第1章 1.1 集合（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学讲义围绕集合、常用逻辑用语、不等式高考核心模块，按“知识本质理解-解题方法规律-数学思想应用”逻辑整合考点，通过考点梳理（如集合子集个数计算、充要条件判断）、方法指导（数形结合、分类讨论）、真题训练（2025年全国卷实例），帮助学生系统构建知识网络，突破高频难点。 讲义注重数学思维与数学眼光的培养，如集合运算用Venn图和数轴直观分析，含参不等式通过分类讨论深化推理。设置基础判断、能力提升、综合应用分层练习，配合即时反馈，保障复习效率。为教师提供精准节奏把控方案，助力学生提升高考应考能力。

1．全面系统复习，深化理解知识本质 (1)理解集合、空集、子集的定义，会根据具体条件求集合的子集的个数；掌握交集、并集、补集等集合的运算． (2)理解命题真假的判断，理解充分条件、必要条件、充要条件的含义及判断，能准确地对含有一个量词的命题进行否定． (3)掌握不等式的性质．能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． (4)从函数观点看一元二次不等式，掌握一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 2．熟练掌握解决以下问题的方法和规律 (1)集合元素特征的理解，集合的交集、并集、补集的运算． (2)命题的真假判断，充分条件、必要条件、充要条件的判断问题． (3)不等式的性质，基本不等式求最值． (4)一元二次不等式及其综合应用． 3．重视数学思想方法的应用 集合、常用逻辑用语、不等式问题中蕴含着非常丰富的数学思想和数学文化，这也是高考对该部分特别重视考查的原因之一．集合与其他知识的交汇、充要条件的判断、基本不等式求最值等都是常见的考查角度．在复习中一定要特别重视这些知识间的相互联系，注重数形结合思想的应用． (1)数形结合思想：在解决集合问题时，重视Venn图的使用，当集合与不等式结合时，重视数轴的使用． (2)分类讨论、整合思想：在集合、充要条件、含参数的不等式、基本不等式求最值等问题中，若出现参数，应对参数进行分类讨论． §1.1　集合 ★[考试要求] 1．了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：　确定性　、　互异性　、　无序性　. (2)元素与集合的关系是　属于　或　不属于　，用符号　∈　或　∉　表示． (3)集合的表示法：　列举法　、　描述法　、　图示法　. (4)常见数集的记法 集合 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中　任意一个元素　都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作　A⊆B　(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且　x∉A　，就称集合A是集合B的真子集，记作　AB　(或BA)． (3)相等：若A⊆B，且　B⊆A　，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是　任何集合　的子集，是　任何非空集合　的真子集． 3．集合的基本运算 　　表示 运算　　 集合语言 图形语言 记法 并集 　{x|x∈A，　 　或x∈B}　 　A∪B　 交集 　{x|x∈A，　 　且x∈B}　 　A∩B　 补集 　{x|x∈U，　 　且x∉A}　 　∁UA　 1．交集与并集的转化 (∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 2．子集个数 若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. 3．元素个数 用card(A)表示有限集合A中元素的个数．对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．( × ) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × ) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.( × ) (4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．( √ ) 2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0<x≤4}，则A∪B＝(　　) A．[－1,4]　　　　　 B．(0,3] C．(－1,0]∪(1,4] D．[－1,0]∪(1,4] 解析：A　[A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，故A∪B＝[－1,4]．] 3．(2025·全国一卷)已知全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1,3,5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A．0 B．3 C．5 D．8 解析：C　[8－3＝5，选C.] 4．[多选]已知集合A，B均为R的子集，若A∩B＝∅，则(　　) A．A⊆∁RB B．∁RA⊆B C．A∪B＝R D．(∁RA)∪(∁RB)＝R 解析：AD　[如图所示，根据图象可得A⊆∁RB，故A正确；由于B⊆∁RA，故B错误；A∪B⊆R，故C错误，(∁RA)∪(∁RB)＝∁R(A∩B)＝R.] 　　　集合的含义与表示 [例1]　(1)[多选]下列各组中M，P表示不同集合的是(　　) A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)} B．M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)} C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R} D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R} [解析]　选项A中，M＝{3，－1}是数集，P＝{(3，－1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P； 选项B中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故M≠P； 选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝[1，＋∞)，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}＝[1，＋∞)，故M＝P； 选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有y组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故M≠P. [答案]　ABD (2)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 027＋b2 027＝______. [解析]　由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0， 于是a2＝1，即a＝1或a＝－1， 又由集合中元素的互异性知a＝1应舍去，故a ＝－1，所以a2 027＋b2 027＝(－1)2 027＋02 027＝－1. [答案]　－1 　 解决集合概念问题的一般思路 (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么． (2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾． 1．已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中的元素的个数为(　　) A．3　　 B．4 C．5　　 D．6 解析：C　[当x＝－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－1,0，1；当x＝1时，y＝0.所以U＝{(－1,0)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1,0)}，共有5个元素．] 2．已知集合A＝{12，a2＋4a，a－2}，且－3∈A，则a＝________. 解析：因为－3∈A，所以－3＝a2＋4a或－3＝a－2. 若－3＝a2＋4a，解得a＝－1或a＝－3. 当a＝－1时，a2＋4a＝a－2＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当a＝－3时，集合A＝{12，－3，－5}，满足题意，故a＝－3成立． 若－3＝a－2，解得a＝－1，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去． 综上所述，a＝－3. 答案：－3 　　　集合间的基本关系 [例2]　(1)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是(　　) A．A＝B B．A∩B＝∅ C．A⊆B D．B⊆A [解析]　因为A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：B⊆A. [答案]　D (2)已知集合A＝{x|2x－1＞5}，B＝{x|(x－a)(x－a＋1)≥0}，若A∪B＝R，则a的取值范围是(　　) A．[4，＋∞) B．[3，＋∞) C．(－∞，4] D．(－∞，3] [解析]　由题意可得A＝{x|x＞3}，B＝[a，＋∞)∪(－∞，a－1]． 因为A∪B＝R，所以a－1≥3，即a≥4. [答案]　A 根据两集合的关系求参数的方法 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 1．设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C. D．－1 解析：B　[因为A⊆B，若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，符合题意；若－a＝1，解得a＝－1，此时A＝{0,1}，B＝{1，－3，－4}，不符合题意；若－a＝a－2，解得a＝1，符合题意；若－a＝2a－2，解得a＝，不符合题意；综上所述，a＝1.] 2．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为________． 解析：A＝{x|－1≤x≤6}，若B⊆A，则当B＝∅时，有m－1>2m＋1，即m<－2，符合题意；当B≠∅时，有解得0≤m≤.综上，实数m的取值范围是. 答案： 　　　集合的基本运算 ►[角度1]　集合的交集、并、补运算　 [例3－1]　(1)(2025·全国二卷)已知集合A＝{－4,0，1,2,8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　) A．{0,1,2} B．{1,2,8} C．{2,8} D．{0,1} [解析]　x3＝x, 即x3－x＝0，所以x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝0，－1或1，即B＝{0,1，－1}，所以A∩B＝{0,1}． [答案]　D (2)(2025·天津卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3}，B＝{2,3,5}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1,2,3,4} B．{2,3,4} C．{2,4} D．{4} [解析]　本题考查集合运算A＝{1,3}，B＝{2,3,5}，A∪B＝{1,2,3,5} ∴∁U(A∪B)＝{4}． [答案]　D ►[角度2]　利用集合的运算求参数　 [例3－2]　(1)[多选]已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为(　　) A．－ B. C．0 D．－ [解析]　由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}， 由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3， 所以A＝{2，－3}， 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当B＝∅时，m＝0，满足题意； 当B≠∅时，B＝， －＝2或－＝－3， 解得m＝－或m＝， 综上，m＝0或－或. [答案]　BCD (2)设集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为(　　) A．[0,1] B．[0,1) C．(0,1) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) [解析]　因为B＝{x|x>a}， 所以∁RB＝{x|x≤a}， 又A∩(∁RB)＝A，所以A⊆∁RB， 又A＝{x|x<a2}，所以a2≤a， 解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0,1]． [答案]　A ►[角度3]　集合中数学模型的构造与应用　 [例3－3]　某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A．62% B．56% C．46% D．42% [解析]　用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%. [答案]　C 集合的基本运算的关注点 (1)看元素组成．从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图． 1．[多选]已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|1＜x＜3}，则(　　) A．(∁RA)∪B＝{x|0≤x＜3} B．(∁RA)∩B＝{x|1＜x＜2} C．A∩B＝{x|2＜x＜3} D．A∩B是{x|2＜x＜5}的真子集 解析：ACD　[由x2－2x＞0，得x＜0或x＞2， 所以A＝{x|x＜0或x＞2}， 所以∁RA＝{x|0≤x≤2}， 对于A，因为B＝{x|1＜x＜3}，所以(∁RA)∪B＝{x|0≤x＜3}，所以A正确； 对于B，因为B＝{x|1＜x＜3}，所以(∁RA)∩B＝{x|1＜x≤2}，所以B错误； 对于C，因为A＝{x|x＜0或x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，所以C正确； 对于D，因为A∩B＝{x|2＜x＜3}，所以A∩B是{x|2＜x＜5}的真子集，所以D正确．] 2．若集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－2＜x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2,1) B．(－1,2) C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：D　[集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－2＜x＜a}，若A⊆B 则2≤a，即a的取值范围是[2，＋∞)．] 3．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人． 解析：设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图． 由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36， 解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人． 答案：8 学科网（北京）股份有限公司 $