第2讲 静电力作用下物体的运动模型（模型与方法）物理人教版必修第三册

本讲义聚焦静电力作用下物体的运动模型这一核心知识点，系统梳理直线加速（含匀强电场匀变速、点电荷电场变加速）和曲线运动（类平抛、圆周运动、等效重力场等）两类模型，通过模型构建、对比剖析与规范解题路径搭建学习支架。 资料以模型建构为主线，通过电场力与运动性质对比表格强化科学思维，结合真题演练和分层练测提升科学探究能力，例题融入直线加速器等实际情境。课中辅助教师系统教学，课后助力学生分层练习，精准查漏补缺。

第2讲 静电力作用下物体的运动模型 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型1　静电力作用下的直线加速问题 模型2　静电力作用下的曲线运动问题 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.静电力作用下的直线加速问题 模型构建：带电粒子仅受 / 主要受静电力，初速度与合静电力共线，做匀变速直线运动；分为匀强电场、点电荷电场两大类直线加速模型，贯穿动能定理、牛顿第二定律、运动学公式三大解法。 模型剖析： 对比维度 匀强电场直线加速 点电荷电场直线加速 电场力 恒力，F=qE 变力，F∝​ 运动性质 匀变速直线运动 变加速直线运动 可用公式 牛顿二定律 + 运动学 + 动能定理 仅动能定理（库仑势能） 加速度 恒定不变 随距离改变持续变化 典型装置 直线加速器、平行极板 点电荷相互作用、α 粒子散射直线分量 考察侧重 时间、瞬时速度、临界极板电压 最近距离、最远速度、定性运动分析 1 匀强电场（匀变速） 1. 确定电场力方向，判断加速 / 减速； 2. 需求时间、瞬时加速度： + 运动学公式； 3. 仅求初末速度、位移、电压：直接动能定理 临界问题：末速度为 0 列方程求临界电压 / 最大位移。 2 点电荷电场（变加速） 1. 判断引力 / 斥力，分析速度、加速度变化趋势； 2. 写出初末位置库仑电势能； 3. 能量守恒：电势能变化量 = 动能变化量； 4. 求最近 / 最远距离：取临界速度代入方程。 【例1】（24-25高一下·江苏南京·期中）如图所示，倾角为37°的光滑绝缘斜面体固定在水平面上，带电量为q的负点电荷A固定在斜面底端，质量为m的带电小球B在斜面上离点电荷A距离为L的M点由静止释放，释放的瞬间，小球B的加速度大小为a=0.5g，小球B向下运动到N点时，速度达到最大值。已知重力加速度为g，静电力常量为k，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： (1)小球B所带电的电性； (2)小球B所带电量qB=？ (3)A、N之间的距离d=？ 【变式1-1】（25-26高二上·江西赣州·期中）如图所示，A、B两个带电小球用绕过光滑定滑轮的绝缘细线连接，足够高的绝缘光滑挡板固定在竖直面内，B球与挡板接触，A、B两球在同一水平线上且处于静止状态，悬挂A球的细线与水平方向的夹角为30°，悬挂B球的细线竖直，A、B两球带等量正电荷，细线的总长为L，静电力常量为k，小球B的质量为，重力加速度为，不计小球的体积，求： (1)小球A的质量多大； (2)小球A的带电量是多少； (3)剪断细线，当A、B间的距离为L时，小球A的加速度多大。 【变式1-2】（24-25高二上·云南楚雄·阶段检测）如图所示，质量均为的三个带电小球A、B、C放置在光滑绝缘的水平直槽上，小球A与B间和小球B与C间的距离均为，小球A的电荷量为，小球B的电荷量为。若小球C上加一水平向右的恒力，恰好使A、B、C三小球保持相对静止，求： (1)恒力的大小和小球C所带电荷量； (2)历时后，恒力对系统共做了多少功？ 模型02.静电力作用下的曲线运动问题 模型构建：带电粒子初速度与合静电力不共线，轨迹弯曲，做曲线运动。 分两大体系： 1. 匀强电场：电场力恒力 → 匀变速曲线运动（类平抛、类斜抛、复合场抛体） 2. 点电荷非匀强电场：库仑力变力 → 变加速曲线运动（匀速圆周、α 散射、椭圆轨道） 3. 通用规律： ① 轨迹向合力一侧弯曲； ② 电场力做功； ③ 恒力运动可正交分解，变力运动只能用能量、向心力。 模型剖析：类型1：匀强电场中的匀变速曲线运动（类平抛 / 类斜抛） 场景：带电粒子垂直进入平行板电容器的匀强电场（如示波管、静电偏转）； 受力：F=qE（恒定），a=qE/m（恒定）； 运动：类平抛（v₀⊥F）或类斜抛（v₀与 F 成 θ 角，θ≠0/90°）； 求解关键：分解为 “匀速 + 匀加速”，联立分运动公式，求偏转位移、偏转角（末速度与初速度的夹角 φ，tanφ=vᵧ/vₓ）。 类型 2：静电力提供向心力的圆周运动 场景：带电粒子在点电荷电场中做匀速圆周运动（如电子绕原子核运动，忽略其他力）； 受力：静电力提供向心力（F=kQq/r² = mv²/r = mω²r）； 运动：匀速圆周运动（速率不变，向心加速度变化，属于变加速曲线运动）； 求解关键：利用 “向心力公式” 求速率 v、周期 T，结合动能定理求 “轨道半径变化时的速度变化”。 类型3：非匀强电场中的一般曲线运动 场景：带电粒子在等量异种电荷的中垂线上运动、在不规则电场中运动； 受力：F=qE（E 随位置变化，故 F 变化）； 运动：变加速曲线运动（加速度大小 / 方向均变化）； 求解关键：无法用运动学公式，只能通过动能定理（W=qU=ΔEₖ）或能量守恒（电势能 + 动能 = 常量）求解，避免分析复杂的加速度变化。 类型4： “等效重力场” 在匀强电场和重力场的共存区域，可以将重力场与电场合二为一，称之为“等效重力场”。 1.“等效重力场”的理解 2.带电小球在“等效重力场”中两种圆周运动图例 【例2】（2026·山东泰安·模拟预测）如图所示，带电荷量为的点电荷固定在光滑绝缘水平面内点的正上方，三个带电荷量均为、完全相同的带电小球、C、D在光滑绝缘水平面上做匀速圆周运动，轨迹圆相同，半径均为，且三个小球对水平面恰无作用力，已知，重力加速度为，静电力常量为，忽略一切摩擦和阻力，则小球B的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）（多选）如图所示，正电荷固定于半径为的半圆光滑轨道的圆心处，将另一电荷量为、质量为的带正电小球，从轨道的处无初速度释放。下列说法正确的是（　　） A．在轨道上运动时库仑力做功为 B．小球运动到点时的速度大小为 C．小球在点时受到的支持力大小为 D．小球在点时对轨道的压力大小为 【变式2-2】（25-26高一下·山东青岛·期中）如图所示，在光滑绝缘的水平面上放置三个孤立带电小球A、B、C，已知A和C的质量分别为。此时三个小球恰好位于同一直线，B球位于圆心O点且处于静止状态，A和C恰好以相同的角速度绕B做匀速圆周运动。若将小球B拿掉，使C带上与原来电性相反但电量相等的电荷，此时A、C两球仍能以原来的角速度绕O点做匀速圆周运动。三个小球均视为点电荷。则（　　） A．A和C做圆周运动的半径之比为 B．A和C做圆周运动的半径之比为 C．B和C的电荷量之比为 D．B和A的电荷量之比为 （2022·辽宁·高考真题）（多选）如图所示，带电荷量为的球1固定在倾角为光滑绝缘斜面上的a点，其正上方L处固定一电荷量为的球2，斜面上距a点L处的b点有质量为m的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为。迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动。为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是（　　） A．带负电 B．运动至a点的速度大小为 C．运动至a点的加速度大小为 D．运动至ab中点时对斜面的压力大小为 【基础夯实】 1. （2026·新疆·三模）（多选）在粗糙、绝缘的水平面上有两个带电物块。甲物块固定，乙物块从静止释放后的一段时间内，其运动的图像可能是（　　） A．B．C． D． 2. （2026·云南·模拟预测）如图所示，等量同种点电荷、固定在同一竖直线上，相距为，电荷量均为，水平固定的光滑绝缘杆与的中垂线重合，是绝缘杆上的两点，构成一个正方形。电荷量为，质量为的小球（可视为点电荷）套在绝缘杆上自点无初速度释放，小球由点向右运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球的加速度先增大后减小 B．小球的速度先减小后增大 C．若移走电荷，仍由点无初速度释放带电小球，则杆对小球的作用力先增大后减小 D．若移走电荷，仍由点无初速度释放带电小球，则杆对小球的作用力先减小后增大 3. （2024·山东潍坊·模拟预测）（多选）在光滑的水平面上固定两个点电荷A和B，它们的质量分别为和，所带电荷量分别为和如图所示。水平外力先作用在A上，解除锁定后A、B恰能一起相对静止做匀加速直线运动，调整A、B间的距离，后用相同大小的水平外力作用在B上，A、B又恰能一起相对静止匀加速直线运动。则以下说法正确的是（　　） A．两点电荷的电性一定相反 B．外力作用在A上时两点电荷的加速度大小等于作用在B上时两点电荷的加速度 C．点电荷A对点电荷B的库仑力大于点电荷B对点电荷A的库仑力 D．外力作用在A上时A，B的间距与作用在B上时A、B的间距之比为 4. （2025·重庆·模拟预测）如图所示，两根绝缘细线的上端都系在水平天花板上，另一端分别连着两个带电小球，平衡时两小球处于同一水平线上，两细线与天花板间的夹角分别为，重力加速度大小为，现剪断连接球的细线，则在剪断细线的瞬间，球的加速度大小为（　　） A． B． C． D． 5. （多选）如图所示，小球A、B都带正电，小球A放在绝缘支架上，小球B悬挂在横梁上，平衡时，A、B连线与水平面平行，B摆开的角度为，小球A、B之间的静电力为，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．小球B的质量为 B．细线对B的拉力为 C．剪断细线瞬间，小球B的加速度大小为 D．剪断细线，小球B做匀加速运动 6. （2025·河北·模拟预测）两个点电荷的质量分别为，它们带异种电荷，电荷量的绝对值分别为，只在库仑力作用下（不计万有引力）各自绕它们连线上的某一固定点在同一水平面内做匀速圆周运动，其中质量为的电荷运动的半径为R，静电力常数为k，则它们的总动能为（　　） A． B． C． D． 7. （2025·安徽滁州·二模）如图所示，在竖直平面内有一个半径为的光滑圆轨道，在轨道的圆心处固定一带电量为的点电荷，一质量为、带电量为的小球（可视为质点）在轨道的外侧沿着轨道运动。已知静电力常量为，重力加速度为。为使小球能做完整的圆周运动，至少为（　　） A． B． C． D． 8. （多选）如图所示，在竖直平面内有一固定的光滑绝缘圆轨道，半径为R，在其圆心处固定一带电荷量为的点电荷。有一质量为m、带电荷量为的小球（可视为质点）沿着轨道外侧做圆周运动。A、B两点分别是轨道的最高点和最低点，，(k为 静电力常量，g为重力加速度)不计一切摩擦和空气阻力，则（　　） A．小球通过A点的最大速度为 B．小球通过A点的最大速度为 C．小球经过A，B两点时对轨道的压力差一定等于6mg D．小球经过A，B两点时对轨道的压力差一定等于5mg 【培优拔高】 9. （多选）如图所示，a、b、c、d四个质量均为m的带电小球恰好构成“三星拱月”之形，其中a、b、c三个完全相同的带电小球在光滑绝缘水平面内的同一圆周上绕O点做半径为R的匀速圆周运动，三小球所在位置恰好将圆周等分。小球d位于O点正上方h处，且在外力F作用下恰好处于静止状态，已知a、b、c三小球的电荷量均为q，d球的电荷量为，，重力加速度为g，静电力常量为k，则下列说法正确的是（　　） A．小球d一定带负电 B．小球b的周期为 C．外力F大小等于 D．小球c的加速度大小为 10. 一点电荷固定在空间O点，在O点上下空间内分别有A、B两点电荷在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。A、B两点电荷的电量分别为QA、QB，质量为mA、mB，不计重力作用。则（   ） A．QA<QB，mA>mB B．QA<QB，mA<mB C．QA>QB，mA>mB D．QA>QB，mA<mB 11. （多选）如图所示，空间存在方向竖直向下的匀强电场（图中未画出），A、B、C、D、M、N是棱长为a的正八面体的六个顶点，在同一竖直线上的M、N两点均固定有电荷量为Q的正点电荷，一质量为m、电荷量为q的点电荷在正方形ABCD内（水平）绕正八面体的中心做半径最大的匀速圆周运动。静电力常量为k，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．做匀速圆周运动的点电荷带正电 B．匀强电场的电场强度大小为 C．做圆周运动的点电荷的角速度大小为 D．做圆周运动的点电荷的动能为 12. 如图所示，质量均为m的a、b、c、d四个带电小球，其中，a、b、c三个完全相同的小球的带电量均为q（电性未知），且位于光滑绝缘的水平面内的同一圆周上绕O点做半径为R的匀速圆周运动，三个小球等分整个圆周。带电量为10q（电性未知）的小球d位于O点的正上方R处，且在外力作用下恰好处于静止状态。重力加速度为g，静电力常量为k，则下列说法正确的是（　　） A．a、b、c、d四个小球带电量的总和一定为-7q B．外力的大小为、方向竖直向上 C．小球a的角速度为 D．小球b的动能为 13. （多选）质量为m、电荷量为+ Q的带电小球A固定在绝缘天花板上，带电小球B，质量也为m，在空中水平面内绕O点做半径为R的匀速圆周运动，如图所示。已知小球A、B间的距离为2R，重力加速度为g ，静电力常量为k。则（　　） A．天花板对A球的作用力大小为2mg B．小球B转动的角速度为 C．小球B所带的电荷量 D．A、B两球间的库仑力对B球做正功 14. 如图(a)所示，点电荷-q绕点电荷+Q做半径为r的匀速圆周运动，角速度为；如图(b)所示，点电荷-q在相距为r的两个固定点电荷+Q所在连线的中垂面上，做角度为的匀速圆周运动，-q到+Q的距离始终为r｡则为（　　） A．1∶ B．1∶1 C．1∶ D．2∶ 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 静电力作用下物体的运动模型 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型1　静电力作用下的直线加速问题 模型2　静电力作用下的曲线运动问题 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.静电力作用下的直线加速问题 模型构建：带电粒子仅受 / 主要受静电力，初速度与合静电力共线，做匀变速直线运动；分为匀强电场、点电荷电场两大类直线加速模型，贯穿动能定理、牛顿第二定律、运动学公式三大解法。 模型剖析： 对比维度 匀强电场直线加速 点电荷电场直线加速 电场力 恒力，F=qE 变力，F∝​ 运动性质 匀变速直线运动 变加速直线运动 可用公式 牛顿二定律 + 运动学 + 动能定理 仅动能定理（库仑势能） 加速度 恒定不变 随距离改变持续变化 典型装置 直线加速器、平行极板 点电荷相互作用、α 粒子散射直线分量 考察侧重 时间、瞬时速度、临界极板电压 最近距离、最远速度、定性运动分析 1 匀强电场（匀变速） 1. 确定电场力方向，判断加速 / 减速； 2. 需求时间、瞬时加速度： + 运动学公式； 3. 仅求初末速度、位移、电压：直接动能定理 临界问题：末速度为 0 列方程求临界电压 / 最大位移。 2 点电荷电场（变加速） 1. 判断引力 / 斥力，分析速度、加速度变化趋势； 2. 写出初末位置库仑电势能； 3. 能量守恒：电势能变化量 = 动能变化量； 4. 求最近 / 最远距离：取临界速度代入方程。 【例1】（24-25高一下·江苏南京·期中）如图所示，倾角为37°的光滑绝缘斜面体固定在水平面上，带电量为q的负点电荷A固定在斜面底端，质量为m的带电小球B在斜面上离点电荷A距离为L的M点由静止释放，释放的瞬间，小球B的加速度大小为a=0.5g，小球B向下运动到N点时，速度达到最大值。已知重力加速度为g，静电力常量为k，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： (1)小球B所带电的电性； (2)小球B所带电量qB=？ (3)A、N之间的距离d=？ 【答案】(1)带负电 (2) (3) 【详解】（1）由于小球B向下运动到N点时，速度达到最大值，说明此时电场力与重力沿斜面向下的分力平衡，A带负电，则小球B也带负电。 （2）释放的瞬间，小球B的加速度大小为a=0.5g, 根据牛顿第二定律可得 解得 （3）小球B向下运动到N点时，速度达到最大值，根据平衡条件可得 解得 【变式1-1】（25-26高二上·江西赣州·期中）如图所示，A、B两个带电小球用绕过光滑定滑轮的绝缘细线连接，足够高的绝缘光滑挡板固定在竖直面内，B球与挡板接触，A、B两球在同一水平线上且处于静止状态，悬挂A球的细线与水平方向的夹角为30°，悬挂B球的细线竖直，A、B两球带等量正电荷，细线的总长为L，静电力常量为k，小球B的质量为，重力加速度为，不计小球的体积，求： (1)小球A的质量多大； (2)小球A的带电量是多少； (3)剪断细线，当A、B间的距离为L时，小球A的加速度多大。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对小球B受力分析，根据平衡条件，可得细线上的拉力 对小球A受力分析，根据正交分解，在竖直方向上有 解得 （2）对小球A受力分析，根据正交分解，在水平方向上有 根据几何关系 联立解得 （3）剪断细线，B做自由落体运动，A在竖直方向也做自由落体运动，A、B始终在同一水平线上。当A、B间的距离为L时，A、B间的库仑力 对A，根据牛顿第二定律有 解得 【变式1-2】（24-25高二上·云南楚雄·阶段检测）如图所示，质量均为的三个带电小球A、B、C放置在光滑绝缘的水平直槽上，小球A与B间和小球B与C间的距离均为，小球A的电荷量为，小球B的电荷量为。若小球C上加一水平向右的恒力，恰好使A、B、C三小球保持相对静止，求： (1)恒力的大小和小球C所带电荷量； (2)历时后，恒力对系统共做了多少功？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为ABC三小球保持相对静止，故有相同的状态，对它们整体进行研究，由牛顿第二定律有 对小球A分析，可知小球C的电性应与小球A和小球B相异，则有 对小球B分析有 联立解得，， 则小球C的电荷量为 （2）对系统做的功 位移为 联立解得 模型02.静电力作用下的曲线运动问题 模型构建：带电粒子初速度与合静电力不共线，轨迹弯曲，做曲线运动。 分两大体系： 1. 匀强电场：电场力恒力 → 匀变速曲线运动（类平抛、类斜抛、复合场抛体） 2. 点电荷非匀强电场：库仑力变力 → 变加速曲线运动（匀速圆周、α 散射、椭圆轨道） 3. 通用规律： ① 轨迹向合力一侧弯曲； ② 电场力做功； ③ 恒力运动可正交分解，变力运动只能用能量、向心力。 模型剖析：类型1：匀强电场中的匀变速曲线运动（类平抛 / 类斜抛） 场景：带电粒子垂直进入平行板电容器的匀强电场（如示波管、静电偏转）； 受力：F=qE（恒定），a=qE/m（恒定）； 运动：类平抛（v₀⊥F）或类斜抛（v₀与 F 成 θ 角，θ≠0/90°）； 求解关键：分解为 “匀速 + 匀加速”，联立分运动公式，求偏转位移、偏转角（末速度与初速度的夹角 φ，tanφ=vᵧ/vₓ）。 类型 2：静电力提供向心力的圆周运动 场景：带电粒子在点电荷电场中做匀速圆周运动（如电子绕原子核运动，忽略其他力）； 受力：静电力提供向心力（F=kQq/r² = mv²/r = mω²r）； 运动：匀速圆周运动（速率不变，向心加速度变化，属于变加速曲线运动）； 求解关键：利用 “向心力公式” 求速率 v、周期 T，结合动能定理求 “轨道半径变化时的速度变化”。 类型3：非匀强电场中的一般曲线运动 场景：带电粒子在等量异种电荷的中垂线上运动、在不规则电场中运动； 受力：F=qE（E 随位置变化，故 F 变化）； 运动：变加速曲线运动（加速度大小 / 方向均变化）； 求解关键：无法用运动学公式，只能通过动能定理（W=qU=ΔEₖ）或能量守恒（电势能 + 动能 = 常量）求解，避免分析复杂的加速度变化。 类型4： “等效重力场” 在匀强电场和重力场的共存区域，可以将重力场与电场合二为一，称之为“等效重力场”。 1.“等效重力场”的理解 2.带电小球在“等效重力场”中两种圆周运动图例 【例2】（2026·山东泰安·模拟预测）如图所示，带电荷量为的点电荷固定在光滑绝缘水平面内点的正上方，三个带电荷量均为、完全相同的带电小球、C、D在光滑绝缘水平面上做匀速圆周运动，轨迹圆相同，半径均为，且三个小球对水平面恰无作用力，已知，重力加速度为，静电力常量为，忽略一切摩擦和阻力，则小球B的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由几何关系可知AB与水平面的夹角为， 则对B根据牛顿第二定律可知 对B竖直方向 解得小球B的角速度大小为 故选D。 【变式2-1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）（多选）如图所示，正电荷固定于半径为的半圆光滑轨道的圆心处，将另一电荷量为、质量为的带正电小球，从轨道的处无初速度释放。下列说法正确的是（　　） A．在轨道上运动时库仑力做功为 B．小球运动到点时的速度大小为 C．小球在点时受到的支持力大小为 D．小球在点时对轨道的压力大小为 【答案】BD 【详解】AB.带电小球在半圆光滑轨道上运动时，库仑力不做功，故机械能守恒，则 解得 A错误，B正确； CD.小球到达点时，受到重力、库仑力和支持力 由圆周运动和牛顿第二定律得 解得 根据牛顿第三定律，小球在点时对轨道的压力为，方向竖直向下 C错误，D正确。 故选BD。 【变式2-2】（25-26高一下·山东青岛·期中）如图所示，在光滑绝缘的水平面上放置三个孤立带电小球A、B、C，已知A和C的质量分别为。此时三个小球恰好位于同一直线，B球位于圆心O点且处于静止状态，A和C恰好以相同的角速度绕B做匀速圆周运动。若将小球B拿掉，使C带上与原来电性相反但电量相等的电荷，此时A、C两球仍能以原来的角速度绕O点做匀速圆周运动。三个小球均视为点电荷。则（　　） A．A和C做圆周运动的半径之比为 B．A和C做圆周运动的半径之比为 C．B和C的电荷量之比为 D．B和A的电荷量之比为 【答案】A 【详解】AB．由题知，A和C恰好以相同的角速度绕B做匀速圆周运动，故A、C是同种电荷，B与A、C异种电荷，对A分析，根据牛顿第二定律有 对C分析，根据牛顿第二定律有 对B分析，根据平衡条件有 联立解得，故A正确，B错误； C．将小球B拿掉后，且使C带上与原来电性相反但电量相等的电荷，即 A、C之间的库仑引力提供向心力，则有 又在之前的状态，对A分析有 联立解得，故C错误； D．将小球B拿掉后，且使C带上与原来电性相反但电量相等的电荷，即 A、C之间的库仑引力提供向心力，则有 又在之前的状态，对C分析有 联立解得，故D错误。 故选A。 （2022·辽宁·高考真题）（多选）如图所示，带电荷量为的球1固定在倾角为光滑绝缘斜面上的a点，其正上方L处固定一电荷量为的球2，斜面上距a点L处的b点有质量为m的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为。迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动。为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是（　　） A．带负电 B．运动至a点的速度大小为 C．运动至a点的加速度大小为 D．运动至ab中点时对斜面的压力大小为 【答案】BCD 【详解】A．由题意可知三小球构成一个等边三角形，小球1和3之间的力大于小球2和3之间的力，弹簧处于压缩状态，故小球1和3一定是斥力，小球1带正电，故小球3带正电，故A错误； B．小球3运动至a点时，弹簧的伸长量等于，根据对称性可知，小球2对小球3做功为0；弹簧弹力做功为0，故根据动能定理有 解得 故B正确； C．小球3在b点时，设小球3的电荷量为q，有 设弹簧的弹力为F，根据受力平衡，沿斜面方向有 解得 小球运动至a点时，弹簧的伸长量等于，根据对称性可知 解得 故C正确； D．当运动至ab中点时，弹簧弹力为0，此时小球2对小球3的力为 斜面对小球的支持力为 根据牛顿第三定律可知，小球对斜面的压力大小为，故D正确。 故选BCD。 【基础夯实】 1. （2026·新疆·三模）（多选）在粗糙、绝缘的水平面上有两个带电物块。甲物块固定，乙物块从静止释放后的一段时间内，其运动的图像可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】BD 【详解】AB．对乙受力分析：滑动摩擦力大小恒定，库仑力 若甲乙带异种电荷：乙受吸引力向甲靠近，间距减小，逐渐增大，加速度逐渐增大，图像的斜率表示加速度，因此斜率逐渐增大，故A错误，B正确； CD．若甲乙带同种电荷：乙受排斥力远离甲，间距增大，逐渐减小，加速度逐渐减小； 当减小到小于后，加速度方向与速度反向，乙开始减速，且继续减小，减速的加速度大小逐渐增大，因此速度先增大后减小，故C错误，D正确。 故选BD。 2. （2026·云南·模拟预测）如图所示，等量同种点电荷、固定在同一竖直线上，相距为，电荷量均为，水平固定的光滑绝缘杆与的中垂线重合，是绝缘杆上的两点，构成一个正方形。电荷量为，质量为的小球（可视为点电荷）套在绝缘杆上自点无初速度释放，小球由点向右运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球的加速度先增大后减小 B．小球的速度先减小后增大 C．若移走电荷，仍由点无初速度释放带电小球，则杆对小球的作用力先增大后减小 D．若移走电荷，仍由点无初速度释放带电小球，则杆对小球的作用力先减小后增大 【答案】C 【详解】A．根据等量同种正点电荷连线中垂线上电场的分布规律可知，电场强度先增大，后减小，点的电场强度为零，再向右，先增大，后减小，根据牛顿第二定律则有，可知小球的加速度先增大后减小，再增大，再减小，故A错误； B．根据等量同种电荷连线中垂线上电场的分布特点可知，小球从到点电场力做正功，动能增大，小球的速度增大，从向右运动的过程中，电场力做负功，动能减小，小球的速度减小，故小球由点向右运动的过程中，速度先增大后减小，故B错误； C．移走，小球竖直方向上受力 由于从增大到再减为，先减小再增加，则杆对小球的作用力先增大后减小，故C正确； D．移走，同理则有小球竖直方向上受力 r先减小再增加，由于与的大小关系未知，则杆对小球的作用力大小无法判断，故D错误。 故选C。 3. （2024·山东潍坊·模拟预测）（多选）在光滑的水平面上固定两个点电荷A和B，它们的质量分别为和，所带电荷量分别为和如图所示。水平外力先作用在A上，解除锁定后A、B恰能一起相对静止做匀加速直线运动，调整A、B间的距离，后用相同大小的水平外力作用在B上，A、B又恰能一起相对静止匀加速直线运动。则以下说法正确的是（　　） A．两点电荷的电性一定相反 B．外力作用在A上时两点电荷的加速度大小等于作用在B上时两点电荷的加速度 C．点电荷A对点电荷B的库仑力大于点电荷B对点电荷A的库仑力 D．外力作用在A上时A，B的间距与作用在B上时A、B的间距之比为 【答案】BD 【详解】A．外力向右作用于A或向左作用于B的情况下，两点电荷间的作用力是斥力，两点电荷的电性相同，外力向左作用于A或向右作用于B的情况下，两点电荷间的作用力是引力，两点电荷的电性相反，故A错误； B．对整体有 外力作用在A上时两点电荷的加速度等于作用在B上时的加速度，故B正确； C．点电荷对点电荷B的库仑力与点电荷B对点电荷的库仑力是一对作用力与反作用力，大小相等、方向相反，故C错误； D．设当外力作用在A上时A、B的间距为，对B有 设当外力作用在B上时A、B的间距为，对有 联立解得，故D正确。 故选BD。 4. （2025·重庆·模拟预测）如图所示，两根绝缘细线的上端都系在水平天花板上，另一端分别连着两个带电小球，平衡时两小球处于同一水平线上，两细线与天花板间的夹角分别为，重力加速度大小为，现剪断连接球的细线，则在剪断细线的瞬间，球的加速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】剪断细线之前，连接Q球的细线的拉力为 剪断细线后小球Q受向下的重力和P对Q的引力不变，则合力大小为 解得 故选A。 5. （多选）如图所示，小球A、B都带正电，小球A放在绝缘支架上，小球B悬挂在横梁上，平衡时，A、B连线与水平面平行，B摆开的角度为，小球A、B之间的静电力为，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．小球B的质量为 B．细线对B的拉力为 C．剪断细线瞬间，小球B的加速度大小为 D．剪断细线，小球B做匀加速运动 【答案】AC 【详解】AB．对小球进行分析，根据平衡条件有 ， 解得 ， 故A正确，B错误； C．剪断细线瞬间，对小球进行分析，小球所受外力的合力大小等于剪断之前绳的弹力大小，结合上述，根据牛顿第二定律有 解得 故C正确； D．剪断细线之后，小球B在重力与库仑力作用下远离小球A，则A、B之间的库仑力大小减小，，根据力的合成可知，小球B所受合力大小发生变化，即小球B的加速度大小发生变化，小球B的运动不是匀加速运动，故D错误。 故选AC。 6. （2025·河北·模拟预测）两个点电荷的质量分别为，它们带异种电荷，电荷量的绝对值分别为，只在库仑力作用下（不计万有引力）各自绕它们连线上的某一固定点在同一水平面内做匀速圆周运动，其中质量为的电荷运动的半径为R，静电力常数为k，则它们的总动能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的圆周运动半径为r，题意可知二者角速度相同，且库仑力提供彼此的向心力，则有 整理得 又因为 它们的总动能 联立解得 故选A。 7. （2025·安徽滁州·二模）如图所示，在竖直平面内有一个半径为的光滑圆轨道，在轨道的圆心处固定一带电量为的点电荷，一质量为、带电量为的小球（可视为质点）在轨道的外侧沿着轨道运动。已知静电力常量为，重力加速度为。为使小球能做完整的圆周运动，至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于小球（可视为质点）在轨道的外侧沿着轨道运动，为使小球能做完整的圆周运动，则小球能够顺利通过轨道的最低点，当取最小值时，小球在最低点所受轨道弹力恰好为0，小球在轨道最高点速度也恰好为0，在轨道最低点有 从最高点到最低点过程，根据动能定理有 解得 故选C。 8. （多选）如图所示，在竖直平面内有一固定的光滑绝缘圆轨道，半径为R，在其圆心处固定一带电荷量为的点电荷。有一质量为m、带电荷量为的小球（可视为质点）沿着轨道外侧做圆周运动。A、B两点分别是轨道的最高点和最低点，，(k为 静电力常量，g为重力加速度)不计一切摩擦和空气阻力，则（　　） A．小球通过A点的最大速度为 B．小球通过A点的最大速度为 C．小球经过A，B两点时对轨道的压力差一定等于6mg D．小球经过A，B两点时对轨道的压力差一定等于5mg 【答案】AC 【详解】AB．小球通过A点速度最大时，在点与轨道间弹力为0，则有 ， 解得 故A正确，B错误； CD．设在两点和轨道的压力分别为，，根据 ，， 联立解得 故C正确，D错误。 故选AC。 【培优拔高】 9. （多选）如图所示，a、b、c、d四个质量均为m的带电小球恰好构成“三星拱月”之形，其中a、b、c三个完全相同的带电小球在光滑绝缘水平面内的同一圆周上绕O点做半径为R的匀速圆周运动，三小球所在位置恰好将圆周等分。小球d位于O点正上方h处，且在外力F作用下恰好处于静止状态，已知a、b、c三小球的电荷量均为q，d球的电荷量为，，重力加速度为g，静电力常量为k，则下列说法正确的是（　　） A．小球d一定带负电 B．小球b的周期为 C．外力F大小等于 D．小球c的加速度大小为 【答案】BCD 【详解】A．由题意，已知a、b、c三小球的电荷量均为q，三小球在光滑绝缘水平面内的同一圆周上绕O点做匀速圆周运动，可知d小球与a、b、c三小球是异性电荷，由于a、b、c三小球的电性未知，所以小球d不一定带负电，A错误； BD．设db的连线与水平方向的夹角为α，则有 可得 α=60° 对b小球，由库仑定律和牛顿第二定律可得     解得 由于a、b、c三小球的加速度大小相等，因此小球c的加速度大小为，BD正确； C．对d小球，由平衡条件可得外力F大小为 C正确。 故选BCD。 10. 一点电荷固定在空间O点，在O点上下空间内分别有A、B两点电荷在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。A、B两点电荷的电量分别为QA、QB，质量为mA、mB，不计重力作用。则（   ） A．QA<QB，mA>mB B．QA<QB，mA<mB C．QA>QB，mA>mB D．QA>QB，mA<mB 【答案】A 【详解】CD.在不计重力的影响下，受力分析图如图所示 由于AB两物体都做匀速圆周运动，要保持A、B各自所受合力的大小始终保持相等，A、B的相对距离不能发生改变，故A、B的角速度要保持相等。 对于A、B各自竖直方向的合力为零有 用上式比下式可得 由图可知,故 故CD错误； AB.水平方向上，对A点电荷有 水平方向上，对B点电荷有 联立方程可得 由于，则有 故A正确，B错误。 故选A。 11. （多选）如图所示，空间存在方向竖直向下的匀强电场（图中未画出），A、B、C、D、M、N是棱长为a的正八面体的六个顶点，在同一竖直线上的M、N两点均固定有电荷量为Q的正点电荷，一质量为m、电荷量为q的点电荷在正方形ABCD内（水平）绕正八面体的中心做半径最大的匀速圆周运动。静电力常量为k，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．做匀速圆周运动的点电荷带正电 B．匀强电场的电场强度大小为 C．做圆周运动的点电荷的角速度大小为 D．做圆周运动的点电荷的动能为 【答案】BC 【详解】 A．点电荷在正方形ABCD内（水平）绕正八面体的中心做半径最大的匀速圆周运动，故只有当点电荷为负电荷时，才能受到水平面向内的合力，故点电荷负电，A错误； B．匀强电场的作用使电荷所受的电场力与重力平衡，则有 故匀强电场的电场强度大小为，B正确； C．在正八面体正方形ABCD内（水平）做半径最大的圆周运动，故圆周运动的半径 电荷到场源电荷的距离为 故每个场源电荷对点电荷的库仑力为 点电荷受到的合力大小为 根据牛顿第二定律 解得 C正确； D．由动能的表达式得 D错误。 故选BC。 12. 如图所示，质量均为m的a、b、c、d四个带电小球，其中，a、b、c三个完全相同的小球的带电量均为q（电性未知），且位于光滑绝缘的水平面内的同一圆周上绕O点做半径为R的匀速圆周运动，三个小球等分整个圆周。带电量为10q（电性未知）的小球d位于O点的正上方R处，且在外力作用下恰好处于静止状态。重力加速度为g，静电力常量为k，则下列说法正确的是（　　） A．a、b、c、d四个小球带电量的总和一定为-7q B．外力的大小为、方向竖直向上 C．小球a的角速度为 D．小球b的动能为 【答案】C 【详解】A．a、b、c三小球所带电荷量相同，要使三个做匀速圆周运动，d球与a、b、c三小球一定是异种电荷，由于a、b、c三个完全相同的小球的带量值均为q，有可能为正值，则d球电荷量有可能为负值，所以四个小球带电量的总和可能为-7q；同时也有可能d带正电荷，a、b、c带负电荷，总电荷量为+7q，A错误； B．设db连线与水平方向的夹角为α，则 cosα 所以 α=60° 对d球，由平衡条件得 方向竖直向上，B错误； C．a、b、c任意两个小球之间的距离为 2Rcos30°R 对b球，根据牛顿第二定律和向心力得 解得 C正确； D．小球的动能为 D错误。 故选C。 13. （多选）质量为m、电荷量为+ Q的带电小球A固定在绝缘天花板上，带电小球B，质量也为m，在空中水平面内绕O点做半径为R的匀速圆周运动，如图所示。已知小球A、B间的距离为2R，重力加速度为g ，静电力常量为k。则（　　） A．天花板对A球的作用力大小为2mg B．小球B转动的角速度为 C．小球B所带的电荷量 D．A、B两球间的库仑力对B球做正功 【答案】BC 【详解】C．对B球受力分析可知，库仑力在竖直方向的分力等于小球的重力有 由几何关系可知，小球A、B连线与竖直方向的夹角为，代入数据解得 所以C正确； B．小球B转动的向心力为 根据向心力公式 代入数据解得 所以B正确； D．A、B两球间的库仑力对B球不做功，所以D错误； A．天花板对A球的作用力在竖直方向的分力的大小为 天花板对A球的作用力在水平方向的分力的大小为 天花板对A球的作用力大小为 所以A错误； 故选BC。 14. 如图(a)所示，点电荷-q绕点电荷+Q做半径为r的匀速圆周运动，角速度为；如图(b)所示，点电荷-q在相距为r的两个固定点电荷+Q所在连线的中垂面上，做角度为的匀速圆周运动，-q到+Q的距离始终为r｡则为（　　） A．1∶ B．1∶1 C．1∶ D．2∶ 【答案】A 【详解】ABCD．图(a)中，点电荷+Q对点电荷-q的库仑力来提供向心力，从而做半径为r的匀速圆周运动，则有 解得 图(b)中，两个固定点电荷+Q对-q的库仑力的合力来提供向心力，则有 又 联立解得 故 所以，选项BCD错误，A正确； 故选A。 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $