精品解析：广东省湛江市雷州市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024-2025学年广东省湛江市雷州市八年级（下）期末数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 3. 某科技论坛对 、豆包、腾讯元宝、夸克四款助手中某一项功能的月度用户评分进行了统计，数据如下表所示（单位：分）： 助手 评分（满分） 豆包 腾讯元宝 夸克 评分的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若添加一个条件，使得是菱形，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，是的正比例函数的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 2.5 8. 若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 对于一次函数，下列结论不正确的是（　　） A. 它的图象与轴交于点 B. 随的增大而增大 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 10. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 菱形的面积为48 D. 点到的距离为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x应满足的条件是_____． 12. 某校为调查学生对年播出的《感动中国》节目中英雄人物事迹的了解情况，选取甲、乙、丙三个班级进行“感动中国故事知多少”的问卷测试，若甲、乙、丙三个班级的平均分相同，且方差分别为，，，则甲、乙、丙三个班级中成比较稳定的是 ____ 班．（填“甲”或“乙”或“丙”） 13. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为________． 14. 如图，平行四边形的对角线，交于点E，F是的中点，若，则_________． 15. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于E，若，，则的长为________ ． 三、解答题一（总共3道题，每道题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 在中，于点于点．求证：． 18. 《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺） 四、解答题二（总共3道题，每道题9分，共27分） 19. 某商店销售，两种型号的商品，销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元． （1）求每台型和型商品的销售利润； （2）商店计划购进，两种型号的商品共10台，其中型商品数量不少于型商品数量的一半，设购进型商品台，这10台商品的销售总利润为元，求该商店购进，两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？ 20. 如图，在四边形中 ，，平分，过点A作， 交延长线于点E．四边形对角线交于点O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 21. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜．小果同学为了了解这部电影在同学们中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：；；；）下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，． 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 男生 88 100 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）该校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ （3）根据表格中的数据进行分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） 五、解答题三（总共2道题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，已知直线经过、两点． （1）求直线的解析式； （2）若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过作轴于点． ①求点和点的坐标； ②若点在轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标，否则说明理由． 23. 如图正方形中，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F． （1）求证：； （2）若，，的长度为 ； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省湛江市雷州市八年级（下）期末数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A.，故不是最简二次根式，不符合题意； B.，故不是最简二次根式，不符合题意； C.，故不是最简二次根式，不符合题意； D. 是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不能含有开得尽方的因数或因式；熟练掌握最简二次根式必须满足的两个条件是解题的关键． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理和勾股定理的逆定理，逐个判断选项即可，若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形． 【详解】解A、，不符合三角形三边关系，不能构成三角形， 故A不符合题意； B、，可以构成三角形，但，，，不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、，可以构成三角形，又，满足勾股定理的逆定理，可以构成直角三角形，故C符合题意； D、，可以构成三角形，但，，，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 3. 某科技论坛对 、豆包、腾讯元宝、夸克四款助手中某一项功能的月度用户评分进行了统计，数据如下表所示（单位：分）： 助手 评分（满分） 豆包 腾讯元宝 夸克 评分的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数，掌握众数和中位数，会求众数与中位数，特别注意中位数除排序外还要根据数据的个数是奇与偶来计算是关键．将题目中4个数据按照从小到大的顺序排列，即可得到这组数据的众数与中位数． 【详解】解：数据：，，，按照从小到大排列是：，，，， 出现次数最多， 故这组数据的众数是，中位数是， 故选：D． 4. 若添加一个条件，使得是菱形，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握特殊四边形的判定与性质． 根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，中有，添加该条件不能证明是菱形，不符合题意，选项错误； 选项，添加后可证是矩形，但不能证明是菱形，不符合题意，选项错误； 选项，添加后可证是菱形，符合题意，选项正确； 选项，添加后可证是矩形，但不能证明是菱形，不符合题意，选项错误． 故选：． 5. 下列函数中，是的正比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如（k为常数，且）的函数，那么y就叫做x的正比例函数． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意； B、不是正比例函数，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项不符合题意； D、，是正比例函数，故本选项符合题意； 故选：D. 【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义，注意把握正比例函数的概念是解题关键． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算方法是解题的关键．根据二次根式加减法、乘除法的法则分别计算即可得到答案． 【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误； B、，故选项B正确； C、，故选项C错误； D、，故选项D错误； 故选：B． 7. 如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，由勾股定理计算出，由此即可得到答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：，， ， 以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是， 故选：C． 8. 若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 根据题意可得，随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：∵一次函数（是常数），， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 9. 对于一次函数，下列结论不正确的是（　　） A. 它的图象与轴交于点 B. 随的增大而增大 C. 当时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A.令，则， 一次函数的图象与轴交于点， 故该选项正确，不符合题意； B.， 随的增大而增大， 故该选项正确，不符合题意； C. 令，则， ， 故该选项正确，不符合题意； D. ，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限 故该选项错误，符合题意； 故选： D． 10. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 菱形的面积为48 D. 点到的距离为 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形性质，结合勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、菱形面积公式、等面积法求线段长等知识逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、在菱形中，对角线相交于点， ，且，， 则在中，，，由勾股定理可知， 故该选项正确，不符合题意； B、在菱形中，对角线相交于点， ，且，， 则在中，，，由勾股定理可知， 点是斜边的中点， ， 故该选项正确，不符合题意； C、在菱形中，，则菱形的面积为， 故该选项错误，符合题意； D、过点作于点，如图所示： 由等面积可知， 在菱形中，对角线相交于点， ，且，， 则在中，，，由勾股定理可知， ，解得， 则点到的距离为， 故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质综合，涉及勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、菱形面积公式、等面积法求线段长等知识，熟记菱形性质是解决问题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x应满足的条件是_____． 【答案】x≥5． 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义，则x﹣5≥0， 解得：x≥5． 故答案为：x≥5． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件以及绝对值的性质，解题关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 12. 某校为调查学生对年播出的《感动中国》节目中英雄人物事迹的了解情况，选取甲、乙、丙三个班级进行“感动中国故事知多少”的问卷测试，若甲、乙、丙三个班级的平均分相同，且方差分别为，，，则甲、乙、丙三个班级中成比较稳定的是 ____ 班．（填“甲”或“乙”或“丙”） 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查了利用方差作决策，方差可以反映一组数据的波动大小，方差越小，数据波动越小，越稳定，三个班级的平均分相同，丙的方差最小，即丙的成绩最稳定． 【详解】解：三个班级的平均分相同，， 三个班级中成绩比较稳定的是丙． 故答案为：丙． 13. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键．从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分对应x的取值范围即可该不等式的解集． 【详解】解：把代入，得：，解得：， ∴直线与直线交于点， 当时，则． 故答案为：． 14. 如图，平行四边形的对角线，交于点E，F是的中点，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，涉及平行四边形对角线相互平分，熟练掌握三角形中位线的定义及性质是解决问题的关键．由平行四边形性质，结合三角形中位线的定义及性质求解即可得到答案． 【详解】解：平行四边形的对角线交于点， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于E，若，，则的长为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题关键．由矩形的性质可知，，，由题意可知，垂直平分，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题一（总共3道题，每道题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据二次根式乘法运算法则，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 在中，于点于点．求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形得到，然后得到，再由垂直的定义得到，即可证明全等． 【详解】略 18. 《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺） 【答案】竹子折断处离地面有4.2尺． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设竹子折断处离地面有尺，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面有尺， 由题意得：，，，， ∴， 则：， 解得：． 答：竹子折断处离地面有4.2尺． 四、解答题二（总共3道题，每道题9分，共27分） 19. 某商店销售，两种型号的商品，销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元． （1）求每台型和型商品的销售利润； （2）商店计划购进，两种型号的商品共10台，其中型商品数量不少于型商品数量的一半，设购进型商品台，这10台商品的销售总利润为元，求该商店购进，两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？ 【答案】（1）型利润80元/台，型利润160元/台 （2）型4台，型6台，总利润最大 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出一次函数解析式． （1）设型利润元/台，型利润元/台，由“销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元”建立方程组求解； （2）设型台，则型台，由总利润等于两种型号打印机利润之和列出利润W关于m的函数解析式，根据函数的增减性确定利润的最大值即可． 【小问1详解】 解：设型利润元/台，型利润元/台 ， 答：型利润80元/台，型利润160元/台； 【小问2详解】 解：设型台，则型台， 型数量不少于型数量的一半， ， ， ， 随增大而减小 当时，， 答：型4台，型6台，总利润最大． 20. 如图，在四边形中 ，，平分，过点A作， 交延长线于点E．四边形对角线交于点O，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形； ∵ ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，证明四边形是菱形是解题的关键． （1）证明，得到四边形是平行四边形；由即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质和直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是菱形 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 21. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜．小果同学为了了解这部电影在同学们中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：；；；）下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，． 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 男生 88 100 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）该校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ （3）根据表格中的数据进行分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） 【答案】（1）98，93，10 （2）450人 （3）男生更喜欢《哪吒2》， 理由：根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》． 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的定义求得a，b，进而得出评分在B的人数，求得m的值； （2）用400和500分别乘以评分在D组的占比，即可求解； （3）根据中位数和众数分析，即可求解． 【小问1详解】 解：10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98， 98出现最多，则， 根据统计表可得男生满分的有人，则中位数为第5和第6个数据，数据是：82，83， 则按从小到大排列，第5个数据为86，由满分占比，可得第6个数据为100， 则， 评分分数为A和B的人数和为，都不为0， 评分分数为A和B的人数都是1人， ，即， 故答案为：98，93， 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有450人； 【小问3详解】 略 五、解答题三（总共2道题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，已知直线经过、两点． （1）求直线的解析式； （2）若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过作轴于点． ①求点和点的坐标； ②若点在轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标，否则说明理由． 【答案】（1） （2）①点的坐标为，点的坐标为；②存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质． （1）根据点，的坐标，利用待定系数可求出直线的解析式； （2）①证明，利用全等三角形的性质可求出、的长，进而可得出点、的坐标； ②分为边和为对角线两种情况考虑：当为边时，由，的坐标及点的横坐标可求出值，进而可得出点的坐标；当为对角线时，由，的坐标及点的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出值，进而可得出点的值．综上，此题得解． 【小问1详解】 【小问1详解】 解：将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为． 【小问2详解】 【小问2详解】 ①解：， ，， ． 在和中， ， ∴ ，． 设，则点的坐标为， 点在直线上， ， ， 点的坐标为，点的坐标为； ②存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或  设点的坐标为， 分两种情况考虑： 当为边时， 点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为， 或， 或， 点的坐标为或； 当为对角线时， 点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为， ， ， 点的坐标为 综上所述：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或 23. 如图正方形中，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F． （1）求证：； （2）若，，的长度为 ； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：过点E作于点M，的延长线交于点N，于点H，如图1所示： ∵四边形是正方形， ，，，， ， ∴四边形，四边形和四边形都是矩形， ，，， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）2； （3）的度数是或 【解析】 【分析】（1）过点E作于点M，的延长线交于点N，于点H，则可得四边形，四边形和四边形都是矩形，则可得，，．根据同角的余角相等可得，再证是等腰直角三角形，则可得，进而可得，根据证明，则可得． （2）四边形是正方形，且，可得，．由可得，进而可得，，，则可得，则F点与C点重合，因此． （3）分两种情况讨论：①当时，，在四边形中，根据四边形内角和等于，可求得．②当时，先根据三角形内角和定理求得，进而可得．由是的外角，且可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴F点与C点重合， ∴． 故答案为：2； 【小问3详解】 解：∵点E为对角线上一点， ∴线段与正方形的某条边的夹角是时，有以下两种情况： ①当与的夹角是时，即，如图3①所示： ∴， ∵， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴； ②当与的夹角是时，即，如图3②所示： ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的度数是或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握以上知识，并且正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $