精品解析：安徽亳州市蒙城第一中学2025-2026学年高二第二学期期末测试数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集定义可直接求解得到结果. 【详解】由，得. 2. 一组数据：1，2，3，4，5的第60百分位数是（ ） A. 4 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的求法，即可求得答案. 【详解】因为， 所以这组数据的第60百分位数是. 故选：B. 3. 设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理计算即可. 【详解】由共线向量定理可知存在实数，使得， 即，又与是不共线向量， 所以解得. 故选：B． 4. 已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】结合复数的除法运算可求得. 【详解】， 所以复数在复平面内所对应的点是，位于第二象限． 故选：B. 5. 已知是偶函数，且，当时，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到是周期为的周期函数，求得，代入计算，即可求解. 【详解】因为函数满足，可得是以为周期的周期函数， 又因为是偶函数，且当时，， 则. 6. 甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用条件概率公式求解即可 【详解】事件表示甲乙两人都不去A景点，， 事件表示甲乙两人都去A景点，， 所以． 7. 已知数列的通项公式是，，设的前项和为，则（ ） A. 100π B. 75π C. 50π D. 25π 【答案】C 【解析】 【分析】当为奇数时，，当为偶数时，，分组求和得到答案. 【详解】， 当为奇数时，，当为偶数时，， 所以 . 故选：C 8. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件先计算出的值，然后通过联立求得点的坐标，利用的坐标表示出，由此可求的值，则渐近线方程可知. 【详解】易知点，关于轴对称，令，， ，， ，(负值舍去)， 由，可得，则， ，渐近线方程为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线开口向左或开口向上，利用待定系数法求解即可. 【详解】因为抛物线经过，所以抛物线开口向左或开口向上， 设开口向左的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向左的抛物线方程为， 故B正确,错误； 设开口向上的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向上的抛物线方程为， 故C正确，错误. 故选:BC. 10. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦型函数的图象与性质，结合选项，逐项分析、求解，即可得到答案. 【详解】对于A，由函数的最小正周期为， 可得，解得，所以A正确； 对于B，由函数，可得， 所以不是函数的对称中心，所以B错误； 对于C，由，令，可得， 当时，可得，所以函数的图象关于直线对称，所以C正确； 对于D，令，可得， 即函数的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为， 因为，所以在上单调递增，所以D正确. 11. 如图，在纸片中，，，且的面积为32，取边的中点，在该纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，以此类推得到纸片，设的周长为，面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题中定义结合累加法求通项公式、等比数列前项和公式以及图形的变化情况逐项分析即可. 【详解】对于A，在纸片中，，，且的面积为32， 边的中点为，所以且， 由题意，得，， 比多了两条边，，少了线段， 又是等边三角形，所以， 可得，故A正确； 对于B，由，，， 得，所以， 当时，， ， …， ， 以上各式相加，得， 所以， 又满足上式，所以，故B正确； 对于C，比少了一个以为边的等边三角形， 所以，故C错误； 对于D，由，得，， 当时，， ， …， ， 以上各式相加得： ， 所以，又满足上式， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班6人（含学生甲）站成一排拍照，若甲不站最右端也不站最左端，则不同站法数为________． 【答案】480 【解析】 【分析】优先排列限制元素甲，剩下人全排列即可. 【详解】先安排甲从除最左端和最右端的4个位置中选一个站，有种站法； 将剩余的人任意排序，有种站法． 所以不同站法数有种． 13. 已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将函数在区间上单调递增转化为其导函数在区间上恒成立，分离参数，并构造函数，分析其最值即可得到的取值范围. 【详解】由函数在区间上单调递增， 得在区间上恒成立， 即在区间上恒成立. 令， 因为在区间上单调递减，所以的最大值为. 所以. 即实数m的取值范围为. 14. 已知某球恰好与圆台的上下底面及侧面都相切，若该圆台的上底面半径为1，母线长为4，则该圆台外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆台的几何性质，结合已知条件，分圆台外接球球心在圆台内和外两种情况讨论， 求出圆台外接球半径，进一步求得圆台外接球的表面积. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为， 根据切线长定理，得，所以，则圆台的高； 设圆台外接球半径为，球心到下底面的距离为， 若圆台外接球球心在圆台内，则，解得， 所以圆台外接球的表面积为； 若圆台外接球球心在圆台外，则，解得（舍）. 综上，圆台外接球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由及正弦定理可得， 所以， 又，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，有，即， 又，联立解得，或（舍去）， 所以. 16. 如图，正方体的棱长为分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取的中点为，连接. 因为分别是的中点，所以. 在正方体中，，又为的中点， 所以，四边形是平行四边形，. 又平面平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取棱的中点，使目标直线与平面  内的一条直线平行，从而由线面平行的判定定理直接得证； （2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得直线  的方向向量和平面  的法向量；利用线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，通过向量数量积公式计算即得结果． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为分别为的中点， 所以 所以， 设是平面的法向量，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 17. 某工厂为了提高产品的合格率，采取，两种制造工艺制造了一批产品，现对该种产品进行随机抽查，得到的2×2列联表如下表所示： 种制造工艺 种制造工艺 合计 合格 450 不合格 30 合计 500 500 （1）补全2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品是否合格与制造工艺有关？ （2）在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，从这8件产品中随机抽取3件产品进行不合格原因检查，设这3件产品中来自A种制造工艺的有件，求的分布列及期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 种制造工艺 种制造工艺 合计 合格 470 450 920 不合格 30 50 80 合计 500 500 1000 认为产品是否合格与制造工艺有关． （2） 0 1 2 3 ． 【解析】 【分析】（1）零假设为：产品是否合格与制造工艺无关，计算出，结合小概率值的独立性检验判断即可. （2）根据分层抽样确定的取值，求出对应的概率，结合分布列及期望计算即可. 【小问1详解】 2×2列联表如下： 种制造工艺 种制造工艺 合计 合格 470 450 920 不合格 30 50 80 合计 500 500 1000 零假设为：产品是否合格与制造工艺无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品是否合格与制造工艺有关． 【小问2详解】 在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件， 其中种制造工艺有（件），种制造工艺有（件）． 由题意，得X的取值可以是0，1，2，3， 则，，，． 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． 18. 如图，椭圆的一个焦点为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若为垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与交于点. （ⅰ）求证：点恒在椭圆上； （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）(ⅰ)证明见解析；(ⅱ) 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点及椭圆上的点建立方程，求出即可得解； （2）（ⅰ）求出点的坐标，证明点的坐标满足椭圆方程即可； （ⅱ）设出的方程为，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，据此求出的表达式，换元后求最值即可. 【小问1详解】 因为椭圆一个焦点为，所以， 点代入椭圆方程可得， 又，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 (i)由题意得，， 设，则，且①， 则的方程分别为：，. 设，则有②，③ 由②，③得，由①得， 因为， 所以点M恒在椭圆上. (ⅱ)设的方程为，代入，得， 设，则有，， 所以，令， 则， 因为，所以， 故当，即，时，有最大值3，此时过点. 所以， 即的面积的最大值为. 19. 已知函数（）. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若在上的最大值为0，求a的值； （3）若，恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义求出切线斜率，再结合切点坐标，利用点斜式方程求出切线方程； （2）求出导函数的零点，根据零点与给定区间的位置关系分情况讨论函数在该区间上的最大值，进而求出的值； （3）将不等式恒成立问题转化为最值问题，得到， 代入到后通过构造新函数，利用导数研究函数单调性，进而求得最值. 【小问1详解】 当时，，，所以， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 定义域为，； （i）当时，在区间上，，所以在上单调递减， 所以，由解得，符合题意； （ii）当时，在区间上，，所以在上单调递增， 所以，由解得，符合题意； （iii）当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，， 由解得或，均不符合题意， 所以的值为或. 【小问3详解】 由恒成立，即恒成立. 令，则恒成立. ， 当即时，，所以在单调递增， 当时，，所以不满足恒成立； 当即时，令，解得； 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以， 若恒成立，则，即， 则. 令，则，设， 则，令，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以，即最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据：1，2，3，4，5的第60百分位数是（ ） A. 4 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 3. 设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知是偶函数，且，当时，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的通项公式是，，设的前项和为，则（ ） A. 100π B. 75π C. 50π D. 25π 8. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 在上单调递增 11. 如图，在纸片中，，，且的面积为32，取边的中点，在该纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，以此类推得到纸片，设的周长为，面积为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班6人（含学生甲）站成一排拍照，若甲不站最右端也不站最左端，则不同站法数为________． 13. 已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为__________. 14. 已知某球恰好与圆台的上下底面及侧面都相切，若该圆台的上底面半径为1，母线长为4，则该圆台外接球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 16. 如图，正方体的棱长为分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某工厂为了提高产品的合格率，采取，两种制造工艺制造了一批产品，现对该种产品进行随机抽查，得到的2×2列联表如下表所示： 种制造工艺 种制造工艺 合计 合格 450 不合格 30 合计 500 500 （1）补全2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品是否合格与制造工艺有关？ （2）在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，从这8件产品中随机抽取3件产品进行不合格原因检查，设这3件产品中来自A种制造工艺的有件，求的分布列及期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 如图，椭圆的一个焦点为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若为垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与交于点. （ⅰ）求证：点恒在椭圆上； （ⅱ）求面积的最大值. 19. 已知函数（）. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若在上的最大值为0，求a的值； （3）若，恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $