精品解析：宁夏回族自治区中卫市第一中学2025-2026学年第二学期期末质量检测高二数学试题

中卫市第一中学2025-2026学年度第二学期期末质量检测 高二数学 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为（ ） A. 84 B. 90 C. 96 D. 100 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 5. 若随机变量X的分布列为，则（ ） X 0 1 2 P 0.3 0.4 m A. 0.3 B. 1 C. 3 D. 4 6. 已知正实数满足时，有恒成立，则的最大值为（  ） A. B. C. D. 7. 高一某班有名学生，其中男生有人，女生有人，在某次考试中，女生的物理成绩的优秀率为，男生的物理成绩的优秀率为，从该班随机抽取1名学生，则这名学生本次考试物理成绩优秀的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在次伯努利试验中，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，用随机变量表示试验次数，则称服从以、为参数的帕斯卡分布，记为．已知，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、不定项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 当时，的最小值是 C. 若，则 D. 不等式解集为或 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均增加0.5个单位 B. 可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强 C. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 11. 已知函数的导函数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的极大值为1 C. D. 若存在唯一的整数，使得，则实数 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项为______． 13. 已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 14. 定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件条件下的k阶矩定义为，其中为X的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率.某射击运动爱好者进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为，击中目标两次时停止射击.设表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数，则________，________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的。某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表，现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 300 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联？ （2）现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：． 17. 袋中有20个大小相同的球，其中标记上0号的有10个，标记上号的有n个.现从袋中任取一球，用表示所取球的标号. （1）求的分布列、期望和方差； （2）若每次取球后不放回，先取一个球记标号为X，再取一个球记标号为Y，求. 18. 2015年到2025年我国把全民健身上升为国家战略，提出力争在2025年实现全民健身与竞技体育的协调发展．某高校积极响应此号召，首先以身示范，开展了以“塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后．学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格： 月份变量 1 2 3 4 5 体重超重的人数 640 540 420 300 200 （1）若该大学体重超重人数与月份变量（月份变量依次为）具有线性相关关系，求出与的回归直线方程，并利用回归直线方程预测从第几个月份开始该大学体重超重的人数降至50人以下； （2）已知该校在此次主题活动中，每位学生选择游泳项目的概率都为，且互不影响．现从该校学生中随机抽取5人，记这5人中选择游泳项目的人数为，若，求的数学期望和方差． 附：①回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：；②参考数据： 19. 已知函数（），． （1）若，求的单调区间； （2）若恒成立，求的值； （3）已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中卫市第一中学2025-2026学年度第二学期期末质量检测 高二数学 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得,又因， 则. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”的否定为，. 3. 某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为（ ） A. 84 B. 90 C. 96 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】可用直接法或间接法求解. 【详解】法1：直接法：选取的员工中可以有：1男2女，2男1女两类情况， 所以不同的选法种数为：. 法2：间接法：从10人中任选3人的方法中减去全是男生或全是女生的选法可得所求不同的选法种数为． 故选：C 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布关于对称的性质，结合已知概率推导所求区间的概率. 【详解】因为随机变量，因此正态曲线的对称轴为， 由对称性可知，， 已知，可得， 对称性知， 所以. 5. 若随机变量X的分布列为，则（ ） X 0 1 2 P 0.3 0.4 m A. 0.3 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】应用分布列性质计算得出参数m，应用数学期望公式计算结合数学期望性质计算求解. 【详解】因为分布列得出，所以， 所以， 所以. 6. 已知正实数满足时，有恒成立，则的最大值为（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，再代入解不等式即可． 【详解】解：因为正实数满足， 所以， 当且仅当时，等号成立，即时，等号成立， 因为正实数满足时，有恒成立， 所以，即， 即，得最大值为8． 7. 高一某班有名学生，其中男生有人，女生有人，在某次考试中，女生的物理成绩的优秀率为，男生的物理成绩的优秀率为，从该班随机抽取1名学生，则这名学生本次考试物理成绩优秀的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设事件A为“抽到的学生物理成绩优秀”，事件为“抽到的是男生”，事件为“抽到的是女生”， 则，， 已知， 代入全概率公式得： ． 8. 在次伯努利试验中，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，用随机变量表示试验次数，则称服从以、为参数的帕斯卡分布，记为．已知，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出、的表达式，根据题干条件可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，根据题意得， ， 因为，所以， 因为，化简可得，解得，故， 所以的最大值为. 二、不定项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 当时，的最小值是 C. 若，则 D. 不等式解集为或 【答案】ACD 【解析】 【详解】当时，，但，故A错误； 当时，， 当且仅当即时取等号， 此时，故的最小值是，B正确； 若，则，故C错误； 不等式解集为或，故D错误. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均增加0.5个单位 B. 可以用相关系数刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强 C. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 【答案】CD 【解析】 【分析】根据回归直线方程的特征，可判定A错误；根据相关系数的定义，可得判定B错误；根据残差图的性质，可判定C正确；根据独立性检验的定义，可判断D正确. 【详解】对于A，因在中，，即与负相关，故当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位，即A错误； 对于B，相关系数是用来刻画两个变量的相关程度强弱，值越大两个变量的相关程度越强，故B错误； 对于C，在残差图中，若残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，故C正确； 对于D，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到， 根据独立性检验的定义，知变量与有关联，且推断犯错误的概率不超过，故D正确. 11. 已知函数的导函数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的极大值为1 C. D. 若存在唯一的整数，使得，则实数 的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】求得，得到，可判定A正确；求得的单调性，得到的极大值，可判定B正确；由的单调性，结合，可判定C不正确；转化为 由唯一的整数解，结合和的图象，列出不等式组，可判定D错误. 【详解】对于A，由函数，可得， 可得，所以A正确； 对于B，由，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以函数的极大值为，所以B正确； 对于C，因为函数在为单调递减函数，且， 所以，可得，即，可得， 即，所以C不正确； 对于D，过作的切线，切点设为， ， 切线过， 或 当时，有且仅一个整数解， 则； 当时，有且仅一个整数解，此时， , 综上：错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项为______． 【答案】60 【解析】 【详解】的展开式的通项为，，1，2，…，6， 令，得，所以的展开式中常数项为． 13. 已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【详解】因为随机变量服从两点分布，且， 且，所以， . 14. 定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件条件下的k阶矩定义为，其中为X的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率.某射击运动爱好者进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为，击中目标两次时停止射击.设表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数，则________，________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】应用独立事件乘法公式求，根据有，应用独立事件乘法公式求出对应概率，并由全概率公式求得，结合已知定义求. 【详解】由题意，， 当，则，而，所以， 由题设，. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集运算即可； （2）把必要不充分条件转化为真子集关系，利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可. 【小问1详解】 当时，， 则； 【小问2详解】 因为， 由是的必要不充分条件，得⫋， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. 16. 截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的。某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表，现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 300 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联？ （2）现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：． 【答案】（1） 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员性别有关联 （2） X 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）根据已知数据可计算得到补全列联表所需的数据，进而补全列联表，并计算得到，由此可得结论； （2）根据分层抽样原则可确定样本中偏好新能源汽车的人数和偏好燃油车的人数，由此可得所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列，由数学期望计算公式可求得期望值． 【小问1详解】 因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的， 故样本中偏好燃油汽车的人数为， 因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的， 故样本中女性驾驶员的人数为，由题意，列联表补充如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 零假设为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联， 根据列联表数据，计算得， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01． 【小问2详解】 由题意，抽取的人中偏好燃油汽车的人数为人， 偏好新能源汽车的人数为人， 随机变量的可能值为，，，， ，， ，， 所以，随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 的数学期望． 17. 袋中有20个大小相同的球，其中标记上0号的有10个，标记上号的有n个.现从袋中任取一球，用表示所取球的标号. （1）求的分布列、期望和方差； （2）若每次取球后不放回，先取一个球记标号为X，再取一个球记标号为Y，求. 【答案】（1）分布列为： ， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意确定的可能取值，求出对应的概率，列出分布列，利用期望方差计算公式即得； （2）利用缩小样本空间的方法求解条件概率即可. 【小问1详解】 由题意得的可能取值为， 则，，， ，， 则的分布列为： ， 【小问2详解】 由（1）可知，当时，此时袋中还剩个球， 其中标号大于的有个，所以. 18. 2015年到2025年我国把全民健身上升为国家战略，提出力争在2025年实现全民健身与竞技体育的协调发展．某高校积极响应此号召，首先以身示范，开展了以“塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后．学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格： 月份变量 1 2 3 4 5 体重超重的人数 640 540 420 300 200 （1）若该大学体重超重人数与月份变量（月份变量依次为）具有线性相关关系，求出与的回归直线方程，并利用回归直线方程预测从第几个月份开始该大学体重超重的人数降至50人以下； （2）已知该校在此次主题活动中，每位学生选择游泳项目的概率都为，且互不影响．现从该校学生中随机抽取5人，记这5人中选择游泳项目的人数为，若，求的数学期望和方差． 附：①回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：；②参考数据： 【答案】（1），第月份开始 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题中所给公式和数据进行求解即可； （2）根据二项分布的定义、概率公式，结合二项分布的数学期望、方差公式进行求解即可。 【小问1详解】 因为，， 所以， 因此与的回归直线方程为， 由，因为，所以取7， 所以利用回归直线方程预测从第个月份开始该大学体重超重的人数降至50人以下. 【小问2详解】 由题意可知，， 因为，所以或（舍去）， 所以，. 19. 已知函数（），． （1）若，求的单调区间； （2）若恒成立，求的值； （3）已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值． 【答案】（1）在上单调递增，上单调递减 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导函数的正负求得函数的单调区间. （2）构造新函数，对分类讨论，结合即可得解 （3）利用（2）的结论，通过放缩法得到的上界，再结合时的值，确定的最小值. 【小问1详解】 由题意函数，，求导可得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，上单调递减， 【小问2详解】 因为，所以，其中， 令 ，则恒成立，，且， 当时，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，满足题意； 综上所述． 【小问3详解】 因为，所以， 由（2）可知当时 ，即， 所以当且仅当时取等号，所以，． ， 所以 ，即：对于任意正整数，恒成立， 且因为为整数，且对于任意正整数， 成立， 当时， ，所以不能恒成立， 所以m的最小值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $