第1章 1.3 等式性质与不等式性质（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义围绕等式性质与不等式性质核心考点，按比较大小方法、等式性质、不等式性质及特殊性质（倒数、分数）的逻辑层次梳理知识，通过知识点填空、判断题巩固、例题精讲（比较大小、性质应用）、分层练习（选择、填空、综合题）等环节，帮助学生构建知识体系，突破应用难点。 讲义突出数学思维培养，如通过作差法变形判断代数式大小引导学生形成推理意识，利用特殊值法验证不等式性质发展批判性思维。设置基础巩固、能力提升分层练习配合例题即时反馈，确保高效复习，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供系统指导。

§1.3　等式性质与不等式性质 ★[考试要求] 1．掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用． 1．两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R) 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么　b＝a　； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么　a＝c　； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔　b<a　； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒　a>c　； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒　ac>bc　，a>b，c<0⇒　ac<bc　； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒　a＋c>b＋d　； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ 　ac>bd＞0　； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 1．倒数性质 若ab＞0，则a＞b⇒＜； 若ab＜0，则a＞b⇒＞. 2．分数性质 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)真分数性质：＜；＞(b－m＞0)； (2)假分数性质：＞；＜(b－m＞0)． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(√) (2)若>1，则a>b.(×) (3)同向不等式具有可加性和可乘性．(×) (4)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．(√) 2．设a∈R，下列各式成立的是(　　) A．a2≥2a＋1　　　　 B．a2＞2a－1 C．4a2－a≥3a－1 D．a2－3a＞a－4 解析：C　[A.a2－(2a＋1)＝a2－2a－1＝(a－1)2－2，无法判断；B.a2－(2a－1)＝(a－1)2≥0，不成立；C.4a2－a－(3a－1)＝(2a－1)2≥0，成立；D.a2－3a－(a－4)＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，不成立．] 3．[多选]设a，b，c，d∈R且a＞b，c＞d，则下列命题不正确的是(　　) A．ac＞bd B．a－c＞b－d C．a＋c＞b＋d D.＞ 解析：ABD　[根据a＞b，c＞d，不妨设a＝1，b＝0，c＝－1，d＝－2，则ac＝－1＜bd＝0，A不正确；同理＝－＜＝0，D不正确；因为c＞d，由不等式的性质得－c＜－d，根据不等式的同向可加性得B不正确，C正确．] 4．若实数a，b满足0<a<2,0<b<1，则a－b的取值范围是________． 解析：∵0<b<1，∴－1<－b<0， ∵0<a<2，∴－1<a－b<2. 答案：(－1,2) 　 　　　比较两个数(式)的大小 [例1]　(1)[多选]下列不等式中正确的是(　　) A．x2－2x＞－3(x∈R) B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C．a2＋b2＞2(a－b－1) D.＜(b＞a＞0，m＞0) [解析]　对选项A，∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2＞0，∴x2－2x＞－3，故A正确； 对选项B，a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． ∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不定，所以a3＋b3与a2b＋ab2的大小不定，故B错误； 对选项C，a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误； 对选项D，用作差比较：－＝， ∵b＞a＞0，m＞0，∴＞0，∴＜，故D正确． [答案]　AD (2)若实数m，n，p满足m＝，n＝，p＝，则(　　) A．p＜m＜n B．p＜n＜m C．m＜p＜n D．n＜p＜m [解析]　因为实数m，n，p满足m＝，n＝，p＝， 则m＞0，n＞0，p＞0， 所以＝＝·＜1， 所以m＜n； 又＝＝·＞1，所以m＞p. 所以p＜m＜n. [答案]　A 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 1．已知P＝a2＋b2＋＋c2，Q＝2a＋2b，则(　　) A．P≤Q　　　　　　 B．P＝Q C．P≥Q D．P，Q的大小无法确定 解析：C　[P－Q＝(a2＋b2＋＋c2)－(2a＋2b)＝(a－1)2＋(b－1)2＋2≥0， 故P－Q≥0，所以P≥Q.] 2．若a＝，b＝，则a与b的大小关系是________．(用“＞”连接) 解析：方法一(作商法)：因为a＝＞0，b＝＞0， 所以＝×＝＝＝log89＞1，所以a＞b. 方法二(作差法)：a－b＝－＝(2ln 3－3ln 2)＝(ln 9－ln 8)＞0，即a＞b. 答案：a＞b 　　　不等式的基本性质 [例2]　(1)已知a<b<0，c<d<0，则下列不等式错误的是(　　) A．a＋c<b＋d B．ac>bd C.> D．a2>ab>b2 [解析]　因为a<b<0，c<d<0，所以a＋c<b＋d，故选项A正确；因为－a>－b>0，－c>－d>0，所以ac>bd，故选项B正确；因为－c>－d>0，－>0，所以<，故选项C错误；因为－a>－b>0，所以a2>ab，ab>b2，所以a2>ab>b2，故选项D正确． [答案]　C (2)[多选]已知a＞b＞0，则下列不等式正确的是(　　) A．a2＞ab B.＞ C．a＋b＋ln(ab)＞2 D．a－＞b－ [解析]　对A，因为a＞b＞0，故a2＞ab，故A正确； 对B，∵a＞b＞0，∴1＋＜1＋，即0＜＜，∴＞，B正确； 对C，令a＝1，b＝，a＋b＋ln(ab)＝1＋＋ln＝＜2，C错误； 对D，易得y＝x－(x＞0)为增函数，且a＞b＞0，故a－＞b－，故D正确． [答案]　ABD 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (2)利用特殊值法排除错误答案； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较． 1．如果a，b，c，d∈R，则正确的是(　　) A．若a＞b，则＜ B．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd 解析：C　[因为a，b，c，d∈R，所以 对于A，不妨令a＝1，b＝－1，则有a＞b，但＝2＞－2＝，故A错误；对于B，令c＝0，则虽有a＞b，但ac2＝bc2＝0，故B错误；对于C，因为c＜d，所以－c＞－d， 又a＞b，所以两式相加得a－c＞b－d，故C正确； 对于D，不妨令a＝c＝1，b＝d＝－1，则有a＞b，c＞d，但ac＝bd＝1，故D错误．] 2．[多选]若a＞b＞0，c＞d＞0，则(　　) A.＞ B．a(a＋c)＞b(b＋d) C.＜ D.＜ 解析：BCD　[对于A，取a＝4，b＝2，c＝2，d＝1，则＝＝2，A错误；对B，由a＞b＞0，c＞d＞0，则a＋c＞b＋d， 则有a(a＋c)＞b(b＋d)，故B正确； 对C，由a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd， 且＜等价于＜， 等价于＞，等价于ac＞bd，即C正确； 对D，由a＞b＞0，c＞d＞0，则＝＝1＋， ＝＝1＋，即＜等价于＜， 由d－c＜0，即等价于＞，等价于a＋c＞b＋c，即a＞b，故D正确．] 　 　　　不等式性质的综合应用 [例3]　(1)[多选]下列说法中正确的是(　　) A．若c＞0，ac＞bc，则a＞b B．若－2＜a＜4,1＜b＜3，则－8＜a－2b＜2 C．若a＞b＞0，m＜0，则＜ D．若－2＜a＋b＜4,1＜b－2a＜3，则－9＜a－2b＜0 [解析]　对于A，因为ac＞bc，不等式两边同除以c(c＞0)，可得a＞b，故A正确； 对于B，因为1＜b＜3，所以－6＜－2b＜－2，又－2＜a＜4，所以－8＜a－2b＜2，故B正确； 对于C，因为a＞b＞0，所以0＜＜，又m＜0，所以＞，故C不正确； 对于D，令a－2b＝x(a＋b)＋y(b－2a)＝(x－2y)a＋(x＋y)b， 则，解得，所以a－2b＝－(a＋b)－(b－2a)， 因为－2＜a＋b＜4，所以－4＜－(a＋b)＜2， 因为1＜b－2a＜3，所以－3＜－(b－2a)＜－1， 所以－7＜a－2b＜1，故D不正确． [答案]　AB (2)A，B，C，D四名学生的年龄关系如下：A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是(　　) A．B＞C＞A＞D B．B＞C＞D＞A C．C＞B＞A＞D D．C＞B＞D＞A [解析]　为简便起见，复用A，B，C，D表示A，B，C，D四个同学的年龄，则A＞0，B＞0，C＞0，D＞0. 则：A＋C＝B＋D①，C＋D＞A＋B②，B＞A＋D③. ①＋②得C＞B，①＋③得C＞2D，②＋③得C＞2A，由于A＞0，D＞0，故由③得B＞A，B＞D， 由①得C－B＝D－A，∵C＞B，∴C－B＞0，∴D－A＞0，∴D＞A. 综上C＞B＞D＞A. [答案]　D 利用不等式的性质求代数式的取值范围时应注意： (1)必须严格运用不等式的性质； (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 1．[多选]已知2＜x＜3,2＜y＜3，则(　　) A．6＜2x＋y＜9 B．2＜2x－y＜3 C．－1＜x－y＜1 D．4＜xy＜9 解析：ACD　[由已知得，4＜2x＜6，－2＞－y＞－3， 对于A，由4＜2x＜6和2＜y＜3，得到6＜2x＋y＜9，A正确；对于B，由4＜2x＜6和－3＜－y＜－2，得到1＜2x－y＜4，故B错误；对于C，由2＜x＜3，－3＜－y＜－2，得到－1＜x－y＜1，C正确；对于D，由2＜x＜3,2＜y＜3，得到4＜xy＜9，D正确．] 2．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0,1)之间．设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化(　　) A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．变化不确定 解析：C　[设原来手机屏幕面积为b，整机面积为a，则屏占比为(a＞b)，设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m＞0)，升级后屏占比为，∵a＞b，∴－＝＝＞0，即该手机“屏占比”和升级前比变大．] 学科网（北京）股份有限公司 $