精品解析：贵州贵阳市普通中学2025-2026学年第二学期期末监测高一数学试卷

贵阳市普通中学2025-2026学年度第二学期期末监测 高一数学 2026.7 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟． 2．答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分． 3．考试过程中不得使用计算器． 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．） 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】考查复数的几何意义，，在复平面内的对应的点坐标为. 【详解】由复数的几何意义可知，，在复平面内的对应的点坐标为，在第二象限. 2. 已知两直线m，n，两平面，，若，，，则m与n的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或异面 【答案】D 【解析】 【分析】由平面与平面平行的定义及空间中两直线的位置关系得答案． 【详解】解：，与没有公共点， 又，，与没有公共点， 则与的关系为平行或异面． 故选：． 【点睛】本题考查空间中直线与直线位置关系的应用，考查空间想象能力与思维能力，属于基础题． 3. 甲、乙两台机床同时生产一种零件，在5天中，两台机床每天生产的次品数如表所示．下列说法正确的是（ ） 甲 0 1 2 0 2 乙 2 1 0 1 1 A. 甲的平均次品数比乙少，甲性能更好 B. 乙的平均次品数比甲少，乙性能更好 C. 甲、乙平均次品数相同，甲性能更稳定 D. 甲、乙平均次品数相同，乙性能更稳定 【答案】D 【解析】 【详解】甲的5天次品数为，平均次品数， 乙的5天次品数为，平均次品数， 因此甲乙平均次品数相同，选项A和选项B错误； 甲的方差， 乙的方差， 因为，所以乙的性能更稳定，选项C错误，选项D正确. 4. 在中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图， ． 5. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别是，，则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，再由对立事件的概率性质可得到答案. 【详解】由题意，密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率为， 故该密码被成功破译的概率为 6. 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则容器的容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知四个全等的等腰三角形的底边长为6，就可得正四棱锥的底面为边长为6的正方形，通过三角形的高也可求出正四棱锥的高，最后求出体积. 【详解】正四棱锥体积为（为底面面积，为正四棱锥的高），所以由题可知, 根据题中标注的长度可得下图中的,,所以,所以正四棱锥体积为 7. 中国的桥梁建设享誉世界，贵州号称是桥梁博物馆，著名的北盘江大桥主体是一种斜拉桥结构，斜拉桥是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁．如图，已知主塔垂直于桥面，，，是桥面上共线的三点，斜拉索，与桥面所成角，，设主塔的高度为，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用三角函数表示出,进而得出,再根据同角三角函数的关系及两角差的正弦公式进行化简即可. 【详解】在中,. 在中,. 所以 8. 若平面向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量的模的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设平面向量、夹角为，得到在上投影向量的模为，令，由，平方得到，结合，得到，求得的范围，即可求解. 【详解】设平面向量、夹角为， 则在上投影向量的模为，且， 由，平方可得， 又因为， 可得：， 令，则， 由， 所以，整理得：， 解得：， 即， 所以， 即在上投影向量模的最大值为. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分．） 9. 已知随机事件，的对立事件分别为，，且，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，为互斥事件，则 B. 若，为互斥事件，则 C. 若事件与事件相互独立，则 D. 若事件与事件相互独立，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据对立事件、互斥事件、独立事件及概率加法公式对选项逐一分析即可. 【详解】若，为互斥事件，则故A正确， 若，为互斥事件，则,所以，故B错误. 若事件与事件相互独立，则,故C正确 若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立，所以，故D错误. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点在内（含边界）且，则下列结论正确的有（ ） A. 异面直线与所成的角是 B. 与平面所成的线面角的正切值为 C. 与平面的交点是的重心 D. 点到平面距离的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用异面直线夹角的计算方法结合正方体的特征判定A；先证明平面，结合等体积法计算到平面的距离，由线面夹角的定义可判定B；结合B和正三角形中心的性质可判定C；根据点轨迹和正三角形内切圆的特征计算即可判定D. 【详解】对于A，在正方体中易知且， 所以异面直线与所成的角即或其补角，显然，A错误； 连接，易知， 又平面，所以平面， 而平面，所以，同理可知， 即平面，设垂足为，取的中点，连接， 则，所以， 连接，由勾股定理可知， 对于B，易知与平面所成的角为， ，故B正确； 对于C，由三棱锥为正三棱锥可知为该正三角形的中心， 即重合，所以为正的重心，C正确. 对于D，由三棱锥为正三棱锥可知为该正三角形的中心， 则三点共线，，， 所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆，该圆即正三角形的内切圆， 假设的轨迹圆与交于点，由上可知， 而到底面的距离为2，所以到底面的距离为， 由图形可知点到平面距离的取值范围是，故D正确. 三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上．） 11. 贵阳市某中学为了解同学们对“制造未来”这门校本课程的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查．已知该校高一年级学生有1200人，高二年级学生有1000人，高三年级学生有800人，则在高二年级中抽取的人数为________． 【答案】30 【解析】 【详解】三个年级总人数为人，共抽取90人，则抽样比为. 高二年级共1000人，抽取人数为. 12. 用平行于底面的平面去截圆锥得到一个圆台，已知圆台的上、下底面半径分别为2、6，母线长为5．则该圆台的体积为________． 【答案】 【解析】 【详解】根据台体的体积公式（为上底面面积，为下底面面积，为台体的高）， 因为圆台上底面半径为2，所以，下底面半径为6，所以, 根据母线长为5可以算出，如下图，母线长，（为下底面半径，为上底面半径）， 则， 所以体积为. 13. 在5张彩票中有2张有奖，甲、乙先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为___________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可. 【详解】分两类情况讨论 ①甲中奖： ②甲未中奖： 所以乙中将的概率. 故答案为：. 14. 若复数是关于的方程的一个根，则________． 【答案】9 【解析】 【详解】方法一：因为是关于方程的一个根， 所以， 所以，所以. 方法二：因为是关于方程的一个根，所以另一个根为， 由韦达定理可得：；. 所以. 15. 某化学晶体结构的局部空间构型可抽象为正八面体．已知正八面体的棱长为2，如图所示．则该正八面体的内切球表面积与外接球表面积的比值为________． （注：与正八面体的八个面都相切的唯一球体，叫做正八面体的内切球；若球面经过正八面体全部六个顶点，则该球称为这个正八面体的外接球．） 【答案】 【解析】 【分析】判断出正八面体外接球与内切球的球心，求出球的半径，进而得到表面积之比. 【详解】设的交点为，则， 因为是正八面体，所以， 所以到所有顶点的距离相等，因此为正八面体外接球的球心， 外接球的半径为， 显然也是正八面体内切球的球心，设内切球半径为， 则， 即，解得， 所以该正八面体的内切球表面积与外接球表面积的比值为 四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 16. 设向量，，． （1）当时，求； （2）当时，若，求实数，的值． 【答案】（1）-10 （2），． 【解析】 【分析】（1）根据向量共线和向量坐标运算求解，再根据数量积运算法则求解； （2）根据向量垂直和向量坐标运算求解，再结合向量线性运算求解，. 【小问1详解】 因为向量，， 当时，，解得：，所以， 又因为，所以； 【小问2详解】 因为向量，，当时，，解得．所以， 若，则， 由向量相等得，解得，． 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理结合同角三角函数关系及角的范围计算求解； （2）应用面积公式结合余弦定理计算求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 因为，， 所以，即， 又因为， 所以； 【小问2详解】 因为，．的面积为， 所以，解得， 又由余弦定理：，得， 即，所以， 故的周长为：． 18. 为了解贵阳市某地区居民的用水情况，随机抽样调查了该地区100户居民用户的月均用水量（单位：），将数据按照，，，，，，，，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）已知该地区有60万户居民，估计该地区有多少户居民月均用水量不低于； （3）为节约用水，政府计划试行居民用户生活用水定额管理，希望的居民用户每月的用水量不超过，试估计的值，并说明理由． 【答案】（1）； （2）16.2万户 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和等于1，建立方程求解. （2）先根据频率分布直方图求100户居民用户月均用水量不低于的频率，然后估计60万居民用户月均用水量不低于的户数. （3）先估计的居民用户每月的用水量不超过所处的区间，然后根据之前的频率为求的值. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得：， 解得； 【小问2详解】 由频率分布直方图可得100户居民用户月均用水量不低于的频率为： ， 可估计60万居民用户月均用水量不低于的户数为万户. 【小问3详解】 前6组的频率之和为：， 前5组的频率之和为：， 所以，解得. 则估计月用水量标准为时，的居民用户每月的用水量不超过此标准． 19. 如图，在三棱锥中，，底面． （1）求证：平面； （2）若，是的中点，求平面与平面所成二面角的大小． 【答案】（1）证明：，， 又平面，平面， ， 又，平面，平面， 平面； （2）． 【解析】 【分析】（1）结合线面垂直判定定理即可推导 （2）先确定两个平面的交线为，再分别在两个平面内找垂直于的直线，即可得到二面角的平面角 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接，，， 是的中点，，又平面， 平面， ， ，又， ， 平面．， 为平面与平面所成二面角的平面角， 设，， 平面，， ， 平面与平面所成二面角的大小为． 五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分．解答应写出文字说明，条理清晰．） 20. 贵州是我国首个国家级大数据综合试验区，素有“中国数谷”之称．在数据的多维分析和向量空间模型中，通常使用直角坐标系．但在处理某些非正交的数据时，引入“斜坐标系”往往更能简化计算． 已知，是平面内任意两个不共线的单位向量，过平面内任一点作，，以为原点，分别以射线，为轴，轴的正半轴，建立平面坐标系，我们把这个由基底，确定的坐标系，称为基底的坐标系． 当向量，不垂直时，坐标系为平面斜坐标系，简记为． 由平面向量的基本定理可知，对于平面内任一向量，存在唯一实数对，使得，称实数对为在斜坐标系下的坐标，记为. 以原点为起点，为终点的向量，则的坐标为，记为. 超算中心采用菱形网格布线，工程师建立斜坐标系，，的夹角为．两台服务器在斜坐标系中位置为点，，已知，. 定义数据在两台服务器，传输的“能耗”为． （1）求点，在该斜坐标系中的坐标； （2）当时，求； （3）当，为线段上的动点时，记到，“能耗”和，求的最小值． 【答案】（1）， （2）7 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据斜坐标的概念可直接写出点，在该斜坐标系中的坐标. （2）利用平面向量的数量积求向量的模. （3）其中，用和表示出，结合二次函数与三角函数的值域求的最小值． 【小问1详解】 根据定义得：，. 【小问2详解】 已知， 则. 【小问3详解】 因为为线段上的动点，设，其中， 则 所以，则， 又，所以时，有最小值， 或时，有最大值1，所以， 又，，所以， 所以 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市普通中学2025-2026学年度第二学期期末监测 高一数学 2026.7 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟． 2．答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分． 3．考试过程中不得使用计算器． 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．） 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知两直线m，n，两平面，，若，，，则m与n的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或异面 3. 甲、乙两台机床同时生产一种零件，在5天中，两台机床每天生产的次品数如表所示．下列说法正确的是（ ） 甲 0 1 2 0 2 乙 2 1 0 1 1 A. 甲的平均次品数比乙少，甲性能更好 B. 乙的平均次品数比甲少，乙性能更好 C. 甲、乙平均次品数相同，甲性能更稳定 D. 甲、乙平均次品数相同，乙性能更稳定 4. 在中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别是，，则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则容器的容积为（ ） A. B. C. D. 7. 中国的桥梁建设享誉世界，贵州号称是桥梁博物馆，著名的北盘江大桥主体是一种斜拉桥结构，斜拉桥是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁．如图，已知主塔垂直于桥面，，，是桥面上共线的三点，斜拉索，与桥面所成角，，设主塔的高度为，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 若平面向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量的模的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分．） 9. 已知随机事件，的对立事件分别为，，且，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，为互斥事件，则 B. 若，为互斥事件，则 C. 若事件与事件相互独立，则 D. 若事件与事件相互独立，则 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点在内（含边界）且，则下列结论正确的有（ ） A. 异面直线与所成的角是 B. 与平面所成的线面角的正切值为 C. 与平面的交点是的重心 D. 点到平面距离的取值范围是 三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上．） 11. 贵阳市某中学为了解同学们对“制造未来”这门校本课程的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查．已知该校高一年级学生有1200人，高二年级学生有1000人，高三年级学生有800人，则在高二年级中抽取的人数为________． 12. 用平行于底面的平面去截圆锥得到一个圆台，已知圆台的上、下底面半径分别为2、6，母线长为5．则该圆台的体积为________． 13. 在5张彩票中有2张有奖，甲、乙先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为___________. 14. 若复数是关于的方程的一个根，则________． 15. 某化学晶体结构的局部空间构型可抽象为正八面体．已知正八面体的棱长为2，如图所示．则该正八面体的内切球表面积与外接球表面积的比值为________． （注：与正八面体的八个面都相切的唯一球体，叫做正八面体的内切球；若球面经过正八面体全部六个顶点，则该球称为这个正八面体的外接球．） 四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 16. 设向量，，． （1）当时，求； （2）当时，若，求实数，的值． 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 18. 为了解贵阳市某地区居民的用水情况，随机抽样调查了该地区100户居民用户的月均用水量（单位：），将数据按照，，，，，，，，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）已知该地区有60万户居民，估计该地区有多少户居民月均用水量不低于； （3）为节约用水，政府计划试行居民用户生活用水定额管理，希望的居民用户每月的用水量不超过，试估计的值，并说明理由． 19. 如图，在三棱锥中，，底面． （1）求证：平面； （2）若，是的中点，求平面与平面所成二面角的大小． 五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分．解答应写出文字说明，条理清晰．） 20. 贵州是我国首个国家级大数据综合试验区，素有“中国数谷”之称．在数据的多维分析和向量空间模型中，通常使用直角坐标系．但在处理某些非正交的数据时，引入“斜坐标系”往往更能简化计算． 已知，是平面内任意两个不共线的单位向量，过平面内任一点作，，以为原点，分别以射线，为轴，轴的正半轴，建立平面坐标系，我们把这个由基底，确定的坐标系，称为基底的坐标系． 当向量，不垂直时，坐标系为平面斜坐标系，简记为． 由平面向量的基本定理可知，对于平面内任一向量，存在唯一实数对，使得，称实数对为在斜坐标系下的坐标，记为. 以原点为起点，为终点的向量，则的坐标为，记为. 超算中心采用菱形网格布线，工程师建立斜坐标系，，的夹角为．两台服务器在斜坐标系中位置为点，，已知，. 定义数据在两台服务器，传输的“能耗”为． （1）求点，在该斜坐标系中的坐标； （2）当时，求； （3）当，为线段上的动点时，记到，“能耗”和，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $