精品解析：河南新乡市2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

河南新乡市2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 11 4. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在上，则的离心率为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 5. 已知是定义在上且周期为4的奇函数，则下列判断不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某城市规划在江边打造休闲步道，规划人员以江边入口为起点，将步道的路径分为三段：第一段从入口出发，沿正东方向直行400米到达点；第二段从点出发，沿北偏东方向直行米到达点；第三段从点出发，沿北偏西方向直行500米到达终点，则起点到终点的距离（ ） 附：． A. 百米 B. 百米 C. 百米 D. 百米 7. 已知圆锥SO的侧面积为，则该圆锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知A，B，C分别是椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，点在椭圆上且位于第四象限，连接PC与轴交于点．若的面积比的面积大1，则点的横坐标为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则集合可能是（ ） A. B. N C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 在上有两个零点 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 在上的最小值为 11. 已知数列，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为的一阶差数列为．已知数列满足的二阶差数列的通项公式为是的前项和，是数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则___________． 13. 从名运动员（包含甲）中选人组成一队参加米接力赛并确定接力棒次，若甲不跑第一棒，则不同的安排方案数为___________． 14. 已知，若函数的最大值为1，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求和； （2）若的面积为，求． 16. 如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，． （1）证明：平面平面ABC； （2）若平面ABC，且，连接PD，AD，求直线BP与平面PAD所成角的正弦值． 17. 已知抛物线的焦点为F，M是的准线与轴的交点，是上的一点，且． （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，过点的直线与交于A，B两点，若为的重心，求直线OG的斜率的最大值． 18. 某零件生产车间对甲、乙两台机器生产的零件进行检验，甲生产的零件占，乙生产的零件占，甲生产的零件的合格率为，乙生产的零件的合格率为． （1）从甲、乙两台机器生产的零件中随机抽取1个，求该零件合格的概率． （2）若从乙生产的零件中随机抽取10个，其中有个合格品的概率为，求为何值时，取得最大值． （3）若甲生产了7个零件，其中有3个零件不合格，现从这7个零件中不放回地抽取零件进行检测，每次抽取1个零件，直到将所有不合格零件全部检测出时终止．每个零件在每一次抽取时被抽出的概率是相等的．用表示抽取零件终止时所需要的抽取次数，求的分布列和期望． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若是的两个极值点，证明：； （3）若，且有两个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南新乡市2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】． 2. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】通过判断，的真假，得到，的真假，即可解题. 【详解】对于命题一定成立，故是真命题，是假命题； 对于命题，，所以， 故是假命题，是真命题． 综上，和都是真命题． 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式及下标和定理即可求解． 【详解】由题意得，故． 4. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在上，则的离心率为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点之间距离公式分别求得，由双曲线定义得出，由离心率公式即可求解． 【详解】由题意，设， 则，，， 所以，则离心率． 5. 已知是定义在上且周期为4的奇函数，则下列判断不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合周期性与奇函数定义判断即可得. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 又的周期为4，所以， 由周期性得，由奇函数得，所以， 故B，C，D均正确，无法判定． 6. 某城市规划在江边打造休闲步道，规划人员以江边入口为起点，将步道的路径分为三段：第一段从入口出发，沿正东方向直行400米到达点；第二段从点出发，沿北偏东方向直行米到达点；第三段从点出发，沿北偏西方向直行500米到达终点，则起点到终点的距离（ ） 附：． A. 百米 B. 百米 C. 百米 D. 百米 【答案】B 【解析】 【详解】以为坐标原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立直角坐标系， 则，， 所以，则米百米． 7. 已知圆锥SO的侧面积为，则该圆锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥SO的底面半径为，结合体积公式得到，再构造函数，求导，研究单调性，即可求解. 【详解】设圆锥SO的底面半径为，母线长为，则，即， 所以该圆锥的体积， 又由，可得． 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，所以该圆锥体积的最大值为． 8. 已知A，B，C分别是椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，点在椭圆上且位于第四象限，连接PC与轴交于点．若的面积比的面积大1，则点的横坐标为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，由题可知， 又，所以． 设为坐标原点，则，所以， 设，则，解得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则集合可能是（ ） A. B. N C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题可知． 对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则，故D正确． 10. 已知函数，则（ ） A. 在上有两个零点 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 在上的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质及导数研究三角函数的性质计算判断各个选项； 【详解】对于A，令，可得， 即，当时，或，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， 当时，， 故，所以在上单调递增，故C错误； 对于D，当时，， 所以在上单调递减，又在上单调递增， 所以在上的最小值为，故D正确． 11. 已知数列，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为的一阶差数列为．已知数列满足的二阶差数列的通项公式为是的前项和，是数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题目给出的公式求得，判断A选项；由累加法即可求得，再通过累加法求得，判断B选项；由的通项公式，通过分组求和求得，判断C选项；通过裂项相消求得，判断D选项. 【详解】对于A，由题可知， 所以4，故A正确； 对于B，由题可知， 由累加法可知， 又，所以，故， 由累加法可得1）， 即，故所以，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，当时，，当时，， 当时，， 所以 ，综上，，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】． 13. 从名运动员（包含甲）中选人组成一队参加米接力赛并确定接力棒次，若甲不跑第一棒，则不同的安排方案数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分两类讨论：一类：甲不被选中有种，二类：甲被选中有种，再由分类加法原理计算可得. 【详解】从名运动员（包含甲）中选人，分两类： 第一类：若甲不被选中，从除甲之外的人中选人的排列，则有种方案， 第二类：若甲被选中，先安排甲的位置有种， 再从除甲之外的人中选人排其余位置，则有种方案， 综上，共有种不同的安排方案． 14. 已知，若函数的最大值为1，则的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】将问题转化为，且有解，研究两个函数的单调性和对称性，数形结合可求. 【详解】由题可知，且有解． 因为， 所以的图象关于直线对称， 因为当时，则， 则在上单调递增， 因为的图象关于直线对称，且在上单调递增， 所以结合与的图象可知，， 且与相切， 设直线与的图象相切于点，所以解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求和； （2）若的面积为，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1） 由题意先求出，再由正弦定理和二倍角的正弦公式化简即可求出答案； （2）由两角和差的正弦公式求出，再由三角形的面积公式即可得出答案. 【小问1详解】 因为， 所以， 又，所以，解得． 因为，由正弦定理得， 所以，所以，即． 【小问2详解】 ， 由，可得， 所以的面积为，解得． 16. 如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，． （1）证明：平面平面ABC； （2）若平面ABC，且，连接PD，AD，求直线BP与平面PAD所成角的正弦值． 【答案】（1）如图，取AB的中点，连接PO，CO． 因为是边长为2的等边三角形，为AB的中点， 所以，且． 又因为为AB的中点， 所以，且． 因为，所以，所以． 又平面ABC，所以平面ABC， 又因为平面PAB，所以平面平面ABC. （2） 【解析】 【分析】（1）取AB的中点，连接PO，CO，证明，，进而可证明平面ABC，可证明平面平面ABC； （2）法一：以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面PAD的一个法向量和直线的方向向量，利用向量法可求得直线BP与平面PAD所成角的正弦值．法二：取PA的中点，连接BM，则，可证明平面PAD，从而可得即直线BP与平面PAD所成的角．计算求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 方法一：由（1）得OB，OC，OP两两互相垂直，故以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面PAD的法向量为， 则即 令，得， 故平面PAD的一个法向量为． 设直线BP与平面PAD所成的角为， 则， 所以直线BP与平面PAD所成角的正弦值为． 方法二：如图，取PA的中点，连接BM，则． 由（1）知，平面平面ABC，且， 因为平面ABC，且，所以且， 所以四边形POCD是平行四边形，，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 又，所以平面PAD， 所以即直线BP与平面PAD所成的角． 因为是等边三角形，所以， 即直线BP与平面PAD所成角的正弦值为． 17. 已知抛物线的焦点为F，M是的准线与轴的交点，是上的一点，且． （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，过点的直线与交于A，B两点，若为的重心，求直线OG的斜率的最大值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【小问1详解】 易知，则， 根据抛物线的定义，得，所以． 因此的方程为． 【小问2详解】 易得，设， 联立得消去得， ， 设的重心为， 则， 直线OG的斜率为， 要求直线OG的斜率的最大值，需使，则直线OG的斜率为， 当且仅当时，直线OG的斜率取得最大值1． 18. 某零件生产车间对甲、乙两台机器生产的零件进行检验，甲生产的零件占，乙生产的零件占，甲生产的零件的合格率为，乙生产的零件的合格率为． （1）从甲、乙两台机器生产的零件中随机抽取1个，求该零件合格的概率． （2）若从乙生产的零件中随机抽取10个，其中有个合格品的概率为，求为何值时，取得最大值． （3）若甲生产了7个零件，其中有3个零件不合格，现从这7个零件中不放回地抽取零件进行检测，每次抽取1个零件，直到将所有不合格零件全部检测出时终止．每个零件在每一次抽取时被抽出的概率是相等的．用表示抽取零件终止时所需要的抽取次数，求的分布列和期望． 【答案】（1） （2）时，取得最大值 （3） 3 4 5 6 【解析】 【小问1详解】 设事件为“抽到甲生产的零件”，事件为“抽到乙生产的零件”，事件为“该零件合格”． 由全概率公式得． 【小问2详解】 的所有可能取值为， 则 即 整理得解得，而，因此， 所以当时，取得最大值． 【小问3详解】 的所有可能取值为3，4，5，6． ， ， 的分布列为 3 4 5 6 . 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若是的两个极值点，证明：； （3）若，且有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增 （2）因为有两个极值点，所以由（1）知， 则 . 令，则． 令函数，则， 则在上单调递增，在上单调递减，故， 又因为，所以， 即． （3） 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域，并求导数，再令，用判别式及根与系数关系判断二次函数值的正负情况可得； （2）将不等式两边作差，再结合判别式及根与系数关系，再换元，构造函数，用导数可得函数的最大值小于零，从而可证明不等式； （3）由（1）知时，函数有极小值点且，由函数有两个零点得极小值小于零，通过构造函数判断极小值小于零时的范围，再结合根与系数关系及二次函数性质可得的取值范围. 【小问1详解】 因为的定义域为，， 因为，令，则， ①当，即时，，所以，在上单调递增. ②当，即时，方程有两个实数根， 当时，因为，故， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，因为，所以，所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可知，当时，， 且当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，得，解得． 因为有两个零点， 所以函数的极小值也是最小值． 因为，所以，即． 设函数， 则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因为，所以由，得． 当时，因为二次函数在单调递增， 所以 又因为当时，，当时，，且 所以有两个零点． 故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $