场强大小相等，故 所以 又知 ， 联立解得，故左半球壳在处的电场强度大小为 故选B。 16. （24-25高二上·安徽蚌埠·期中）已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B的距离为R、B和A间的距离为R。现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，半径为R的均匀带电体在A、B点产生场强为 挖去的小球在A、B点产生的场强为 所以 所以 故选A。 17. （24-25高二上·重庆铜梁·阶段检测）如图所示，有一个均匀带负电的绝缘细圆环，半径为，总带电量为。点A、B、C将圆环三等分，现在移除A、B两处各一小段长度为的圆弧。的延长线交圆环于点，静电力常量为。关于圆心O点的电场强度，下列说法正确的是（　　） A．O点的电场强度方向沿OD方向 B．O点的电场强度大小为零 C．O点的电场强度大小与的大小无关 D．O点的电场强度大小与的大小成正比 【答案】D 【详解】由于圆环所带电荷量均匀分布，故长度为的小圆弧所带电荷量为 根据对称性，没有取走电荷时圆心O点的电场强度为零，取走A、B两处的电荷后，圆环剩余电荷在O点产生的电场强度大小等于A、B处弧长为的小圆弧所带负电荷在O点产生的合场强大小，方向相反，则A、B处弧长为的小圆弧所带负电荷在O点产生的合场强沿沿OD方向，则 取走A、B两处的电荷后，O点的电场强度沿OC方向。 故选D。 18. （24-25高二上·辽宁朝阳·阶段检测）如图所示，一带正电绝缘球体（球心为）半径为，所带电荷量为且均匀分布，现将其中半径为与相切的小球体（球心为）部分的电荷量变为等量负电（球其他部分电荷量分布情况不变），静电力常量为，则在连线上，与距离为的点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】半径为的均匀带电球的电量为 带的带电球在P点产生的场强为 方向向左。假设半径为的球均匀带正电Q，其在P点产生的场强为 方向向右。所以将其中半径为与相切的小球体（球心为）部分的电荷量变为等量负电，此时在P点产生的场强为 故选A。 19. （25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）一半径为R的绝缘球壳上均匀地带有电荷量为的电荷，另一电荷量为的点电荷放在球心O上。由于对称性，点电荷受力为零。现在球壳上挖去半径为（）的一个很小的圆孔，则此时置于球心处的点电荷（     ） A．受力大小为零 B．受力大小为，方向由圆孔指向球心 C．受力大小为，方向由圆孔指向球心 D．受力大小为，方向由球心指向圆孔 【答案】D 【详解】把球壳分成无限多个微元，由对称性可知除挖去的圆孔和其对称处外其他都有两个微元关于圆心对称，两对称微元对球心处的点电荷作用力的合成为零，球壳上电荷面密度为 与挖去的圆孔对称处的微元带电荷量 由库仑定律得对圆心处点电荷的作用力大小 由同种电荷相互排斥可知库仑力方向由球心指向圆孔，故选D。 20. （25-26高一下·河北邯郸·阶段检测）如图所示，真空中a、b、c、d四点共线且等距，a、b、c、d连线水平。先在a点固定一点电荷+Q，测得b点场强大小为E。若再将另一点电荷+2Q放在d点，则（     ） A．b点场强大小为，方向水平向左 B．b点场强大小为，方向水平向右 C．C 点场强大小为9 E，方向水平向右 D．C 点场强大小为9 E，方向水平向左 【答案】B 【详解】AB．设，据题意知+Q在b点产生的场强大小为E，方向水平向右；由点电荷的场强公式得 +2Q在b点产生的电场强度大小为 方向水平向左，所以b点的合场强大小为 方向水平向右，故A错误，B正确； CD．+Q在c点产生的电场强度大小为 方向向右，+2Q在c点产生的电场强度大小为 方向水平向左，所以c点的合场强大小为 方向水平向左，故CD错误。 故选B。 21. 如图所示，是边长为的正方体一顶点，与等间距的另外三个顶点上分别固定电荷量为的点电荷，则点场强大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正方体边长为，三个到顶点的距离为 根据点电荷场强公式 得每个点电荷在点的场强大小： 三个点电荷场强矢量的方向分别沿正方体三个面的对角线指向点外侧（背离源电荷），且两两之间的夹角均为，根据矢量合成法则结合数学知识可得合场强大小： 故选B。 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $