2.3 绝对值与相反数（讲义）数学新教材苏科版七年级上册

本讲义聚焦有理数中的绝对值与相反数核心知识点，从数轴几何意义抽象相反数概念（原点两侧等距点），结合点到原点距离定义绝对值，系统梳理代数特征（a的相反数为-a、绝对值双重表达式），通过“负数绝对值越大数值越小”完善大小比较，综合解决化简、数轴距离及动点问题。 资料特色在于融合几何直观与代数推理，“易错提醒”精准突破非负性、-a正负性等难点，“教材延伸”拓展最值与误差等实际应用。随学随练与分层题型（如绝对值非负性、数轴动点）培养抽象能力与应用意识，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺。

第二章 有理数 2.3 绝对值与相反数 1.借助数轴几何意义抽象相反数概念，掌握相反数代数特征：a的相反数为\(-a\)，能快速求任意有理数的相反数，理解0的相反数是0。 2.结合数轴上点到原点距离定义绝对值，牢记绝对值双重代数表达式，会求正数、负数、0的绝对值。 3.熟练利用 “负数绝对值越大，数值越小” 规则比较两个负有理数的大小，完善有理数全套比较方法。 4.综合相反数、绝对值解决化简、求值、数轴距离、简单动点基础题，强化数形结合思想。 课标要点 1.反数：代数定义、几何定义（数轴上原点两侧、到原点距离相等的点），多重符号化简规则。 2.绝对值几何意义：数轴上点到原点的距离，距离非负，因此任意有理数绝对值≥0 学习重难点 重点： 1.相反数概念、求法，多重符号化简。 2.绝对值定义、分段公式，会计算任意有理数的绝对值。 3.利用绝对值比较两个负数的大小。 4.结合绝对值计算数轴两点间距离。 难点： 1.理解|a|≥0非负性，区分 “绝对值等于某正数” 存在两个互为相反的解。 2.负数的绝对值是它的相反数，区分-a不一定是负数（a为负数时，-a>0）。 3.数形结合综合：已知绝对值范围，判断数轴上数的分布、解决简单动点距离问题。 知识点 绝对值（重点） 1. 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作． 2. 绝对值非负性的应用：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则且． 特别提醒 绝对值几何意义：数轴上点到原点的距离，距离非负，因此任意有理数绝对值≥0 易错提醒 误区负数的绝对值是负数。纠正负数绝对值等于它的相反数，结果一定为正数， 误区若，则。纠正绝对值等于一个正数的数有两个，互为相反数，±。 误区认为一定是负数。纠正为负数时，一时，。 误区比较两个负数大小，直接比较数字本身。纠正两个负数，绝对值越大，原数反而越小。 误区化简多重符号和绝对值混淆，先去绝对值再化简符号。纠正必须先计算去掉绝对值，再处理正负号。 误区忽略的非负性，做题遗漏绝对值等于的情况。 教材延伸 1.非负性拓展:若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部式子都为 0。 2.最值拓展:表示数轴上x到定点a的距离，可求距离和、距离差的最小/最大值。 3.大小比较延伸:有理数完整比较逻辑:正数>0>负数;两负数比大小，先比绝对值反向判定 4.化简题型延伸:含字母绝对值化简，需要分a > 0、a = 0、α < 0三类讨论去绝对值符号。 5.实际应用延伸:误差、温差、路程类应用题，用绝对值表示偏离基准的长度，无负距离.。 随学随练 1．（2026·吉林长春·模拟预测）的绝对值是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广西贺州·期末）下列各数中，绝对值最大的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·甘肃·期末）若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 知识点 相反数 1. 相反数的定义：像和，和这样只有符号不同的两个数，互为相反数． 2. 相反数的表示方法：一般地，a和互为相反数．这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0．互为相反数的两个数绝对值相等. 例如：当时，，1的相反数是，同时，的相反数是． 特别地，0的相反数是0. 3. 相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数． 4. 求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数． 5. 多重符号的化简：与“”号个数无关，有奇数个“”号，结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 特别提醒 1)只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是-a，0的相反数为0。 2)数轴上互为相反数的两点分居原点两侧，到原点距离相等。 3)互为相反数两数之和为0：a+(-a)=0。 易错提醒 1.误区:带负号就是负数。纠正:a < 0时，-a是正数。 2.误区:相反数仅正数与负数成对。纠正:0的相反数是自身。 3.误区:多重符号化简混乱。纠正:负号个数奇数结果为负，偶数为正。 教材延伸 1.化简拓展:多层符号快速判断正负，为绝对值化简打底。 2.数形拓展:结合数轴距离，理解|a =|- a。 3.计算拓展:已知和为 0，快速求未知数的相反数。 随学随练 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）的相反数是（ ） A．2024 B． C． D．1 2．（2022·湖北荆州·模拟预测）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 3．（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）若 与 互为相反数，则（ ）． A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·湖北荆州·阶段检测）化简：________． 拓展 含参数相反数求值 1.核心规律：数轴上点向右移动，数值加；向左移动，数值减。 2.通用公式：终点数=起点数±移动长度（右加左减） 活学活用 1．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）若代数式与代数式的值互为相反数，则_____． 2．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如果代数式与的值互为相反数，则的值为______． 3．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）已知互为相反数，则的值是____． 拓展 绝对值与数轴动点结合 1.公式：数轴上（a、b)两点距离=|a-b|，距离恒为非负数。 2.两类考法： ① 已知两点求距离：大数减小数，直接取差值； ② 已知一点和距离，求另一点：分左、右两种情况，双解，不可漏。 活学活用 1．（22-23七年级上·湖北孝感·期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离，3与5，4与，与3，与．并回答下列各题： (1)数轴上表示4和两点间的距离是 ，表示和两点间的距离是 ； (2)若数轴上的点表示的数为，点表示的数为． ①数轴上、两点间的距离可以表示为 （用含的代数式表示）； ②如果数轴上、两点间的距离为，求的值． (3)直接写出代数式的最小值为 ． 2．（23-24七年级上·甘肃定西·期中）【创设情境】我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：表示在数轴上数x、y对应点之间的距离；我们常常运用绝对值的几何意义，借助数轴求解含有绝对值的方程． 【迁移应用】例如：①解方程，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即该方程的解为． ②在方程中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然或． ③在方程中，显然该方程表示数轴上与1和的距离之和为5 的点对应的x值，在数轴上1和的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，；同理，若x的对应点在的左边，可得，所以原方程的解是或．    【问题解决】根据上面的阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解是 ． (2)方程的解是 ． (3)画出图示，解方程 题型 求一个数的绝对值 ▌例1 （2026·山西临汾·三模）的绝对值是（    ） A．9 B．8 C． D． ▌对点练1-1．（2026·黑龙江绥化·三模）的结果是（    ） A． B．2026 C． D． ▌对点练1-2．（2026·广东肇庆·二模）下列四个数中，最小的数是（     ） A． B． C．1 D．0 ▌对点练1-3．（2022·江西赣州·模拟预测）的相反数是（   ） A． B． C． D． 题型 绝对值非负性 解题贴士 1.非负性定义:任意有理数的绝对值恒大于或等于 0，即a > 0. 2.零和模型(必考难点):若若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部的代数式都等于 0. 公式:若， ▌例2（25-26七年级上·天津静海·阶段检测）若，则的值是（   ） A．2 B． C．4 D． ▌对点练2-1（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段检测）已知，则（    ） A．1 B． C． D．5 ▌对点练2-2（山东省平邑县南片区联盟2025-2026学年上学期七年级期中数学联考试卷）已知 ，则的值为（    ）． A． B． C． D． ▌对点练2-3（25-26七年级上·北京·期中）若，则的值为（    ） A． B．16 C． D．8 题型 绝对值的其他应用 ▌例3（24-25七年级上·全国·随堂练习）世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． ▌对点练3-1（23-24七年级上·山东聊城·阶段检测）时风工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据记录如下表（超过规定长度的厘米数记为正数，不足规定长度的厘米数记为负数，单位：）： 零件号数 1 2 3 4 5 数据 (1)这5个零件中，符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中，质量最好的是第几个？用学过的绝对值的知识来说明为什么质量最好？ ▌对点练3-2（23-24七年级上·四川泸州·阶段检测）[例读]表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离: 可以看做表示3与的差的绝对值.也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之向的距离. [探索] (1)数轴上表示4和的两点之间的距离是； (2)①若，则x＝_____； ②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和是多少？ ▌对点练3-3（25-26七年级上·山东威海·阶段检测）同学们都知道，表示5与1之差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)______； (2)表示x与______之间的距离；表示x与______之间的距离； (3)当时，x可取整数______写出所有符合条件的整数； (4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数x，的最小值为______． (5)当时，______． 题型 有理数大小比较的实际应用 ▌例4（2026·广东广州·二模）下表记录了年月日我国四个城市的平均气温，其中，平均气温最低的城市是（     ） 城市 北京 广州 哈尔滨 拉萨 气温/ A．北京 B．广州 C．哈尔滨 D．拉萨 ▌对点练4-1（2026·浙江·模拟预测）在标准大气压下，不同气体的液化温度（单位：℃）如表所示： 气体 氧气 氨气 二氧化碳 氢气 液化温度/℃ 其中液化温度最高的气体是（   ） A．氧气 B．氨气 C．二氧化碳 D．氢气 ▌对点练4-2（2026·广西南宁·一模）体育课上，小冬的铅球成绩是，他投出的铅球落在的区域是（   ） A．区域A B．区域B C．区域C D．区域D ▌对点练4-3（25-26七年级上·贵州黔南·期末）手机信号的强弱通常采用值来表示，值越大表示信号越好，则下列表示手机信号强弱的值中，信号最好的是    （    ） A． B． C． D． 题型 相反数的定义 ▌例5（2026·江苏苏州·中考真题）的相反数为（     ） A． B． C． D． ▌对点练5-1（25-26八年级下·湖南株洲·期末）在数轴上，点表示2026，点表示2026的相反数，则点与点的距离是（     ） A．2026 B． C．4052 D． ▌对点练5-2（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 ▌对点练5-3（2026·四川南充·二模）已知：，则（    ） A． B． C． D． 题型 ·相反数的应用 ▌例6（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）若与互为相反数，则的值为（    ） A． B． C．0 D．3 ▌对点练6-1（24-25七年级上·重庆·期末）已知与的值互为相反数，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练6-2（22-23七年级上·陕西咸阳·期中）如图，在数轴上，点、分别表示数、，且．若、两点间的距离为，则点表示的数为(　　) A． B．6 C． D．3 题型 化简多重符号 ▌例7（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）的相反数是（　　） A． B． C． D． ▌对点练7-1（25-26七年级上·陕西西安·期中）的相反数是（    ） A．0.6 B．6 C． D． ▌对点练7-2（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）化简：_______． ▌对点练7-3（2025七年级上·全国·专题练习）（1）___________；（2）___________； （3）___________；（4）___________． 基础通关 1．（2026·福建三明·三模）福建北部山区冬季某天凌晨气温为，的相反数是（     ）． A． B． C． D． 2．（2026·湖南长沙·三模）的绝对值是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁鞍山·一模）标准大气压下，钨、萘、冰、固态氢四种晶体的熔点如下表，其中熔点最低的晶体为（     ） 晶体 钨 萘 冰 固态氢 熔点 3410 80.5 0 A．钨 B．萘 C．冰 D．固态氢 4．（2026·陕西咸阳·三模）某樱桃园采摘了四筐樱桃，每筐以5为标准质量，超过标准的部分记作正数，不足标准的部分记作负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·福建福州·期中）实数、、、在数轴上对应点的位置如图所示，则这四个数中，绝对值最大的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·青海西宁·期中）已知，，，则（        ） A．8 B．2 C．或 D．8或 7．（2026·四川乐山·中考真题）的相反数是_________． 8．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）比较大小：_______． 9．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）某校开展体育测试，男生1000米跑步的合格标准为3分30秒，甲、乙、丙、丁四位男同学的成绩（超出标准的部分记为“”．不足标准的部分记为“”）如表所示，则1000米跑步成绩最好的是___________． 人员 甲 乙 丙 丁 成绩/秒 10．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）在直线上把数轴补充完整，并在数轴上表示下列各数，再用“”把各数连接起来． ，，，，     11．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 素养提升 1．（2026·河南周口·二模）数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南新乡·期中）在数轴上，如果点A、B表示的有理数分别为，，那么A、B两点之间的距离为。例如，，它表示数轴上，表示有理数，的两点之间的距离．则当取得最小值时，的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 3．（25-26七年级上·广东广州·开学考试）若，，则比较与的大小，结果是（   ）． A．比较大 B．比较大 C．两者相等 D．无法比较 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）式子的最大值是（   ） A．5 B．7 C．3 D．0 5．（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）已知点A、B在数轴上分别表示数a，b，若A、B两点间的距离记为d，则． (1)数轴上有理数与有理数所对应两点之间的距离可以表示为_______ (2)可以表示数轴上有理数x与有理数________所对应的两点之间的距离；若，则______ (3)若，将数轴折叠，使得点与表示的点重合，则点与数______表示的点重合． (4)若数轴上、两点之间的距离为11（在的左侧），且、两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是：：_____， ：_______； 6．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我们知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：若 ，则 ； (2)填空：使得 成立的是 ； (3)由以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由． (4)由以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时的值，如果没有，说明理由． 迁移创新 1．（25-26七年级上·山东德州·期中）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有数数0表示的点）的距离，叫做这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上有理数2表示的点到原点0的距离，从数轴上容易发现，有理数2表示的点到原点0的距离是2个单位长度，即（如图1）． 同样的，数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图2）．    以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法，请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： 任务一： (1)请根据以上阅读列式并计算（不必在卷面上画数轴）：求数轴上表示2的点和表示的点之间的距离． 任务二： (2)根据绝对值的意义求字母的值： ①若，则表示的有理数是____________． ②若，求所表示的有理数． 分析：根据绝对值的意义，“”指数轴上表示的点到表示____________的点的距离是4个单位长度，表示的有理数是____________． 任务三： (3)设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴解答下列问题：    ①当取整数____________时，的值最小，最小值是____________； ②若，则所表示的有理数是____________；③若，则所表示的有理数是____________． 2．（25-26七年级上·江西九江·期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且． (1)写出数轴上点表示的数_________； (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则_________． ②的最小值为_________． (3)动点分别从两点同时出发，点以每秒3个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？之间的距离为3． 5 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数 2.3 绝对值与相反数 1.借助数轴几何意义抽象相反数概念，掌握相反数代数特征：a的相反数为\(-a\)，能快速求任意有理数的相反数，理解0的相反数是0。 2.结合数轴上点到原点距离定义绝对值，牢记绝对值双重代数表达式，会求正数、负数、0的绝对值。 3.熟练利用 “负数绝对值越大，数值越小” 规则比较两个负有理数的大小，完善有理数全套比较方法。 4.综合相反数、绝对值解决化简、求值、数轴距离、简单动点基础题，强化数形结合思想。 课标要点 1.反数：代数定义、几何定义（数轴上原点两侧、到原点距离相等的点），多重符号化简规则。 2.绝对值几何意义：数轴上点到原点的距离，距离非负，因此任意有理数绝对值≥0 学习重难点 重点： 1.相反数概念、求法，多重符号化简。 2.绝对值定义、分段公式，会计算任意有理数的绝对值。 3.利用绝对值比较两个负数的大小。 4.结合绝对值计算数轴两点间距离。 难点： 1.理解|a|≥0非负性，区分 “绝对值等于某正数” 存在两个互为相反的解。 2.负数的绝对值是它的相反数，区分-a不一定是负数（a为负数时，-a>0）。 3.数形结合综合：已知绝对值范围，判断数轴上数的分布、解决简单动点距离问题。 知识点 绝对值（重点） 1. 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作． 2. 绝对值非负性的应用：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则且． 特别提醒 绝对值几何意义：数轴上点到原点的距离，距离非负，因此任意有理数绝对值≥0 易错提醒 误区负数的绝对值是负数。纠正负数绝对值等于它的相反数，结果一定为正数， 误区若，则。纠正绝对值等于一个正数的数有两个，互为相反数，±。 误区认为一定是负数。纠正为负数时，一时，。 误区比较两个负数大小，直接比较数字本身。纠正两个负数，绝对值越大，原数反而越小。 误区化简多重符号和绝对值混淆，先去绝对值再化简符号。纠正必须先计算去掉绝对值，再处理正负号。 误区忽略的非负性，做题遗漏绝对值等于的情况。 教材延伸 1.非负性拓展:若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部式子都为 0。 2.最值拓展:表示数轴上x到定点a的距离，可求距离和、距离差的最小/最大值。 3.大小比较延伸:有理数完整比较逻辑:正数>0>负数;两负数比大小，先比绝对值反向判定 4.化简题型延伸:含字母绝对值化简，需要分a > 0、a = 0、α < 0三类讨论去绝对值符号。 5.实际应用延伸:误差、温差、路程类应用题，用绝对值表示偏离基准的长度，无负距离.。 随学随练 1．（2026·吉林长春·模拟预测）的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是正数，即，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身， ． 2．（25-26七年级下·广西贺州·期末）下列各数中，绝对值最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的定义求出各选项数的绝对值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：，，， 绝对值最大的是． 3．（25-26七年级上·甘肃·期末）若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质．根据绝对值的定义分析a的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即a一定是非正数． 故选：C 知识点 相反数 1. 相反数的定义：像和，和这样只有符号不同的两个数，互为相反数． 2. 相反数的表示方法：一般地，a和互为相反数．这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0．互为相反数的两个数绝对值相等. 例如：当时，，1的相反数是，同时，的相反数是． 特别地，0的相反数是0. 3. 相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数． 4. 求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数． 5. 多重符号的化简：与“”号个数无关，有奇数个“”号，结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 特别提醒 1)只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是-a，0的相反数为0。 2)数轴上互为相反数的两点分居原点两侧，到原点距离相等。 3)互为相反数两数之和为0：a+(-a)=0。 易错提醒 1.误区:带负号就是负数。纠正:a < 0时，-a是正数。 2.误区:相反数仅正数与负数成对。纠正:0的相反数是自身。 3.误区:多重符号化简混乱。纠正:负号个数奇数结果为负，偶数为正。 教材延伸 1.化简拓展:多层符号快速判断正负，为绝对值化简打底。 2.数形拓展:结合数轴距离，理解|a =|- a。 3.计算拓展:已知和为 0，快速求未知数的相反数。 随学随练 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）的相反数是（ ） A．2024 B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：的相反数是． 2．（2022·湖北荆州·模拟预测）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】A 【详解】解：对选项A： ， 与 绝对值相等，符号相反， 二者互为相反数，符合题意； 对选项B： ，两数相等， 不是互为相反数，不符合题意； 对选项C：2与 绝对值不相等，不是互为相反数，不符合题意； 对选项D： 与 绝对值不相等，不是互为相反数，不符合题意； 3．（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）若 与 互为相反数，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据相反数的定义及非负数的性质列出方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26七年级上·湖北荆州·阶段检测）化简：________． 【答案】11 【分析】本题主要考查了相反数，灵活运用相反数化简多重符号是解题的关键． 运用相反数的定义从内向外逐步化简即可． 【详解】解：． 故答案为：11． 拓展 含参数相反数求值 1.核心规律：数轴上点向右移动，数值加；向左移动，数值减。 2.通用公式：终点数=起点数±移动长度（右加左减） 活学活用 1．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）若代数式与代数式的值互为相反数，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数的定义，整式的加减以及解一元一次方程，根据题意可知，求解即可． 【详解】因为代数式与的值互为相反数，可得 ． 解得 ． 故答案为： 2．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如果代数式与的值互为相反数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查相反数与一元一次方程．根据相反数的定义“如果两个数互为相反数，那么它们的和为0”进行计算即可． 【详解】解：∵与的值互为相反数， ∴， 解得． 故答案为：． 3．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）已知互为相反数，则的值是____． 【答案】 【分析】根据相反数的概念可得，然后将其代入所求式子计算即可． 【详解】解： 互为相反数， ， ； 故答案为：． 【点睛】此题考查了相反数的定义与代数式的求值，熟练掌握相反数的概念是解答此题的关键． 拓展 绝对值与数轴动点结合 1.公式：数轴上（a、b)两点距离=|a-b|，距离恒为非负数。 2.两类考法： ① 已知两点求距离：大数减小数，直接取差值； ② 已知一点和距离，求另一点：分左、右两种情况，双解，不可漏。 活学活用 1．（22-23七年级上·湖北孝感·期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离，3与5，4与，与3，与．并回答下列各题： (1)数轴上表示4和两点间的距离是 ，表示和两点间的距离是 ； (2)若数轴上的点表示的数为，点表示的数为． ①数轴上、两点间的距离可以表示为 （用含的代数式表示）； ②如果数轴上、两点间的距离为，求的值． (3)直接写出代数式的最小值为 ． 【答案】(1)7，3 (2)①；②或 (3)7 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可得出结果； （2）①根据两点间的距离公式即可得出结果；②解绝对值方程即可得出结果； （3）由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当时，有最小值，即可得出结果． 【详解】（1）解：； 故答案为：7；3； （2）解：∵数轴上的点表示的数为，点表示的数为， ∴数轴上、两点间的距离， 故答案为：； 解：∵， ∴ 当时，； 当时，； ∴或； （3）解：∵表示到的距离与到的距离和， ∴只有在与之间，即时，的值最小， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值方程等知识，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 2．（23-24七年级上·甘肃定西·期中）【创设情境】我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：表示在数轴上数x、y对应点之间的距离；我们常常运用绝对值的几何意义，借助数轴求解含有绝对值的方程． 【迁移应用】例如：①解方程，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即该方程的解为． ②在方程中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然或． ③在方程中，显然该方程表示数轴上与1和的距离之和为5 的点对应的x值，在数轴上1和的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，；同理，若x的对应点在的左边，可得，所以原方程的解是或．    【问题解决】根据上面的阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解是 ． (2)方程的解是 ． (3)画出图示，解方程 【答案】(1)或 (2)或 (3)图见解析，或 【分析】（1）根据绝对值的意义进行解答即可； （2）根据绝对值的意义进行解答即可； （3）根据绝对值的意义，分类讨论，进行解答即可． 【详解】（1）解：∵在数轴上与原点距离为5的点对应的数为， ∴方程的解为； 故答案为：； （2）解：∵在方程中，x的值是数轴上到2的距离为3的点对应的数， ∴方程的解是或； 故答案为：或； （3）解：在方程中，显然该方程表示数轴上与3和的距离之和为7 的点对应的x值， 在数轴上3和的距离为5，满足方程的x的对应点在1的右边或的左边． 若x的对应点在3的右边，由图示可知，； 同理，若x的对应点在的左边，可得， 所以原方程的解是或．   或   【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义． 题型 求一个数的绝对值 ▌例1 （2026·山西临汾·三模）的绝对值是（    ） A．9 B．8 C． D． 【答案】B 【详解】解：． ▌对点练1-1．（2026·黑龙江绥化·三模）的结果是（    ） A． B．2026 C． D． 【答案】B 【详解】解：． ▌对点练1-2．（2026·广东肇庆·二模）下列四个数中，最小的数是（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【详解】解：根据有理数大小比较规则：负数小于0，0小于正数，两个负数比较，绝对值大的数更小． ∵ 四个数中，，为负数，小于正数，只需比较两个负数的大小． 又∵ ，，且， ∴ ， 可得四个数大小关系为 ， 因此最小的数是，答案选B． ▌对点练1-3．（2022·江西赣州·模拟预测）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ∴的相反数是． 题型 绝对值非负性 解题贴士 1.非负性定义:任意有理数的绝对值恒大于或等于 0，即a > 0. 2.零和模型(必考难点):若若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部的代数式都等于 0. 公式:若， ▌例2（25-26七年级上·天津静海·阶段检测）若，则的值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的化简求值，能根据非负数的性质求出x，y的值，是解题的关键，根据非负数的性质，绝对值和平方项均为非负数，它们的和为零则每个部分必须为零. 【详解】∵ 且 ，且 ， ∴ 且 ， ∴ 且 ， ∴ ，， ∴ . 故选：D. ▌对点练2-1（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段检测）已知，则（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值．利用绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，得出的值，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，且， 且， ，， 解得：； ； ． 故选：C． ▌对点练2-2（山东省平邑县南片区联盟2025-2026学年上学期七年级期中数学联考试卷）已知 ，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，即几个非负数的和为零，则每个非负数均为零． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均为非负数，它们的和为零，则每个部分必须为零． 【详解】且，， ，， 且， ，， ． 故选． ▌对点练2-3（25-26七年级上·北京·期中）若，则的值为（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是非负数的性质，求解代数式的值，根据非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，它们的和为零，则每个部分必须为零，再进一步求解即可． 【详解】解：∵ 且 ，且 ， ∴ 且 ， ∴ ，， 解得：，， ∴ ． 故选：B 题型 绝对值的其他应用 ▌例3（24-25七年级上·全国·随堂练习）世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个；理由见解析 【分析】本题考查了绝对值的意义及应用，熟练掌握相关知识是解题的关键； 判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关．由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量．据此进行判断即可． 【详解】（1）解：四号球，正好等于标准的质量， 五号球，，比标准球轻克， 二号球，，比标准球重克． （2）解：在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个； 理由如下：一号球，，不合格， 二号球，，优等品， 三号球，，合格品， 四号球，，优等品， 五号球，，优等品， 六号球，，合格品． ▌对点练3-1（23-24七年级上·山东聊城·阶段检测）时风工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据记录如下表（超过规定长度的厘米数记为正数，不足规定长度的厘米数记为负数，单位：）： 零件号数 1 2 3 4 5 数据 (1)这5个零件中，符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中，质量最好的是第几个？用学过的绝对值的知识来说明为什么质量最好？ 【答案】(1)1，3，4，5符合要求 (2)第3个，说明见解析 【分析】（1）根据绝对值的意义，找到绝对值小于零件即为所求答案； （2）根据绝对值的意义，找到绝对值最小的零件即可. 【详解】（1）解：零件的长度可以有的误差， ，，， ，， 1，3，4，5符合要求； （2）解： 的绝对值最小， 第3个零件质量最好． 【点睛】此题考查了正数和负数的概念以及绝对值的意义，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据，绝对值也能反映一组数据的离散程度；我们必须熟记并能灵活应用这些基本性质. ▌对点练3-2（23-24七年级上·四川泸州·阶段检测）[例读]表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离: 可以看做表示3与的差的绝对值.也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之向的距离. [探索] (1)数轴上表示4和的两点之间的距离是； (2)①若，则x＝_____； ②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和是多少？ 【答案】(1)数轴上表示4和的两点之间的距离是6 (2)①2或；②3 【分析】（1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可得； （2）①根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可得；②由题意得，，根据3与的距离是5得，根据x是整数得x的值为，进行计算即可得． 【详解】（1）解：， 即数轴上表示4和的两点之间的距离是6； （2）解：① 或， 或， 或， 故答案为：2或； ②由题意得，， ∵3与的距离是5， ∴， ∵x是整数， ∴x的值为， ∴所有符合条件的整数x的和为：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了实数与数轴，解题的关键是理解题意，掌握实数与数轴，绝对值． ▌对点练3-3（25-26七年级上·山东威海·阶段检测）同学们都知道，表示5与1之差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)______； (2)表示x与______之间的距离；表示x与______之间的距离； (3)当时，x可取整数______写出所有符合条件的整数； (4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数x，的最小值为______． (5)当时，______． 【答案】(1)5； (2)2，； (3)，，，0，1，2； (4)10； (5)11或 【分析】本题考查了绝对值，熟练运用绝对值的几何意义和数轴是解决本题的关键． （1）根据绝对值几何意义，计算即可求解； （2）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答； （3）根据绝对值几何意义和数轴即可求解； （4）根据绝对值几何意义和数轴即可求解； （5）根据绝对值几何意义和数轴，计算出范围，分类讨论，计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：5； （2）解：表示数轴上x与2这两点间的距离， 表示数轴上x与这两点间的距离． 故答案为：2，； （3）解：表示数轴上x到2和到的距离之和为5， 因为， 所以， 则x可取整数有，，，0，1， 故答案为：，，，0，1，2； （4）解：表示数轴上x到和到6的距离之和， 当时，距离之和最小值为． 故答案为：10； （5）解：时，或， 当时，原方程去绝对值后为， 解得， 当时，原方程去绝对值后为， 解得， 故答案为：11或． 题型 有理数大小比较的实际应用 ▌例4（2026·广东广州·二模）下表记录了年月日我国四个城市的平均气温，其中，平均气温最低的城市是（     ） 城市 北京 广州 哈尔滨 拉萨 气温/ A．北京 B．广州 C．哈尔滨 D．拉萨 【答案】C 【分析】本题考查有理数大小比较，利用有理数大小比较规则：负数小于正数，两个负数比较，绝对值大的反而小，比较四个城市的气温即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵负数小于正数， ∴， ∴哈尔滨的平均气温最低． ▌对点练4-1（2026·浙江·模拟预测）在标准大气压下，不同气体的液化温度（单位：℃）如表所示： 气体 氧气 氨气 二氧化碳 氢气 液化温度/℃ 其中液化温度最高的气体是（   ） A．氧气 B．氨气 C．二氧化碳 D．氢气 【答案】B 【详解】解：∵ 负数比较大小，绝对值大的数反而小，且 ， ∴ ， 因此液化温度最高的是 ，对应气体为氨气． ▌对点练4-2（2026·广西南宁·一模）体育课上，小冬的铅球成绩是，他投出的铅球落在的区域是（   ） A．区域A B．区域B C．区域C D．区域D 【答案】D 【分析】运用数形结合思想以及进行分析，即可作答． 【详解】解：观察图中信息，且结合， ∴小冬投出的铅球落在的区域是区域D． ▌对点练4-3（25-26七年级上·贵州黔南·期末）手机信号的强弱通常采用值来表示，值越大表示信号越好，则下列表示手机信号强弱的值中，信号最好的是    （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据题意，值越大信号越好，因此需要比较四个选项中数值的大小，找出最大的一个即可． 【详解】∵ ， ∴， ∴信号最好， 故选：A． 题型 相反数的定义 ▌例5（2026·江苏苏州·中考真题）的相反数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可直接得出结果. 【详解】解：的相反数是. ▌对点练5-1（25-26八年级下·湖南株洲·期末）在数轴上，点表示2026，点表示2026的相反数，则点与点的距离是（     ） A．2026 B． C．4052 D． 【答案】C 【分析】先根据相反数的定义得到点表示的数，再利用数轴上两点间距离的计算方法求解即可． 【详解】解：∵点表示的数为，的相反数为 ∴点表示的数为 ∵数轴上两点间的距离等于两点表示数的差的绝对值 ∴点与点的距离为． ▌对点练5-2（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：选项A：，，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项B：，，与绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意； 选项C：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项D：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意． ▌对点练5-3（2026·四川南充·二模）已知：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 题型 ·相反数的应用 ▌例6（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）若与互为相反数，则的值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的性质和代数式求值，准确分析计算是解题的关键． 互为相反数的两个数之和为零，且绝对值和平方均为非负数，故各自为零，从而求解和的值，代入计算即可． 【详解】解：与互为相反数， ， 且， 且， ,， ，， ， 故选：． ▌对点练6-1（24-25七年级上·重庆·期末）已知与的值互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查代数式求值，相反数的性质，根据相反数的性质可得，进而得出，整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵与的值互为相反数， ∴ ∴ ∴ 故选：C． ▌对点练6-2（22-23七年级上·陕西咸阳·期中）如图，在数轴上，点、分别表示数、，且．若、两点间的距离为，则点表示的数为(　　) A． B．6 C． D．3 【答案】C 【分析】根据，结合数轴，即可求解． 【详解】解：∵点、分别表示数、，且，、两点间的距离为， ∴ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了求数轴上两点距离，相反数的意义，数形结合是解题的关键． 题型 化简多重符号 ▌例7（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，化简多重符号，先化简多重符号，再根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案． 【详解】解：， 则的相反数是， 故选：A． ▌对点练7-1（25-26七年级上·陕西西安·期中）的相反数是（    ） A．0.6 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数，化简多重符号，解题的关键是熟练掌握有符号不同的两个数叫做互为相反数． 先得到，再根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：， ∵的相反数是， ∴的相反数是， 故选：D． ▌对点练7-2（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）化简：_______． 【答案】2 【分析】本题考查化简多重符号．从内向外逐步化简括号内的表达式，利用相反数的概念进行计算． 【详解】解：计算内层括号：； 然后计算外层：． 故答案为：2． ▌对点练7-3（2025七年级上·全国·专题练习）（1）___________；（2）___________； （3）___________；（4）___________． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是关键，一个数前面加负号即求这个数的相反数，据此进行解答即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：3； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：； （4）． 故答案为：． 基础通关 1．（2026·福建三明·三模）福建北部山区冬季某天凌晨气温为，的相反数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数， 改变符号后得到， 的相反数是． 2．（2026·湖南长沙·三模）的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的基本性质，根据“负数的绝对值等于它的相反数”即可求解． 【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，又， ∴． 3．（2026·辽宁鞍山·一模）标准大气压下，钨、萘、冰、固态氢四种晶体的熔点如下表，其中熔点最低的晶体为（     ） 晶体 钨 萘 冰 固态氢 熔点 3410 80.5 0 A．钨 B．萘 C．冰 D．固态氢 【答案】D 【详解】解：∵， ∴熔点最低的晶体为固态氢． 4．（2026·陕西咸阳·三模）某樱桃园采摘了四筐樱桃，每筐以5为标准质量，超过标准的部分记作正数，不足标准的部分记作负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最接近标准质量，说明记录偏差的数值的绝对值最小，绝对值越小，代表和标准质量的差距越小，因此只需比较各选项偏差的绝对值大小即可． 【详解】解：∵最接近标准质量等价于偏差的绝对值最小， 计算各选项偏差的绝对值得： ， ， ， ， 又∵ ， ∴ 的绝对值最小，对应樱桃最接近标准质量． 5．（25-26九年级下·福建福州·期中）实数、、、在数轴上对应点的位置如图所示，则这四个数中，绝对值最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据数轴的特征，以及绝对值的含义和性质，判断出实数a，b，c，d的绝对值的取值范围，然后比较大小，判断出这四个数中，绝对值最大的是哪个数即可． 【详解】解：根据图示，可得，，，， 所以这四个数中，绝对值最大的是． 6．（25-26七年级上·青海西宁·期中）已知，，，则（        ） A．8 B．2 C．或 D．8或 【答案】C 【分析】本题主要考查的是绝对值的性质，代数式求值；根据绝对值的定义，和各有两种可能值，结合条件筛选出满足条件的组合，再计算． 【详解】解：， 或． ， 或． 又， 当，时，成立，此时； 当，时，成立，此时． 其他组合不满足． 或． 故选：C． 7．（2026·四川乐山·中考真题）的相反数是_________． 【答案】3 【分析】根据符号不同，绝对值相等的两数是相反数，直接求解即可． 【详解】解：的相反数是． 8．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）比较大小：_______． 【答案】 【详解】解：，，且 ， ． 9．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）某校开展体育测试，男生1000米跑步的合格标准为3分30秒，甲、乙、丙、丁四位男同学的成绩（超出标准的部分记为“”．不足标准的部分记为“”）如表所示，则1000米跑步成绩最好的是___________． 人员 甲 乙 丙 丁 成绩/秒 【答案】乙 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的大小比较，成绩中负值表示比标准时间快，正值表示比标准时间慢，成绩的数值越小，表示用时越短，成绩越好． 比较各数大小后作答即可． 【详解】解：∵， ∴1000米跑步成绩最好的是乙． 故答案为：乙． 10．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）在直线上把数轴补充完整，并在数轴上表示下列各数，再用“”把各数连接起来． ，，，，     【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，先化简绝对值，再在数轴上表示各数，进而根据数轴比较各数的大小，即可求解． 【详解】解： 在数轴上表示各数： ∴ 11．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【答案】(1)互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ (2)最接近规格的是⑦号试管．理由见解析 【分析】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数是解题的关键． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）根据绝对值的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ （2）解：最接近规格的是⑦号试管． 理由：，，，，． 因为，所以最接近规格的是⑦号试管． 素养提升 1．（2026·河南周口·二模）数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于原点对称的两点所表示的数互为相反数解答即可． 【详解】解：∵数轴上点P表示的数是， ∴点P关于原点对称的点表示的数是． 2．（25-26七年级上·河南新乡·期中）在数轴上，如果点A、B表示的有理数分别为，，那么A、B两点之间的距离为。例如，，它表示数轴上，表示有理数，的两点之间的距离．则当取得最小值时，的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上两点距离公式的几何意义，利用绝对值的几何意义可简化计算． 表示到的距离，表示到2的距离；当在和2之间时，距离之和最小，为固定值3． 【详解】解：由于，表示到的距离， 则表示到2的距离， 所以表示到和到2的距离之和。 当在和2之间时，距离之和最小，即为与2之间的距离， ∴的取值范围是． 故选：B． 3．（25-26七年级上·广东广州·开学考试）若，，则比较与的大小，结果是（   ）． A．比较大 B．比较大 C．两者相等 D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了正数与小于1的数进行乘除运算的性质，解题的关键是掌握“一个正数乘以小于1的正数，结果小于原数；一个正数除以小于1的正数，结果大于原数”这一规律． 根据、，分析：正数a乘以小于1的b，结果小于a；分析：正数a除以小于1的b，结果大于a；通过“”可比较两者大小． 【详解】解：由，得且，即，故比较大， 故选：B． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）式子的最大值是（   ） A．5 B．7 C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题关键．根据绝对值的非负性可得，从而可得，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴式子的最大值是5， 故选：A． 5．（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）已知点A、B在数轴上分别表示数a，b，若A、B两点间的距离记为d，则． (1)数轴上有理数与有理数所对应两点之间的距离可以表示为_______ (2)可以表示数轴上有理数x与有理数________所对应的两点之间的距离；若，则______ (3)若，将数轴折叠，使得点与表示的点重合，则点与数______表示的点重合． (4)若数轴上、两点之间的距离为11（在的左侧），且、两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是：：_____， ：_______； 【答案】(1) (2) 或 (3) (4) 【分析】本题考查数轴上两个点之间的距离、绝对值方程等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据题中的公式，代入即可； （2）①根据距离公式填写即可；②两个数的绝对值相等，这两个数相等或这两个数互为相反数，据此列出两个方程求解即可， （3）先求出点A与表示的点的中间那个点表示的数，再计算即可； （4）先将（3）中的中点表示出来，将得到折叠后，中点距离点和点的距离，M在N的左侧，再分别用中点减去距离得到点的值，再用中点加上距离得到点的值 【详解】（1）根据题中的公式，代入即可． （2）①，根据距离公式填写即可； ② 或， 解得或； （3）∵，将数轴折叠，使得点与表示的点重合， ∴点与表示的点的中间那个点表示的数是， ∵， ∴点与表示的点重合． 故答案为． （4）折叠后，中点距离点和点的距离：， ∵在的左侧， ∴点：； 点：． 6．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我们知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：若 ，则 ； (2)填空：使得 成立的是 ； (3)由以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由． (4)由以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时的值，如果没有，说明理由． 【答案】(1)6或 (2)或3 (3)有最小值，最小值为7 (4)有最小值，当时，最小值为3 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义与分类讨论思想，熟练掌握“利用绝对值的几何意义（数轴上点的距离）分析问题，结合分类讨论求解”是解题的关键． （1）根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解； （2）根据绝对值的几何意义（数轴上点到和的距离和），分区间讨论求解； （3）利用绝对值的几何意义，分析数轴上点到和的距离和的最小值； （4）根据绝对值的几何意义，分析数轴上点到、、的距离和的最小值及对应的值． 【详解】（1）解：， 或 ， 当时，， 当时，， 或； （2）解：分三种情况： 当时：，，解得； 当时，（无解）， 当时，，解得， 或， （3）解：表示数轴上对应的点到和对应的点的距离和， 当在与之间（含端点）时，距离和最小，最小值为； （4）解：表示数轴上对应的点到、、对应的点的距离和， 当时，距离和最小， 最小值为． 迁移创新 1．（25-26七年级上·山东德州·期中）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有数数0表示的点）的距离，叫做这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上有理数2表示的点到原点0的距离，从数轴上容易发现，有理数2表示的点到原点0的距离是2个单位长度，即（如图1）． 同样的，数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图2）．    以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法，请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： 任务一： (1)请根据以上阅读列式并计算（不必在卷面上画数轴）：求数轴上表示2的点和表示的点之间的距离． 任务二： (2)根据绝对值的意义求字母的值： ①若，则表示的有理数是____________． ②若，求所表示的有理数． 分析：根据绝对值的意义，“”指数轴上表示的点到表示____________的点的距离是4个单位长度，表示的有理数是____________． 任务三： (3)设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴解答下列问题：    ①当取整数____________时，的值最小，最小值是____________； ②若，则所表示的有理数是____________；③若，则所表示的有理数是____________． 【答案】(1)9个单位长度 (2)①1或5；②，3或 (3)①、、、、、，5；②或6；③ 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离的求法，以及相反数和绝对值的含义和求法，熟练掌握数形结合是解题关键． （1）数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用表示，，，即可求出． （2）①数轴上表示的点到表示3的点的距离是2个单位长度，有两个值；②数轴上表示必的点到表示的点的距离是4个单位长度，必有两个值，计算即可； （3）①指数轴上表示必的点到表示4和的两点的距离的和，据此求解即可；②指数轴上表示的点到表示4和的两点的距离的和等于9，据此求解即可；③指数轴上表示必的点到表示2和的两点的距离相等，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ∴数轴上表示2的点和表示的点之间的距离为9个单位长度； （2）解：①由题意得，表示的点到表示3的点的距离是2个单位长度， ∴或， 故答案为：1或5； ②由题意得，表示的点到表示的点的距离是4个单位长度， ∴或， 故答案为：，3或； （3）解：①由题意得，指数轴上表示的点到表示4和的两点的距离和， 取与4之间（包含和4），的值最小； 最小值是， 故答案为：、、、、、，5； ②当点在和4之间时，， 点表示的数不在和4之间， 当点在左边时，，， 当点在4右边时，，， ∴的值是或6， 故答案为：或6； ③由题意得，表示数轴上点到2表示的点的距离与到表示的点的距离相等， ∵2到的距离是5个单位长度， ∴， ∴，， ∴的值是， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·江西九江·期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且． (1)写出数轴上点表示的数_________； (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则_________． ②的最小值为_________． (3)动点分别从两点同时出发，点以每秒3个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？之间的距离为3． 【答案】(1) (2)①5或11；②22 (3)当为3或秒时，P，Q之间的距离为3 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的意义、绝对值方程等知识点，掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）①根据绝对值的性质解绝对值方程即可；②根据两点间的距离以及绝对值的几何意义求解即可； （3）设经过秒时，P，Q之间的距离为3，此时点表示的数是点表示的数，根据题意列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：点表示的数为：． 故答案为：． （2）解：①由，即，解得：或11． 故答案为：5或11． ②∵表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离和有理数的点与表示有理数的点之间的距离和， ∴的最小值是． 故答案为：22． （3）解：设经过秒时，P，Q之间的距离为3．此时点表示的数是点表示的数， 则，解得：或． 故当为3或秒时，之间的距离为3． 5 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $