13.3.1三角形的内角（第1课时）（导学案）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学导学案聚焦“三角形的内角”，核心内容为掌握三角形内角和定理及应用。课堂导入通过回顾三角形分类、三角尺内角和，结合测量、折叠、剪拼等实验引导学生初步感知，再过渡到几何证明，搭建从具体到抽象的学习支架。 此资料亮点在于实验探究与逻辑证明结合，培养学生几何直观；例题涵盖基础计算、比例关系、角平分线及方位角应用，层次递进，提升推理意识与应用意识，助力学生理解定理本质并解决实际问题。

13.3.1.1 三角形的内角 【学习目标】 1. 掌握三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°； 2. 能运用三角形内角和定理解决三角形中角度的计算问题，包括已知两角求第三角、已知内角比例关系列方程求解等。 【学习重点】 1. 三角形内角和定理的内容与证明； 2. 运用三角形内角和定理解决简单的角度计算问题。 【学习难点】 1. 三角形内角和定理的证明思路（如何通过平行线将三个内角转化为一个平角）； 2. 辅助线的引入与作用理解。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 1. 获得三角形内角和为180°的方法有 2.几何证明三角形内角和为180°的辅助线做法的思路是 。 【课堂探究】 探究一、三角形内角和 【引导回顾】问1.三角形按角可以分为哪几类？ 问2.三角尺的三个角之和是多少？ 问3.任意三角形的内角和都是180°吗？ 1.测量法 【方法一：测量法】 1. 发放实验记录单，指导学生操作： （1）画一个任意三角形ABC； （2）用量角器分别测量∠A、∠B、∠C的度数； （3）计算三个角的和，记录在表格中； （4）换不同形状的三角形重复实验。 2. 展示学生的实验数据，提问：观察这些数据，你发现了什么？ 2. 折叠法 【方法二：折叠法】 1. 演示操作步骤： （1）将三角形的三个角向内折叠； （2）使三个角的顶点重合于一点； （3）观察折叠后的形状。 2. 提问：折叠后三个角组成了什么角？和剪拼法的结果一致吗？ 3.剪拼法 【方法三：剪拼法】 1. 演示操作步骤： （1）画三角形ABC，标出三个内角； （2）沿边剪下三个角； （3）将三个角的顶点重合拼在一起，观察形成的图形。 2. 播放剪拼法动态动画，提问：三个角拼成了一个什么角？ 3.几何证明法 【过渡提问】我们通过实验发现三个角能拼成一个平角，那能不能把这个过程“翻译”成几何证明呢？回想一下，我们学过的哪些知识和平角、和180°有关？（平行线性质：两直线平行，同旁内角互补） 【引导思路】要证明三个角的和是180°，我们可以想办法把这三个角“移”到同一个顶点，组成一个平角。怎么“移”？——利用平行线的性质，让另外两个角和第一个角形成内错角或同位角。 问1:观察图象∠1和∠2之间有什么关系, ∠3和∠4之间有什么关系？ 问2.直线和直线有何特殊位置关系? 你发现了证明的思路吗？ 【证法1：过顶点作平行线】 已知：如图△ABC。 求证：∠A+∠B+∠C=180°。 典例分析 【例1】基础应用 （1）在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，则∠A的度数为_________。 （2）在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠B=______。 （3）求出下列各图形中x的值 【例2】（1）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求三个内角的度数。 （2）在△ABC中，∠A=∠B=∠C，求三个内角的度数。 （3）在△ABC中，∠A-∠B=15°，∠B-∠C=30°，求∠A、∠B、∠C的度数。 （4）在中， 的度数是的度数的倍，比大，求，，的度数 【例3】综合应用（角平分线） 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。 【例4】实际应用（方位角） 如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。求从C岛看A、B两岛的视角∠ACB的度数。 变式训练 1. 如图，在△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分线，B、C、D在同一条直线上，FD∥EC，∠D=42°，求∠B的度数。 2. 如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD平分∠ABC，求∠BDC的度数。 3. 轮船从B处沿南偏东30°方向航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行一段路程到达点C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，求∠A的度数。 【课堂总结】 【课堂练习】 1. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=20°，则∠C的度数为（ ） A. 20° B. 60° C. 80° D. 100° 2. 如图，△ABC平移后得到△DEF，∠A=55°，∠B=45°，则∠DFE的度数是____。 3.如图，在中，平分，，，则的度数为_________ 4. 一个内角为30°的直角三角板与两条平行线l₁和l₂相交，已知∠1=50°，则∠2的度数为___。 4. 如图，AC和BD相交于点O，∠A=20°，∠B=40°，则∠C+∠D的度数为____。 5. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，已知∠ABC=52°，∠A=60°，求∠BFC的度数。 7.如图是三岛的平面图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，求从岛看， 两岛的视角的度数. 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3.1.1 三角形的内角 【学习目标】 1. 掌握三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°； 2. 能运用三角形内角和定理解决三角形中角度的计算问题，包括已知两角求第三角、已知内角比例关系列方程求解等。 【学习重点】 1. 三角形内角和定理的内容与证明； 2. 运用三角形内角和定理解决简单的角度计算问题。 【学习难点】 1. 三角形内角和定理的证明思路（如何通过平行线将三个内角转化为一个平角）； 2. 辅助线的引入与作用理解。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 1. 获得三角形内角和为180°的方法有测量法、折叠法、剪拼法、几何证明法。 2.几何证明三角形内角和为180°的辅助线做法的思路是利用平行线把三个角转化到一个平角中。 【课堂探究】 探究一、三角形内角和 【引导回顾】问1.三角形按角可以分为哪几类？ 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 问2.三角尺的三个角之和是多少？ 问3.任意三角形的内角和都是180°吗？ 大胆猜想：三角形三个内角的和是个定值为180° 1.测量法 【方法一：测量法】 1. 发放实验记录单，指导学生操作： （1）画一个任意三角形ABC； （2）用量角器分别测量∠A、∠B、∠C的度数； （3）计算三个角的和，记录在表格中； （4）换不同形状的三角形重复实验。 2. 展示学生的实验数据，提问：观察这些数据，你发现了什么？ 【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180° 2. 折叠法 【方法二：折叠法】 1. 演示操作步骤： （1）将三角形的三个角向内折叠； （2）使三个角的顶点重合于一点； （3）观察折叠后的形状。 2. 提问：折叠后三个角组成了什么角？和剪拼法的结果一致吗？ 【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180° 3.剪拼法 【方法三：剪拼法】 1. 演示操作步骤： （1）画三角形ABC，标出三个内角； （2）沿边剪下三个角； （3）将三个角的顶点重合拼在一起，观察形成的图形。 2. 播放剪拼法动态动画，提问：三个角拼成了一个什么角？ 【结论】无论三角形的形状如何，三个内角度数之和为180° 【教师总结】 1、测量法操作简单、数据直观，但由于测量存在误差，结果都接近180°，但不一定精确等于180°。 2、剪拼法直观展示了三个角可以拼成一个平角，但操作过程会破坏纸片，且拼接时的微小偏差可能影响判断。 3. 折叠法，不破坏纸片，可重复，但折叠需较精准： 三种方法都验证了我们的猜想：三角形的内角和等于180°，且和三角形的形状、大小无关。但这都是实验得出的结果，要说明“所有三角形的内角和都是180°”，还需要严格的数学证明。有什么科学严谨的方法来论证了？ 3.几何证明法 【过渡提问】我们通过实验发现三个角能拼成一个平角，那能不能把这个过程“翻译”成几何证明呢？回想一下，我们学过的哪些知识和平角、和180°有关？（平行线性质：两直线平行，同旁内角互补） 【引导思路】要证明三个角的和是180°，我们可以想办法把这三个角“移”到同一个顶点，组成一个平角。怎么“移”？——利用平行线的性质，让另外两个角和第一个角形成内错角或同位角。 问1:观察图象∠1和∠2之间有什么关系, ∠3和∠4之间有什么关系？ ∠1和∠2是内错角，且∠1=∠2；∠3和∠4是同位角，且∠3=∠4； 问2.直线和直线有何特殊位置关系? // 你发现了证明的思路吗？ 【证法1：过顶点作平行线】 已知：如图△ABC。 求证：∠A+∠B+∠C=180°。 证法1.证明：过点C作直线l∥AB。 ∵l∥AB， ∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）， ∠B=∠2（两直线平行，内错角相等）。 ∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义）， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°。 【证法2：拓展】还可以过点A作BC的平行线，或者延长BC构造平行线，思路都是一样的：利用平行线把三个角转化到一个平角中。 思考教师的问题，联想平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，或者内错角相等。 观察教师的作图，理解“过C作AB的平行线”的作用：把∠A和∠B分别“移”到∠C的旁边，和∠C组成平角。 证法2：过点作， ∴.(两直线平行,内错角相等) .(两直线平行,内错角相等) ∵， ∴ 证法3：过点作， ∴.(两直线平行,内错角相等) .(两直线平行,同旁内角相等) ∵， ∴ 证法4：过边上一点作， ∴,,,. ∵， ∴ 【强调】为了证明需要添加的线叫“辅助线”，我们用虚线表示。 【归纳定理】三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 典例分析 【例1】基础应用 （1）在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，则∠A的度数为 60° 。 （2）在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠B= 50° 。 （3）求出下列各图形中x的值 规律与方法：8字模型中： 【小结】已知两角求第三角，直接用内角和定理列式计算。 【例2】（1）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求三个内角的度数。 （2）在△ABC中，∠A=∠B=∠C，求三个内角的度数。 （3）在△ABC中，∠A-∠B=15°，∠B-∠C=30°，求∠A、∠B、∠C的度数。 （4）在中， 的度数是的度数的倍，比大，求，，的度数 解：设，，. 由题意，得 即,解得， ∴，， 解：设，，. 由题意，得 即,解得， ∴，， 解：设，，. 由题意，得 即,解得， ∴，， 解：设，，. 由题意，得 即,解得， ∴，， 【引导】这类题设中给了三个角的数量关系，我们可以用什么方法解决？（方程思想：设未知数，利用“三个角和为180°”列方程） 规律与方法：已知三角形的三个内角之间的关系求内角的度数，可利用方程思想来解决，其中三角形内角和为180°就是等量关系. 【例3】综合应用（角平分线） 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。 【思路引导】先在△ABC中求∠BAC和∠B的和，再在△ABD中用内角和定理求∠ADB。 解：∵， 是的角平分线， ∴. 在中， ∴. 【例4】实际应用（方位角） 如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。求从C岛看A、B两岛的视角∠ACB的度数。 【思路引导】结合方位角求出∠CAB和∠ABC，再用内角和定理求∠ACB；也可以过C作AD的平行线，利用平行线的性质求解。 法一：解：∵， 又∵ ，， ∴ ∵，∴ ∴ ， 在中，. 方法二：解：由题意可得： ∠， ∠ 过点作 ∵ ， ∴ ， ∴, , ∴ 变式训练 1. 如图，在△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分线，B、C、D在同一条直线上，FD∥EC，∠D=42°，求∠B的度数。 解：∵, ∴ ∵是的平分线， ∴ ∵, ∴ 2. 如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD平分∠ABC，求∠BDC的度数。 解：∵，∴设，则 ∵在中，， ∴，解得.即. ∵平分， ∴ ∴ 3. 轮船从B处沿南偏东30°方向航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行一段路程到达点C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，求∠A的度数。 解：根据题意画出图形，得 ∵， ∴ ∵， ∴. 【课堂总结】 【课堂练习】 1. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=20°，则∠C的度数为（D ） A. 20° B. 60° C. 80° D. 100° 2. 如图，△ABC平移后得到△DEF，∠A=55°，∠B=45°，则∠DFE的度数是_80°___。 3.如图，在中，平分，，，则的度数为____50°_____ 4. 一个内角为30°的直角三角板与两条平行线l₁和l₂相交，已知∠1=50°，则∠2的度数为_70°__。 4. 如图，AC和BD相交于点O，∠A=20°，∠B=40°，则∠C+∠D的度数为_60°___。 5. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，已知∠ABC=52°，∠A=60°，求∠BFC的度数。 解：∵， ∴. ∵的平分线相交于点， ∴，. ∴. 7.如图是三岛的平面图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，求从岛看， 两岛的视角的度数. 解：由题意，得 ∴ ∵，∴ ∴ 又∵， ∴ 由三角形内角和定理，得 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $