精品解析：福建漳州市华安县第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

2025-2026学年下学期期末考高二数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由求导得，所以． 2. 对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据散点图及相关系数的性质判断可得. 【详解】对四个散点图分析： 对选项A：散点明显呈上升趋势，且非常接近一条直线，因此样本数据有较强的相关关系且； 对选项B：散点呈下降趋势，且比较接近一条直线，所以，一定有​； 对选项C、D：散点分布非常分散，线性相关性极弱，​都接近，都小于. 因此相关系数最大的是. 3. 已知向量 ，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】 ，故选项A正确． 4. 已知事件A，B满足，，若A与B相互独立，则 （ ） A. 0 B. 0.1 C. 0.14 D. 0.24 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件的性质即可求解. 【详解】当A与B相互独立时，可知也相互独立， 则. 5. 已知曲线在点处的切线为，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 又因为切线方程为：，斜率为， 所以，解得. 6. 若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域为，求导得． 函数在区间上存在减区间，等价于在内有解， 即在上有解． 当时， ， 故，即实数的取值范围是． 7. 某知识题库中有三种难度的题目，数量分别为600，400，200．已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 又 设小明答对试题为事件，则由已知得：，，， 由全概率公式得：． 8. 如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（ ） A. 存在点E，使平面 B. 三棱锥的体积随动点E变化而变化 C. 直线与所成的角不可能等于 D. 存在点E，使平面 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AD；利用空间向量求出线线角的余弦判断C；利用等体积法确定的体积情况判断B. 【详解】在正方体中，以点D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 由在线段上运动，设（），则， 平面的法向量，显然，则直线与平面不平行，A错误； ，设直线与所成角为，则， 显然当时，，，即存在点E使得直线与所成的角为，C错误； 设平面的法向量为，， 则，令，得， 当时，，因此平面，D正确； 点在正方体的对角面矩形的边上，则， 而平面平面，则，又， 可得平面，点到平面的距离为，则三棱锥的体积为定值，B错误. 故选：D 【点睛】思路点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，可选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费（单位：万元）与销售利润（单位：万元）之间的关系，由收集的数据，计算得出线性回归方程为．已知投入的广告费，销售利润，则（ ） A. 线性回归方程过点 B. C. 与呈正相关 D. 当投入的广告费为6万元时，销售利润一定为10.4万元 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，样本中心点为，因此线性回归方程过点，A正确； 对于B，把点代入到，得，B正确； 对于C，由，得与呈正相关，C正确； 对于D，当投入的广告费为6万元时，销售利润估计为10.4万元，D错误． 10. （多选）已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】正确理解正态分布的概念，即可判断A，B两项，利用正态分布曲线的对称性以及概率分布的特点易推理判断C，D两项. 【详解】A选项，由可得，所以A选项正确； B选项，由可得，所以B选项错误； C选项，利用正态曲线的对称性可知，， 故 ，所以C选项正确； D选项，利用正态曲线的对称性可知，， 而，故，所以D选项错误. 11. 如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，在底面内（包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 当时，点的轨迹长度为 C. 存在唯一，使 D. 若，则三棱锥外接球的半径为 【答案】BCD 【解析】 【分析】作关于平面的对称点，则，根据长度及勾股定理，即可判断A的正误；过点作于，则为在平面上的射影，根据条件可证，即可得为的中点，分析求解，即可判断B的正误；如图建系，求得各点坐标，进而可得，坐标，根据，求得P点坐标，可判断C的正误；因为，，所以三棱锥外接球的直径为，求出长度，即可判断D的正误. 【详解】选项A：作关于平面的对称点， 则， 所以的最小值为，故A项错误； 选项B：过点作于，则为在平面上的射影， 若要，只要即可， 因为四边形为正方形，是棱的中点，且， 所以， 所以，又， 所以， 所以，即为的中点，又， 所以点的轨迹的中位线，长度为，故B项正确； 选项C：以为原点，以，，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设， 则， 所以， 所以，即为的中点，故C项正确； 选项D：因为，，所以三棱锥外接球的直径为， 又，所以外接球的半径为，故D项正确． 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若函数在处有极值，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】由求出并检验极值的存在. 【详解】因为，，在处有极值， 所以，所以，解得． 经检验时，， 当或时，；当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减，函数在处有极大值，满足题意． 故答案为：. 13. 已知事件A和B满足，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】由，得 . 所以. 14. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 ，若根据的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有_____人. 附： ， 其中， . 【答案】30 【解析】 【分析】设男生人数为x，由题意得列联表，计算，对照临界值列出不等式，求出x的取值范围. 【详解】设男生人数为x，由题意得列联表如下； 喜欢追星 不喜欢追星 合计 男生 x 女生 合计 计算 解得 又， 所以 ， 即根据 的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，所以男生至少有30人. 故答案为：30. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； （2）若恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求的导函数，因为切线与x轴平行时切线斜率为，所以令求解，再代入原函数得到对应值，即可得到点坐标 （2）先利用导函数分析的单调性，找到的最小值点，因为恒成立等价于的最小值大于等于，所以代入最小值点得到关于的不等式，求解可得的取值范围 【小问1详解】 当时，，， 设点的坐标，由题意得：， 解得：， 所以，因此点的坐标为 【小问2详解】 ，令， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 即：a的取值范围是 16. 在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）如图： 在矩形中，分别为的中点，连接，则， 平面，平面，所以平面. 在与中，因为，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，且，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的判定定理进行证明. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因， 则，即. 令，则， 设平面的法向量为， 所以， 所以所求二面角的余弦值为． 17. 某商场推出消费抽奖活动，顾客到店消费100元及以上，可参加一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有15张形状大小完全相同的卡片（5张红卡，10张黑卡）的抽奖箱中，一次取出1张卡片，若取到红卡，则享受8折优惠，否则不享受优惠．若某时间段内有5位消费者参加抽奖，且每位消费者抽奖结果互不影响． （1）求该时间段内恰好有2位消费者获得8折优惠的概率； （2）该时间段内的这5位消费者每人通过抽奖，若他获得8折优惠，则售货员可获得3元奖金，求售货员获得奖金金额的数学期望和方差． 【答案】（1） （2）数学期望5；方差10 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用二项分布的概率公式列式求解. （2）利用二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质求解. 【小问1详解】 依题意，消费者抽奖获得8折优惠的概率为，且每位消费者抽奖结果相互独立， 设该时间段内获得8折优惠的消费者的人数为，则， 所以该时间段内恰好有2位消费者获得8折优惠的概率为． 【小问2详解】 由（1）知：随机变量， 则的数学期望，的方差， 记售货员获得奖金金额为，则， 因此，. 售货员获得奖金金额的数学期望为5，方差为10. 18. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， （1）证明：平面； （2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面平面， 所以平面，又因为平面，所以， 在中，， 因为，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2）存在 【解析】 【分析】（1）通过面面垂直可以证明平面，从而得到，再使用勾股定理证明，最后证明平面； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面法向量，使用空间向量表示出直线BP的方向向量，求出是否存在直线与平面所成角的正弦值为. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作， 因为平面平面，所以， 所以，又，所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立 空间直角坐标系， ，， ， 设，因此的坐标为， 所以. 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即，解得（舍去）， 因此存在，使得直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）设，若，为的两个极值点，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）. 【解析】 【分析】（1）求函数的导数，根据的正负判断函数的单调性，因式分解将问题转化为关于的含参一元二次不等式，对参数分类讨论即可. （2）函数在上有两个极值点，即方程有两个不相等的正实根，利用判别式求参数的范围，利用韦达定理求出和的值，整体代入已化简的式子，再将所求问题转化为求关于的函数的值域，根据导数的正负判断函数的单调性，求出的值域，即可得出的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域，， 令得，. 当时， 令得，或；令得，. 所以，在和上单调递增，在上单调递减. 当时，，当且仅当时取等号， 此时在上单调递增. 当时， 令得，或；令得，. 所以，在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ，定义域为， ， 因为和是的两个极值点，所以方程有两个不同的正实根和， 即方程有两个不同的正实根和， 则，解得. ， ， ， 将和代入上式得， ， 令，则， 由得，，即，所以在上单调递减， 当时，，得， 当时，， 得的范围为， 即的取值范围为. 【点睛】方法归纳： 1.利用导数的正负判断函数单调性，注意对参数分类讨论. 2.将函数有两个极值问题转化为导函数对应的方程有两个不相等的实数根，再结合韦达定理整体代换，构造关于的函数求值域. 易错归纳： 1.漏写函数的定义域，分类讨论时忽视参数的情况，单调性相同的不连续区间错用并集符号. 2根据函数有两个极值，求导数有两个正实根，忽视两根为正，导致参数的范围求错；对数书写时漏写括号. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期期末考高二数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，则（ ） A. 3 B. C. D. 2. 对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量 ，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 4. 已知事件A，B满足，，若A与B相互独立，则 （ ） A. 0 B. 0.1 C. 0.14 D. 0.24 5. 已知曲线在点处的切线为，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某知识题库中有三种难度的题目，数量分别为600，400，200．已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（ ） A. 存在点E，使平面 B. 三棱锥的体积随动点E变化而变化 C. 直线与所成的角不可能等于 D. 存在点E，使平面 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费（单位：万元）与销售利润（单位：万元）之间的关系，由收集的数据，计算得出线性回归方程为．已知投入的广告费，销售利润，则（ ） A. 线性回归方程过点 B. C. 与呈正相关 D. 当投入的广告费为6万元时，销售利润一定为10.4万元 10. （多选）已知，则（    ） A. B. C. D. 11. 如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，在底面内（包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 当时，点的轨迹长度为 C. 存在唯一，使 D. 若，则三棱锥外接球的半径为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若函数在处有极值，则实数________． 13. 已知事件A和B满足，，，则__________． 14. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 ，若根据的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有_____人. 附： ， 其中， . 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； （2）若恒成立，求a的取值范围． 16. 在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 某商场推出消费抽奖活动，顾客到店消费100元及以上，可参加一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有15张形状大小完全相同的卡片（5张红卡，10张黑卡）的抽奖箱中，一次取出1张卡片，若取到红卡，则享受8折优惠，否则不享受优惠．若某时间段内有5位消费者参加抽奖，且每位消费者抽奖结果互不影响． （1）求该时间段内恰好有2位消费者获得8折优惠的概率； （2）该时间段内的这5位消费者每人通过抽奖，若他获得8折优惠，则售货员可获得3元奖金，求售货员获得奖金金额的数学期望和方差． 18. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， （1）证明：平面； （2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）设，若，为的两个极值点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $