精品解析：吉林长春吉大附中实验学校2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

2025-2026学年下学期高二年级 期末考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用0.5铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定定义写出. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 2. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】． 3. “”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合余弦函数性质及充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】若，则， 由为奇函数，故是奇函数， 故“”是“函数是奇函数”的充分条件； 若函数是奇函数，则， 故“”不是“函数是奇函数”的必要条件； 综上可得：“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件. 4. 函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的最大值为2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数，定义域得. 化简得. 选项A：，故是偶函数，不是奇函数，A错误. 选项B：假设是周期函数，则存在非零常数，对任意，都有. 取，则，即，得，与矛盾. 故假设不成立，不是周期函数，B错误. 选项C：取，则，C错误. 选项D：，所以，D正确. 5. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为（ ） A. 60 B. 80 C. 120 D. 160 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题干条件算出，然后由二项式定理的展开式通项进行求解. 【详解】的展开式中第项与第项的二项式系数相等， ，， 则的展开式中的通项为：，， 令，解得， 故该展开式中的系数为. 6. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一：根据对称性，有，代入计算即可得；法二：借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，利用正弦型函数性质计算即可得；法三：根据三角函数在对称轴处取极值，求导后代入计算即可得. 【详解】法一：根据对称性，有， 即，解得. 法二：，其中， 由题意，为函数的最值，所以， 即，即， 两边平方得，解得. 法三：根据三角函数在对称轴处取极值， 由， 则，解得. 7. 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（ ） A. 4天 B. 8天 C. 10天 D. 16天 【答案】A 【解析】 【详解】记为事件“小明戴帽子”，记为事件“小明戴墨镜”， ，， ， 所以，，（天）. 8. 函数，若，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数推导出与的关系，再根据函数的单调性得到与关系，最后根据基本不等式求解即可. 【详解】， 又在单调递增， ， ，即. ，当且仅当时，等号成立. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由对数的运算可判断A，由基本不等式结合乘1法可判断BCD. 【详解】由题意可知，所以，A项正确； ，当且仅当时取等，B项正确； 所以，当且仅当时取等，C项正确； ，当且仅当时取等，D项错误． 10. 已知函数，则（ ） A. 是周期为的函数 B. 与函数是同一函数 C. 是的一条对称轴 D. 在区间上的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质判断ACD选项；结合诱导公式判断B选项. 【详解】由题意，，故A正确； ， 故B错误； 因为， 所以不是的一条对称轴，故C错误； 当时，，则， 则， 即在区间上的取值范围是，故D正确. 故选：AD. 11. 已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. ， C. D. 在区间上，有2027个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由已知的两个中心对称条件推导出函数周期为，再结合对称关系证明其为奇函数，验证A；再利用对称性求出时的解析式，验证B；接着分析一个周期内的函数值，通过分组求和判断C错误；最后分析函数在区间内的零点分布，得出整数点均为零点，共个，验证选项D． 【详解】对于A，由，得，即， 又，所以，即是以周期为的周期函数， 由，得，所以， 即，所以是奇函数，A正确； 对于B，由，得，所以，B正确； 对于C，，，，， 一个周期内的和：， 所以，C错误； 对于D，是以周期为的周期函数，，， 时，，，所以， 时，，，所以， 所以在内的零点有， 而包含个完整周期， 所以是的零点，共个，D正确． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式计算即可求解. 【详解】由题意可知顾客在区进行付款的概率分别为， 设顾客从该超市购买了环保购物袋为事件， 由题意可知 ， 则 ，解得. 13. 函数是定义在上的偶函数，其导函数为，对于，都有，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断在上单调递增，由函数为偶函数，将不等式等价转化，得到或，求解即得. 【详解】因为对于，都有，所以在上单调递增， 是定义在上的偶函数，且. 由，可得，则有， 即或，或. 故实数的取值范围为. 14. 在的方格表中填入1或2，每个方格中恰好填入一个数，若方格表中每行每列的数字之和均为6，则不同的填法种数为______． 【答案】90 【解析】 【分析】先确定每行的结构，再通过列的约束条件，建立方程求解符合条件的行数组合，最后结合排列组合计算总填法数. 【详解】第一行有6种填法，第二行也有6种填法，其中一种填法与第一行完全相同，此时第三行和第四行的数字唯一确定； 如果第二中的数与第一行中的数字完全相反，则第三行有6种填法，第四行由第三行完全确定； 第二行剩下4种填法都是有两个位置与第一行相同， 另外两个位置与第一行相反，此时第三行和第四行有2种填法，故总的填法数为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点，在圆上，且点在第一象限，点在第二象限． （1）设，，点到轴的距离与到轴的距离之比是，求的值． （2）当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，结合诱导公式计算求解即可. （2）设出圆心角，利用扇形弧长公式及面积公式求出圆心角及扇形面积，再计算的面积，作差求解即可. 【小问1详解】 设点到轴的距离为，则点到轴的距离为. 因为，所以. 所以 . 【小问2详解】 设，则弧长，所以. 则扇形面积为. 又， 所以阴影部分的面积. 16. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 【答案】（1） （2） 极小值，无极大值 【解析】 【小问1详解】 ，求导可得， 当时，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由小问1可知，， 令，解得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极小值为，无极大值. 17. 2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求.某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件的月生产量（单位：千件）与月检测成本（单位：万元），得到如下数据： 2 3 4 5 6 3.2 4.2 5.1 5.8 6.7 （1）求关于的回归直线方程，并估计月产量达1万件时的月检测成本； （2）该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检.若该零部件的不合格率为，且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为，若是关于的函数，求证：函数的图象关于点对称. 参考公式： 【答案】（1），10.16万元. （2）设表示3件产品中不合格产品的件数，则， 故， ， ， 又∵函数的定义域为函数的图象关于点对称. 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法即可求解； （2）首先根据二项分布的概率公式求出，然后根据函数对称性的定义即可证明. 【小问1详解】 由条件可知：， 列出下表 0 1 2 0.1 0.8 1.7 3.6 0.8 0 0.8 3.4 4 1 0 1 4 将以上数据代入公式，可得， 所以， 当时，（万元）， 故可估计月产量达1万件时的月检测成本为10.16万元. 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）若，判断的单调性； （2）若有唯一零点，求a的取值范围； （3）若，且，证明：． 【答案】（1）在上单调递增． （2）． （3）证明：因为，且，所以，， 令，则，所以，， ，， 所以， 要证，只需证，即证，即证， 即证， 由（1）知单调递增， 所以当时，， 所以． 【解析】 【分析】（1）由导函数的正负确定单调性； （2），设，然后按，，分类讨论确定的正负得的单调性，并确定零点个数后得出参数范围； （3）已知式变形为，令，则，把表表示，得出，再用分析法证明不等式，分析后需引入新函数，利用导数证明. 【小问1详解】 由题意，定义域为，， 所以在上单调递增． 【小问2详解】 定义域为，， 设 ①若，则，，在上单调递增．又，有唯一零点，符合题意； ②若，则，，，在上单调递增．又，有唯一零点，符合题意； ③若，令，，， 当，，，单调递增， 当，，，单调递减， 当，，，单调递增． 又，，， ， 设，， ， 由（1）知在上是增函数， 时，，所以， 所以， 所以在单调递增， ， 即，由零点存在定理可知，使得，不合题意． 综上，． 【小问3详解】 略 19. 某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有种不同类型的卡片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具． （1）若，求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率． （2）在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件首次发生时的试验次数，且的分布列为，，则随机变量服从几何分布，该几何分布的期望为．已知甲集齐种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为． （i）求的数学期望； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：． 设，则． 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，得，当且仅当时，等号成立． 令，得，则．① 设，则． 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，得， 当且仅当时，等号成立． 令，得，则．② 由①②得， 所以， 即 【解析】 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算求解； （2）（i）根据数学期望性质计算求解；（ii）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调性，再应用累加法计算证明不等式. 【小问1详解】 甲第一次一定会得到一张卡片，甲第二次得到的卡片和第一次得到的卡片相同，甲第三次得到的卡片和第一次得到的卡片不同， 则甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率为． 【小问2详解】 （i）设表示在甲已获得第种类型的卡片后，获得第种类型卡片需要购买的玩具数，则． 甲第一次购买玩具得到第1种类型的卡片的概率为1， 在甲已获得第1种类型的卡片后，每次试验中获得第2种类型卡片的概率为， 在甲已获得第2种类型的卡片后，每次试验中获得第3种类型卡片的概率为， 依此类推，在甲已获得第种类型的卡片后，每次试验中获得第种类型卡片的概率为，则均服从几何分布， 所以． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高二年级 期末考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用0.5铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的最大值为2 D. 5. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为（ ） A. 60 B. 80 C. 120 D. 160 6. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 7. 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（ ） A. 4天 B. 8天 C. 10天 D. 16天 8. 函数，若，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 16 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是周期为的函数 B. 与函数是同一函数 C. 是的一条对称轴 D. 在区间上的取值范围是 11. 已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. ， C. D. 在区间上，有2027个零点 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________. 13. 函数是定义在上的偶函数，其导函数为，对于，都有，若，则实数的取值范围是__________. 14. 在的方格表中填入1或2，每个方格中恰好填入一个数，若方格表中每行每列的数字之和均为6，则不同的填法种数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点，在圆上，且点在第一象限，点在第二象限． （1）设，，点到轴的距离与到轴的距离之比是，求的值． （2）当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； 16. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 17. 2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求.某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件的月生产量（单位：千件）与月检测成本（单位：万元），得到如下数据： 2 3 4 5 6 3.2 4.2 5.1 5.8 6.7 （1）求关于的回归直线方程，并估计月产量达1万件时的月检测成本； （2）该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检.若该零部件的不合格率为，且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为，若是关于的函数，求证：函数的图象关于点对称. 参考公式： 18. 已知函数． （1）若，判断的单调性； （2）若有唯一零点，求a的取值范围； （3）若，且，证明：． 19. 某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有种不同类型的卡片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具． （1）若，求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率． （2）在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件首次发生时的试验次数，且的分布列为，，则随机变量服从几何分布，该几何分布的期望为．已知甲集齐种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为． （i）求的数学期望； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $