1.5 一元二次方程、不等式-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

高考总复习数学 §1.5一元二次方程、不等式 ★[考试要求] 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个 数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 知识拓展用活 1.二次函数与一元二次方程、不等式的解集的 (1)一元二次不等式恒成立问题 对应关系 ①不等式ax2+bx+c>0(a≠0)，x∈R恒 成立台a>0且△<0； 判别式 ②不等式ax2+bx+<0(a≠0)，x∈R恒 △>0 △=0 △0 △=b2-4ac 成立台a<0且△<0； ③若a可以为0，需要分类讨论，一般优先 二次函数 考虑a=0的情形 y=ax'+bx (2)对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要 +c(a>0)的 忘记a=0时的情形 图象 (3)当△0时，不等式ax2+bx+c>0(a≠0) 的解集为R还是心，要注意区别. 方程a.x2十 有两个不相有两个相等 自主诊断查验 等的实数根 的实数根x 没有 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/” bx+c=0(a x1X2（x1< 实数根 或“X”) >0)的根 =x2= b x2) 2a (1)若不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为 (x1,x2),则必有a>0. (2)若方程a.x2+bx+c=0(a≠0)没有实数 ax+bx+c 根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R. b >0(a>0) 2a 个 () 的解集 (3)不等式a.x+bx十c≤0在R上恒成立的条 件是a<0且△=b2-4ac≤0. (4)若二次函数y=ax2十bx十c的图象开口向 ax+bx+c 下，则不等式ax2+bx+c<0的解集一定 <0(a>0) 不是空集 () 的解集 2.不等式工二≤0的解集是 () “x-3 2.分式不等式与整式不等式 A.(-∞，1)U[3,+∞) 1)fx>0(<0)台 B.(-∞，1]U(3,+∞) 8(x) C.[1,3) e≥0(c0 D.[1,3] 3.不等式x2-ax-b<0的解集为(2,3)，则a 3.简单的绝对值不等式 +b= |xl>a(a>0)的解集为 4.不等式mx2+m.x十1>0对一切x∈R恒成 |x<a(a>0)的解集为 立，则实数m的取值范围是 ·14· 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1 一元二次不等式的求解 :跟踪训练 [角度1]不含参的不等式 1.(2025·全国二卷)不等式二>2的解 例1一1][多选]下列选项中，正确的是( 集是 A.不等式-x2一x+2>0的解集为{xx< A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2} -2,或x>1〉 C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1} B.不等式2+号≤1的解集为(x-3≤<2 x-2 2.解关于x的不等式： C.不等式|x-2≥1的解集为{x1≤x≤3} ax2-(2a-1)x-2≥0. D.设x∈R,则“x-1<1”是“x十 x-5 <0”的 充分不必要条件 [角度2]含参不等式 例1-2]解不等式12x-a.x>a(a∈R). [尝试解答] 题型2 三个二次之间的关系 例2][多选]已知关于x的不等式ax2+bz 十c>0的解集为{x|x<一2，或x>4},则下 规律方法 列说法正确的是 () 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的 A.a>0 方法 B.a+b<c (1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二 C.bx+c>0的解集是{x|x>-4} 次项系数是等于0，小于0，还是大于0， D.cx2-bx十a<0的解集是 然后将不等式转化为一次不等式或二次 项系数为正的形式. {xx<- (2)当不等式对应的一元二次方程的根的个 规律方法 数不确定时，讨论判别式△与0的关系 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相 (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程 应的一元二次方程的两根，由根与系数的关 有两个根时，要讨论两根的大小关系，从 系，可以求出相应的系数.注意结合不等式 而确定解集形式。 解集的形式判断二次项系数的正负. ·15 高考总复习数学 跟踪训练 规律方法 [多选]已知关于x的不等式ax十bx十c<0 恒成立问题求参数的范围的解题策略 的解集为（一∞，1）U(5,+∞)，则( (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁 A.a>0 的范围，谁就是参数 B.a+b+c>0 (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判 C6x+c>0的解集是{女>} 别式△，一元二次不等式在给定区间上 恒成立，不能用判别式△，一般分离参数 D.cx2-bx十a<0的解集是 求最值或分类讨论： {红z>-,或x<-1} 日跟踪训练 题型3〔一元二次不等式恒成立问题 已知函数f(x)=x2-3x+a. (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a 例3] 已知函数f(x)=m,x2-(m-1)x+m 的取值范围； -1. (2)若f(x)<0在x∈（一1,2）上恒成立，求 (1)若不等式f(x)<1的解集为R,求m的 实数a的取值范围， 取值范围； (2)若不等式f)≥0对一切x∈[-2，号]恒 成立，求m的取值范围； (3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒 成立，求x的取值范围， [尝试解答] C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关5 ·16§1.5一元二次方程、不等式 复盘·必备知识必备知识掌握 1.{xx<x1或x>x2}{xx1<x<x2}0必 2.(1)f(x)g(x)>0(<0)(2)f(x)g(x)≥0(0)且g(x)≠0 3.(-o∞，-a)U(a,十o∞)(-a,a) 自主诊断查验 1.(1)/(2)×(3)×(4)/ 2C0台{3-3》0-1<<3.所以不 八x-3≠0 等式二0的解集为[1,3.] 3.解析：由不等式x2一ax一b0的解集为(2,3)，知方程 x2-ax-b=0的解为2或3， 由书达定理，得{径x”。解得a=56=-6 所以a十b=一1. 答案：-1 4.解析：当=0时，显然成立；当m≠0时，由已知得 ∫m>0, 解得0<m<4.综上知，实数m的取值 {△=m2-4m<0, 范围是[0,4). 答案：「0,4) 跃升·关键能力题型1 例1一1][解析]因为方程一x一x十2=0的解为x1 =1,x2=-2,所以不等式一x2-x十2>0的解集为 {x-2<x<1},故A错误； 因为2x十11≤0，即-2≤0，即（x十3)（x-2)≤ x-2 0(x一2≠0)，解得一3≤x<2,所以不等式的解集为 {x一3x<2},故B正确； 由x-2≥1，可得x-2-1或x-2≥1， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{xx≤1，或 x≥3}，故C错误； 由x一1<1，可得一1<x一1<1，解得0<x<2,由 0.可得-4K<5,因光.“一1<1哭 x+4 0”的充分不必要条件，故D正确. [答案]BD [例1-2][解]原不等式可化为12x2-a.x-a2>0, 即(4x十a)(3x-a)>0, 令(4x十a)(3x-a)=0, 解得=一是x=号 当α>0时，原不等式的解集为 (-∞，-)u(号，+∞）： 当a=0时，原不等式的解集为（一∞，0）U(0,十∞)： 当a<0时，原不等式的解集为 (∞，号)(，+∞） 跟踪训练 1.C [南号≥29号≥0台当≤0日 x-1 x-1)(x+2)≤0台-2≤<1.] 0x-1≠0 2.解：不等式a.x2-(2a-1)x-2≥0可化为 (ax十1)(x-2)0, 当a=0时，x-2≥0，不等式的解集为[2，十∞)； 当a>0时，不等式化为(+日)）水x-2)≥0，共解集为 (-∞，-a]U[2,+∞)： 当a<0时，不等式化为(+日）-2)≤0. ·30 参考答案 （1)当一名<2，即a<-名时，不等支的解集 为[日2小 ()当一日=2，即a=合时，不等式的解条为2： ()当一上之2，即二子之a<0时，不等式的解集 a 为[2- ] 题型2 [例2][解析]因为关于x的不等式a.x2十bx十c>0的 解集为{xx<-2或x>4}, 所以a.x2十bx十c=0的两个根为-2和4，且a>0, 所以-2+4=-6,2X4=二，得b=二2a,c=-8a 所以A正确， 对于B,因为a十b-c=a十(-2a)-(-8a)=7a>0,所 以a十b>c,所以B错误， 对于C,因为b=-2a,c=-8a,所以bx十c>0可化为 -2ax-8a>0,因为a>0,所以x十4<0，得x<-4,所 以bx十c>0的解集为{xx<-4},所以C错误， 对于D,因为b=-2a,c=一8a,所以cx2-bx十a<0可 化为-8ax2十2ax十a<0,因为a>0,所以8x2-2x-1 >0,(2x-104z中1)>0，得<-或>，所以原 不等式的解集为{红<-子或>司}，所以D正确 [答案]AD 跟踪训练 CD[由题意可得1和5是方程ax2十bx十c=0的两 根，且a<0, 由书达定理可得1中5=一名，1X5=后 a, 得b=-6a,c=5a, 对于A,因为a<0,故A错误； 对于B,a十b十c=a-6a十5a=0,故B错误； 对于C,不等式bx十c>0,即-6ax+5a>0,即6x-5> 0得>号 :不等式6a十>0的解条是{红z>号}C正确： 对于D,由不等式cx2-bx十a<0,得a(5x2十6x十1)< 0,即5.x2十6.x十1>0， 则(5x十1)(x十1)>0，得>-吉或<-1，即解终为 {红>-子或<-1}故D正确] 题型3 [例3][解](1)不等式f(x)<1, 即m.x2-(m-1)x十m-2<0, 当m=0时，x一20，解得x2,不符合题意； 当m≠0时， 有∫m0, 1△=[-(m-1)]-4m(m-2)<0, 解得m<3-2⑤ 3 综上所述，的取值范围为 (2)不等式)0对-切[号]版成立， 即mx-x+1≥1-x对-切x【2]恒成主 67 高考总复习数学 因为x-x+1=(-）广+>0， 则不等式等价于m≥开时一切[立号]四 成立， 1-x 1 得，中中 1-x 一x十1一x 1 1 1-x+-元12/1-x)·-x1 音且仅当1-=亡脚=0时等号成多. 所以()1 所以m≥1，即m的取值范围是[1，十∞). (3)不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立， 即(x-x十1)m十x-3>0对一切m∈(0,2)恒成立， 令h(m)=(x2-x十1)m十x-3, 因为1=(-)广+是>0 所以函数h(m)=(x2-x十1)m十x-3在(0,2)上单调 递增， 则h(0)=x一3≥0，解得x≥3， 所以x的取值范围为[3，十∞). 跟踪训练 解：fx)=-3x+a=(-号)广a-号 则0=f(受）=a-是， f(x)>0在x∈R上恒成立， 即f(x)m=a 9 故实数a的取位范国是（号，十） 2rx）=x-3x+a-(e-）广+a-号， 3 f(x)在[-1,2]上的最大值为f(x)x=f(-1)= (1-)）广+a-9=4+a, 故f(x)在x∈(-1,2)上满足f(x)<4十a,故4十a≤0， 解得a≤一4. 故实数a的取值范围是（一∞，一4]. 第二章函数 §2.1函数的概念及其表示 复盘·必备知识必备知识掌握 1.实数集任意唯一确定2.(1)定义域对应关系 值域(2)定义域对应关系3.解析法列表法 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 3 2.D[由画教的性质得230>≥2，故画数定义 x-2≠0 【x≠2 城为[2,202，+o∞).] 3.B[由题知f(0)=f(2)=2-1=3.] 4.解析：令√十1=t,则x=(t-1)2,t≥1，于是有f(t)= (t-1)2-1=t-2t,t≥1，所以f(x)=x2-2x,x≥1. 答案：x2-2x,x≥1 ·3( 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]对于A,由y=√x-I十√一x干2有 含可#，仁200片以162 又对于任意的x∈[1,2]，存在唯一的y与之对应，所以 A正确； 对于B,由函数的定义，在定义域内的每一个x,有且只 有一个y与之对应， 所以函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1 个，故B正确； 对于C,fx)=十4，x≤0 (x-4,x>0 故f(0)=4,f几f(0)]=f(4)=4-4=0,故C错误； 对于D,函数f(x)=x2-2x与g(t)=t-2t有相同的定义 域与对应关系，故这两个函数是同一个函数，故D正确. [答案]ABD (2)[解析]因为f(x)的定义域为(1,3)， 所以f(x-1)满足1<x-1<3,即2<x<4, 又函数g(x)= x一1)有意义，所以x-3>0,即x>3 √x-3 所以函教g(x)=工D的定义城为(3,4. √/x-3 [答案](3,4) 跟踪训练 1.C[因为f(x)=+-,则≥0，解得≤1 x≠0 且x≠0， 所以函数f(x)的定义域是(-∞，0)U(0,1].] 2.AD[对于A,y=√，y=x的定义域为R,y=√T= 1x与y=x对应法则不相同， 故y=√x与y=x不是同一个函数，A正确； 对于B,y=√一x-2x十3，由-x2-2x十3≥0，可得 -3x1, 又-x2-2x十3=-(x十1)2十4，当x=-1时，-x2 2x十3取到最大值4， 故y=√一x2一2x十3的值域为[0,2]，故B错误： 对于C,函数y=x十√x-1的定义域为[1，十∞)，且单 调递增，此时√x一1≥0， 故函数y=x十√一I的值域为[1，十oo),C错误； 对于D,函数f(x十1)的定义域为[1,4]，即1≤x≤4，则 2x十15， 即函数f(x)的定义域为[2,5]，D正确.] 题型2 [例2][解](1)方法一（配凑法）： x-2元=(E-1)2-1, .fWG-1)=(WE-1)2-1,x≥0，√E-1≥-1 ∴.f(x)=x2-1(x≥-1). 方法二（换元法）：设u=√元-1，则√E=u十1(u≥-1)， .f(u)=(u+1)2-2(u十1)=t2-1(u≥-1)， 即f(x)=x2-1(x≥-1). (2)(待定系数法)设f(x)=a.x2十bx十c(a≠0)， 则f'(x)=2a.x十b=2x十2， ∴a=1,b=2,∴.f(x)=x2+2x十c. 又，方程f(x)=0有两个相等实根， ∴.△=4-4c=0,c=1,故f(x)=x2十2x十1. 8