2.5 有理数的混合运算 同步练习-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数混合运算，分层设计从基础概念到综合探究，通过新定义运算和问题解决，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一运算、概念辨析（如绝对值、相反数）|直接应用定义，巩固符号意识| |中档|混合运算、简单新定义（如⊕运算）|运算顺序辨析，培养迁移能力| |提升|综合探究、跨情境应用（如除方概念、F函数）|问题建模与逻辑推理，发展创新意识|

2.5 有理数的混合运算 一．选择题 1．下列各式计算结果为负数的是（　　） A．|1﹣2| B．（﹣1）×（﹣1） C．﹣（﹣1） D．﹣（﹣1）2 2．算式可以变形为，依据是（　　） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 3．定义一种新运算：m⊕n＝m2﹣mn，则（﹣3）⊕2的结果为（　　） A．﹣3 B．3 C．15 D．﹣15 4．要使算式1□（﹣3）的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 5．有下列四个算式：①（﹣5）+（+3）＝﹣8；②﹣（﹣2）3＝6；③；④．其中，正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．按如图的“数值转换机”计算：若开始输入的x值为2，计算2x+1的值最后输出的结果是（　　） A．5 B．7 C．11 D．23 7．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．（﹣3）2和3 B．﹣（﹣3）2和﹣32﹣32 C．﹣（+3）和﹣3 D．|﹣3|和﹣|﹣3| 8．下列计算中，结果最小的是（　　） A．10﹣5+10﹣6 B．10﹣5﹣10﹣6 C．10﹣5×10﹣6 D．10﹣5÷10﹣6 9．定义一个新运算，已知a2＝9，b＝1，则f（a，b）等于（　　） A．8或﹣8 B．8 C．2 D．2或﹣2 10．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（　　） 甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0 乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0 丙：（36﹣12）361216 丁：（﹣3）23＝9÷1＝9 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二．填空题 1．如图是一个计算程序，若输入的值为﹣1，则输出的结果应为 　 　 ． 2．定义运算“@”的运算法则为：x@y＝xy﹣1，则（2@3）@4＝　 　 ． 3．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，那么2a+2b﹣5cd＝　 　 ． 4．计算：　 　 ． 5．我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n）．若，则f（2）＝　 　 ；若，那么　 　 ． 三．解答题 1．计算 （1）（）； （2）（）×12； （3）（﹣125）÷（﹣5）； （4）（﹣10）3+[（﹣4）2﹣（1﹣32）×2]． 2．对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定：a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|． （1）计算2⊙（﹣4）的值； （2）若a，b在数轴上的位置如图所示，化简a⊙b． 3．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2③＝　 　 ，（）⑤＝　 　 ； （2）关于除方，下列说法错误的是　 　 A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1； C．3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． （﹣3）④＝　 　 ；5⑥＝　 　 ；（）⑩＝　 　 ． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于　 　 ； （3）算一算：122÷（）④×（﹣2）⑤﹣（）⑥÷33． 4．阅读材料：对实数a，b，定义F（a，b）的含义为：当a≤b时，F（a，b）＝a+b；当a＞b时，F（a，b）＝a﹣b．例如：F（1，3）＝1+3＝4；F（2，﹣1）＝2﹣（﹣1）＝3． 解决问题： （1）F（﹣1，3）＝　 　 ；F（2，﹣3）＝　 　 ； （2）已知x+y＝20，且x＞y，求F（6，x）﹣F（10，y）的值； （3）对于有理数a，满足关系式F（﹣a2+1，1）＝﹣2时，求a的值． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．【解答】解：A．|1﹣2|＝1＞0，是正数，不符合题意； B．（﹣1）×（﹣1）＝1＞0，是正数，不符合题意； C．﹣（﹣1）＝1＞0，是正数，不符合题意； D．﹣（﹣1）2＝﹣1＜0，是负数，符合题意； 故选：D． 2．【解答】解：由题意可得， 变形为的依据是乘法结合律， 故选：D． 3．【解答】解：根据题意得， （﹣3）⊕2， ＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）， ＝9+6， ＝15， 故选：C． 4．【解答】解：1+（﹣3）＝﹣2，1﹣（﹣3）＝4，1×（﹣3）＝﹣3，1÷（﹣3）， ∵42＞﹣3， ∴要使算式1□（﹣3）的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为﹣， 故选：B． 5．【解答】解：①（﹣5）+（+3）＝﹣2，原来的计算错误； ②﹣（﹣2）3＝8，原来的计算错误； ③1，原来的计算错误； ④，原来的计算正确． 正确的有1个． 故选：B． 6．【解答】解：当x＝2时，2x+1＝2×2+1＝5＜7； 当x＝5时，2x+1＝2×5+1＝11＞7，输出， 故选：C． 7．【解答】解：根据只有符号不同的两个数互为相反数．据此逐项分析判断如下： 选项A：（﹣3）2＝9，9和3不互为相反数，A错误； 选项B：﹣（﹣3）2＝﹣9，﹣32＝﹣9，两个数相等，不互为相反数，B错误； 选项C：﹣（+3）＝﹣3，两个数相等，不互为相反数，C错误； 选项D：|﹣3|＝3，﹣|﹣3|＝﹣3，3和﹣3只有符号不同，互为相反数，D正确． 故选：D． 8．【解答】解：10﹣5+10﹣6＝0.00001+0.000001＝0.000011＝1.1×10﹣5， 10﹣5﹣10﹣6＝0.00001﹣0.000001＝0.000009＝9×10﹣6， 10﹣5×10﹣6＝10﹣11， 10﹣5÷10﹣6＝10， 由上可得，结果最小的是10﹣5×10﹣6， 故选：C． 9．【解答】解：∵a2＝9， ∴a＝±3， 当a＝3，b＝1时， f（a，b）＝3﹣1＝2， 当a＝﹣3，b＝1时， f（a，b）＝﹣3+1＝﹣2， 综上，f（a，b）的值为2或﹣2， 故选：D． 10．【解答】解：甲：9﹣32÷8＝9﹣9÷8＝7，原来没有做对； 乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×9＝﹣12，原来没有做对； 丙：（36﹣12）361216，做对了； 丁：（﹣3）23＝93＝81，原来没有做对． 故选：C． 二．填空题 1．【解答】解：依题意，所求代数式为 （a2﹣2）×（﹣3）+4 ＝[（﹣1）2﹣2]×（﹣3）+4 ＝[1﹣2]×（﹣3）+4 ＝﹣1×（﹣3）+4 ＝3+4 ＝7． 故答案为：7． 2．【解答】解：根据题意，得： （2@3）@4 ＝（2×3﹣1）×4﹣1 ＝19． 故答案是19． 3．【解答】解：由题意知a+b＝0，cd＝1， 则原式＝2（a+b）﹣5cd ＝2×0﹣5×1 ＝0﹣5 ＝﹣5， 故答案为：﹣5． 4．【解答】解：原式 ＝289 5．【解答】解：∵， ∴f（2）＝f（1+1）＝f（1）•f（1）； ∵， ∴． 故答案为：；． 三．解答题 1．【解答】解：（1）（） （） ； （2）（）×12 ＝3+2﹣6 ＝﹣1； （3）（﹣125）÷（﹣5） ＝[（﹣125）+（）]×（） ＝25 ＝25； （4）（﹣10）3+[（﹣4）2﹣（1﹣32）×2] ＝（﹣1000）+[16﹣（1﹣9）×2] ＝（﹣1000）+[16﹣（﹣8）×2] ＝（﹣1000）+（16+16） ＝（﹣1000）+32 ＝﹣968． 2．【解答】解：（1）2⊙（﹣4）＝|2﹣4|+|2+4|＝2+6＝8； （2）由数轴知a＜0＜b，且|a|＞|b|， 则a+b＜0、a﹣b＜0， 所以原式＝﹣（a+b）﹣（a﹣b） ＝﹣a﹣b﹣a+b ＝﹣2a． 3．【解答】解：【概念学习】 （1）2③＝2÷2÷2， （）⑤＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝1÷（）÷（）÷（）＝（﹣2）÷（）÷（）＝﹣8 故答案为：，﹣8； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1；所以选项B正确； C、3④＝3÷3÷3÷3，4③＝4÷4÷4，则 3④≠4③；所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 本题选择说法错误的，故选C； 【深入思考】 （1）（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1； 5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5； 同理得：（）⑩＝（﹣2）8； 故答案为：；；（﹣2）8； （2）aⓝn﹣2； （3）122÷（）④×（﹣2）⑤﹣（）⑥÷33， ＝144÷（﹣3）2×（）3﹣（﹣3）4÷33， ＝14481÷27， ＝16×（）﹣3， ＝﹣2﹣3， ＝﹣5． 4．【解答】解：（1）F（﹣1，3）＝﹣1+3＝2； F（2，﹣3）＝2﹣（﹣3）＝5； 故答案为：2，5； （2）∵x+y＝20，且 x＞y， ∴x＞10，y＜10， ∴F（6，x）﹣F（10，y） ＝6+x﹣（10﹣y） ＝x+y﹣4 ＝20﹣4 ＝16， 故F（6，x）﹣F（10，y）的值为16； （3）∵a为有理数， ∴a2≥0，﹣a2≤0， ∴1﹣a2≤1， ∴F（﹣a2+1，1）＝﹣a2+1+1＝﹣2， ∴a2＝4，则a＝±2 学科网（北京）股份有限公司 $