湖北随州市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

**基本信息** 高二数学期末试卷，涵盖函数、数列、统计等知识，通过生物幼苗生长、楚超联赛传球等真实情境及JKH操作新定义问题，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|函数、正态分布、独立性检验等|单选夯实基础，多选以JKH操作考查创新思维| |填空题|3题15分|向量、切线方程、概率计算|知识交汇，如曲线切线与相切问题| |解答题|5题77分|线性回归、概率模型、函数恒成立等|情境真实，综合考查数学建模与逻辑推理|

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1. 已知函数fx)=x2,则imfQ+△)-f@ △x A.1 B.2 C.-1 D.-2 2.若直线x-2y+3=0是圆(x-1)2+(y-2)2=4的一条对称轴，则实数m= A.-7 B.-1 C.1 D.7 3.已知等差数列{an}的前n项和为S,若4+44+a+a=12,则S= A.24 B.36 C.48 D.60 4.某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布N(80,400),则分数在120分以 上的考生约有 (参考数据：若X~N(4,o2),则有P(-o≤X≤u+σ)≈0.6827， P(u-2o≤X≤+2o)≈0.9545， P(u-3o≤X≤l+3σ)≈0.9973) A.228人 B.455人 C.1359人 D.1587人 5. 已知椭圆。+上=10m>0和双曲线￥-y=10m>0)的焦点相同，则m+n= 4 A.-5 B.-3 C.3 D.5 6.从某学校获取了容量为400的简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数 据整理如下 单位：人 语文成绩 数学成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 210 60 270 优秀 50 80 130 合计 260 140 400 某同学为了计算简洁，把表中所有数据都缩小为原来的 0 (即去掉最后面那个0)后，代入 n(ad -be)2 公式x2= ,n=a+b+c+d计算得出x2≈5.96，则 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d 第1页共4页 附：x统计量临界值表 2 0.10 0.05 0.01 0.005 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 A.该同学的计算方法正确，根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为数学成绩与语 文成绩有关联 B.该同学的计算方法正确，根据小概率值=0.01的独立性检验，可以认为数学成绩与语 文成绩没有关联 C.该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为x2≈59.6，根据小概率值=0.01的 独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联 D.该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为x2≈59.6，根据小概率值=0.01的 独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联 7. 设A,B是两个随机事件，满足PA)=子PB0=子PB面=？，则P(®)= B名 c.} D. 12 8.已知函数f(x)=(2x+1)e-x在(0，+o)上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为 A.(0,2) B.(0,4√e) C.(2We,+m) D.(4Ve,+o) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.老师要从8篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格， 某位同学只能背诵其中的6篇，设抽到他能背诵的课文的数量记为随机变量X,X的期望 记为(X),则 A.X的可能取值为0,1,2,3 B.PK=2)= 28 c.) D。该同学能及格的概率为 28 10设函数f)=-m2-am-3x+3,则 A.f(x)有两个极值点 B.当a=0时，f(x)关于(0,3)对称 C.当a>-6时，f(x)在(-1,0)上单调递减 D.当a<-6时，f(2e)>f(e) 第2页共4页 11.在多项式a-b-c-d-e-f中对相邻的两个字母间任意添加括号，然后进行去括号运算， 称此为“KH操作”， 例如：a-b-(c-d)-e-f=a-b-c+d-e-f, (a-b)-c-(d-e)-f=a-b-c-d+e-f, (a-b)-(c-d)-(e-f)=a-b-c+d-e+f. 则下列说法正确的有 A.存在“JKH操作”，使其运算结果与原多项式相同 B.存在“JKH操作”，使其运算结果与原多项式之和为0 C.不同的“KH操作”一共有12种 D.所有的“KH操作”一共有8种不同的运算结果 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(3,-元，-2)，向量b=(4,1,),若a⊥i,则1 13.已知曲线y=x+hnx在点1,1)处的切线与曲线y=x2+2x-a相切，则a= 14.在一条线段上标出所有的11等分点，从中任选2个点，将该线段从这2个点处截断，则形 成的3条新线段可以构成三角形的概率是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=x-xnx+1 (1)当=2时，求f(x)的单调区间： (2)若对任意的x>0,f(x)<2恒成立，求m的取值范围. 16.(15分) 某生物兴趣小组观察某植物生长规律，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为yc, 测得一些数据如下表所示： 第x天 1 2 3 4 5 高度y/cm 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 (1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求出相关系数并加以说明： (2)求y关于x的回归直线方程，并预测第9天这株幼苗的高度. 参考数据： 2%=0含5--12--3版606a53. 1=1 第3页共4页 2x-0-列 ∑-两 i= 参考公式：相关系数= 2时9%-列②5-习⅓ 回归方程立=x+à中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为6= -,a=-b 年- 17.(15分) 己知(x2+10(2x+1)6=a+a41(x+1)+a(x+1)2++a(x+1)3. (1)求a+☑+…+的值： (2)求4+24+3%3+…+83的值： (3)求4的值. 18.(17分) 湖北省城市足球联赛（别称“楚超”联赛）是由湖北省于2026年创办的全省性足球赛事， 全省17个市州（直管市、林区）各组建一支代表队参赛，揭幕战于4月12日在黄石举行.某球 队的甲、乙、丙三名队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人 中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传 出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为p,易知P,=1,P)=0. (1)传球三次后，球累计在乙脚下的次数记为随机变量X,求X的期望()： (2)证明：(，之}为等比数列： (3)设第n次传球之前球在乙脚下和丙脚下的概率分别为和r,比较p10,q10,r1o的大小. 19.(17分) 已知f(x)x-2lnx+m. (1)若m=-1,x∈[1，e2],求f(x)的值域： (2)若存在实数a使得f(x)=a有四个不等实根x,x3,x3,x4,设x<x3<x3<x4 (i)求实数m的取值范围； (ii)求证：xx4<x2x3 第4页共4页高二数学试题参考答案与评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.B 2.C3.A 4.A 5.C 6.c 7.D 8.D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.BCD 10.BD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.4 13.1 青 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （以下解答仅供参考，有其他合理解法均可根据相应步骤给分) 15.(13分) 解：(1)当=2时，f(x)=2x-xnx+1,x>0.. …1分 f'(x)=2-hx-1=1-lhx,… …2分 当f"(x)>0时，0<x<e;当f(x)<0时，x>e,…4分 故f(x)的单调递增区间为(0，e),单调递减区间为(e,+o)…5分 (2)由f()<2,得x-xInx+1<2,即m<hnx+ …8分 令g()=nx+1,x>0,依题意m小于g(w)的最小值， … 10分 国=-是，当0<1听，了0<0，当s1时.0 Γxx2 故8(x)在(0,1)上单调减，在1，+o)上单调递增， …12分 故g(x)的最小值为g)=1,故<1.…13分 16.(15分) 解：（1)由x=0+2+3+4+5)=3,… 。。。。。。。。。。。。。。。。。。 …2分 1 歹=(0.3+1.7+2.2+2.8+3.5)=2.3，…4分 5 5可 40-5x3×235.5 所以 ②-可Σy-列明 √10×3.06 50（或≈0,95)，6分 V30.6553 因为r与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y与x的关系： …7分 高二数学答案第1页（共4页） 是y-5y (2)b= 55-055, …10分 ∑：-对 10 i= à=-bm=2.3-0.55×3=0.65,… 12分 所以y关于x的回归直线方程为少=0.55x+0.65,… …3分 当x=9时，=0.55×9+0.65=5.6，由此预测第9天这株幼苗的高度为5.6cm.…15分 17.(15分) 解：（1)在原等式中，令x=0,可得4+4十☑十…+4g=1,…2分 再令X=-l,可得0=2，…3分 故%十03十…+4妈=-1.… …5分 (2)对原等式两边分别求导可得2x(2x+1)6+6(x2+1)2x+1)3×2=41+2a(x+1)++8(x+1)了， 。。。0.04。。。0.0.0.00。。。0.0.0.0.0 …8分 再令x=0,可得4+24+34+…+8=12；… …10分 (3)令t=x+1,即有(2-2f+2(2t-1)6=+at+a,f2+a3+ag8，…12分 4=C6×2×(-1)5-2Cg×22×(-1)1+2Cgx23×（1月=-452. …15分 18.(17分) 解：（1)依题意可得，X的取值可能为0,1,2，…1分 当X=0时，传球顺序为甲丙甲丙，故P(x=0)=×x{ 2228' …2分 111.1 当X=2时，传球顺序为甲乙甲乙或甲乙丙乙，故P(X=2)=2×2×2×2=4 ，…3分 4 当x=1时，Px=0=1-Px=0-PX=2)- …4分 2x19 故X的别塑为)0安1 8 48 …5分 (2)第n次传球之前球在甲脚下的概率为P,则当n≥2时，第n-1次传球之前球在甲脚下的概率为P,-1, 第n-1次传球之前球不在甲脚下的概率为1-P-1,则 a=0*0-%)分+号 …7分 …9分 又A-写子收似宁是以号为首项，会比为的等比数别： …10分 高二数学答案第2页（共4页） 由0可知，即后 …12分 根搭对称性，可得a。。一之0- …14分 故p10= + 9如=和号-A 1 …16分 233 故乃10<0=10… …17分 19.(17分) 解：(1)令g(x)=x-21nx+m,f()=g(x)川 当m=-1,x∈l,e]时，8(9=x-2nx-1,g)=1-2--2 …1分 xx 当1≤x<2时，8(x)<0,所以g(x)在[1,2)上单调递减， 当2<x≤e时，g'(x)>0,所以g(x)在(2，e2]上单调递增， 所以g(x)mn=g(2)=2-2n2-1=1-2n2<0,…3分 又因为g(1)=0,g(e=e2-5>0,所以g()的值域为[1-2ln2,e2-5], 又因为l1-2hm2F2m2-1<2me-1=1,e'-5>1, 即有1-2n2Ke2-5,所以f(x)的值域为[0，e-5].…5分 (2)①D令8=x-21nx+,g6w=1-2=X-2 当0<x<2时，g'(x)<0,所以g(x)在(0,2)上单调递减： 当x>2时，g'(x)>0,所以g(x)在(2，+o)上单调递增； 所以g(x)的最小值为g(2)=2-2n2+,… …7分 又当x→0，g(x)→+0，x→+0,8(x)→+0， 若存在实数a使得f(x)g(x)=a有四个不等实根，则g(2)<0, 9分 即有2-2n2+m<0,解得<2n2-2.… …10分 (i)因为f(x)=f(x2)=f(3)=f(x4),且x1<x3<x3<x4, 易知g(化3)=g(x3）<0,g()=g(x4)>0…11分 由f(x,)=fc)=-x,+2nx,-m=-x+2nx-m得x,-七=21n x 高二数学答案第3页（共4页） 令5=，则s>1,所以，-x,=2n→6-1)x,=2s→x= 21ns x. x, -1 由fx)=fc)=x-2血x+m=七-21nx4+m得x4-x=2m, 令1=点，则1>1，所以-=2h专→亿-0=2血1今￥=7 21nt 要证xx4<x2x3,只需证t化<sx, 即证Vx<V5x,即证2Vflt2Wms … …14分 t-15-1 因为x<<考<4·所以t>5>1,令()=x血x,x>) x2-11 )=+D1). (x2-1)2 (x2-1)2x2+12 令p(w=-1n,>》,则 u+121 g(0=u+1-u-0-1-u-02 u+D22a2uu+0<0, 所以p(在(L,+o)上单调递减，所以p(u)<p(1)=0, 所以h(x)<0,即h(x)在(I,+o)上单调递减， 又因为t>5>1,所以Vt>√5>1， 数w<,即n正5n5,即r<5ns (Wt)2-1(W5)2-12(t-1)2(s-1) 故2Fnt<2W5l血5，即4<x,3.… …17分 t-15-1 高二数学答案第4页（共4页）B 贴条形码区 I 填涂样例 贴缺考标识 正确填涂■ 考生禁填！由监考老师填写。☐ 注1，答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定的位置贴好条形码 意2选样题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用签字笔或钢笔答题：字体工整、笔迹清楚， 事3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在试题卷，草稿纸上答题无效。 项4保特卡面清清，不要折叠，不要弄破。考试结束后，请将答题卡，试题卷一并上交， 选择题 1ABCD可 5A)B☐GD☐ 9A®回四回 2A)B☐C☒D 6A B CD] 10囚®C回 3AB© 7 [A][B [C][D] 11 [A][B]C][D 4四回©回 8囚B©回 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 填空题 12. 13. 14 请勿在此区域内作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 解答题 15.(本小题13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ,T°§元¤1tnt2+ 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ,T°§.元¤2tnt2+ 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 高二数学试题参考答案与评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1． B 2． C 3． A 4． A 5． C 6． C 7． D 8． D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9． BCD 10． BD 11． ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．4 13．1 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （以下解答仅供参考，有其他合理解法均可根据相应步骤给分） 15．(13分) 解：（1）当时， 1分 ， 2分 当时，；当时，， 4分 故的单调递增区间为，单调递减区间为 5分 （2）由，得，即， 8分 令，依题意m小于的最小值， 10分 ，当时，，当时，， 故在上单调减，在上单调递增， 12分 故的最小值为，故. 13分 16．(15分) 解：（1）由， 2分 ， 4分 所以， 6分 因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系； 7分 （2）， 10分 ， 12分 所以关于的回归直线方程为， 13分 当时，，由此预测第9天这株幼苗的高度为5.6cm. 15分 17．(15分) 解：（1）在原等式中，令，可得， 2分 再令，可得， 3分 故. 5分 （2）对原等式两边分别求导可得， 8分 再令，可得； 10分 （3）令，即有， 12分 . 15分 18．(17分) 解：（1）依题意可得，X的取值可能为0，1，2， 1分 当X = 0时，传球顺序为甲丙甲丙，故， 2分 当X = 2时，传球顺序为甲乙甲乙或甲乙丙乙，故， 3分 当X = 1时，， 4分 故X的期望为: . 5分 （2）第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则 ， 7分 从而， 9分 又，故是以为首项，公比为的等比数列． 10分 （3）由（1）可知，即， 12分 根据对称性，可得 14分 故，， 16分 故. 17分 19．(17分) 解：（1）令， 当，时，，， 1分 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 3分 又因为，，所以的值域为， 又因为，， 即有，所以的值域为． 5分 （2）（i）令， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 所以的最小值为， 7分 又当，， 若存在实数使得有四个不等实根，则， 9分 即有，解得. 10分 （ii）因为，且， 易知 ， 11分 由得， 令，则，所以， 由得， 令，则，所以， 要证，只需证， 即证，即证， 14分 因为，所以，令， ， 令，，则 ， 所以在上单调递减，所以， 所以，即在上单调递减， 又因为，所以， 故，即，即 故，即． 17分 高二数学答案第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知函数，则 A．1 B．2 C． D． 2. 若直线是圆的一条对称轴，则实数 A． B． C． D． 3. 已知等差数列的前项和为，若，则 A．24 B．36 C．48 D．60 4. 某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在120分以上的考生约有 （参考数据：若～，则有 ， ， ） A．人 B．人 C．人 D．人 5. 已知椭圆和双曲线的焦点相同，则 A． B． C．3 D．5 6. 从某学校获取了容量为400的简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下 单位：人 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 210 60 270 优秀 50 80 130 合计 260 140 400 某同学为了计算简洁，把表中所有数据都缩小为原来的（即去掉最后面那个0）后，代入公式计算得出，则 附：统计量临界值表 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A．该同学的计算方法正确，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联 B．该同学的计算方法正确，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联 C．该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联 D．该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联 7. 设A，B是两个随机事件，满足，，，则 A． B． C． D． 8. 已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 老师要从8篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某位同学只能背诵其中的6篇，设抽到他能背诵的课文的数量记为随机变量，的期望记为，则 A．X的可能取值为0，1，2，3 B． C． D．该同学能及格的概率为 10. 设函数，则 A．有两个极值点 B．当时，关于对称 C．当时，在上单调递减 D．当时， 11. 在多项式中对相邻的两个字母间任意添加括号，然后进行去括号运算，称此为“JKH操作”， 例如：， ， ． 则下列说法正确的有 A．存在“JKH操作”，使其运算结果与原多项式相同 B．存在“JKH操作”，使其运算结果与原多项式之和为0 C．不同的“JKH操作”一共有12种 D．所有的“JKH操作”一共有8种不同的运算结果 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知向量，向量，若，则__________． 13. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_________． 14. 在一条线段上标出所有的11等分点，从中任选2个点，将该线段从这2个点处截断，则形成的3条新线段可以构成三角形的概率是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分） 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 16. （15分） 某生物兴趣小组观察某植物生长规律，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示： 第天 1 2 3 4 5 高度 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5 （1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求出相关系数并加以说明； （2）求关于的回归直线方程，并预测第9天这株幼苗的高度． 参考数据：． 参考公式：相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 17. （15分） 已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 18. （17分） 湖北省城市足球联赛（别称“楚超”联赛）是由湖北省于2026年创办的全省性足球赛事，全省17个市州（直管市、林区）各组建一支代表队参赛，揭幕战于4月12日在黄石举行．某球队的甲、乙、丙三名队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知，． （1）传球三次后，球累计在乙脚下的次数记为随机变量X，求X的期望E(X)； （2）证明：为等比数列； （3）设第n次传球之前球在乙脚下和丙脚下的概率分别为qn和rn，比较p10，q10，r10的大小． 19. （17分） 已知． （1）若，，求的值域； （2）若存在实数使得有四个不等实根，，，，设． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． ( 第 3 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $