第3章 3.2 导数与函数的单调性（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

**基本信息** 以导数与单调性关系为核心，通过构造函数、分类讨论等方法，系统覆盖单调区间判断、大小比较、参数范围等考法，逻辑链条从概念到应用，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-2题|导函数符号判断单调区间、求导解不等式|导数几何意义→单调性判定定理| |综合应用|3-6题|构造函数比较大小、利用单调性解不等式|函数性质→导数应用→问题转化| |参数问题|7-10题|导数零点分析、恒成立问题转化|含参函数→导数符号→参数范围| |创新拓展|11-14题|导数证明单调性、Sigmoid函数应用|综合导数应用→实际问题建模|

课时冲关17　导数与函数的单调性 [基础巩固练] 一、单选题 1．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 解析：D　[f′(x)＞0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)＜0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D符合．] 2．函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是(　　) A. B. C. D.∪ 解析：C　[∵函数f(x)＝2x2－ln x，∴f′(x)＝4x－＝＝. 由f′(x)＜0，解得0＜x＜， ∴函数的单调递减区间是.] 3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<c<b B．b<a<c C．a<b<c D．c<a<b 解析：C　[令f(x)＝，则f′(x)＝.令f′(x)<0，解得x>，因此f(x)在(，＋∞)上单调递减，因为a＝＝＝f(4)，b＝＝＝f(e)，c＝＝＝f()，又因为4>e>>，所以f(4)<f(e)<f()，即a<b<c.] 4．函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3]　 B．(－3,1) C．[1，＋∞) D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析：B　[因为f(x)＝x3－x2＋ax－5， 所以f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1， 如果函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上单调， 那么a－1≥0或解得a≥1或a≤－3，于是满足条件的a∈(－3,1)．] 5．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，若对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 解析：B　[令函数g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)在R上是增函数，又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝2＋2－4＝0，∴原不等式可化为g(x)>g(－1)．由g(x)的单调性，得x>－1.] 6．已知函数f(x)＝sin x＋cos x－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln 2)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a 解析：A　[函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝cos x－sin x－2＝cos－2≤－2<0，因此函数f(x)在R上单调递减，而－π<0<ln 2<1<2e，则f(－π)>f(ln 2)>f(2e)，即a>c>b.] 二、多选题 7．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是(　　) A．－3　　 B．－1 C．0　　 D．2 解析：BD　[依题意知，f′(x)＝3ax2＋6x－1有两个不相等的零点，故解得a>－3且a≠0.] 8．已知函数f(x)的定义域为R，且f′(x)>1，f(3)＝4，则下列结论中正确的有(　　) A．f(x)为增函数 B．g(x)＝f(x)－x为增函数 C．f(2x－1)>4的解集为(－∞，2) D．f(2x－1)>2x的解集为(2，＋∞) 解析：ABD　[对于A，因为f′(x)>1，所以f(x)为增函数，故A正确；对于B，由g(x)＝f(x)－x，g′(x)＝f′(x)－1>0，所以g(x)为增函数，故B正确；对于C，f(3)＝4，则f(2x－1)>4等价于f(2x－1)>f(3)，又f(x)为增函数，所以2x－1>3，解得x>2，所以f(2x－1)>4的解集为(2，＋∞)，故C错误；对于D，f(2x－1)>2x等价于f(2x－1)－(2x－1)>1＝f(3)－3.即g(2x－1)>g(3)，又g(x)为增函数，所以2x－1>3，解得x>2，所以f(2x－1)>2x的解集为(2，＋∞)，故D正确．] 三、填空题 9．函数f(x)＝xln(－x)的单调递减区间是________． 解析：函数f(x)＝xln (－x)的定义域为(－∞，0)，f′(x)＝ln(－x)＋1，令f′(x)≤0，解得－≤x<0，所以函数f(x)的单调递减区间是. 答案： 10．已知函数f(x)＝x2＋2x－2aln x在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 解析：∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)＝x＋2－≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2a≤x2＋2x在(0，＋∞)上恒成立；又当x>0时，x2＋2x>0，∴2a≤0，解得：a≤0，∴实数a的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 四、解答题 11．已知函数f(x)＝＋ax－(ax＋1)ln x在x＝1处的切线方程为y＝bx＋(a，b∈R)． (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 解：(1)因为f(x)＝＋ax－(ax＋1)ln x， 所以f′(x)＝x＋a－aln x－＝x－－aln x， 依题意可得， 即，解得， 所以a＝2，b＝0. (2)证明：由(1)可得f(x)＝＋2x－(2x＋1)ln x，则f′(x)＝x－－2ln x， 令g(x)＝f′(x)＝x－－2ln x，x∈(1，＋∞)，则g′(x)＝1＋－＝＞0， 所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0， 所以当x∈(1，＋∞)时g(x)＞0，即当x∈(1，＋∞)时f′(x)＞0， 所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 12．已知函数f(x)＝x2＋aln x. (1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间； (2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当a＝－2时，f′(x)＝2x－＝， 由f′(x)<0得0<x<1， 故f(x)的单调递减区间是(0,1)． (2)由题意，得g′(x)＝2x＋－， ∵函数g(x)在[1，＋∞)上单调， 当g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数时，则 g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立， 设φ(x)＝－2x2. ∵φ(x)在[1，＋∞)上单调递减， ∴在[1，＋∞)上，φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0. 当g(x)在[1，＋∞)上单调递减时，则 g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，易知其不可能成立． ∴实数a的取值范围为[0，＋∞)． [能力提升练] 13．[多选]Sigmoid函数S(x)＝是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数．记S′(x)为Sigmoid函数的导函数，则(　　) A．S′(x)＝S(x)[1－S(x)] B．Sigmoid函数是减函数 C．函数S′(x)的最大值是 D． [S(k)＋S(－k)]＝2024 解析：ACD　[由函数S(x)＝，得S′(x)＝.对于A，S(x)[1－S(x)]＝＝＝S′(x)，A正确；对于B，∀x∈R，S′(x)＝>0，则Sigmoid函数是增函数，B不正确；对于C，S′(x)＝＝≤＝，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时取等号，C正确；对于D，因为S(x)＋S(－x)＝＋＝＋＝1，所以 [S(k)＋S(－k)]＝2024，D正确．] 14．若对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1＜x2，＜2，则实数m的取值范围是________． 解析：对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1＜x2，＜2，易知m≥0， 则x1lnx2－x2lnx1＜2x2－2x1，所以x1(lnx2＋2)＜x2(lnx1＋2)， 即＞. 令f(x)＝，则函数f(x)在(m，＋∞)上单调递减． 因为f′(x)＝－，由f′(x)＜0，可得x＞， 所以函数f(x)的单调递减区间为， 所以(m，＋∞)⊆，故m≥， 即实数m的取值范围为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $