精品解析：宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

银川一中2025/2026学年度（下）高一期末考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若A，B，C三点共线，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知，即，解得. 2. 已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，复数，则， 所以的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限. 3. 已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，则这组样本数据的上四分位数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】利用百分位数的定义求解即可. 【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，，． 上四分位数即分位数，， 所以该组数据的上四分位数为从小到大排列的第个数，即. 故选：D． 4. 已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，可由平行和垂直的性质和判定证明. 【详解】A选项，若，则或，A错误； B选项，若，不能推出，B错误； C选项，若，则不能推出，C错误； D选项，因为，所以，D正确. 故选：D 5. 一组样本数据，，，…，的平均数为，标准差为2.另一组样本数据，，，…，，的平均数为，标准差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数、方差公式判断数据添加平均数后新的平均数、标准差变化情况即可. 【详解】因为，所以， 所以， ， ， 所以，解得， 所以. 6. 甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分情况讨论：三人中恰有两人获得一等奖、三人都获得一等奖，根据独立事件的概率乘法公式求解出对应概率即可. 【详解】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是 则不获一等奖的概率分别是 则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为： 这三人都获得一等奖的概率为 所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率 故选:D. 7. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化为角，转化为角B的三角函数的值域问题，结合锐角三角形条件确定角B的取值范围，从而得到三角函数的值域，求出的取值范围. 【详解】由已知得：，即， 所以，又，所以， 由正弦定理得：， 所以， 所以 又 所以由是锐角三角形得：， ，即的取值范围是． 8. 图①是底面边长为2的正四棱柱，直线经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线顺时针旋转，得图②，若为正三角形，则图②所示几何体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，由题意过点作于点，得到直角梯形，求出该几何体的高,再借助于求出该几何体的外接球半径,即得其表面积. 【详解】 如图，设正四棱柱的上下底面中心分别为点,过点作于点，连接， 依题意，易得直角梯形,因为边长为2的正三角形,则，且, 又，则. 设该几何体外接球球心为点,半径为,则点为的中点，则, 在中，, 于是该几何体外接球的表面积为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是（ ） A. 如果，那么与相互对立 B. 若，是互斥事件，则 C. 从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是对立事件 D. 已知事件，发生的概率分别为，且，则事件，相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例判断A；根据互斥事件的概念及加法概率公式判断B；根据对立事件的概念判断C；根据独立事件的概念判断D. 【详解】选项A：设连续掷一枚质地均匀的硬币2次的试验中， 设 “至少有一次正面向上”， “两次都是正面”， 显然，但与不是对立事件，故A错误； 选项B：因为，是互斥事件，所以，，故B正确； 选项C：从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，有如下结果： 一个红球和一个黑球；两个都是红球；两个都是黑球； 故事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是互斥事件，不是对立事件，故C错误； 选项D：根据相互独立事件的定义，若事件与满足，则与相互独立， 因为，，，满足， 因此事件，相互独立，故D正确. 故选： BD 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（　　） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若两个非零向量的夹角是钝角，则 C. 已知，平面的法向量为，则 D. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用共面向量定义判断A；利用数量积定义判断B；利用空间位置关系的向量证明判断C；利用空间基底的意义判断D. 【详解】对于A，由空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A正确； 对于B，由非零向量的夹角是钝角，得，B正确； 对于C，由，得，则或，C错误； 对于D，由是空间的一个基底，得不共面，假定向量共面， 则存在实数对使得，整理得， 于是，方程组无解，即假设错误，因此也是空间的一个基底，D正确. 故选：ABD 11. 如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 过、、三点的平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用中位线及线面平行的判定判断；B利用线面平行有到平面的距离为定值，利用锥体体积公式求解即可；C由知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆；D利用平面的基本性质得到截面为正六边形，进而得解. 【详解】如图，设点是棱中点，连接并延长，分别交的延长线于， 连接交于，结合正方体的结构特征及平面的性质有均为中点， D，根据平面的基本性质知，过三点的平面截正方体所得截面为正六边形，边长，所以面积为，正确； A，根据中位线易得，平面，平面，则平面，正确； B，由，又为线段上一点，平面， 所以到平面的距离为定值，且为定值，则为定值，正确； C，由知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图， 由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为，错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某个班共有54名学生，其中男女生人数比为，现采用等比例分层随机抽样的方法从全班学生中抽取18人参加合唱比赛，则应抽取男同学________人. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比例分层抽样中样本与总体各层比例一致的性质，结合男生的总体占比计算抽取人数. 【详解】由男女生人数比为5：4，得男生占全班人数的比例为. 根据等比例分层抽样的性质，样本中男生的占比与总体一致， 因此应抽取的男同学人数为. 13. 在如图所示的平行六面体中，已知，，为上一点，且．若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平行六面体的几何性质，选定一组基底，表示两个垂直的向量，利用垂直向量数量积为零，建立方程，可得答案. 【详解】设，则构成空间的一个基底， 设，因为，所以， 因为， 所以，即， 即，解得． 故答案为：. 14. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别为线段上一点，若，且平面，则 _______. 【答案】3∶1##3 【解析】 【分析】如图，连接交于点，连接交于点，由题意可得为的中点，作，即可求出答案． 【详解】如图，连接交于点，连接交于点， 由平面，可得， ，，为的中点， 作，， ，则 ， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按分段，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数； （2）若分数在区间的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率． 【答案】（1），中位数为（分） （2） 【解析】 【分析】（1）根据小矩形的面积之和为即可求出，再根据频率分布直方图求出中位数即可； （2）分别求出和的市民人数，再根据古典概型即可得解. 【小问1详解】 由题意可得， 解得， 由， 可得此次问卷调查分数的中位数在上，设为， 则，解得， 所以此次问卷调查分数的中位数为（分）； 【小问2详解】 的市民有人，记为a，b， 的市民有人，记为1，2，3，4， 则从中抽取两人的基本事件有：共15种，其中两人来自不同的组的基本事件有8种， 则所求概率为. 16. 在中 （1）若求； （2）若D为边BC上的点且AD平分求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法1:由余弦定理求，再用正弦定理求，法由正弦定理求，得到，再用和角公式计算即可. （2）由余弦定理可知,再用得到，两式结合求出再用面积公式计算即可. 【小问1详解】 法1:由余弦定理可知 又 由正弦定理知： 法2:因由正弦定理知： 【小问2详解】 由条件知：由余弦定理可知 ① ② 由①②得 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点． （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：记中点为，连接，， 则四边形为正方形，且根据勾股定理得， 所以，则，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以， 易知，所以， 又因为，，平面， 所以平面. （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理以及线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质定理可得，即可证明平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面与平面的法向量，根据夹角余弦值确定点的位置，再由空间中点到直线距离的向量求法计算可得结果． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 由（1）知平面，且，所以，，两两相互垂直． 以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面的法向量为． 则，令 ， 得. 设平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，， 则，解得． 所以． 18. 某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率； （2）求经过3轮罚球后，比赛结束的概率； （3）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率. 【答案】（1）甲、乙两队打成平局的概率为 （2）求经过3轮罚球后，比赛结束的概率为 （3）甲队第5个球员需出场罚球的概率为 【解析】 【分析】（1）平局包含两人都罚进或两人都罚不进两个互斥事件，利用独立事件乘法分别计算两种情况的概率，再相加即可. （2）3 轮后两队各剩 2 次罚球机会，落后方最多追回2分，因此分差≥3时比赛提前终止. 3轮内分差≥3，仅有两种极端比分：甲 3:0 乙、乙 3:0 甲（前两轮分差均未达终止条件，天然成立）.分别计算两种比分的概率，求和即得总概率. （3）分析甲队第5个球员需出场的前提条件：前两轮甲队2:0领先，若甲队第5个球员需出场，说明第三、四轮罚球结束后比赛未提前终止，即前四轮总比分甲队与乙队的分差不超过1分，分别计算三种比分情况2:1、2:2、3:2的概率，再计算概率之和即可. 【小问1详解】 设甲队球员罚进点球为事件，未罚进为事件，乙队球员罚进点球为事件，未罚进为事件. 因为，所以；同理，因为，所以. 则甲、乙均罚进的概率为， 甲、乙均未罚进的概率为， 所以甲、乙两队打成平局的概率为. 【小问2详解】 设踢完轮后，甲队总得分为，乙队总得分为. 分类讨论：踢完3轮分差大于或等于3，且前1、2轮未提前结束， ①当3轮后甲队比乙队多3分，甲队3轮全进，乙队3轮全不进，即，则概率为： ​ ②当3轮后乙队比甲队多3分，乙队3轮全进，甲队3轮全不进，即，则概率为： 综上，求经过3轮罚球后，比赛结束的概率为. 【小问3详解】 因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分，即四轮罚球结束时比分可能为或或，则需要分以下情况来讨论： ①比分为的概率为： . ②比分为的概率为： . ③比分为的概率为： . 综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为. 19. 如图，已知是边长为4的等边三角形，，分别是，的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥． （1）设平面平面，证明：平面； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点在平面的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，设点在线段上运动（不含端点），记直线与平面所成的角为，四棱锥的高为，求的取值范围． 【答案】（1）∵，分别是，的中点， ∴又平面，平面，∴平面， 又∵平面平面，平面，∴， 又∵平面，平面，∴平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线得，由线面平行判定及性质证. （2）建立空间直角坐标系，由确定坐标，求出两平面法向量，利用夹角公式计算. （3）由体积范围确定的参数，计算线面角的正切，消去变量得到只与位置有关的表达式，再求值域即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：坐标法 取BC中点N，连，则M为DE的中点， 在平面APN内，过M作， 在等边△ABC中，由，得， 又，所以， 所以，，所以DE⊥平面APN， 又Mz平面APN，所以， 所以Mz，AN，DE两两垂直，以M为坐标原点， 直线MN，ME，Mz分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，， ，，，，， 则，， 又，则，，解得， 则，所以， 则，，， 设平面PDB的一个法向量为， 则，令，得， 设平面PDE的法向量为，则， 令，得，， 所以平面PDB与平面PDE夹角的余弦值为． 法二：几何+向量法 由已知得在翻折过程中，，．当时， 易知，又，由勾股定理得． 如图，取PD中点G，连接EG，因为△PDE是等边三角形，所以， 所以向量与向量的夹角即为平面PDB与平面PDE夹角（或补角）， 且，，设向量与向量的夹角为γ，， 同时 所以，即平面PDB与平面PDE夹角的余弦值为． 【小问3详解】 因为点P在平面内的射影在四边形内部， 所以，由，得到， 因为，所以， 则，又， 所以，则， 所以， 则，，，， 因为点Q在线段BC上运动（不含端点），设， ，，设平面PDE的法向量为 则，即， 令，，即， 所以，， 得到. 因为，所以， 可得， 而， 故的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川一中2025/2026学年度（下）高一期末考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若A，B，C三点共线，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，则这组样本数据的上四分位数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 4. 已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 5. 一组样本数据，，，…，的平均数为，标准差为2.另一组样本数据，，，…，，的平均数为，标准差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（    ） A. B. C. D. 7. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 图①是底面边长为2的正四棱柱，直线经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线顺时针旋转，得图②，若为正三角形，则图②所示几何体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是（ ） A. 如果，那么与相互对立 B. 若，是互斥事件，则 C. 从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是对立事件 D. 已知事件，发生的概率分别为，且，则事件，相互独立 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（　　） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若两个非零向量的夹角是钝角，则 C. 已知，平面的法向量为，则 D. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11. 如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 过、、三点的平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某个班共有54名学生，其中男女生人数比为，现采用等比例分层随机抽样的方法从全班学生中抽取18人参加合唱比赛，则应抽取男同学________人. 13. 在如图所示的平行六面体中，已知，，为上一点，且．若，则的值为______． 14. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别为线段上一点，若，且平面，则 _______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按分段，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数； （2）若分数在区间的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率． 16. 在中 （1）若求； （2）若D为边BC上的点且AD平分求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点． （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率； （2）求经过3轮罚球后，比赛结束的概率； （3）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率. 19. 如图，已知是边长为4的等边三角形，，分别是，的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥． （1）设平面平面，证明：平面； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点在平面的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，设点在线段上运动（不含端点），记直线与平面所成的角为，四棱锥的高为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $