精品解析：广东省湛江市雷州市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025—2026学年度第二学期期末素养检测训练八年级数学试卷 温馨提示：本试卷共4页，共五大题，满分120分，考试试间为120分． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 3. 某校九年级5名学生一周的体育锻炼时间（小时）为8，7，8，9，10，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 8，8 B. 8，8.5 C. 8，9 D. 9，8 4. 一个多边形每个外角都是，这个多边形的内角和为（ ） A. 180° B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于的函数中，是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象经过第二、三、四象限 B. 图象与轴交于负半轴 C. 当时， D. 图象过点，若，则 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在边上，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在上的点F处，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①在长方形中，动点P从点B出发，沿方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的面积为，若y关于t的函数图象如图②所示，则长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使根式有意义，则应满足的条件是___________． 12. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演进比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9分，8分，8分．若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分． 13. 大连市出租车收费标准是这样规定的：早晨5点到晚上22点，这个期间乘车不超过3千米，付车费10元，超过3千米后，按每千米2元收费，已知李老师在上午8点至9点期间，乘出租车行驶了千米，付车费y元，则y与x之间的函数表达式为________． 14. 如图，直线与直线为常数，且相交于点，则不等式的解集是__________． 15. 如图，正方形的边长为，为上的点，，为的中点，为上一个动点，则的最小值为____． 三、解答题一（总共3道题，每道题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 已知，如图四边形是平行四边形． （1）作的平分线交于点（用尺规作图，不要写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 18. 如图，菱形的对角线、相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，．求证：四边形为矩形． 四、解答题二（总共3道题，每道题9分，共27分） 19. 为迎接“国家卫生城市”复检，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元；购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元． （1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元． （2）该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱不超过16个． ①求购买垃圾箱的总花费w(元)与购买A型垃圾箱的个数x之间的函数关系式； ②当购买A型垃圾箱多少个时总费用最少，最少费用是多少？ 20. 云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 21. 在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下： 小宝同学：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100； 小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96． （1）小宝同学的测试成绩数据的四分位数 ， ， 、 （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中小宝同学和小安同学的箱线图， 成绩比较集中； （3）你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛？请说明理由． 五、解答题三（总共2道题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【知识感知】（1）如图1，四边形的两条对角线交于点O，我们把这种对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 在我们学过的：①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形中，属于垂美四边形的是__________；（只填序号） 【性质探究】（2）如图1，试探究垂美四边形的四条边，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明； 【性质应用】（3）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． （1）如图1，求点、两点的坐标； （2）如图2，求直线的表达式； （3）连接，在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末素养检测训练八年级数学试卷 温馨提示：本试卷共4页，共五大题，满分120分，考试试间为120分． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式需要满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，判断即可． 【详解】解：A、的被开方数是3，不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：A． 2. 下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，用到三角形内角和定理与勾股定理逆定理，分别对各选项验证即可得到结果. 【详解】解：对于选项A，∵ ，移项得 ，符合勾股定理逆定理，∴ 是直角三角形，故A不符合题意； 对于选项B，∵ 三角形内角和为 ，，∴ ，得 ，∴ 是直角三角形，故B不符合题意； 对于选项C，∵ ，，，且 ，即 ，符合勾股定理逆定理，∴ 是直角三角形，故C不符合题意； 对于选项D，∵ ，三角形内角和为 ，∴ ，，，没有直角，∴ 不能判定为直角三角形，故D符合题意. 3. 某校九年级5名学生一周的体育锻炼时间（小时）为8，7，8，9，10，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 8，8 B. 8，8.5 C. 8，9 D. 9，8 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义，先确定众数，再将数据排序后得到中位数即可． 【详解】解：∵ 已知数据为，，，，，其中数字出现次数最多，为次，其余数字均只出现次， ∴众数为； 将数据从小到大排列得：，，，，，数据共个，为奇数个，中位数为排序后最中间的第个数， ∴中位数为． 4. 一个多边形每个外角都是，这个多边形的内角和为（ ） A. 180° B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用多边形外角和为求出多边形的边数，再根据边形内角和公式计算内角和，即可选出正确选项． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，这个多边形每个外角都是， ∴这个多边形的边数， 又∵边形的内角和为， ∴这个多边形的内角和为．. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则和性质，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故原计算正确； B、，故原计算错误； C、，故原计算错误； D、与不是同类二次根式，不能直接合并相加，故原计算错误． 6. 下列关于的函数中，是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正比例函数的形式为（为不等于的常数）据此判断即可． 【详解】解：A、不属于的形式，不是正比例函数， 故该选项错误； B、属于的形式，是正比例函数， 故该选项正确； C、不属于的形式，不是正比例函数， 故该选项错误； D、不属于的形式，不是正比例函数， 故该选项错误． 7. 如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质求出，再根据菱形的性质解答即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的周长是． 8. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象经过第二、三、四象限 B. 图象与轴交于负半轴 C. 当时， D. 图象过点，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图像与性质，判断象限、交点位置和增减性，再通过解不等式判断选项正误，即可得到错误结论． 【详解】解：Ａ、对于一次函数， ∵，， ∴函数图象经过第二、三、四象限，A结论正确，不符合题意； B、 ∵一次函数与轴交点为， ∴图象与轴交于负半轴，B结论正确，不符合题意； C、若，可得不等式， 解得， 即当时， 因此C结论错误，符合题意； D、∵，随的增大而减小， ∴若，则，因此D选项正确，不符合题意． 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在边上，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在上的点F处，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质、30度角的性质及勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 如图①在长方形中，动点P从点B出发，沿方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的面积为，若y关于t的函数图象如图②所示，则长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据y与x的函数图象求出长方形的长和宽是解决本题的关键． 由函数图象得：当时，点P到达点C；当时，点P到达点D，然后求出和的长即可． 【详解】解：由函数图象得：当时，点P到达点C；当时，点P到达点D； ∴，， ∴长方形的面积为， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使根式有意义，则应满足的条件是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意得，， 解得． 12. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演进比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9分，8分，8分．若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分． 【答案】8.3 【解析】 【分析】按三项得分的比例列代数式再计算即可． 【详解】解：由题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是加权平均数的含义，掌握“求解加权平均数的方法”是解本题的关键． 13. 大连市出租车收费标准是这样规定的：早晨5点到晚上22点，这个期间乘车不超过3千米，付车费10元，超过3千米后，按每千米2元收费，已知李老师在上午8点至9点期间，乘出租车行驶了千米，付车费y元，则y与x之间的函数表达式为________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：由题意，得， 即y与x之间的函数表达式为． 14. 如图，直线与直线为常数，且相交于点，则不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先把点的坐标代入直线求出的值，确定交点坐标，再根据函数图象，找出直线在直线上方部分对应的的取值范围即可． 【详解】解：点在直线上， ， 解得， 点的坐标为， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方， 不等式的解集是． 15. 如图，正方形的边长为，为上的点，，为的中点，为上一个动点，则的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】利用正方形对角线是对称轴，作点关于的对称点，根据轴对称性质：，则，两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长． 【详解】解：正方形对角线是对称轴，作点关于的对称点，连接， 又为的中点， 则， 根据轴对称性质：， 则， 两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长， 过作于，则， 又， 四边形是矩形，则， 则， 由勾股定理： ， 即最小值为． 三、解答题一（总共3道题，每道题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】先计算二次根式乘除，再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可作答． 【详解】解： ． 17. 已知，如图四边形是平行四边形． （1）作的平分线交于点（用尺规作图，不要写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）按照尺规作角平分线的基本方法，作出的平分线，使其与交于点即可． （2）先利用平行四边形的性质得到、，再结合角平分线的定义和平行线的性质推出，进而得到，最后通过等量代换证明． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，菱形的对角线、相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，．求证：四边形为矩形． 【答案】证明：菱形， ，， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ∵，即 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，，证明四边形是平行四边形，得到，，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形． 【详解】略 四、解答题二（总共3道题，每道题9分，共27分） 19. 为迎接“国家卫生城市”复检，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元；购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元． （1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元． （2）该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱不超过16个． ①求购买垃圾箱的总花费w(元)与购买A型垃圾箱的个数x之间的函数关系式； ②当购买A型垃圾箱多少个时总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元；（2）①；②买16个A型垃圾箱时总费用最少，最少费用是3280元 【解析】 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可解决（2）先根据题意得出买垃圾箱的总花费w(元)与购买A型垃圾箱的个数x之间是一次函数的关系，写出解析式．再根据一次函数图像的增减性和自变量的取值范围，得出函数的最小值即可． 【详解】解：（1）设每个A型垃圾箱m元，每个B型垃圾箱n元． 根据题意，得 解得 答：每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元． （2）①设购买x个A型垃圾箱，则购买(30－x)个B型垃圾箱，x≤16，且x为整数． 根据题意，得w＝100x＋120(30－x)＝－20x＋3600. ②w＝－20x＋3600，其中k＝－20＜0， ∴w随x值增大而减小， ∴当x＝16时，w取最小值，w最小＝－20×16＋3600＝3280. 答：买16个A型垃圾箱时总费用最少，最少费用是3280元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．一次函数的解析式、一次函数的增减性及一次函数最小值问题．抓住自变量取值范围是关键．是中考常考题型． 20. 云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）21米 （2）6米 【解析】 【分析】（1）在中，由勾股定理得；再加上消防车自身高度，即可得处到地面的距离； （2）先根据题意求出竖直高度，在中，由勾股定理得水平距离；则可得到消防车靠近的距离． 【小问1详解】 解：根据题意可得，米，米，米， ∴在中，（米）， （米）， 答：B处与地面的距离是21米； 【小问2详解】 解：由题意得米． 米，（米）， （米）， （米）， 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为6米． 21. 在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下： 小宝同学：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100； 小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96． （1）小宝同学的测试成绩数据的四分位数 ， ， 、 （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中小宝同学和小安同学的箱线图， 成绩比较集中； （3）你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛？请说明理由． 【答案】（1）70；90；96 （2）小安 （3）应选派小安代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）先将小宝同学的测试成绩数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； （2）根据箱线图的宽度即可判断； （3）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【小问1详解】 解：小宝的成绩从小到大排序：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 (共10个数据) 所以，，，， 故答案为：70；90；96； 【小问2详解】 解：观察图中，小安的箱线图更窄，因此小安的成绩比较集中， 故答案为：小安； 【小问3详解】 理由1（看平均分）: 小宝的平均分：（分） 小安的平均分：（分） 小安的平均分更高，且成绩更稳定； 理由2（看稳定性）： 小安的成绩箱线图更窄，说明四分位距更小，成绩波动更小，发挥更稳定． 综上，应选派小安参加比赛． 五、解答题三（总共2道题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【知识感知】（1）如图1，四边形的两条对角线交于点O，我们把这种对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 在我们学过的：①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形中，属于垂美四边形的是__________；（只填序号） 【性质探究】（2）如图1，试探究垂美四边形的四条边，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明； 【性质应用】（3）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 【答案】【知识感知】③④【性质探究】，证明见解析【性质应用】 【解析】 【分析】知识感知：根据垂美四边形的定义和以上四边形的性质即可判断； 性质探究：利用勾股定理分辨表示出四条边即可得出关系并求证； 性质应用：先证明，得到,再利用性质探究中的结论和勾股定理即可求解． 【详解】知识感知：∵菱形和正方形的对角线互相垂直， ∴属于垂美四边形的是③④； 性质探究：； 证明：， ∴，，,， ∴， 即； 性质应用：∵正方形和正方形， ∴， ∴, ∴， ∴， 又∵, ∴, ∴， ∴, 连接， ∵，，， ∴,，， ∴， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，考查了正方形菱形的性质和勾股定理的应用，解题关键是理解题意，发现边之间的关系，本题有一定的运算量，需要细心对待． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． （1）如图1，求点、两点的坐标； （2）如图2，求直线的表达式； （3）连接，在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，折叠的性质，全等三角形判定与性质等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）在中，令得，令得，即得点、两点的坐标； （2）求出，根据将沿直线折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点D处，知， ，故，设，由勾股定理得，即可解得，再用待定系数法可得直线的表达式为； （3）设，分两种情况∶当A为直角顶点时，过A作轴，过P作于K，过B作于T，证明，有，，故可解得；当P为直角顶点时，过P作轴于H，过A作于G，同理可得． 【小问1详解】 解：在中， 令得， 令得，解得． ，． 【小问2详解】 解：由（1）知，，． ． 将沿直线折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点D处， ， ． ． ． 设，则，． ， ，解得． 即． 设直线的表达式为． 把，代入， 得，解得． 直线的表达式为． 【小问3详解】 解：在第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 设， 当A为直角顶点时，过A作轴，过P作于K，过B作于T，如图 ． 为等腰直角三角形， ， ． ， ， ． 在和中 ， ． ，． ． 解得， ； 当P为直角顶点时，过P作轴交y轴于H，过A作于G， 同理可得． ，． ． 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $