湖北随州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

**基本信息** 高一数学期末试卷以真实情境（如港口水深、教师统计）培养数学眼光，通过几何体表面积计算、解三角形多问设计考查空间观念与逻辑推理，适配高一学段综合能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数、统计图表、向量共线、三角函数定义|多选题港口水深问题结合三角函数模型，考查数据意识| |填空题|3/15|向量中点坐标、复数方程、三角形向量分解|向量中点坐标计算体现数学语言简洁性| |解答题|5/77|频率分布直方图、函数图像变换、几何体体积表面积、解三角形|几何体表面积与蚂蚁爬行最短路径综合考查空间观念，解三角形角平分线证明培养逻辑推理|

高一数学试题参考答案与评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1． C 2． C 3． B 4． B 5． D 6． D 7． A 8． C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9． BCD 10． AC 11． AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （以下解答仅供参考，有其他合理解法均可根据相应步骤给分） 15．（13分） 解：（1）由题意可知，，解得； 6分 （2）由（1）及图知，， 故成绩前选手（分数从高到低）的最低分位于区间， 10分 设为，由，可得， 即一等奖选手成绩的最低分约为77.5分. 13分 16．（15分） 解：（1）由图可知：函数的周期， 又，所以. 3分 又因为，即， 则，即, 由，可知，所以. 6分 （2）依题意可得：， 9分 在区间上有三个零点， 即函数与函数在区间上有三个交点， 11分 令，即与函数在区间上有三个交点， 结合图象可得：，即有. 15分 17．(15分) 解：（1）该几何体的体积 3分 过点作，垂足为，连接， 则 该几何体的表面积 7分 （2）如图，将△PAB和四边形ABB1A1展开到同一平面， 连接A1P，易知蚂蚁爬行的最短路程即为A1P， 10分 过P作PH⊥A1B1，垂足为H， 由，， 可得， 即蚂蚁沿着该几何体的表面从点爬到P点，爬行的最短路程为. 15分 18．（17分） 解：（1） 2分 , ,故有，，故. 5分 （2）由，得， 8分 即有，故. 10分 （3）依题意可得：， 故， 12分 在△ACE中，， 由余弦定理得： ， 15分 由，， 故，即有. 17分 19．（17分） 解：（1）取BC的中点M，连接AM，DM， 依题意易得AM⊥BC，BD = CD，故DM⊥BC， 故二面角的平面角为， 2分 在△ACD中，由余弦定理可得：， 又易知，， 由得， 解得. 4分 （2）若，则，， △BCD为直角三角形，只有为直角， 5分 此时， 即有， 7分 故，当且仅当时取等号. 故的最小值为. 10分 （3）结合（1）问图，过D作DN⊥AM，垂足为N， 易知BC⊥平面AMD，故BC⊥DN，故DN⊥平面ABC， 故AD与平面ABC所成的角即为∠DAM. 12分 解法1：， ，， 由可得， 整理得 15分 由，得， 本题中，易知，故有，即有， 结合，可得，故 17分 解法2：过N作NH⊥AC，垂足为H，连接DH， 易得DH⊥AC， 由，，， 可得，下同解法1. 高一数学答案第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.若复数z=，则上= A.√2 B.3 C.√5 D.2W2 2.某校有文科教师60名，理科教师80名，其男女比例如图，则该校女教师的人数为 30% 40% 男 女 文科教师 理科教师 A.50 B.66 C.74 D.90 3.设a,b是两个不共线的向量，若向量ā-b,na+2b共线，则 A.n=2 B.n=-2 C.=22 D.m=-2n 4.角0的终边过点(sinl,cosl1),则sin0= 1 1 A.sin1 B.cosl C. D.- Sin] cosl 5.平面α与平面B平行的充分条件可以是 A.内有无穷多条直线都与B平行 B.直线a∥，a∥B,且直线a不在a内，也不在B内 C.直线ac,直线bcB,且a∥B,b∥ D.α内的任何一条直线都与B平行 6.已知点P在△ABC所在平面内，若PA.PB=PB.PC=PC.PA,则P是△ABC的 A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心 7.已知sin0+cos0=2sina,sin0cos0=sin2B,则 A.4cos22a=cos22B B.cos2 2a=4cos228 C.4sin22a=sin228 D.sin22a=4sin228 8.以正方体六个面的中心为顶点的空间几何体就是一个正八面体，在正八面体中，其外接球与 内切球体积的比值为 A.5 B.2W2 C.35 D.8 第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 受潮汐影响，某港口一天的水深f()(单位：m)与时刻t的部分记录如下表： 时刻t 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深f(t) 10 13 10 7 10 若该天从0：00~24：00，f(t)与t的关系可近似地用函数f(t)=Asin(t+9+B 4>0,@>0,<来表示， 则下列结论正确的有 A.A=10 C.19:00时的水深约为8.5m D.若某条船12：00以后进入该港口装货，并当天驶离，已知当水深不低于11.5米时该船才 能安全进出港口，忽略进出港时间，则该船当天在港口停留的时间最多为4小时 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列各组条件中，能使△ABC存在且 唯一的有 A4=京B好c=35 B.A=4,a=b=2 CA=石b=5c=2 D.A-cos8=-号b=5 11.设互不相等的一组数据x,七，，x,n>1)的平均数为x,方差为s2,现从中去掉一个数据 ,1≤k≤)后的平均数为七，方差为52，下列结论正确的有 A.若x=x,则r= B.若x2=x,则s2=52 C.若x<x,则>x D.若x>x,则s2<52 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知在平面中，点O的坐标为(0,0)，向量OA=(2,3),OB=(4,-1),点P是线段AB的中点， 则点P的坐标为 13.已知复数i-2是关于x的方程x2+x+q=0(p∈R,q∈R)的一个根，则p+q= BD.BE 1 4已知在△4BC中，D,B为边BC上的两点，满足BAD=∠CA8,GDC侧 的 AC 值为 第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 某次比赛100名参赛选手的成绩统计后分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组 [65,75),第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.己知第一、二组 的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. A频率 组距 0.045 b--- 0.020 a 0455565758595分数 (1)求a,b的值； (2)若比赛成绩前20%的选手评一等奖，请估计一等奖选手成绩的最低分. 16.(15分) 已知函数f)=sin(ox+po>0,纠<)的部分图象如图所示. 5π (1)求f(x)的解析式： (2)将f()的图象向左平移亚个单位长度，再向上平移a个单位长度，得到函数y=gw)的 6 图象，若8()在区间[2孕上有三个零点，求实数a的取值范围。 17.(15分) 某几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥P-ABCD,下部是正四棱柱ABCD-AB,C1D, 己知正四棱锥的高PO=1,正四棱柱的高OO=2√2，且AB=2. 第3页共4页 D A B (1)求该几何体的体积与表面积： (2)若一只蚂蚁沿着该几何体的表面从A点爬到P点，求爬行的最短路程. 18.(17分) 已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinB+sinC+sin(2A+C)=0. (1)求A: (2)设A的角平分线交BC于点D,设AD=m,证明：1-+1： mb”c (3)设E为线段BC的一个靠近点C的三等分点，若△ABC的外接圆半径为√，求AE的 取值范围. 19.(17分) 如图，已知在四面体A-BCD中，设AB=AC=m,AD=n,∠BAC=a,∠BAD=∠CAD=B. 1)若m=2,a=B=子且=面角4-BC-D为直二面角，求m的值： (2)若a=亚，△BCD为直角三角形，求cOsB的最小值： 3 )设直线4D与平面ABC所成的角为8，若α+2p=红，求c0s0的取值范 第4页共4页 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若复数，则 A． B． C． D． 2. 某校有文科教师60名，理科教师80名，其男女比例如图，则该校女教师的人数为 A．50 B．66 C．74 D．90 3. 设，是两个不共线的向量，若向量，共线，则 A． B． C． D． 4. 角的终边过点，则 A． B． C． D． 5. 平面与平面平行的充分条件可以是 A．内有无穷多条直线都与平行 B．直线，，且直线不在内，也不在内 C．直线，直线，且， D．内的任何一条直线都与平行 6. 已知点P在△ABC所在平面内，若，则P是△ABC的 A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 7. 已知，，则 A． B． C． D． 8. 以正方体六个面的中心为顶点的空间几何体就是一个正八面体，在正八面体中，其外接球与内切球体积的比值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 10 13 10 7 10 若该天从与的关系可近似地用函数 来表示，则下列结论正确的有 A． B． C．时的水深约为 D．若某条船12:00以后进入该港口装货，并当天驶离，已知当水深不低于11.5米时该船才能安全进出港口，忽略进出港时间，则该船当天在港口停留的时间最多为4小时 10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，能使△ABC存在且唯一的有 A． B． C． D． 11. 设互不相等的一组数据的平均数为，方差为，现从中去掉一个数据后的平均数为，方差为，下列结论正确的有 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知在平面中，点的坐标为，向量，，点P是线段AB的中点，则点P的坐标为 ． 13. 已知复数是关于x的方程（R，R）的一个根，则 ． 14. 已知在△ABC中，D，E为边BC上的两点，满足，，则的值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分） 某次比赛100名参赛选手的成绩统计后分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）求a，b的值； （2）若比赛成绩前的选手评一等奖，请估计一等奖选手成绩的最低分． 16. （15分） 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，再向上平移a个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有三个零点，求实数a的取值范围． 17. （15分） 某几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱， 已知正四棱锥的高，正四棱柱的高，且． （1）求该几何体的体积与表面积； （2）若一只蚂蚁沿着该几何体的表面从点爬到P点，求爬行的最短路程． 18. （17分） 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）设A的角平分线交BC于点D，设，证明：； （3）设E为线段BC的一个靠近点C的三等分点，若的外接圆半径为，求AE的取值范围． 19. （17分） 如图，已知在四面体中，设，，． （1）若，，且二面角为直二面角，求n的值； （2）若，△BCD为直角三角形，求的最小值； （3）设直线与平面所成的角为，若，求的取值范围． ( 第 2 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $…心… B 贴条形码区 I 填涂样例 贴缺考标识 正确填涂■ 考生禁填！由监考老师填写。☐ 注1，答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定的位置贴好条形码 意2选样题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用签字笔或钢笔答题：字体工整、笔迹清楚， 事3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在试题卷，草稿纸上答题无效。 项4保特卡面清清，不要折叠，不要弄破。考试结束后，请将答题卡，试题卷一并上交， 选择题 1ABCD可 5A)B☐GD☐ 9A®回四回 2A)B☐C☒D回 6A B CD] 10囚®C回 3AB D 7 [A][B [C][D] 11 [A][B]C][D 4四回©回 8囚B©回 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 填空题 12. 13. 14 请勿在此区域内作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 解答题 15.(本小题13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ,”°§i口1tmt2+ 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题15分) 101 ol B DL A1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ,”°§元口2tnt2t 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效高一数学试题参考答案与评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.C 2.C3.B 4.B 5.D 6.D 7.A 8.C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.BCD 10.AC 11.AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(3,1) 13.9 14.2 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (以下解答仅供参考，有其他合理解法均可根据相应步骤给分) 15.(13分) 10a+10b=0.3 a=0.005 解：(1)由题意可知， 10x(0.045+0.020+4-0,7·解得 b=0.025 …6分 (2)由(1)及图知，0.005×10<0.20<(0.005+0.020)×10， 故成绩前20%选手（分数从高到低）的最低分位于区间[75,85)， .…10分 设为x,由0.05+(85-x)×0.02=02,可得x=77.5, 即一等奖选手成绩的最低分约为77.5分.… 13分 16.(15分) 解：1)由图可知：函数f()的周期T=2×红-)=2n 1212=3 又0>0，所以0=2π-=3. 3分 又因为f径-1.日m6×晋+-1， 则3×5+9+2keZ.即0-+2keZ, 4 l小经，可知k-09-牙所以f0)=in6x+孕…6分 (2)依题意可得：g()=fc++a=sim(3x+3西)+a, …9分 高一数学答案第1页（共4页） 8的在区同-5孕上有三个零点。 即函数y=sin(3x+ 3巧与函数y=一Q在区间[上有三个交点，………………11分 令t=3r+3πe 4 平头，即y=s1与函数a在区间-还努上有三个文点， 结合图象可得：血5-0-药，回有怎≤a<1 …15分 2 17.(15分) 解：(1)该几何体的体积V=V,-ABCD+'ABcD-4CA ×2×2x1+2×2x2√5=4+85…3分 3 过点O作OM⊥BC,垂足为M,连接PM, 则PM=√PO+OM2=√2 该几何体的表面积S=4 SAPBC+4SABB4+S4,SA =4×)x2×V2+4×2x2V2+2x2=202+4…7分 (2)如图，将△PAB和四边形ABBA1展开到同一平面， 连接AP,易知蚂蚁爬行的最短路程即为A1P,…10分 过P作PHLAB1,垂足为H, 由4H=号48=1，PH=2+25-35. 可得AP=√AH2+PH=V9, 即蚂蚁沿着该几何体的表面从A点爬到P点，爬行的最短路程为√9 …15分 18.(17分) 解：（1)sinB+sinC+sin(2A+C)=sinB+sin(A+B)+sin(B-A)…2分 sin B+2sin B cos A=sin B(1+2cos A)=0 sinB≠0，故有1+2cosA=0→co8A=-7,A∈(0，网，故A=27 …5分 3 -amsin+bmsin .2π1 (2)由S△MBc=S△MBD+SAACD,得bcin ,…8分 32 32 3 高一数学答案第2页（共4页） 即有bc=am+bm=m(b+c0),故上_b+c-L+1 10分 m bc b c (3)依题意可得：0=b=C=2R=25, sinA sin B sinC 故1=3，b=2√3sinB,C=2V3sinC,…12分 在A4ch4C-6cE=时a-l. 由余弦定理得：AE2=b2+1-2 bcos C=12sin2B+1-4V3 sin B cosC =12sn2B+1-45nBc0(8)=6nB-25 sino+1=4-25n(2B+7 ,…15分 由Beo3.sn(2B+∈(0， 故4-2W5≤AE2<4,即有V5-1≤AE<2.… 17分 19.(17分) 解：(1)取BC的中点M,连接AM,DM, 依题意易得AM⊥BC,BD=CD,故DMLBC, 故二面角A-BC-D的平面角为∠AMD=亚， …2分 在△ACD中，由余弦定理可得：CD2=n2+4-21, 又易知AM=√5，MC=1, AD2=AM2+MD2=AM2+CD2-MC2 n2=3+n2+4-2n-1, 解得n=3.… …4分 （2)若a=胥则5C=m,Bn=CD=m+2-2mcs △BCD为直角三角形，只有∠BDC为直角，…5分 此时BC2=BD2+CD2=22+2n2-42cosB=m2, 即有l2+2n2-4nmc0sB=0,…7分 故cosg=m+2=m+”2, m n 2 4nm 4n 2m ”=2,当且仅当-点时服取等号 故cosB的最小值为 2 …10分 (3)结合(1)问图，过D作DN⊥AM,垂足为N, 高一数学答案第3页（共4页） 易知BC⊥平面AMD,故BC⊥DN,故DN⊥平面ABC, 故AD与平面ABC所成的角即为∠DAM…I2分 解法1：AM=meos,MC=msim 2 21 CD2=m2n2-2mcosB,MD2=(mcos +n2-2mcoscos0, 由cD'=Mc2+MD2可得m2+n2-2 moB=0msin}+0mcos92+n-2 mcoco8, 整理得cos6=c0sE …15分 2 1 a 3 由u+20-于，有6m0=02 cos( 032= 2o2+3sm2L+ tan cOS- 222 2 2 2 本题中，易知cos6∈O.D,故有cosB<cos?,即有B≥ 结合a+20-径，可得a=Q月，故c0 1,V3a 1 一十 2tan∈(，1)…17分 22221 解法2：过N作NH⊥AC,垂足为H,连接DH, 易得DH⊥AC, AD cosAH 由cos日=AW 2 AN CosB=AH AD B 可得c0s0=c0sB cosg,下同解法1 2 高一数学答案第4页（共4页）