1.3 等式性质与不等式性质-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

p:x≥a,记为B={xx≥a}. 因为p是q的必要不充分条件，所以A二B, 所以a≤-2a-3,解得a≤-1.] 2.解析：由(.x-a)<1得a-1<x<a十1. 因为1<x2是不等式（x一a)<1成立的充分不必要 条件， 所以满足a一1·且等号不能同时取得， a+1≥2 即8：得1a<2 答案：[1,2] 题型3 [例3一1](1)[解析]命题“3x≥0，e一1≥x”的否定 是“Hx≥0，e-1<x” [答案]D (2)[解析]全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以，命题“Hx∈[0，十∞)，x3十x≥0”的否定是 ]x∈[0，十∞)，x3十x<0. [答案]C [例3-2][解析]对于A项，Hx∈R,2-1>0,A项正 确；对于B项，x2十1一2x=(x一1)≥0， x十1≥2x,B项错误；对于C项，当x<0,y<0时， x十y<0<2√xy,C项错误；对于D项，取x=y=0时， 则sin(x十y)=sin(0+0)=sin0十sin0=sinx十siny, D项正确. [答案]AD [例3一3](1)[解析]由题意可知，不等式x2一2x十 m<0有解，.△=4-4m>0,<1,∴.实数m的取值范 围为（一0∞，1）. [答案](-∞，1) (2)[解析]由题意得不等式a.x一a.x十1>0对x∈R恒 成立.①当a=0时，不等式1>0在R上恒成立，符合 题意 ②当a≠0时，若不等式ax2-ax十1>0对x∈R恒成 立，则∫a>0, 解得0<a<4. {△=a2-4a<0, 综上，实数a的取值范围是[0,4). [答案][0,4) 跟踪训练 1.B[Hx∈R,e>0,e>0,则e十e≥2v√e·ex= 2,当且仅当x=0时取等号，故p为真命题； 当x∈(0,10)时，V0-≤十0-2=5，当且仅当 2 x=5时取等号，故q为假命题，q为真命题， 所以命题力与一q均为真命题，B正确.门 2.AD[对于A,“Hx∈R,3x2-2≥0”的否定是“]x∈R, 3x2一20”，故A正确； 对于B,log(2x十1)>2，即1og(2x十1)>log9,解得x>4, 因为x>4→x>3所以“x>3”是“10g(2.x十1)>2”的必 要不充分条件，故B错误； 对于C,命题的否定是假命题，则命题“了x∈R,x2十 (a-1)x十1<0”是真命题，即△=(a-1)2-4>0,解得 a>3或a<-1,故C错误； 对于D,因为yxER,2ar+ax-是≤0"是真命题，即 2ar2+ar-冬<0，对Vx∈R恒成立.当a=0时，命题 度立青0时名十g得-9a0.特上 可得，一3a0,故D正确.] ·36 参考答案 §1.3等式性质与不等式性质 复盘·必备知识必备知识掌握 1.>= <2.b=aa=c 3.b<aa>c ac>bc ac<bca十c>b十dac>bd>0 自主诊断查验 1.(1)/(2)×(3)×(4)/ 2.C[A.a2-(2a十1)=a2-2a-1=(a-1)2-2,无法判 断；B.a-(2a-1)=(a-1)2≥0，不成立；C.4a2-a (3a-1)=(2a-1)2≥0，成立；D.a2-3a-(a-4)= a”-4a十4=(a-2)≥0，不成立.] 3.ABD[根据a>b,c>d,不妨设a=1,b=0,c=-1, d=-2,则=-1<d=0,A不正晚：同是号=-<台 =0,D不正确：因为c>d,由不等式的性质得一c<一d,根 据不等式的同向可加性得B不正确，C正确.] 4.解析：：0<b<1,.-1<-b<0, 0<a<2,.-1<a-b2. 答案：(-1,2) 跃升·关键能力题型1 [例1](1)[解析]对选项A,x2-2x十3=(x-1)+ 22>0,∴.x2-2x>-3,故A正确； 对选项B,a3十b3-a2b-ab=a2(a-b)十b(b-a)= (a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). (a-b)2≥0，a十b的符号不定，所以a3十b与ab十 ab的大小不定，故B错误； 对选项C,a2+b-2a十2b+2=(a-1)+(b+1)≥0， ..a2十b2≥2(a-b-1),故C错误； 对选项D月作送此较台 6>a>≥0，m>0∴>0台<故D b(b-m) 正确， [答案]AD (2)[解析]因为实数m,n,力满足m=4e,n=5e京，力 则m>0,n>0,巾>0， 所以四=4e n =4·e<1, 5e3 5 所以mn; 又g-签号e>1,所以m>p e 所以p<m<n. [答案]A 跟踪训练 1C[P-Q-a++是+d)-2a+2=a-1y+ 6-1+(-2)≥0. 故P-Q≥0，所以P≥Q.] 2解析：方法-（作商法）：因为a>062>0, 所以号-3×品2--8=e9>1 所以a>b. 方法二（作差法）：a-6=1-2=日(2n3-3h2) Γ3 2 =言n9-h8)>0,即a>6 答案：a>b 63 高考总复习数学 题型2 [例2](1)[解析]因为a<b<0,cd<0,所以a十c< b十d,故选项A正确；因为-a>-b>0,一c>-d>0, 所以ac>bd,故选项B正确；因为-c>一dD0,-1>0, 所以d<C,故选项C错误；因为一a>一b>0,所以 a2>ab,ab>b,所以a2>ab>b,故选项D正确. [答案]C (2)[解析]对A,因为a>b>0,故a>ab故A正确； 对B,a>6>0,1+日<1+名，即0<1<2. a a b· “异>名B正确； b 对c,令a=1,6=是a+b+hao)=1+日+ln日- <2,C错误： 对D,易得y=x-1(x>0)为增函数，且a>b>0,故 >6合故D正鸡， aa [答案]ABD 跟踪训练 1.C[因为a,b,c,d∈R,所以 对于A,不妨令a=1,b=-1,则有a>b,但2=2>-2 =号，故A错误：对于B,令c=0,则虽有a>b,但a2 bc=0,故B错误；对于C,因为c<d,所以一c一d, 又ab,所以两式相加得a一c>b一d,故C正确； 对于D,不妨令a=c=1,b=d=-1,则有a>b,c>d, 但ac=bd=1,故D错误.] 2.BCD[对于A,取Q=4,b=2,c=2,d=1,则g=b 2,A错误；对B,由a>b>0,c>d>0,则a十c>b十d, 则有a(a十c)>b(b十d),故B正确； 对C,由a>b>0,c>d>0,则ac>bd, +1+ c 等价于9>么，等价于ac>bd,即C正确； d c 对D,由a>b>0,c>d>0,则生d=+c+d-g bc b+c =1+导 a+d=+c+d-S=1+dS,即什d<+等价于 a十c a十c a十c" b+ca十c d-c-d-c b+ca+c' 由d0即等价于>等价于a叶≥+ 即a>b,故D正确.门 题型3 [例3](1)[解析]对于A,因为ac>bc,不等式两边同 除以c(c>0),可得a>b,故A正确； 对于B,因为1b3,所以一6-2b-2,又-2a4, 所以-8<a一2b<2,故B正确； 对于C,因为Qb>0,所以0<。<方，又m<0, 所以四>安，故C不正南； a ·36 对于D,令a-2b=x(a十b)+y(b-2a)=(x-2y)a +(x十y)b, 园经每释化}以。一-a+ -(b-2a), 因为-2<a十b<4,所以-4<-（a十b)<2, 因为1<b-2a<3,所以一3<-(b-2a)<-1, 所以一7<a-2b1,故D不正确. [答案]AB (2)[解析]为简便起见，复用A,B,C,D表示A,B,C,D 四个同学的年龄，则A>0,B>0,C0,D>0. 则：A十C=B十D①，C十D>A十B②，B>A十D③. ①十②得C>B,①十③得C>2D,②十③得C>2A, 由于A>0,D0,故由③得B>A,B>D, 由①得C-B=D-A,C>B,.C-B>0,.D-A>0, .D>A. 综上C>B>D>A. 「[答案]D 跟踪训练 1.ACD[由已知得，4<2x<6,-2>-y>-3, 对于A,由4<2x6和2<y3,得到6<2x十y<9, A正确：对于B,由4<2x<6和-3<-y<-2,得到 1<2x-y<4,故B错误；对于C,由2<x<3,-3<-y <-2,得到-1<x-y<1,C正确；对于D,由2<x<3, 2<y<3,得到4<xy9,D正确. 2.C[设原来手机屏幕面积为b,整机面积为a,则屏占比为 (a>b),设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的 a 数童为mm>0,升级后屏占北为—是“a>6小牛 a十m 五=b十am一abb伽_a一b)m>0,即该手机“屏占比"和 a a(a十m) a(a十m) 升级前比变大.] §1.4基本不等式 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)a>0,b>0(2)a=b(3)算术平均数几何平均数 212D(2)s 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.B[因为x>1,所以x-1>0, 所以，x十1 21=(x1)x1+1≥2x-1)·1 x-1 十1=3，当且仅当x二1=1时等号成立，即z=2时等 号成立， 所以，十的最小值为3.] 3.解析：xy=1,.x2+2y≥2√·2y=2V2·√xy) =22,当且仅当x=2y,xy=1时，等号成立. 答案：2√2 4.解析：a>0,b>0,a十方=10<a<1.6>1, a=1古-分>0 6+日=b名-1+6+222√D() 2=4. 当且仅当)=b1,即6=2a=合时，等号成立 答案：4 64第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.3等式性质与不等式性质 ★[考试要求] 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 2.分数性质 1.两个实数比较大小的方法 若a>b>0,m>0,则 fa-b>0台ab, 作差法 a-b=0台a b,(a,b∈R) 真分数性质：好牛会86-m a b<0台a b. >0)； 2.等式的性质 (2)般分数性质：号>分<名州-一m 性质1对称性：如果a=b,那么 性质2传递性：如果a=b,b=c,那么 >0). 自主诊断查验 性质3可加（减）性：如果a=b,那么a士c 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/” =b士c; 或“×”) 性质4可乘性：如果a=b,那么ac=bc; (1)两个实数a,b之间，有且只有a>b,a=b,a 性质5 可除性：如果a=b,c≠0，那么名 <b三种关系中的一种 ) (2)若号>1，则a>b. () (3)同向不等式具有可加性和可乘性.() 3.不等式的性质 (4)两个数的比值大于1，则分子不一定大于 性质1对称性：a>b台 分母. () 性质2传递性：a>b,b>c→ 性质3可加性：a>b台a+c>b+c; 2.设a∈R,下列各式成立的是 () 性质4可乘性：a>b,c>0→ A.a2≥2a+1 a>b,c<0→ B.a2>2a-1 ； 性质5同向可加性：a>b,c>d→ C.4a2-a≥3a-1 D.a2-3a>a-4 性质6同向同正可乘性：a>b>0,c>d 3.[多选]设a,b,c,d∈R且a>b,c>d,则下 0→ 列命题不正确的是 () 性质7 同正可乘方性：a>b>0→a”> A.acbd b"(n∈N,n≥2). B.a-c>b-d 知识拓展用活 C.a+c>b+d 1.倒数性质 若ab>0,则a>b1<1 4.若实数a,b满足0<a<2,0<b<1,则a-b 若ab<0,则a>b1>1 的取值范围是 a b 高考总复习数学 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1 比较两个数（式）的大小 (2)[多选]已知a>b>0,则下列不等式正 例1(1)[多选]下列不等式中正确的是 确的是 () 6 ( A.a2-ab B.a a+1b+1 A.x2-2x>-3(x∈R) C.a+b+In(ab)>2 B.a3+b3≥a2b+ab(a,b∈R) D.a->6- C.a2+b2>2(a-b-1) 规律方法 D号<8>a≥0m>0) 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用 (2)若实数m,n,p满足m=4e,n=5e, 不等式的性质判断不等式是否成立时要 只则 特别注意前提条件； ( (2)利用特殊值法排除错误答案； A.p<m<n B.p<n<m (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式 C.m<p<n D.n<p<m 的性质不能比较大小时，可以利用指数 函数、对数函数、幂函数等函数的单调性 规律方法。 来比较。 比较大小的常用方法 日跟踪训练 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出 1.如果a,b,c,d∈R,则正确的是 结论 (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1 A若a>6,则子号 的大小关系；④得出结论 B.若a>b,则ac2>bc (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小. C.若a>b,c<d,则a-c>b-d 跟踪训练 D.若a>b,c>d,则ac>bd 2.[多选]若a>b>0,c>d>0,则 () 1.已知p=a2+62+3+c2,Q=2a+2b,则 A>号 A.P≤Q B.a(a+c)>b(b+d) B.P=Q Catabfi C C.P≥Q D. b+da+d D.P,Q的大小无法确定 b+ca+c 2.若al26-2,则a与6的大小关系是 题型3〔 不等式性质的综合应用 3 工例3] (1)[多选]下列说法中正确的是 ,（用“>”连接) 题型2( 不等式的基本性质 A.若c>0,ac>bc,则a>b [例2](1)已知a<b<0,c<d<0,则下列不 B.若-2<a<4,1<b<3,则-8<a-2b<2 等式错误的是 ( C.若a>b>0,m<0,则< A.a+c<b+d B.ac>bd "a"b C. D.若-2<a十b<4,1<b-2a<3,则-9< D.a2>ab-b2 aa a-2b<0 ·8· 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 (2)A,B,C,D四名学生的年龄关系如下： 跟踪训练 A,C的年龄之和与B,D的年龄之和相同， 1.[多选]已知2<x<3,2<y<3,则() C,D的年龄之和大于A,B的年龄之和，B A.6<2x+y<9 的年龄大于A,D的年龄之和，则A,B,C,D B.2<2x-y<3 的年龄关系是 C.-1<x-y<1 A.B>C>A>D B.B>C>D>A D.4<xy<9 C.C>B>A>D D.C>B>D>A 2.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的 规律方法 “屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参 利用不等式的性质求代数式的取值范围时 数，其值通常在(0,1)之间.设计师将某手机 应注意： 的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数 (1)必须严格运用不等式的性质； 量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏 (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大 占比”和升级前比有什么变化 () 变量的取值范围，解决途径是先建立所 A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小 求范围的整体与已知范围的整体的等量 C.“屏占比”变大 D.变化不确定 关系，然后通过“一次性”不等关系的运 ⊙温馨提弱 算求解范围. 学习至此，请完成配套训练课时冲关3 §1.4基本不等式 ★[考试要求] 1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实 际问题中的应用. 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 知识拓展用活 1.基本不等式：Va6<a十b 几个重要的不等式 2 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R) (1)基本不等式成立的条件： (2)等号成立的条件：当且仅当 时，等 (2)2+号≥2a,6同号》. 号成立 (3)其中生叫做正数a,b的 (a,b∈R) √ab叫做正数a,b的 2.利用基本不等式求最值 以上不等式等号成立的条件均为a=b. (1)已知x,y都是正数，如果积xy等于定值P, 那么当x=y时，和x十y有最小值 自主诊断查验 (2)已知x,y都是正数，如果和x十y等于定值 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/” S,那么当x=y时，积xy有最大值 或“×”) 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“ 正、二定、三相等” (1)函数y=x十1的最小值是2. 。9.