专题12 尺规作图问题（5年汇编）（福建专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦福建中考尺规作图专题，整合2022-2026年5年真题及模拟题，以基础作图原理辨析与复合情境作图为核心，突出作图与几何计算的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|真题1题/模拟多题|角平分线、垂直平分线等基础作图原理|如2023年真题考查作图步骤推理，辨析线段关系与位置关系| |解答题|真题4题/模拟多题|矩形、圆、平行线等背景下的定点作图，结合勾股定理、相似计算|如2026年矩形背景作图题，第(2)问融合解直角三角形求长度；2025年正方形内嵌作图，体现构造思想|

专题12 尺规作图问题 5年真题1年模拟 考点分类 福建考情（2022-2026） 命题规律 考点01尺规作图问题 2026 福建中考 2025 福建中考 2024 福建中考 2023 福建中考 2022 福建中考 稳定设置一道解答大题，个别年份选择题同步考查作图原理。考题分为两大模块：①基础尺规作图辨析（角平分线、垂直平分线、作平行线、作圆切线等原理识别）；②复合情境尺规作图，依托矩形、平行线、圆等几何背景，要求完成满足角度、边长条件的定点作图，保留痕迹、不写作法。第 (2) 小问一般结合勾股定理、相似三角形、解直角三角形进行长度计算。核心掌握 5 类基础作图：作角平分线、作线段垂直平分线、作一角等于已知角、过点作垂线、作平行线。近五年特色显著：偏向构造二倍角、正方形内嵌、等距平行线、切线作图等综合情境，不再单纯考查单一基础作图，侧重利用作图实现角度转化、构造等腰三角形；作图与计算紧密捆绑，兼顾动手操作能力与几何推理计算。 考点01 尺规作图问题 1．（2023·福建·中考真题）阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，连接，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（  ）      A．且 B．且 C．且 D．且 2．（2026·福建·中考真题）如图，四边形是矩形，，点在的延长线上． (1)求作点 ，使点 在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 3．（2025·福建·中考真题）如图，矩形中，． (1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求（1）中所作的正方形的边长． 4．（2024·福建·中考真题）如图，已知直线． (1)在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积． 5．（2022·福建·中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线． (1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值． 1．（2026·福建漳州·模拟预测）已知在中，，D为上一点，且，要在线段的延长线上求作一点E，使得，垂足为C．下面选项中尺规作图的痕迹错误的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建厦门·一模）如图，中，．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线交于点E．若点F为的中点，连接，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 3．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，已知，，，尺规作图痕迹如图所示，再以点为圆心，长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分的面积为_____． 4．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，是边上一点，以点为圆心，的长为半径的圆交于点，且过点作的切线交于点． (1)尺规作图：试确定点的位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求证：是等边三角形． 5．（2026·福建莆田·模拟预测）赵爽弦图是中国古代数学的图腾，其内部是由4个全等直角三角形围着一个小正方形形成，外部则是将这4个三角形的顶点连接成一个大正方形，具备中心对称的结构美．它简约美观而不失深厚，是数学人心中的数学瑰宝，2002年第24届国际数学家大会会标就是以“赵爽弦图”为基本元素设计而成（如图1所示）．如图2，点在正方形内，． (1)求作赵爽弦图，使得点在上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的作图条件下，求证：正方形的中心就是正方形的中心． 6．（2026·福建三明·模拟预测）如图，中，，． (1)尺规作图：在边上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 7．（2026·福建三明·二模）如图，在中，． (1)用无刻度的直尺和圆规，在的延长线上确定点，使得以为圆心，为半径的圆，与直线相切，画出⊙，并标出切点；（不写画法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，⊙与直线的另一交点为，连接，若，且，求的长． 8．（2026·福建泉州·二模）如图，四边形为平行四边形．    (1)在上求作一点，使得； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，，求（1）中的面积．   9．（2026·福建泉州·二模）如图所示的方格图中的小正方形边长均为，点均是格点．直线与的外接圆相切于点，交射线于点，已知． (1)用无刻度的直尺，按要求在方格图中作图： ①画出的外接圆的圆心； ②画出的切线，交射线于点． (2)在（）的条件下，连结．试证明：是等腰三角形． 10．（2026·福建莆田·模拟预测）解答 (1)【问题提出】如图，在长方形中，点是边上一点，在边、上分别作出点，使得点是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，；要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；                  (2)【问题解决】在(1)的前提下，作 P关于的对称点Q ( 本小题不用尺规作图)，补全图形，求证：四边形为正方形． 11．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在中，，，，点为的中点，连接． (1)尺规作图：试确定一点，使得与关于直线对称；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的前提下，求四边形的周长与面积． 12．（2026·福建福州·三模）如图，在中，，，． (1)在上找一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长． 13．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，已知的半径为2，为 的直径，与 相切于点A． (1)请用尺规作图的方法，作的内接正方形；（要求：点A，B，C，D按顺时针方向在上，保留作图痕迹，不写作法） (2)延长交射线于点 E，连接，交 于点 F，求 的面积． 14．（2026·福建三明·三模）如图，矩形的对角线，相交于点． (1)尺规作图：在平面内确定一点，使得四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，四边形的面积为，求的长． 15．（2026·福建泉州·模拟预测）已知是直角三角形，，． (1)求作，使，，且点落在边上，点落在边上．（仅用无刻度直尺和圆规作图） (2)若，求的面积． 16．（2026·福建宁德·一模）如图，已知矩形，是边上的一点． (1)若是边上的一点，将沿直线折叠，得到，且经过点．用尺规作出满足条件的；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，过点作 ，交于点，连接．求证：四边形是菱形． 17．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，已知直线，点在直线和之间，且点到直线，的距离相等． (1)利用直尺和圆规作出等腰直角三角形，使得点在直线上，点在直线上，．（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若直线和之间的距离为，求的面积． 18．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在中，， ． (1)在线段上求作点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，过点D作交的延长线于点 E，求的值． 19．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，已知矩形，，是对角线． (1)求作线段，，使得的值最小，且点P，Q分别落在边，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求（1）中所作的的值． 20．（2026·福建泉州·二模）如图，四边形内接于，． (1)在上求作点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，是的中点，求证：四边形是菱形． 21．（2026·福建莆田·二模）数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形中，，点E，F在对角线上，．用尺规作，使得点H，G分别落在边，上．    (1)经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法． 甲同学的作法： 在上任取一点G，连接，； 以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 连接，，则即为所求． 乙同学的作法： 在上取一点G，连接，，； 以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 连接，，则即为所求． 请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因； (2)丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作平行四边形EHFG，使得点H，G分别落在边，上，且．请你按下述要求，完成作图． ①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②只需作出一种情况即可． 22．（2026·福建福州·二模）如图，已知，，，是中线． (1)尺规作图：求作线段，使得平分，且，连接并延长交延长线于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 23．（2026·福建南平·二模）如图，已知和射线，，． (1)在射线上求作点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的作图条件下，若，求证：． 24．（2026·福建泉州·三模）如图，在平行四边形中． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）条件下若，，平分，求的长． 25．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，． (1)在上求作一点D，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，在AB上存在点E满足，连接．求证：． 26．（2026·福建泉州·一模）如图，内接于，点为直径的延长线上一点． (1)在直径下方，求作的切线，切点为；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若点为中点，，，求的半径． 27．（2026·福建三明·一模）如图，在中，为钝角．，点在上，， (1)将沿翻折得到，请尺规作图画出点（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 28．（2026·福建泉州·一模）如图，在菱形中，． (1)求作正方形，使得点E，F在对角线上，且点在点的左边；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下，是的中点，连接，求的长． 29．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，在中，，平分． (1)请在边上找一点O，并作圆O，使它满足以下条件： ①点B在圆O上； ②与边切于点D；（尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的图中，若，，求的长． 30．（2026·福建厦门·三模）提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（，且），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）． 背景介绍：这条分割直线既平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”． 尝试解决： (1)小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕； (2)小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图中过点画了一条直线交于点．你觉得小华能成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由． 31．（2026·福建宁德·一模）探究四边形重心的坐标：一般地，匀质薄板物体的重心就是其对应平面图形的几何中心．任意四边形的重心可以用“支撑平衡”的方法确定，也可以通过数学计算求得． (1)【基础掌握】如果三角形的顶点坐标分别为，，，根据三角形重心是三角形三条中线的交点这一性质，可以推出其重心的坐标为．如图1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．求该三角形重心的坐标； (2)【基础掌握】如图2，两个匀质薄板物体拼成组合体，其重心一定落在原来两个物体重心连接的线段上；如果以组合体重心为支点，原来两个物体满足力的杠杆平衡原理（即）．现有两个矩形，其宽相等，大矩形高是小矩形的2倍，将它们底部对齐按图3方式拼成一个组合体，根据上述性质，确定该组合体重心的大致位置（简要说明方法）； (3)【猜想应用】如图4，对于任意四边形，将它沿一条对角线分割成两个三角形，它们的重心分别为，，对应面积分别为，，猜想并直接写出四边形重心的坐标；（用含，，，，，的代数式表示） (4)【猜想应用】如图5，四边形的顶点坐标分别为，，，求四边形重心的坐标． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 尺规作图问题 5年真题1年模拟 考点分类 福建考情（2022-2026） 命题规律 考点01尺规作图问题 2026 福建中考 2025 福建中考 2024 福建中考 2023 福建中考 2022 福建中考 稳定设置一道解答大题，个别年份选择题同步考查作图原理。考题分为两大模块：①基础尺规作图辨析（角平分线、垂直平分线、作平行线、作圆切线等原理识别）；②复合情境尺规作图，依托矩形、平行线、圆等几何背景，要求完成满足角度、边长条件的定点作图，保留痕迹、不写作法。第 (2) 小问一般结合勾股定理、相似三角形、解直角三角形进行长度计算。核心掌握 5 类基础作图：作角平分线、作线段垂直平分线、作一角等于已知角、过点作垂线、作平行线。近五年特色显著：偏向构造二倍角、正方形内嵌、等距平行线、切线作图等综合情境，不再单纯考查单一基础作图，侧重利用作图实现角度转化、构造等腰三角形；作图与计算紧密捆绑，兼顾动手操作能力与几何推理计算。 考点01 尺规作图问题 1．（2023·福建·中考真题）阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，连接，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（  ）      A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答． 【详解】解：由作图过程可得：， ∵， ∴． ∴． ∴A选项符合题意； 不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意； 不能确定,故C选项不符合题意， 不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键． 2．（2026·福建·中考真题）如图，四边形是矩形，，点在的延长线上． (1)求作点 ，使点 在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)如图，点即为所求． (2) 【分析】（1）利用尺规作图作，的边与的交点即为所求作的点； （2）由矩形的性质、平行线的性质、等边对等角可得，即可求得的长；设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：作，的边与的交点即为所求作的点； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即点即为所求． （2）解：∵四边形是矩形，， ，． ， ， ， ． ， ， 设，则， 在中，，， 由勾股定理得， ，解得， 即． 3．（2025·福建·中考真题）如图，矩形中，． (1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求（1）中所作的正方形的边长． 【答案】(1) 如图，四边形就是所求作的正方形． (2) 【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：由作图可知，，， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； （2）由（1）知：，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ． ， ． 又， ， ，即， ． 在中，， ， ∴正方形EFGH的边长为． 【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 4．（2024·福建·中考真题）如图，已知直线． (1)在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积． 【答案】(1) 如图，直线就是所求作的直线． (2)的面积为1或． 【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想： （1）先作出与的垂线，再作出夹在间垂线段的垂直平分线即可； （2）分；；三种情况，结合三角形面积公式求解即可 【详解】（1）略 （2）①当时， ，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，根据图形的对称性可知：， ， ． ②当时， 分别过点作直线的垂线，垂足为， ． ，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离， ． ，， ，， ． 在中，由勾股定理得， ． ． ③当时，同理可得，． 综上所述，的面积为1或． 5．（2022·福建·中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线． (1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值． 【答案】(1) 解：如图所示，⊙A即为所求作： (2) 【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形； （2）根据题意，作出图形，设，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解，再判定，根据，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值为． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意，作出图形如下： 设，⊙A的半径为r， ∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G， ∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°， ∵CF⊥BD， ∴∠EFG＝90°， ∴四边形AEFG是矩形， 又， ∴四边形AEFG是正方形， ∴， 在Rt△AEB和Rt△DAB中，，， ∴， 在Rt△ABE中，， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，AB＝CD， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 在Rt△ADE中，，即， ∴，即， ∵， ∴，即tan∠ADB的值为． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键． 1．（2026·福建漳州·模拟预测）已知在中，，D为上一点，且，要在线段的延长线上求作一点E，使得，垂足为C．下面选项中尺规作图的痕迹错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．由作法可知，符合题意； B．由作法可知， ∵， ∴， ∴， ∴，符合题意； C．由作法可知， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由B可知，，符合题意； D．由作法可知，由此作法无法说明，故不符合题意． 2．（2026·福建厦门·一模）如图，中，．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线交于点E．若点F为的中点，连接，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】由作图过程可知：是的角平分线，利用等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：由作图过程可知：是的角平分线， ∵． ∴， ∵点F为的中点， ∴． 3．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，已知，，，尺规作图痕迹如图所示，再以点为圆心，长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】利用三角函数求出的长，由作图得，由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图知平分， ∴， 在中，，则， ∵， ∴， ∴阴影部分面积为． 4．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，是边上一点，以点为圆心，的长为半径的圆交于点，且过点作的切线交于点． (1)尺规作图：试确定点的位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求证：是等边三角形． 【答案】(1)解：作图如下： (2)证明：， ． ， ， 即， ， ， ， ． ， ． ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】（1）按照过一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）由已知条件及勾股定理可求得，由三角函数可求得，进而得，由等腰三角形的性质得，由切线的性质及等边三角形的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：连接并延长到F，以D为圆心，任意长为半径画弧交射线于两点，再作以这两点为端点的线段的垂直平分线交于点E，则点E为所确定的点．作图略； （2）略 5．（2026·福建莆田·模拟预测）赵爽弦图是中国古代数学的图腾，其内部是由4个全等直角三角形围着一个小正方形形成，外部则是将这4个三角形的顶点连接成一个大正方形，具备中心对称的结构美．它简约美观而不失深厚，是数学人心中的数学瑰宝，2002年第24届国际数学家大会会标就是以“赵爽弦图”为基本元素设计而成（如图1所示）．如图2，点在正方形内，． (1)求作赵爽弦图，使得点在上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的作图条件下，求证：正方形的中心就是正方形的中心． 【答案】(1)解：作图如下： 正方形即为所求 (2)证明：连接两线交于点O，连接， 四边形是正方形，四边形是正方形， ， ，， ， ， ，， 四边形是正方形， ，，， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， 同理可证，都是等腰直角三角形， ， 三点共线，三点共线，， 故正方形的中心就是正方形的中心． 【分析】（1）在上截取，连接，过点C作于点H，延长交于点G，求解即可； （2）连接两线交于点O，连接，证明，再证明，得证是等腰直角三角形，同理可证，都是等腰直角三角形，解答即可； 【详解】（1）略 （2）略 6．（2026·福建三明·模拟预测）如图，中，，． (1)尺规作图：在边上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作或作线段的垂直平分线，交点为所求或运用作一个角等于已知角的基本作图求解； （2）根据等腰三角形的性质，特殊角的三角函数求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ，．   ，， ．   在中，， ．   又， ． 7．（2026·福建三明·二模）如图，在中，． (1)用无刻度的直尺和圆规，在的延长线上确定点，使得以为圆心，为半径的圆，与直线相切，画出⊙，并标出切点；（不写画法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，⊙与直线的另一交点为，连接，若，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作中的外角的平分线交延长线于点D，以为圆心，为半径的圆，与直线相切； （2）过点作于点；由余弦函数关系可求得，进而由勾股定理求得，证明，得，证明，求得，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图，过点作于点； ， ，，， ． ∵在中，由勾股定理，得， 与直线相切于点， ， ． ，，， ， ． ，，， ， ，． ，． ， ， ， ，，， ∴在中，由勾股定理得． 8．（2026·福建泉州·二模）如图，四边形为平行四边形．    (1)在上求作一点，使得； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，，求（1）中的面积． 【答案】(1)点的位置如图所示；    (2) 【分析】（1）分别以点，点为圆心，大于为半径画圆，连接交点，与交于点，根据三角形的面积，等底半高，点即为所求； （2）过点作垂足为，根据，求出，根据，求出，再根据，求出，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：过点作垂足为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点是中点， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题解直角三角形，尺规作图，解题的关键是掌握尺规作图，解直角三角形，进行解答，即可． 9．（2026·福建泉州·二模）如图所示的方格图中的小正方形边长均为，点均是格点．直线与的外接圆相切于点，交射线于点，已知． (1)用无刻度的直尺，按要求在方格图中作图： ①画出的外接圆的圆心； ②画出的切线，交射线于点． (2)在（）的条件下，连结．试证明：是等腰三角形． 【答案】(1)①如图所示点为所作的圆心 ；    ②如图所示为所作的的切线； (2)如图，由等腰、切线与切线的轴对称性质， 可得， 则， ∵是的切线， ∴， 又， ∴， 即， ∵， 且， ∴， ∴，即， 又， ∴， 即， ∴，即， ∴是等腰三角形． 【分析】（）①找格点，使，找出圆与格线的交点，使，和的交点就是圆心；②连接并延长，交于点，连接并延长，交直线于点，就是所求作的切线． （）借助切线垂直半径、图形轴对称得出等腰，通过内角和、圆心角性质等量代换，推导出，证出为等腰三角形． 【详解】（1）解：①如图 ∵ ∴是圆的直径， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴圆心在直线上， ∴与的交点就是圆心； ②作切线： 在和中， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵直线与的外接圆相切于点， ∴， ∴， ∵是半径， ∴就是所求切线； （2）略 10．（2026·福建莆田·模拟预测）解答 (1)【问题提出】如图，在长方形中，点是边上一点，在边、上分别作出点，使得点是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，；要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；                  (2)【问题解决】在(1)的前提下，作 P关于的对称点Q ( 本小题不用尺规作图)，补全图形，求证：四边形为正方形． 【答案】(1)所作等腰直角三角形如图1所示： (2)证明：补全图形如图2， ∵点Q与点P关于直线对称， ∴垂直平分线段， ∴，． 又∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∵， ∴菱形是正方形． 【分析】（1）根据作图技巧运用圆规分别在上截取，然后，连接，证得，得出，即可证得结论； （2）根据垂直平分线的性质，得，，再由，得四边形是菱形，最后，由即可证得结论． 【详解】（1）解：∵在长方形中， ∴， 根据作图痕迹可知， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）略 11．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在中，，，，点为的中点，连接． (1)尺规作图：试确定一点，使得与关于直线对称；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的前提下，求四边形的周长与面积． 【答案】(1)如图，点即为所求 (2)周长为，面积为， 【分析】（1）以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧，两弧的另一个交点即为所求的点； （2）由勾股定理可得，结合点为的中点可得，由（1）可得，因此，利用直角三角形的性质可得，结合，，即可得出四边形的周长． 【详解】（1）解：如图，连接、，交于点， 由题意可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴点与点关于直线对称， ∴与关于直线对称； （2）解：在中， ， ∵点为的中点， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵，， 又∵， ∴， ∴四边形的周长为． 12．（2026·福建福州·三模）如图，在中，，，． (1)在上找一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作平分交于点，点即为所求， （2），过点作，由（1）可知平分，，根据角平分线的定义可知，根据含角的直角三角形的性质可知，根据勾股定理可以求出，根据三角形内角和定理可以求出，可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，根据即可求出结果． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作平分交于点，点即为所求， 平分， ， 过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，过点作， 由（1）可知平分， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， ． 13．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，已知的半径为2，为 的直径，与 相切于点A． (1)请用尺规作图的方法，作的内接正方形；（要求：点A，B，C，D按顺时针方向在上，保留作图痕迹，不写作法） (2)延长交射线于点 E，连接，交 于点 F，求 的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）分别以为圆心，大于的长度为半径画弧，分别交于点，过点作直线，交圆于，则四边形为正方形； （2）过点作，证明，根据相似三角形的性质可知的长度，进而根据即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得， （2）解：过点作， ∵是正方形， ∴，， ∵与 相切于点A， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ， 又， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·福建三明·三模）如图，矩形的对角线，相交于点． (1)尺规作图：在平面内确定一点，使得四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，四边形的面积为，求的长． 【答案】(1)解：方法不唯一： 如：分别以B、C为圆心，长为半径作弧，交于点E，点E即为所求． 理由：∵矩形， ∴， 由作图可得：，， ∴， ∴四边形为菱形． (2) 【分析】（1）由菱形四边相等，在的下侧作，即可； （2）由四边形是菱形， 面积为，可得．由四边形是平行四边形，可得． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵，四边形的面积为，四边形是菱形， ，．， ∵， ． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 四边形是平行四边形． ． 15．（2026·福建泉州·模拟预测）已知是直角三角形，，． (1)求作，使，，且点落在边上，点落在边上．（仅用无刻度直尺和圆规作图） (2)若，求的面积． 【答案】(1)如图所示： (2)3 【分析】（1）作的垂直平分线交于点E，连接，作的垂直平分线交于点O，连接并延长交于点D，交的垂直平分线于点F，连接即可． （2）过点D作于点G，则，设，则可表示，再由平行线分线段成比例可求得，在中，由勾股定理求得，根据求得a的值，即可求得的面积． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 即所作，满足，． （2）解：如图，过点D作于点G， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得，∵， ∴， 两边平方并整理得， 两边平方并整理得：， ∵a为正数， ∴或， 当，即时，，与直角三角形中直角边小于斜边矛盾，不符合题意， ∴，即， ∴， ∴的面积为． 16．（2026·福建宁德·一模）如图，已知矩形，是边上的一点． (1)若是边上的一点，将沿直线折叠，得到，且经过点．用尺规作出满足条件的；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，过点作 ，交于点，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】(1) 如图所示：作射线，作的平分线交于点，在射线上截取，连接，即为所求； (2) 证明：连接，交于点， 线段，关于直线对称， ，， ， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形. 【分析】（1）作射线，作的平分线交于点，在射线上截取，连接即可； （2）连接，交于点，根据折叠的性质可得，进而，得到 ，从而得出，结合 ，即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）略 17．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，已知直线，点在直线和之间，且点到直线，的距离相等． (1)利用直尺和圆规作出等腰直角三角形，使得点在直线上，点在直线上，．（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若直线和之间的距离为，求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】（1）以点为圆心，的长度为半径画弧，交直线于点，连接，以点为圆心为半径画弧，交直线于点，连接得到即为所求； （2）证明，根据全等三角形的性质可得：，根据点到直线，的距离相等可得：，利用勾股定理可以求出，根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：如下图所示， 以点为圆心，的长度为半径画弧，交直线于点，连接， 以点为圆心为半径画弧，交直线于点， 连接得到， 过点作， 则有， 在和中， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：如下图所示， 过点作于点，则，， 为等腰直角三角形， ，， ， ∴， 在和中， ， ， ， 点到直线和的距离相等， ， 在中，， ， 的面积． 18．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在中，， ． (1)在线段上求作点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，过点D作交的延长线于点 E，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出，，以点为圆心，为半径画弧交于点，则，以点为圆心，的长为半径画弧交于点,则； （2）求出，证明，得到，即可得到的值． 【详解】（1）解：∵在中，， ． ∴， ∴， ∴，2 以点为圆心，为半径画弧交于点，则，以点为圆心，的长为半径画弧交于点,则； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 19．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，已知矩形，，是对角线． (1)求作线段，，使得的值最小，且点P，Q分别落在边，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求（1）中所作的的值． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了最短路径问题，锐角三角函数解直角三角形，能够利用对称的性质找到最短路径是解题的关键． （1）根据“将军饮马”模型即可画图； （2）利用锐角三角函数解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：以点为圆心，为半径画弧，以点为圆心，为半径画弧，两弧交于，则为点关于的对称点；以点为圆心，为半径，画弧与线段交于，分别以，为圆心，以为半径画弧，连接与两弧交点，与交于，与交于，连接， 此时，，则为到的最短距离，由于，则此时的最小值； （2）解：连接， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵为点关于的对称点， ∴， ，， ∴， ∴， ∴，， 在中，设，，则，解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 则． 20．（2026·福建泉州·二模）如图，四边形内接于，． (1)在上求作点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，是的中点，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) 解：如图，点E为所求作的点： (2) 证明：，， 四边形是平行四边形， 是的中点， ， 四边形是菱形． 【分析】（1）以为圆心，长为半径作弧，交于点，可得，易得四边形是平行四边形，即可得到； （2）根据已知条件得出，再根据四边形是平行四边形，即可得证； 【详解】（1）略 （2）略 21．（2026·福建莆田·二模）数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形中，，点E，F在对角线上，．用尺规作，使得点H，G分别落在边，上．    (1)经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法． 甲同学的作法： 在上任取一点G，连接，； 以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 连接，，则即为所求． 乙同学的作法： 在上取一点G，连接，，； 以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 连接，，则即为所求． 请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因； (2)丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作平行四边形EHFG，使得点H，G分别落在边，上，且．请你按下述要求，完成作图． ①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②只需作出一种情况即可． 【答案】(1) 解：甲同学：以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 由题意可得， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 乙同学：以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 与可能有两个交点，故无法进行判断； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法进行判断即可； （2）取平行四边形对角线也就是的中点，过作直线交于点，交于点，使，连接，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：取平行四边形对角线也就是的中点， 在上任取一点G，连接，；以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H，保证，使得， 由题意可得， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， ， ， 则四边形是平行四边形且． 22．（2026·福建福州·二模）如图，已知，，，是中线． (1)尺规作图：求作线段，使得平分，且，连接并延长交延长线于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1) 如图所示： (2) 证明：是中线， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）由题目的作图步骤进行作图即可； （2）由等腰三角形的性质可得，再求出，再由等腰三角形性质可得，再求出，最后可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 23．（2026·福建南平·二模）如图，已知和射线，，． (1)在射线上求作点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的作图条件下，若，求证：． 【答案】(1) 解：如图①，点E即为所求作； (2) 证明：如图②，过点B作交的延长线于点F， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 连接交于点H， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）延长，作出，与的交点即为点E； （2）过点B作交的延长线于点F，推导出为等腰直角三角形，得到，，连接交于点H，推导出垂直平分，得到，继而推导出，得到，则，得到，可推导出，即可解答． 【详解】（1）解：如图①， 理由如下：∵，， ∴； （2）略 24．（2026·福建泉州·三模）如图，在平行四边形中． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）条件下若，，平分，求的长． 【答案】(1) 菱形即为所求作； (2) 【分析】（1）分别以为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，交于点，交于点，连接即可； （2）根据平行四边形的性质得到，根据菱形的性质证明，证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：平行四边形中， ， 菱形， ， ， 平分， ， ， ，， 又， ， ， ， ， ． 25．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，． (1)在上求作一点D，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，在AB上存在点E满足，连接．求证：． 【答案】(1)如图：点D即为所求． (2) 证明：由（1）作图可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【分析】（1）用尺规作图作出线段的中点即可； （2）由（1）作图可知：，再结合可得，利用等边对等角、三角形内角和定理、角的和差可得，进而证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 26．（2026·福建泉州·一模）如图，内接于，点为直径的延长线上一点． (1)在直径下方，求作的切线，切点为；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若点为中点，，，求的半径． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)的半径为 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，在直径下方交于点，最后连接，即为所求； （2）设与交于点，的半径为，由题意可知，垂直平分，证明，根据相似三角形的性质得到，再证明，根据相似三角形的性质列方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设与交于点，的半径为， 点为中点， 垂直平分，即， ，， ， ，即， ， ，， ， ，即， 解得， 的半径为． 27．（2026·福建三明·一模）如图，在中，为钝角．，点在上，， (1)将沿翻折得到，请尺规作图画出点（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) 解：如图，点即为所求， (2) 【分析】（1）以点为圆心、长为半径画弧，以点为圆心、长为半径画弧，两弧的交点即为点，连接、； （2）过点作于点，先利用的等腰三角形三线合一性质求出，再根据沿翻折的全等性质推出，结合已知得到，因此，在中利用三角函数求出，再通过勾股定理算出，接着利用三角形外角性质推出，由等角对等边得到，进而算出，最后在中通过勾股定理求出的长． 【详解】（1） （2）解：如图，过点作，垂足为， 又∵， ∴，， ∵沿翻折得到， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ． 28．（2026·福建泉州·一模）如图，在菱形中，． (1)求作正方形，使得点E，F在对角线上，且点在点的左边；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下，是的中点，连接，求的长． 【答案】(1) 如下图所示，正方形即为所求作的正方形， (2) 【分析】（1）连接交于点O，以为半径，点O为圆心作圆交于点E和点F，再作四边形即可．根据作图可知，，则四边形是正方形； （2）利用勾股定理求出，取的中点N，连接，可知利用中位线定理求出和，并证明，继而求出，再用勾股定理求即可． 【详解】（1）略 （2）解：取的中点N，连接， 由作图可知： ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 又∵点N是的中点，是的中点， ∴，， ∴ ∴，． 29．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，在中，，平分． (1)请在边上找一点O，并作圆O，使它满足以下条件： ①点B在圆O上； ②与边切于点D；（尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的图中，若，，求的长． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，切线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意，当与边切于点，且点在圆上，圆心在边上，则，再由等边对等角和角平分线的定义可证明，进而证明，则有，从而确定作线段的垂直平分线即可得到答案； （2）解得到，设，则，解得到，则，据此可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由切线的性质可得， 在中，， ∴可设， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 30．（2026·福建厦门·三模）提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（，且），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）． 背景介绍：这条分割直线既平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”． 尝试解决： (1)小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕； (2)小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图中过点画了一条直线交于点．你觉得小华能成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由． 【答案】(1)解：如图所示，BD即为所求． (2)解：小华不会成功．理由如下： 若直线平分的面积，过C作于D，如图 那么， ∴ ， ∴． ∵， ∴， ∴小华不会成功． 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，作线段的垂直平分线即可； （2）小华不会成功．直线可能平分的面积，若也平分周长，则，与题中的冲突，故不会成功． 【详解】（1）解：理由如下： 如图 ∵是的垂直平分线，， ∴，的垂直平分线经过点， ∴， ∵， ∴， ∴是的“等分积周线”． （2）略 31．（2026·福建宁德·一模）探究四边形重心的坐标：一般地，匀质薄板物体的重心就是其对应平面图形的几何中心．任意四边形的重心可以用“支撑平衡”的方法确定，也可以通过数学计算求得． (1)【基础掌握】如果三角形的顶点坐标分别为，，，根据三角形重心是三角形三条中线的交点这一性质，可以推出其重心的坐标为．如图1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．求该三角形重心的坐标； (2)【基础掌握】如图2，两个匀质薄板物体拼成组合体，其重心一定落在原来两个物体重心连接的线段上；如果以组合体重心为支点，原来两个物体满足力的杠杆平衡原理（即）．现有两个矩形，其宽相等，大矩形高是小矩形的2倍，将它们底部对齐按图3方式拼成一个组合体，根据上述性质，确定该组合体重心的大致位置（简要说明方法）； (3)【猜想应用】如图4，对于任意四边形，将它沿一条对角线分割成两个三角形，它们的重心分别为，，对应面积分别为，，猜想并直接写出四边形重心的坐标；（用含，，，，，的代数式表示） (4)【猜想应用】如图5，四边形的顶点坐标分别为，，，求四边形重心的坐标． 【答案】(1)的重心坐标是 (2) 如图，设小矩形的重心为，大矩形的重心为，分别作出矩形的重心和，连接，在上取点使． (3)四边形重心坐标为 (4)四边形重心的坐标为 【分析】（1）依据公式进行计算即可； （2）连接，在上取点，使； （3）设四边形重心的坐标为，依据（2）杠杆平衡原理公式进行列式即可； （4）连接对角线，分四边形为和，记它们的重心和面积分别是、和、．可得、的重心坐标和面积，根据（3）中四边形重心坐标公式，即为所求． 【详解】（1）解： 三个顶点分别是，，， 根据公式得，． 的重心坐标是． （2）解：如图，设小矩形的重心为，大矩形的重心为，分别作出矩形的重心和，连接，在上取点使． 因为矩形是匀质薄板物体，其重心是其对应平面图形的几何中心，所以、分别是小矩形和大矩形的几何中心． 以组合体重心G为支点，根据力的杠杆平衡原理 (其中、分别为两个物体的重力，、分别为两个物体重心到支点的距离)． 由于两个矩形宽相等，大矩形高是小矩形的2倍，所以大矩形的重力是小矩形重力的2倍，即． 连接，在上取点使． 则点G即为组合体重心． （3）解：四边形重心的坐标为，由（2）杠杆平衡原理得： 同理可得 四边形重心坐标为 （4）解：如图，连接对角线，分四边形为和， 记它们的重心和面积分别是、和、． 四边形的顶点分别是，，，， 的重心坐标是， 面积， 的重心坐标是， 面积． 根据（3）中四边形重心坐标公式： ，， 四边形重心的坐标为． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 尺规作图问题 5年真题1年模拟·答案版 1．A 2．(1)如图，点即为所求． (2) 3．(1) 如图，四边形就是所求作的正方形． (2) 4．(1) 如图，直线就是所求作的直线． (2)的面积为1或． 5．(1) 解：如图所示，⊙A即为所求作： (2) 2026年7月14日初中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、系统分组_加入顺序 1．已知在中，，D为上一点，且，要在线段的延长线上求作一点E，使得，垂足为C．下面选项中尺规作图的痕迹错误的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，中，．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线交于点E．若点F为的中点，连接，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 3．如图，在中，已知，，，尺规作图痕迹如图所示，再以点为圆心，长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分的面积为_____． 4．如图，在中，，是边上一点，以点为圆心，的长为半径的圆交于点，且过点作的切线交于点． (1)尺规作图：试确定点的位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求证：是等边三角形． 5．赵爽弦图是中国古代数学的图腾，其内部是由4个全等直角三角形围着一个小正方形形成，外部则是将这4个三角形的顶点连接成一个大正方形，具备中心对称的结构美．它简约美观而不失深厚，是数学人心中的数学瑰宝，2002年第24届国际数学家大会会标就是以“赵爽弦图”为基本元素设计而成（如图1所示）．如图2，点在正方形内，． (1)求作赵爽弦图，使得点在上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的作图条件下，求证：正方形的中心就是正方形的中心． 6．如图，中，，． (1)尺规作图：在边上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 7．如图，在中，． (1)用无刻度的直尺和圆规，在的延长线上确定点，使得以为圆心，为半径的圆，与直线相切，画出⊙，并标出切点；（不写画法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，⊙与直线的另一交点为，连接，若，且，求的长． 8．如图，四边形为平行四边形．    (1)在上求作一点，使得； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，，求（1）中的面积． 9．如图所示的方格图中的小正方形边长均为，点均是格点．直线与的外接圆相切于点，交射线于点，已知． (1)用无刻度的直尺，按要求在方格图中作图： ①画出的外接圆的圆心； ②画出的切线，交射线于点． (2)在（）的条件下，连结．试证明：是等腰三角形． 10．解答 (1)【问题提出】如图，在长方形中，点是边上一点，在边、上分别作出点，使得点是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，；要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；                  (2)【问题解决】在(1)的前提下，作 P关于的对称点Q ( 本小题不用尺规作图)，补全图形，求证：四边形为正方形． 11．如图，在中，，，，点为的中点，连接． (1)尺规作图：试确定一点，使得与关于直线对称；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的前提下，求四边形的周长与面积． 12．如图，在中，，，． (1)在上找一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长． 13．如图，已知的半径为2，为 的直径，与 相切于点A． (1)请用尺规作图的方法，作的内接正方形；（要求：点A，B，C，D按顺时针方向在上，保留作图痕迹，不写作法） (2)延长交射线于点 E，连接，交 于点 F，求 的面积． 14．如图，矩形的对角线，相交于点． (1)尺规作图：在平面内确定一点，使得四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，四边形的面积为，求的长． 15．已知是直角三角形，，． (1)求作，使，，且点落在边上，点落在边上．（仅用无刻度直尺和圆规作图） (2)若，求的面积． 16．如图，已知矩形，是边上的一点． (1)若是边上的一点，将沿直线折叠，得到，且经过点．用尺规作出满足条件的；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，过点作 ，交于点，连接．求证：四边形是菱形． 17．如图，已知直线，点在直线和之间，且点到直线，的距离相等． (1)利用直尺和圆规作出等腰直角三角形，使得点在直线上，点在直线上，．（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若直线和之间的距离为，求的面积． 18．如图，在中，， ． (1)在线段上求作点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，过点D作交的延长线于点 E，求的值． 19．如图，已知矩形，，是对角线． (1)求作线段，，使得的值最小，且点P，Q分别落在边，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求（1）中所作的的值． 20．如图，四边形内接于，． (1)在上求作点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，是的中点，求证：四边形是菱形． 21．数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形中，，点E，F在对角线上，．用尺规作，使得点H，G分别落在边，上．    (1)经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法． 甲同学的作法： 在上任取一点G，连接，； 以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 连接，，则即为所求． 乙同学的作法： 在上取一点G，连接，，； 以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 连接，，则即为所求． 请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因； (2)丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作平行四边形EHFG，使得点H，G分别落在边，上，且．请你按下述要求，完成作图． ①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②只需作出一种情况即可． 22．如图，已知，，，是中线． (1)尺规作图：求作线段，使得平分，且，连接并延长交延长线于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 23．如图，已知和射线，，． (1)在射线上求作点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的作图条件下，若，求证：． 24．如图，在平行四边形中． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）条件下若，，平分，求的长． 25．如图，在中，． (1)在上求作一点D，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，在AB上存在点E满足，连接．求证：． 26．如图，内接于，点为直径的延长线上一点． (1)在直径下方，求作的切线，切点为；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若点为中点，，，求的半径． 27．如图，在中，为钝角．，点在上，， (1)将沿翻折得到，请尺规作图画出点（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 28．如图，在菱形中，． (1)求作正方形，使得点E，F在对角线上，且点在点的左边；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下，是的中点，连接，求的长． 29．如图，在中，，平分． (1)请在边上找一点O，并作圆O，使它满足以下条件： ①点B在圆O上； ②与边切于点D；（尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的图中，若，，求的长． 30．提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（，且），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）． 背景介绍：这条分割直线既平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”． 尝试解决： (1)小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕； (2)小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图中过点画了一条直线交于点．你觉得小华能成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由． 31．探究四边形重心的坐标：一般地，匀质薄板物体的重心就是其对应平面图形的几何中心．任意四边形的重心可以用“支撑平衡”的方法确定，也可以通过数学计算求得． (1)【基础掌握】如果三角形的顶点坐标分别为，，，根据三角形重心是三角形三条中线的交点这一性质，可以推出其重心的坐标为．如图1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．求该三角形重心的坐标； (2)【基础掌握】如图2，两个匀质薄板物体拼成组合体，其重心一定落在原来两个物体重心连接的线段上；如果以组合体重心为支点，原来两个物体满足力的杠杆平衡原理（即）．现有两个矩形，其宽相等，大矩形高是小矩形的2倍，将它们底部对齐按图3方式拼成一个组合体，根据上述性质，确定该组合体重心的大致位置（简要说明方法）； (3)【猜想应用】如图4，对于任意四边形，将它沿一条对角线分割成两个三角形，它们的重心分别为，，对应面积分别为，，猜想并直接写出四边形重心的坐标；（用含，，，，，的代数式表示） (4)【猜想应用】如图5，四边形的顶点坐标分别为，，，求四边形重心的坐标． 32．阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，连接，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（  ）      A．且 B．且 C．且 D．且 33．如图，四边形是矩形，，点在的延长线上． (1)求作点 ，使点 在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 34．如图，矩形中，． (1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求（1）中所作的正方形的边长． 35．如图，已知直线． (1)在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积． 36．如图，BD是矩形ABCD的对角线． (1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值． 试卷第12页，共12页 试卷第7页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 1．D 2．B 3． 4．(1)解：作图如下： (2)证明：， ． ， ， 即， ， ， ， ． ， ． ， ， ， ， ， 是等边三角形． 5．(1)解：作图如下： 正方形即为所求 (2)证明：连接两线交于点O，连接， 四边形是正方形，四边形是正方形， ， ，， ， ， ，， 四边形是正方形， ，，， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， 同理可证，都是等腰直角三角形， ， 三点共线，三点共线，， 故正方形的中心就是正方形的中心． 6．(1) (2) 7．(1) (2) 8．(1)点的位置如图所示；    (2) 9．(1)①如图所示点为所作的圆心 ；    ②如图所示为所作的的切线； (2)如图，由等腰、切线与切线的轴对称性质， 可得， 则， ∵是的切线， ∴， 又， ∴， 即， ∵， 且， ∴， ∴，即， 又， ∴， 即， ∴，即， ∴是等腰三角形． 10．(1)所作等腰直角三角形如图1所示： (2)证明：补全图形如图2， ∵点Q与点P关于直线对称， ∴垂直平分线段， ∴，． 又∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∵， ∴菱形是正方形． 11．(1)如图，点即为所求 (2)周长为，面积为， 12．(1) (2) 13．(1)见详解 (2) 14．(1)解：方法不唯一： 如：分别以B、C为圆心，长为半径作弧，交于点E，点E即为所求． 理由：∵矩形， ∴， 由作图可得：，， ∴， ∴四边形为菱形． (2) 15．(1)如图所示： (2)3 16．(1) 如图所示：作射线，作的平分线交于点，在射线上截取，连接，即为所求； (2) 证明：连接，交于点， 线段，关于直线对称， ，， ， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形. 17．(1) (2)的面积为 18．(1)见解析 (2) 19．(1)图见详解 (2) 20．(1) 21．(1) 解：甲同学：以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 由题意可得， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 乙同学：以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 与可能有两个交点，故无法进行判断； (2) 22．(1) 如图所示： (2) 证明：是中线， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 24．(1) 菱形即为所求作； (2) 25．(1)如图：点D即为所求． (2) 证明：由（1）作图可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 26．(1) 如图，即为所求； (2)的半径为 27．(1) 解：如图，点即为所求， (2) 28．(1) 如下图所示，正方形即为所求作的正方形， (2) 29．(1) 如图所示，即为所求； (2) 30．(1)解：如图所示，BD即为所求． (2)解：小华不会成功．理由如下： 若直线平分的面积，过C作于D，如图 那么， ∴ ， ∴． ∵， ∴， ∴小华不会成功． 31．(1)的重心坐标是 (2) 如图，设小矩形的重心为，大矩形的重心为，分别作出矩形的重心和，连接，在上取点使． (3)四边形重心坐标为 (4)四边形重心的坐标为 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $