精品解析：甘肃白银市会宁县2025-2026学年度第二学期期末试题八年级数学

2025—2026学年度第二学期期末试题八年级数学 （总分120分，时间120分钟） 一､选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形； B、是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、不是轴对称图形． 2. 下列分式属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键． 利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可． 【详解】A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、是最简分式，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 若，则在下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，该选项错误，不合题意； 、∵， ∴，该选项错误，不合题意； 、∵， ∴，该选项错误，不合题意； 、∵， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； 故选：． 4. 下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、原式变形左边是整式乘法，结果是多项式，不是几个整式乘积的形式，不符合要求； B、左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义； C、，右边中不是整式，不符合要求； D、，原式变形错误，不符合要求． 5. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、添加，可以运用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、添加，无法证明四边形是平行四边形，符合题意； C、添加，可运用对角线相互平分的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、添加，可以运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：B ． 6. 如图，在四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由垂直平分线的性质得，，，再证明，故平分，进一步可得答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，，，故A，C选项成立， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故B选项成立， 没有可证明的条件，故D选项不一定成立． 7. 若关于的方程有增根．则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值． 【详解】解：方程两边都乘，得： ， ∵原方程有增根， ∴， ∴把代入整式方程，得． 故选：B． 8. 如图，在中，，边的垂直平分线，交于点，交于点，边的垂直平分线交于点．交于点，连接，．则的周长为（ ）． A. B. C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线定理得出线段之间的关系，相加即可． 【详解】解：由垂直平分线定理可得，，， ∴的周长． 9. 电动车每小时比自行车多行驶了25千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为x千米/小时，应列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设自行车的平均速度为x千米/小时，则电动车的平均速度为（x+25）千米/小时，由自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，可列方程，故选B． 10. 如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质和垂直平分线的判定的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题先证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，求得，即，即可得到，可以判断①正确；依据，，可得②正确；假设③正确，那么，即，那么不能构成，可判断③错误； 根据点是的中点，点是的中点，进而得出是的中位线，则可得出，可判断④正确；然后即可求解． 【详解】解：在中， ，，平分，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴平分， 故②正确，符合题意； 已知：，， 假设③正确，那么， 即，那么不能构成， ∴③错误，不符合题意； ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的为①②④， 故选：D． 二､填空题（每空3分，共24分） 11. 分解因式：ax3−ax=________． 【答案】ax（x+1）（x﹣1） 【解析】 【分析】先提公因式ax,再利用平方差公式因式分解即可. 【详解】ax3﹣ax=ax（x2﹣1）=ax（x+1）（x﹣1）． 故答案为ax（x+1）（x﹣1）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练应用公式法分解因式是解题关键． 12. 若代数式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不为零可得，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 13. 牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明命题“在三角形的三个内角中，至少有两个锐角”第一步应假设_______． 【答案】 在三角形的三个内角中，最多有一个锐角 【解析】 【分析】反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，只需对原命题的结论进行否定即可得到假设内容. 【详解】解：用反证法证明命题“在三角形的三个内角中，至少有两个锐角”时， 第一步应假设原命题的结论不成立，即假设在三角形的三个内角中，最多有一个锐角. 14. 过六边形的一个顶点能画出对角线的条数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，解答此类题目的关键是正确记忆一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是． 根据从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是进行计算即可． 【详解】解∶从六边形的一个顶点出发，引对角线的数量为∶ (条)， 故答案为∶3． 15. 如图，已知一次函数和的图象交于点，则一元一次不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】一元一次不等式表示的是一次函数的图象位于正比例函数的图象的下方（含交点），结合函数图象解答即可． 【详解】解：∵一元一次不等式表示的是一次函数的图象位于正比例函数的图象的下方（含交点）， ∴结合函数图象可知，一元一次不等式的解集是． 16. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与分别交于点E，F．再分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧交于内一点G．作射线，交于点H，交的延长线于点K．已知，，则的长为____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，即，结合作图得到平分，则，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，即， 根据作图得到，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 17. 如图，在中，于点F，于点E．若，，，则的周长为________cm． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与含角的直角三角形的性质，掌握平行四边形对边相等、对角相等，以及含角的直角三角形中角所对直角边是斜边的一半是解题的关键． 先利用平行四边形的性质，得到对边相等、对角相等；再结合垂直条件，识别出含角的直角三角形，利用角所对的直角边是斜边的一半求出邻边和的长度；最后代入平行四边形周长公式计算周长 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长为． 故答案为：． 18. 如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，于点，于点，由角平分线的性质推出，由三角形的面积求出，得到，即可求出的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点， ∵平分，，，  ，  ∵平分，，，  ，  ，  ∵，  ，  ，  ，  ，  ∴ ． 三､解答题（共66分） 19. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） 原分式方程无解 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：方程两边同时乘得：  ， 去括号得：， 移项、合并同类项得： ， 检验：当时，， ∴原分式方程无解． 【小问2详解】 解：方程两边同时乘得：  ， 去括号得： ，  移项、合并同类项得：  ， 解得 ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 20. 解不等式组，并把解集在数轴上表示： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示见答案； 【小问2详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示见答案． 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先由分式混合运算法则化简，再将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 22. 在春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器舞蹈”．这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，如图，三个机器人、、构成，其初始位置坐标分别为，，，另外三个机器人、、的初始位置构成的与关于点成中心对称． （1）在图中画出； （2）为了完成队形变换，机器人、、同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； （3）队形继续进行变换，绕点顺时针旋转得到，请写出此时的坐标为________ 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据平移的性质作图即可． （3）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：如图，绕点顺时针旋转得到， 的坐标为． 23. 如图，在中，点E，F是对角线上，． 求证：（1）； （2）连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）平行四边形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质对边平行且相等得到AD与BC平行且相等，由AD与BC平行得到内错角∠DAF与∠BCA相等，再由已知的AE=CF，根据“SAS”得到△ADF与△CBE全等； （2）由（1）证出的全等，根据全等三角形的性质得到DF与EB相等且∠DFA与∠BEC相等，由内错角相等两直线平行得到DF与BE平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得到四边形DEBF的形状． 【详解】解：证明：（1）∵ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠DAF=∠BCA， ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE， ∴△ADF≌△CBE； （2）四边形DEBF是平行四边形， ∵△ADF≌△CBE， ∴∠DFA=∠BEC，DF=BE， ∴DF∥BE， ∴四边形DEBF是平行四边形． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判断与性质，以及平行四边形的判断与性质．其中第2问是一道先试验猜想，再探索证明的新型题，其目的是考查学生提出问题，解决问题的能力，这类几何试题将成为今后中考的热点试题． 24. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．设购买两种机器人的总花费为，购买A型机器人的数量为台，求与的函数关系，并写出的取值范围 （3）在（2）的条件下问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）500元，300元 （2） （3）购买A型机器人10台，B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】（1）先设A型机器人模型单价是x元，B型机器人模型单价为，再根据购买两种机器人的数量相等列出分式方程，求出解并检验； （2）设购买A型机器人模型m台，购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费w元，再列出不等式，并求出解集，然后根据购买两种机器人的费用和等于W得出一次函数； （3）根据一次函数的性质讨论得出最小值即可． 【小问1详解】 解：设A型机器人模型单价是x元，B型机器人模型单价为元，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 所以A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元； 【小问2详解】 解：设购买A型机器人模型m台，购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，根据题意，得 ，且， 解得， ∴ ，其中； 【小问3详解】 解： ， ∵，且， ∴W随着m的增大而增大， ∴当时，W取最小值，此时， 所以购买A型机器人模型10台，购买B型机器人模型30台时花费最少，最少花费11200元． 25. 探究与应用： （1）【问题提出】如图1，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在内部，连接． ①求证：； ②若，求证：； （2）【问题探究】如图2，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在外部，连接，若仍然成立，求的度数； （3）【问题拓展】如图3，和都是等腰直角三角形，，将绕点A旋转，使点D落在外部，连接，若，，，请直接写出的长． 【答案】（1）①证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 在中，由勾股定理得：， 由①知， ∴； （2）的度数为 （3） 【解析】 【分析】（1）①证明即可证明结论；②证明，根据即可得出结论； （2）证明，得出是直角三角形，且，即可求出结论； （3）证明，得出是等腰直角三角形，求出，再根据勾股定理求出结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ∴的度数为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末试题八年级数学 （总分120分，时间120分钟） 一､选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列分式属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则在下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 7. 若关于的方程有增根．则的值是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，，边的垂直平分线，交于点，交于点，边的垂直平分线交于点．交于点，连接，．则的周长为（ ）． A. B. C. 10 D. 12 9. 电动车每小时比自行车多行驶了25千米，自行车行驶30千米比电动车行驶40千米多用了1小时，求两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为x千米/小时，应列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 二､填空题（每空3分，共24分） 11. 分解因式：ax3−ax=________． 12. 若代数式有意义，则x的取值范围是______． 13. 牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明命题“在三角形的三个内角中，至少有两个锐角”第一步应假设_______． 14. 过六边形的一个顶点能画出对角线的条数是______． 15. 如图，已知一次函数和的图象交于点，则一元一次不等式的解集是_______． 16. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与分别交于点E，F．再分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧交于内一点G．作射线，交于点H，交的延长线于点K．已知，，则的长为____． 17. 如图，在中，于点F，于点E．若，，，则的周长为________cm． 18. 如图，在中，和的平分线交于点，，，的面积为，则的面积为______． 三､解答题（共66分） 19. 解分式方程： （1）； （2）． 20. 解不等式组，并把解集在数轴上表示： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 在春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器舞蹈”．这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，如图，三个机器人、、构成，其初始位置坐标分别为，，，另外三个机器人、、的初始位置构成的与关于点成中心对称． （1）在图中画出； （2）为了完成队形变换，机器人、、同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； （3）队形继续进行变换，绕点顺时针旋转得到，请写出此时的坐标为________ 23. 如图，在中，点E，F是对角线上，． 求证：（1）； （2）连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 24. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．设购买两种机器人的总花费为，购买A型机器人的数量为台，求与的函数关系，并写出的取值范围 （3）在（2）的条件下问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 25. 探究与应用： （1）【问题提出】如图1，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在内部，连接． ①求证：； ②若，求证：； （2）【问题探究】如图2，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在外部，连接，若仍然成立，求的度数； （3）【问题拓展】如图3，和都是等腰直角三角形，，将绕点A旋转，使点D落在外部，连接，若，，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $