13.3.1 三角形的内角-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 01基础达标 知识点一三角形内角和定理及其应用 1.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:4:5,则∠C等于 A.45 B.60° C.75 D.90° 2.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，DE∥BC,则∠AED的度数是 A.50 B.60° C.70 D.80° 第2题图 第3题图 3.如图，在△BAC中，∠BAC=80°，∠B=30°，CD是∠ACB的平分线，则∠BDC的大小为() A.105 B.1159 C.1009 D.110° 4.某地有A,B,C三个村庄，如图，B村庄在C村庄的正西方向，A村庄在B村庄的北偏东20°方向， 同时A村庄又在C村庄的北偏西45°方向，那么，在A村庄看B,C两个村庄的视角∠BAC为 多少？ 209 B 知识点二直角三角形的性质与判定 5.具备下列条件的△ABC,不是直角三角形的是 A.∠A:∠B:∠C=1:2:3 B.∠A+∠B=∠C C.∠A=∠B=3∠C D.∠A=∠B=3∠C 6.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，AE是∠BAC的平分线，AD是高.求∠EAD的度数. 易错点未进行分类讨论而漏解 7.在△ABC中，BD⊥AC于D,若∠ABD=40°.则∠BAC= 02能力提升 8.(湖北中考)将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC,∠B= ∠EDF=90°，∠A=45°，∠F=60°，则∠CED的度数是 ( ) A.15° B.20° C.25° D.30° a 60°452 C 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 9.如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2等于 A.909 B.1359 C.270° D.315° 10.如图，已知∠A=60°，∠B=45°，∠D=75°，则∠a= 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在 AC边上的点E处，若∠A=20°，则∠CDE度数为 12.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,点P为线段AD上的一个点，PE⊥AD交BC的延长线于 点E.若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠BAD和∠E的度数 03思维拓展 13.如图，△ABC的角平分线BD,CE相交于点P. (1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠A=°； (2)若∠A=80°，试求∠BPC的度数； (3)直接写出∠DPC与∠A之间的数量关系：温馨提示：请做完题后再看答案！ 《正文》参考答案 第十三章三角形 将三个不等式相加得：AM+ 13.1三角形的概念 AN+MB+MP+PN+NC> 1.C MP+NP+PB+PC, 2.3△ABD,△ACD AC AD 即AB+AC>BP+PC. ∠ADC 13.2.2三角形的中线、角平分线与高 3.(1)3画图略； 1.B2.B3.C4.A5.C (2)6画图略. 6.50° 4.D5.(1)3(2)41 7.8或168.B9.710.1 6.C7.C8.D 11.(1)BC边上的高 9.AB=BC(答案不唯一) (2)∠BAC的平分线 10.(1)59(2)37(4n-3) (3)BC边上的中线 11.(1)图中有△BDE,△CDE,12.(1)△ABD,△AEC,△BEC,因 △ACE,△BCE,△ABC,共5个 为它们的面积均为△ABC面积 三角形； 的一半. (2)以EC为边的三角形有： (2)△AMC. △ACE,△DCE,△BCE: 微课堂 (3)以∠B为公共角的“共角三 角形”有：△BDE与△BCE, (2)2 △ABC与△BCE,△BDE 13.3三角形的内角与外角 与△ABC. 13.3.1三角形的内角 12.7或9图略. 1.C2.D3.B 13.2与三角形有关的线段 4.∠ABC=∠PBC-∠PBA=90° 13.2.1三角形的边 -20°=70°. 1.C2.A3.B ∠ACB=∠QCB-∠ACQ=90 4.C -45°=45°. 5.设第三边长为x,由题意，得 .∠BAC=180°-∠ABC 5-2<x<5+2,解得3<x<7. ∠ACB=180°-70°-45°=65° 第三边长为偶数，x=4或6， 5.C ∴.这个三角形的周长为116.(1)由题意，得∠BAC=180°一 或13. ∠B-∠C=100°， 6.三角形的稳定性 ,AE是∠BAC的平分线， 7.B8.B9.B 1 10.-3<a<-2 ·∠BAE=∠CAE=Z∠BAC 11..a,b,c是△ABC的三边长， =50°， .a-b-c<0,b-c-a<0,c-a ,AD是高， -b<0, ∴.∠ADC=90°， ∴.原式=-a十b+c-b十c十a ∴.∠CAD=180°-∠ADC-∠C -c+a+b =40°， =a+b+c. ∴.∠EAD=∠CAE-∠CAD 12.由已知得b-2=0,c-3=0, =10°. 则b=2,c=3, 7.50°或130°8.A9.C10.30° 又|x-4=2,x-4=士2，则x 11.65 =6或x=2, 12.∠B=35°，∠ACB=85°，∠B 即a=6或a=2,当a=6时，2+ +∠ACB+∠BAC=180°， 3<6, ∴.∠BAC=60°. 故a=6(舍去)，所以a=2, :AD平分∠BAC 则△ABC周长为2+2+3=7， △ABC为等腰三角形. ∠BAD=2∠BAC=30 13.(1)BD PC BD+PC BP ∴.∠PDE=180°-∠ACB +PC ∠DAC=65°. (2)在△AMN中，AM+AN 又PE⊥AD,∴.∠DPE=90 >MN, .∠PDE+∠DPE+∠E=180°， 在△MPB中MP+MB>BP, .∠E=25°. 在△NPC中，NP+NC>PC, 13.(1)60 49 (2):∠ABC,∠ACB的平分线 ∠OCD=56°， 相交于点P, ∴.∠ACD=124°，∠CD0=34, ∠1=2∠ABC. ∴∠ECD=62°，∠CDF=17°， ∴.∠F=∠ECD-∠CDF=62 ∠2=3∠ACB, -17°=45. (2)∠F不变. .∠BPC=180°-∠1-∠2= 180°- ∠ABC-∠ACB :∠ECD=Z∠ACD=号(90 180°- (∠ABC+∠ACB)= +∠CD0)=45+2∠CD0, 180°- 号×(180°-80)=130°. H∠CDF=合∠CDO: ∴.∠F=∠ECD-∠CDF (3)∠DPC=90°-号∠A,理 =456+3∠CD02∠CD0 由：在△BPC中，∠BPC=180 =45°. -∠1-∠2， 微课堂 “∠1= 2 ∠ABC,∠2= 1.C2.B3.360° 专题一三角形中的边角 合∠ACB, 关系的运用 1.(1)由题意，得14<2a+2<30, .∠BPC=180°- 2∠ABC 1 解得6<a<14. 3∠ACB=180- (180°- (2),△ABC为等腰三角形， ∴.2a+2=8或2a+2=22.解得a= 3或a=10. ∠A)=90+号∠A, .6<a<14,.a=10. ∴.∠DPC=180°-∠BPC=90 .△ABC的周长=22+22+8 4 =52. 2.设三角形的三边长分别为x一2， 13.3.2三角形的外角 x,x十2，则 1.C2.C3.C4.115 1x-2+x+x+2<30 5.∠ACD=100°， x-2+x>x+2, CE平分∠ACD, 解得4<x<10, ∴∠DCE=∠ACD=号×10 x的最大值为9，最小值为5， ①当x=9时，三边长为7,9,11； =50° ②当x=7时，三边长为5,7,9； ,AF∥CE,.∠AFC=∠DCE ③当x=5时，三边长为3,5,7. =50°. 3.270°4.67° :∠AFC是△ABF的一个外角， 5.,在△ABC中，∠ABC=∠C .∠BAF=∠AFC-∠B=50 2∠A, -30°=20°. ∴.设∠A=x,则∠ABC=∠C 6.C7.D8.28 =2x. 9.图略，延长CD,与AB相交于 ∠A+∠ABC+∠C=180°， 点E. ∴.x+2x十2x=180°，解得x ,∠CDB=111°，∠B=19°， =36°. ∴.∠CEB=∠CDB-∠B=111° ∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72. -19°=92°. ,BD是∠ABC的平分线， 又∠C=23°， ∴.∠A=∠CEB-∠C=92°-23 ∠DBC-7∠ABC=36, =69°≠70° ∴.∠ADB=∠DBC+∠C 这个零件不合格 =108. 10.(1):CE平分∠ACD,DF平6.(1)110° 分∠CDO, (2)∠B=50°，∠BAD=30°， ·∠ECD=Z∠ACD,∠CDF ∴.∠ADB=180°-50°-30 =100°. ∠CD0, ,△ABD沿AD折叠得 到△AED, 50 ∴.∠ADE=∠ADB=100°， .∠ADF=80°， ∠QCB=(∠A+∠ABC, ∴.∠EDF=∠ADE-∠ADF ∠BQC=180°-∠QBC-QCB=180° =20°. 7.(1)证明：DE∥AC, 3(∠A+∠ACB)-合（∠A+ .∠2=∠DAC. :∠1+∠2=180°， ∠AB0=180°-号∠A-号（∠A+ 1 ∴.∠1+∠DAC=180°. ∠ABC+∠ACB), ∴.AD∥GF; =90-3∠A (2)ED∥AC, ∴.∠EDB=∠C=40° 章末核心考点与素养提升 .ED平分∠ADB, 1.C2.23.234.1<x≤3 .∠2=∠EDB=40°. 5.3 69 .号 8.B9.A .∠ADB=80 10.减少10 AD∥FG, 11.(1)∠BAC=44°， ∴.∠BFG=∠ADB=80° 8.(1)∠B=40°，∠C=60°， ∴.∠B+∠C=180°-∠BAC =136° ∠BAC+∠B+∠C=180°， ,∠B=∠C, ∴.∠BAC=80° .2∠C=136°，.∠C=68. ,AD是∠BAC的角平分线， (2).∠ADE=∠AED, ·∠CAD=∠BAD=号∠BAC ∠ADE=75°， =40°， ∴.∠AED=75 :AE是△ABC的高， 又·'∠AED=∠C+∠CDE, ∠C=68°， ∴.∠AEC=90°， ∴.∠CDE=7 .∠C=60°，.∠CAE=90° 12.EF⊥BC,∴∠EFD=90°， 60°=30°， .∠DEF+∠EDF=90°， ∴.∠DAE=∠CAD-∠CAE =10°； ∠DEF=14°， (2)·∠BAC+∠B+∠C .∠EDF=90°-∠DEF=76°， ,∠BAD=∠EDF-∠B,∠B =180°， =46°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C, .∠BAD=76°-46°=30°， :AD是∠BAC的角平分线， ,AD平分∠BAC, ·∠CAD=∠BAD=3∠BAC, .∠BAC=2∠BAD=2X30 =60°， :AE是△ABC的高，.∠AEC ∴.∠C=180°-∠B-∠BAC= =90°， 180°-46°-60°=74. .∠CAE=90°-∠C, 13.(1)30°是 ∴.∠DAE=∠CAD-∠CAE= (2)是 ∠BAc-(90-∠C=180 1 (3)设∠OAC=x°，则∠BAC= -∠B-∠C)-90°+∠C= 90°-x,∠ACB=60°+x, 1 号∠B,即∠DAE- ∠ABC=30°， :△ABC为“灵动三角形”，且 ∠C-∠B ∠ACB为灵动角， ①当∠ACB=3∠BAC时， (3)45 .60+x=3(90-x),.x=52.5, 回归教材练探究与三角形角平 ②当∠ACB=3∠ABC时， 分线有关的几个常见的结论 ,.60十x=90,,.x=30: 【母题引申】50°+子 综上所述：∠OAC=52.5°或30°. 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 【变式练】1)123(2)号 1.△ABC≌△ADE∠DAE BC (3)∠BQc=90°-7∠A. 2.D3.B4.D5.D6.60 7.①②③④ 理由：∠QBC= （∠A+∠ACB), 8.(1)BC=DE+CE (2)当∠ACB=90°时，BC∥DE. 51