2.2.2 基本不等式第二课时说课稿 --2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦基本不等式的两类最值模型应用，通过校园菜园围栏、奶茶杯设计等真实情境问题链导入，衔接第1课时的推导证明，搭建“理论-应用”学习支架，梳理实际问题建模脉络。 以情境驱动和探究式教学为特色，通过“最省围栏”“贮水池造价”等实例，引导学生经历“审题-构造定值-检验-结论”建模过程，培养数学建模、数学抽象素养，规范运算与推理，提升学生问题解决能力，为教师提供结构化教学方案。

2.2 基本不等式（第2课时） 说课稿 尊敬的各位评委老师： 大家好！我是06号考生。 今天我说课的题目是人教A版高中数学必修第一册 第二章第二节《基本不等式》第2课时。 下面我将从 说教材、说学情、说教法学法、说教学过程、说板书设计 五个方面展开我的说课。 一、说教材 1. 教材的地位与作用 本节课是第二章“一元二次函数、方程与不等式”第2.2节《基本不等式》的第2课时，也是本节的应用课。它在本课时聚焦“两类最值模型”在实际问题中的建模与求解：和定积最大（如周长固定求矩形最大面积）、积定和最小（如面积固定求矩形最小周长），并在几何、经济、工程等场景中持续提炼“一正、二定、三相等”的使用条件，渗透函数最值思想。本节上承第1课时“基本不等式的推导、证明与几何解释”，下启函数单调性、极值与优化问题，其应用本质是把实际问题转化为“二元变量的约束优化问题”，集中体现数学的工具性与模型价值。 2. 教学目标 围绕 数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模 五大核心素养，我制定了以下教学目标： （1）能根据实际问题抽象出“a+b 为定值”或“ab 为定值”的约束条件，复习巩固基本不等式，提升数学抽象与数学运算素养。 （2）掌握“和定积最大、积定和最小”两类模型，能识别并选用恰当模型求解，提升数学运算素养。 （3）在应用中严格落实“一正、二定、三相等”的使用条件，特别是检验等号成立是否满足实际（如边长为整数、边长有上下界），发展逻辑推理素养。 （4）经历“审题—构造定值—检验—结论”的建模全过程，能解决围栏、造价、容积等典型实际问题，发展数学建模素养。 3. 教学重难点 重点：用基本不等式解决两类最值实际问题（和定积最大、积定和最小），并落实“一正、二定、三相等”。 难点：将文字条件转化为“a+b 为定值”或“ab 为定值”的建模；在约束条件下检验等号能否取到（如边长≤20、半径>4 等不等约束），以及“拆、拼、凑”等凑定值技巧。 二、说学情 明确了“教什么”之后，我们还要了解“教给谁”。 1. 知识基础 学生已在本册第1课时推导出基本不等式，并掌握分析法证明与几何解释，知道“一正、二定、三相等”及两类模型，具备用其求简单代数式最值的能力，为本课把不等式用于真实情境提供了直接工具。 2. 认知特点 高一学生能完成纯代数最值，但面对实际问题时，常不知如何设元、如何把“周长、面积、造价”转化为定值条件；对“等号成立条件是否满足实际”（如边长为整数、边长有上下界）容易忽略；对“拆、拼、凑”等凑定值技巧尚生疏，需教师引导其经历规范的建模步骤，把零散经验上升为可迁移的方法论。 三、说教法学法 基于以上学情，我采用以下教法与学法： 教法方面： 第一，情境—问题驱动法。以校园菜园“最省围栏”、奶茶杯“杯型最优”、水立方“占地面积最小”等真实情境设疑，一境多用引出两类模型，体现学生主体。 第二，探究式教学法。沿“温故知新—模型建构—典例应用—反思建模”层层深入，数与形、函数思想并重，渗透数学文化。 第三，讲练结合法。当堂演练例3、例4，归纳“审题—构造定值—检验—结论”四步，适时纠偏。 学法方面：引导学生经历“观察—建模—求解—检验—解释”的完整数学活动经验，通过自主探究、合作交流，主动建构应用模型的认知。 四、说教学过程 本节课我设计了六个教学环节，沿“情境驱动—温故唤醒—模型建构—典例应用—综合提升—体系小结”层层展开： 环节一：创设情境，问题驱动——引出两类模型 【情境1】校园“最省围栏”菜园：用 60 m 围栏靠墙围一个矩形菜园。问题链：①若面积已定为 200 m²，怎样设计长宽使用料最省（积定和最小）？②若围栏长就是 60 m，怎样设计面积最大（和定积最大）？同一素材先后呈现两类模型。【情境2】奶茶店“杯型最优”：容量 500 mL 固定的圆柱杯，如何设计底面半径 r 与高 h 使表面积最小（省料）？追问若 r>4 cm 杯口太宽无法封口怎么办（引入不等约束）。再如北京“水立方”占地面积最小的设计问题，同样可化为基本不等式模型。 设计意图：从真实情境抽象出两类最值问题，让学生感受“数学=工具”，自然引出本课核心，落实数学建模素养。 环节二：温故知新，唤醒模型 任务：填空“若 a+b=10，则 ab 的最大值为____，此时 a=____，b=____”。学生回顾“和定积最大”；再回顾第1课时例2的两类模型——积定和最小（ab=P→a+b≥2√P）、和定积最大（a+b=S→ab≤S²/4），当且仅当两数相等时取等。明确基本不等式是解决最值问题的有力工具，建立第1课时与第2课时的逻辑衔接。 设计意图：唤醒旧知，架设课时之间的认知桥梁，为后续应用建模铺设台阶。 环节三：模型建构（一）——和定积最大 问题：用 36 m 篱笆围矩形菜园，求最大面积。学生设长为 x，则宽为 (18−x)，面积 S=x(18−x)≤[(x+18−x)/2]²=81（m²），验证 x=9 时等号成立。归纳“和定积最大”：当两数和为定值，积在相等时最大。再追问“用基本不等式求最值应注意什么”，明确“一正（变量为正）、二定（和或积为定值）、三相等（检验等号成立）”。 设计意图：以典型案例让学生亲历“设元—凑定值—验证等号”的建模过程，落实数学运算，强化一正、二定、三相等。 环节四：典例应用，建模求解 例3：①面积为 100 的矩形菜园，边长多少时所用篱笆最短？②用 36 m 篱笆围矩形菜园，边长多少时面积最大？教师板演：①由 xy=100，得 2(x+y)≥4√100=40，当且仅当边长 10 m 的正方形时篱笆最短 40 m；②由 x+y=18，得 xy≤81，当且仅当边长 9 m 的正方形时面积最大 81 m²。变式：某单位用 2160 万元购地建楼，怎样设计层数使每平方米平均综合费用最少（解得建 15 层）。提炼“实际问题四步”：理解题意设变量→构造定值→检验等号→得出结论。 设计意图：从代数模型走向真实情境，规范“审题—构造定值—检验—结论”的建模流程，发展数学建模素养；变式拓展到经济优化问题。 环节五：模型建构（二）——积定和最小与综合应用 探究点2：印刷海报面积 6000 cm²，上下空白 2 cm、左右空白 1 cm，如何设计纸张尺寸使用纸最少？关键转化：设印刷区长 x、宽 y，则 xy=6000，纸张面积 S=(x+2)(y+4)=xy+4x+2y+8，代入消元后再用基本不等式求最值；提醒学生勿直接对 (x+2)(y+4) 滥用不等式而忽略 xy=6000 的约束。例4：长方体无盖贮水池容积 4800 m³、深 3 m，池底 150 元/m²、池壁 120 元/m²，怎样设计总造价最低？解得池底设计为边长 40 m 的正方形时总造价最低，为 297 600 元。变式：靠围墙建面积为 100 m²、边长均不超过 20 m 的羊驼养殖场，求最大面积（检验等号是否满足约束）。 设计意图：突破“消元凑定值”难点，体会拆、拼、凑技巧；以工程造价等综合应用深化模型意识与数学运算，并强调约束条件下等号的检验。 环节六：课堂小结与作业布置 引导学生从“知识—方法—思想”三个维度梳理：两类模型（和定积最大、积定和最小）→“一正、二定、三相等”→实际问题四步（审题、构造定值、检验、结论）→函数最值思想。作业分层：基础题——教科书 P46 练习第1、2题；巩固题——设计一个能用“积定和最小”解决的实际问题，并写出完整解答。 设计意图：用结构化梳理帮助学生将零散经验网络化，形成“情境—模型—求解—检验”的完整认知；分层作业满足不同层次学生的发展需求。 五、说板书设计 我的板书力求简洁清晰、重点突出，主板书分四区呈现： 左侧：两类模型 和定积最大：a+b=S（定值）→ ab≤S²/4，当 a=b 时取等；积定和最小：ab=P（定值）→ a+b≥2√P，当 a=b 时取等。 中部：一正、二定、三相等 一正（变量为正）、二定（和或积为定值）、三相等（检验等号是否满足实际，如边长为整数、有上下界）。 右侧：实际问题四步 ①理解题意设变量；②构造定值；③检验等号；④得出结论。 下部：典例 例3（矩形菜园两问：最短篱笆 40 m、最大面积 81 m²）；例4（贮水池造价：池底正方形边长 40 m，最低 297 600 元）；标注基础题（P46）与巩固探究。 整体结构一目了然，模型、条件、流程与案例并列呈现，便于学生记忆与回顾。 总之，我希望通过本节课的教学，学生收获的不仅是对两个最值模型的套用，更是把杂乱的实际问题转化为“定值约束下求最值”的数学建模能力，体会基本不等式作为“代数与几何桥梁”的工具价值与统一美。 我的说课到此结束，感谢各位评委老师的聆听！ 学科网（北京）股份有限公司 $