【5年中考压轴真题】2022～2026年山东省选择题、填空题、解答题汇编

**基本信息** 2022-2026年山东省中考压轴真题汇编，含选择19题、填空15题、解答18题，覆盖几何变换、函数综合、统计应用等核心考点，梯度设计适配一轮复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|19题/57分|二次函数性质、圆的计算、图形对称|结合矩形折叠（第1题）、扇形面积（第2题）等基础综合题| |填空题|15题/30分|反比例函数、图形旋转、新定义运算|融入“冰雹猜想”（第25题）、菱形变换（第33题）等创新情境| |解答题|18题/63分|二次函数综合、几何探究、统计建模|设计樱桃园利润（第35题）、“踢枪”抛物线（第43题）等跨学科应用，突出动态几何（第38题）和函数与几何综合（第45题）|

【5年中考压轴真题】2022~2026年山东省选择题、填空题、解答题汇编 一．选择题（共19小题） 1．（2022•济南）·【较易】如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，点B关于AC的对称点为点E，连接AE，CE，CE交AD于点F，过点F作FG⊥AC，垂足为G，过点G作GH⊥BC．垂足为H，若AB＝4，BC＝8，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024•青岛）·【较易】如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径OA＝3，，∠DBC＝25°，连接AD，则扇形AOB的面积为（　　） A．π B．π C．π D．π 3．（2026•烟台）·【较易】如图，直线yx+2与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y的图象交于C，D两点，CE⊥x轴，垂足为E，连接DE．若OA＝2OE，则△CDE的面积是（　　） A．8 B．12 C．16 D．24 4．（2026•山东）·【较易】如图，点P是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点．下列结论正确的是（　　） A．2a+b＝0 B． C．对任意实数t，at2+bt＜4a+2b总成立 D．若点A（1﹣m，y1），B（1+m，y2）在抛物线上，则y1＜y2 5．（2025•济南）·【较易】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，3＜m＜4．有下列结论： ①关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小；③；④4a﹣2b+c＞0；⑤对于任意实数t，总有（t+1）（at﹣a+b）≤0．以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．（2025•济南）·【较易】如图，在△ABC中，按如下步骤作图： ①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM＝CN，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点F． 根据以上作图，若AD＝4，DB＝2，，则线段AE的长为（　　） A． B． C．5 D． 7．（2025•山东）·【较易】如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形．若函数y（x＞0）的图象经过点B，则满足y≥2的x的取值范围为（　　） A．0＜x≤2 B．x≥2 C．0＜x≤4 D．x≥4 8．（2025•山东）·【中档】在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．当x≥1000时，y随x的增大而减小 B．当x＝2000时，y有最大值 C．当y≥0.6时，x≥1000 D．当y＝0.4时，x＝600 9．（2024•枣庄）·【中档】根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为180cm；②1班学生的最低身高小于150cm；③2班学生的最高身高大于或等于170cm．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．（2022•济南）·【中档】抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1或m＞0 B．m C．0≤m D．﹣1＜m＜1 11．（2024•青岛）·【中档】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则过点M（c，2a﹣b）和点N（b2﹣4ac，a﹣b+c）的直线一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．（2026•烟台）·【中档】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，顶点为P，对称轴为直线x＝2．下列说法：①abc＜0；②4a+b＝0；③﹣1＜a；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB＝90°时，a．其中正确的是（　　） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 13．（2026•山东）·【中档】在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了5km健步走项目．两人8：00从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了15min后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程y（km）与时间x（min）之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（　　） A．8：25 B．8：33 C．9：00 D．9：17 14．（2024•济南）·【中档】如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK＝2，则正方形ABCD的边长为（　　） A． B． C． D． 15．（2024•枣庄）·【中档】如图，点E为▱ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（　　） A． B．3 C． D．4 16．（2023•济南）·【中档】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（　　） A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D． 17．（2022•济南）·【中档】数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（　　） （精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60） A．28m B．34m C．37m D．46m 18．（2023•济南）·【中档】定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论： ①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”； ②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）； ③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”； ④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是； 其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（2024•济南）·【较难】如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD＝2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC﹣CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为t（s），DP2为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①AB＝3；②当t＝5时，y＝1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC﹣CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2＝6，则y1＞y2．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 二．填空题（共15小题） 20．（2022•济南）·【较易】规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点O（0，0）按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1（1，0），再将O1（1，0）绕原点顺时针旋转90°得到O2（0，﹣1），再将O2（0，﹣1）绕原点顺时针旋转90°得到O3（﹣1，0）…依次类推．点（0，1）经过“011011011”变换后得到点的坐标为　 　 ． 21．（2026•山东）·【中档】如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝4cm，AD＝5cm，点E是边AD的中点，点F在边CD上，连接EF．将纸片沿EF折叠，点D落在纸片上的点G处，连接AG，CG．若AG＝3cm，GE∥AB，则△CFG的面积为 　 　 cm2． 22．（2025•济南）·【中档】如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F．若CG＝4，，则AB＝　 　 ． 23．（2025•山东）·【中档】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAQB，则线段PQ的最小值是 　 　 ． 24．（2024•济南）·【中档】如图，在矩形纸片ABCD中，，AD＝2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′，连接BD′．若BD′＝2，则DF＝　 　 ． 25．（2024•枣庄）·【中档】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点（6，3）经过第1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类推．则点（1，4）经过2024次运算后得到点 　 　 ． 26．（2023•济南）·【中档】如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P．若∠ABC＝30°，AP＝2，则PE的长等于 　 　 ． 27．（2024•青岛）·【中档】如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 　 　 块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 　 　 块． 28．（2026•烟台）·【中档】如图1，点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→B→C→D的方向运动至点D停止，连接AP，Q为AP的中点，连接BQ．设点P的运动路程为x，线段BQ的长为y，图2表示点P从A运动到C的过程中y与x的函数关系．当点P运动到CD中点时，BQ的长度为　 　 ． 29．（2026•山东）·【中档】如图，一组反比例函数y，y，y，…，y，其中x＞0，k1＝1，kn＞kn﹣1，n为大于1的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象相交，交点依次记为A1，A2，A3，…，An．若A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An，则k6＝　 　 ． 30．（2025•山东）·【中档】如图，取直线y＝﹣x上一点A1（x1，y1），①过点A1作x轴的垂线，交y于点A2（x2，y2）；②过点A2作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A3（x3，y3）；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点A1的坐标为（1，﹣1），则点A2025的坐标是 　 　 ． 31．（2024•枣庄）·【中档】如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP．分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q．若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则F到AN的距离为 　 　 ． 32．（2022•济南）·【中档】利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是 　 　 ． 33．（2026•烟台）·【中档】如图，以原点O为顶点作边长为2的菱形OA1A2A3，点A3在x轴上，且∠A1OA3＝60°，将点A3向右平移2个单位得到点A4，以A4为顶点作与菱形OA1A2A3全等的菱形A4A5A6A7，点A7在x轴上；再将点A7向右平移2个单位得到点A8，以A8为顶点作与菱形OA1A2A3全等的菱形A8A9A10A11，点A11在x轴上；…；按照以上规律作图，则点A126的坐标为　 　 ． 34．（2024•青岛）·【中档】如图，△ABC中，BA＝BC，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于点D，E．过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长线于点N．若ON＝10，cos∠ABC，则半径OC的长为 　 　 ． 三．解答题（共18小题） 35．（2024•青岛）·【中档】5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园： 第x天的单价、销售量与x的关系如表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 10x+10 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园： 第x天的利润y2（元）与x的关系可以近似地用二次函数y2＝ax2+bx+25刻画，其图象如图： （1）A樱桃园第x天的单价是 　 　 元/盒（用含x的代数式表示）； （2）求A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式；（利润＝单价×销售量﹣固定成本） （3）①y2与x的函数关系式是 　 　 ； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即y1+y2）最大，最大是多少元？ （4）这15天中，共有 　 　 天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大． 36．（2024•枣庄）·【中档】在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m． （1）求m的值； （2）若点Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范围． 37．（2023•济南）·【中档】在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，3），D（﹣1，3）．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F． （1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标； （2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标； （3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围． 38．（2025•山东）·【较难】【图形感知】如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝∠ABC＝∠BDC＝90°，AD＝2，AB＝4． （1）求CD的长； 【探究发现】老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段CD上取一点E，连接BE．将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A′BED′，其中A′，D′分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点D′恰好落在边BC上，延长A′D′交CD于点F，如图2．判断四边形DBA′F的形状，并说明理由； ②乙：点A′恰好落在边BC上，如图3．求DE的长； （3）如图4，连接DD′交BE于点P，连接CP．当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 39．（2022•济南）·【较难】抛物线y＝ax2x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式和t，k的值； （2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； （3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQPQ的最大值． 40．（2024•枣庄）·【较难】一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE．作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1． （1）求证：BM＝EN； （2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P． ①当α＝30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形； ②当30°＜α＜60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°＜α＜120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系． 41．（2022•济南）·【较难】如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE． （1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； （2）延长ED交直线BC于点F． ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 　 　 ； ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数并说明理由． 42．（2026•烟台）·【较难】如图，直线y＝﹣x﹣6与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一个交点为B．抛物线的对称轴为直线x． （1）求抛物线的表达式； （2）点D在抛物线上，横坐标为t，若点D到直线AC的距离为，求出所有满足条件的t的值； （3）若H为抛物线的顶点，P为对称轴上一点，请直接写出PHPO的最小值． 43．（2026•山东）·【较难】“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． （1）如图2，甲站在地面的O点处，从距离地面m高的A点踢出花枪，A点与O点的水平距离OB是m，花枪飞行到与O点水平距离3m的C处达到最高，高度为3m． ①设花枪离地面的高度为y（m），到O点的水平距离为x（m）．请建立平面直角坐标系，并求y关于x的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与O点水平距离dm处接花枪，能接到的高度最大为m，最小为m，求d的取值范围． （2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度h（m）与时间t（s）之间的关系式是h＝﹣5t2+7t（t＞0），丙在距花枪落地点5m处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 44．（2025•山东）·【较难】已知二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b），其中a，b为两个不相等的实数． （1）当a＝0、b＝3时，求此函数图象的对称轴； （2）当b＝2a时，若该函数在0≤x≤1时，y随x的增大而减小；在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； （3）若点A（a，y1），B（，y2），C（b，y3）均在该函数的图象上，是否存在常数m，使得y1+my2+y3＝0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 45．（2026•山东）·【难】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°． 【观察与发现】（1）如图1，将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，点D与点C是对应点．点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，连接DE，DF．求证：DE＝DF． 【思考与探究】（2）如图2，过点A作AH⊥AC交BC于点H．点E，F分别在边AB，AC上，CF＝2AE，连接EF，HE，HF．猜想线段EF与HE的数量关系，并说明理由． 【拓展与延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，延长FE至点G，使EG＝FE，连接GA，GH．若AB＝6，AG＝2，求线段AE的长度． 46．（2025•济南）·【难】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点O为AC的中点．在Rt△DBE中，∠DBE＝90°，DB＝3，BE＝4，连接EO并延长到点F，使OF＝EO，连接AF． 初步感知：（1）如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，请完成填空：∠DAF＝　　 °．　 　 ． 深入探究：（2）如图2，若将图1中的△DBE绕点B按逆时针方向旋转一定的角度α（0°＜α＜90°），连接AD，CE，AE，CF． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． ②当四边形AECF的面积最小时，求线段AD的长． 47．（2024•济南）·【难】某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D． （1）兴趣小组的同学得出AC2＝AD•AB．理由如下： ∵∠ACB＝90° ∴∠A+∠B＝90° ∵CD⊥AB ∴∠ADC＝90° ∴∠A+∠ACD＝90° ∴∠B＝①_____ ∵∠A＝∠A ∴△ABC∽△ACD ∴②_____ ∴AC2＝AD•AB 请完成填空：①　 　 ；②　 　 ； （2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE＝∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由． （二）学以致用：（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，，平面内一点D，满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB＝∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时．求线段CE的长． 48．（2023•济南）·【难】在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG． （1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值； （2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长； （3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值． 49．（2024•青岛）·【难】如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，Rt△EDF中，∠EDF＝90°，DE＝DF＝6cm，边BC与FD重合，且顶点E与AC边上的定点N重合．如图②，△EDF从图①所示位置出发，沿射线NC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点O从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s．EF与BC交于点P，连接OP，OE．设运动时间为t（s）（0＜t）．解答下列问题： （1）当t为何值时，点A在线段OE的垂直平分线上？ （2）设四边形PCEO的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）如图③，过点O作OQ⊥AB，交AC于点Q，△AOH与△AOQ关于直线AB对称，连接HB．是否存在某一时刻t，使PO∥BH？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 50．（2025•济南）·【难】二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（3，1），B（0，﹣2）两点，顶点为G． （1）求二次函数的表达式和顶点G的坐标． （2）如图1，将二次函数y＝x2+bx+c的图象沿x轴方向平移n（n＞0）个单位长度得到一个新函数的图象，当0≤x≤3时，新函数的最大值是8，求n的值． （3）如图2，将二次函数y＝x2+bx+c的图象沿直线AB平移，点A，G的对应点分别为A′，G′，连接AG′，A′G，线段AG′与A′G交于点M．若，请直接写出点G′的坐标． 51．（2024•济南）·【难】在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A（0，2），B（2，2），顶点为D；抛物线C2：y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），顶点为Q． （1）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标； （2）如图1，连接AD，点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，点F是抛物线C2上一点，若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值； （3）如图2，连接BD，DQ，点M是抛物线C1对称轴左侧图象上的动点（不与点A重合），过点M作MN∥DQ交x轴于点N，连接BN，DN，求△BDN面积的最小值． 52．（2026•烟台）·【难】【尝试发现】（1）如图1，△ABC∽△ADE，．当点D，E分别在边AB和AC上时，的值是　 　 ． 【变式探究】（2）如图2，将（1）中的△ADE绕点A按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接CE，BD，AC与BD交于点O，CE与BD的延长线交于点F． ①求的值； ②写出∠BAC和∠BFC的数量关系并证明． 【联系拓广】（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E在边BC上且BE＝2，连接AE．F是直线BC上的动点，作△AFG∽△ABE，连接CG，EG． ①当点F在线段CB的延长线上，且EG＝EA时，求EF的长； ②当CG的长度最小时，直接写出此时BF的长． 【5年中考压轴真题】2022~2026年山东省选择题、填空题、解答题汇编 参考答案与试题解析 一．选择题（共19小题） 1．【解答】解：∵点B关于AC的对称点为点E， ∴∠ACB＝∠ACE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝∠CAD，AC4， ∴∠ACE＝∠CAD， ∴AF＝CF， ∴三角形ACF是等腰三角形， ∵FG⊥AC， ∴AG＝CGAC＝2，∠CGF＝∠CBA＝90°， ∵∠ACB＝∠ACE， ∴△CGF∽△CBA， ∴，即， ∴GF， ∵GH⊥BC， ∴∠CHG＝∠CBA＝90°， ∴GH∥AB， ∵AG＝CG， ∴GH是△ABC的中位线， ∴GH＝2， ∴． 故选：B． 2．【解答】解：如图，连接AC， 则∠DAC＝∠DBC＝25°， ∵， ∴∠ADB＝∠DAC＝25°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝50°， ∵OA＝3， ∴扇形AOB的面积为， 故选：A． 3．【解答】解：将y＝0代入，得x＝﹣4， ∴点A的坐标为（﹣4，0）， ∴OA＝4， ∵OA＝2OE， ∴OE＝2，AE＝6， ∴点E的坐标为（2，0）， ∵CE⊥x轴， ∴xC＝xE＝2， 将x＝2代入，得y＝3， ∴点C的坐标为（2，3）， 将点C（2，3）代入，得k＝6， ∴反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数得， ， 解得或， ∴点D的坐标为（﹣6，﹣1）， ∴S△CDE＝S△ADE+S△ACEAE•|yD|AE•|yC|6×16×3＝3+9＝12， 故选：B． 4．【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0． ∵顶点P的坐标为（2，3）， ∴对称轴为直线x＝2，即， ∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，故A错误； 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3， 令x＝0，得y＝4a+3，即抛物线与y轴的交点坐标为（0，4a+3）． 由图象可知，抛物线与y轴的交点在x轴上方且在y＝1的下方， ∴0＜4a+3＜1， 解得，故B正确； 根据图象得：当x＝2时，y＝ax2+bx+c取得最大值为：y＝4a+2b+c， 对任意实数t，at2+bt+c≤4a+2b+c， ∴at2+bt≤4a+2b，故C错误； ∵对称轴为x＝2， ∴|1﹣m﹣2|＝|m+1|，|1+m﹣2|＝|m﹣1|， 当m＝0时，两点到对称轴的距离相等，y1＝y2，故D错误． 故选：B． 5．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n）， 且经过（1，0），（0，m）两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴a＜0，抛物线与x轴的交点为：（1，0）和（﹣3，0）， 图象如下所示： 令y＝n﹣1，即把y＝n向下平移一个单位， 再结合函数图象可知ax2+bx+c＝n﹣1（a≠0）有两个不相等的实数根， 故ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；①正确，符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小，故②正确，符合题意； ∵抛物线与x轴的交点为：（1，0）和（﹣3，0）， ∴二次函数为y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a， ∴m＝﹣3a， ∵3＜m＜4， ∴3＜﹣3a＜4， 解得，故③正确，符合题意， 结合函数图象可知，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故④正确，符合题意， ∵， ∴b＝2a， ∴（t+1）（at﹣a+b）＝（t+1）（at﹣a+2a） ＝a（t+1）（t+1） ＝a（t+1）2， ∵a＜0，（t+1）2≥0， ∴a（t+1）2≤0， 即故⑤正确，符合题意， 综上：①②③④⑤正确， 故选：A． 6．【解答】解：连接DE， 由作法得CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠FCD（角平分线的定义）， ∵EF垂直平分CD， ∴CE＝DE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∴∠ECD＝∠EDC， ∴∠FCD＝∠EDC， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC ∴（相似三角形的对应边成比例）， ∵AD＝4，DB＝2，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7．【解答】解：∵四边形OABC是面积为4的正方形，设点B的坐标为（b，b）， ∴b2＝4，解得：b＝2（已舍弃负值）， ∴点B的坐标为 （2，2）， ∵函数的图象经过点B， 满足y≥2的x的取值范围为0＜x≤2， 故选：A． 8．【解答】解：A、当x≥1000时，y随x的增大先增大，后减小，故A选项错误，不符合题意； B、∵抛物线过点（1000，0.6），（3000.0.6）， ∴抛物线的对称轴为：直线x2000， ∵抛物线的开口向下， ∴x＝2000时，y有最大值， 故B选项正确，符合题意； C、由图象可得：当y＝0.6时，x1＝1000，x2＝3000， ∴当y≥0.6时，1000≤x≤3000， 故C选项错误，不符合题意； D、由图象可得当y＝0.4时，x对应的值有2个，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 9．【解答】解：设1班同学的最高身高为xcm，最低身高为ycm，2班同学的最高身高为acm，最低身高为bcm， 根据1班班长的对话，得x≤180，x+a＝350， ∴x＝350﹣a， ∴350﹣a≤180， 解得a≥170， 故③正确； 1班学生的身高不超过180cm，最高未必是180cm，故无法判断①； 根据2班班长的对话，得b＞140，y+b＝290， ∴b＝290﹣y， ∴290﹣y＞140， ∴y＜150， 故②正确， 故选：C． 10．【解答】解：在y＝﹣x2+2mx﹣m2+2中，令x＝m﹣1，得y＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）﹣m2+2＝1， 令x＝m+1，得y＝﹣（m+1）2+2m（m+1）﹣m2+2＝1， ∴（m﹣1，1）和（m+1，1）是关于抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2对称轴对称的两点， ①若m﹣1≥0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴右侧（包括（m﹣1，1）在y轴上）， 则点（m﹣1，1）经过翻折得M（m﹣1，y1），点（m+1，1）经过翻折得N（m+1，y2）， 如图： 由对称性可知，y1＝y2， ∴此时不满足y1＜y2； ②当m+1≤0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴左侧（包括（m+1，1）在y轴上）， 则点（m﹣1，1）即为M（m﹣1，y1），点（m+1，1）即为N（m+1，y2）， ∴y1＝y2， ∴此时不满足y1＜y2； ③当m﹣1＜0＜m+1，即（m﹣1，1）在y轴左侧，（m+1，1）在y轴右侧时，如图： 此时M（m﹣1，1），（m+1，1）翻折后得N，满足y1＜y2； 由m﹣1＜0＜m+1得：﹣1＜m＜1， 故选：D． 11．【解答】解：∵函数图象开口向上，与y轴交于正半轴，与x轴没有交点 ∴a＞0，c＞0，b2﹣4ac＜0， ∵对称轴为x， ∴b＝2a＞0， ∴2a﹣b＝0， ∴M（c，2a﹣b）在x轴正半轴上， 当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0， 则N（b2﹣4ac，a﹣b+c）在第二象限， ∴过点M（c，2a﹣b）和点N（b2﹣4ac，a﹣b+c）的直线一定不经过第三象限． 故选：C． 12．【解答】解：∵二次函数图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线， ∴b＞0， ∵二次函数的图象与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间， ∴c＜0， ∴abc＞0，①错； ∵对称轴为直线， ∴b＝﹣4a， ∴4a+b＝0，②正确； ∵二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）， ∴a+b+c＝0， ∵b＝﹣4a， ∴a﹣4a+c＝0， ∴c＝3a， ∵二次函数图象与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间， ∴可得﹣3＜c＝3a＜﹣2， ∴，③正确； ∵二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝2， ∴点B的坐标为（3，0）， ∵c＝3a， ∴点C的坐标为（0，3a）， 当x＝2，可得y＝4a+2b+c， 将c＝3a，b＝﹣4a代入，可得y＝﹣a， ∴点P的坐标为 （2，﹣a）， ∴PC2＝4+16a2，PB2＝1+a2，BC2＝9+9a2， ∵∠CPB＝90°， ∴PC2+PB2＝BC2， 可得4+16a2+1+a2＝9+9a2， 解得或， ∵a＜0， ∴，④正确． ④解法二 前面已证c＝3a，设C（0，3a）P（2，﹣a） ∵∠CPB＝90° ∴CP⊥PB ∴直线CP，PB对应一次函数斜率乘积为﹣1 ∴④正确 综上，正确的说法为②③④， 故选：A． 13．【解答】解：由题意，当0＜x＜25时， 设小英的函数关系式为y＝kx，则25k＝2， ∴k． ∴此时yx． ∵小英在途中打卡点拍照停留了15min后仍按原速行进， ∴当x≥40时，y（x﹣15）． 设小杰的函数关系式为y＝mx， 又图象过（25，1.5）， ∴25m＝1.5，则m． ∴小杰的函数关系式为yx． 联立方程x（x﹣15）， ∴x＝60． ∴小英在60min后追上小杰，此时的时刻是9：00． 故选：C． 14．【解答】解：如图，连接AG，过点G作GH⊥AD于点H，在DC上取一点J，使得JD＝JK，连接JK． 由作图可知EF垂直平分线段AB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝AD，AB∥CD， ∴EF垂直平分线段CD， ∴DW＝CW， ∵AG＝AD＝CD， ∴AG＝2DW， ∵四边形DWGH是矩形， ∴HG＝DW， ∴AG＝2GH， ∴∠DAG＝30°， ∵AD＝AG， ∴∠ADG＝∠AGD（180°﹣30°）＝75°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠CDK＝15°， ∵JD＝JK， ∴∠JDK＝∠JKD＝15°， ∴∠CJK＝∠JDK+∠JKD＝30°， 设CK＝x，则JK＝2x，CJx， ∴CD＝2xx，BC＝x+2， ∵CD＝BC， ∴2xx＝x+2， ∴x1， ∴正方形的边长BC1+21． 故选：D． 15．【解答】解法一： 解：延长DF和AB，交于G点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB即DC∥AG， ∴△DEC∽△GAE ∴， ∵AC＝5，CE＝1， ∴AE＝AC﹣CE＝5﹣1＝4， ∴， 又∵EF＝DE，， ∴， ∵，DC＝AB， ∴， ∴， ∴ ∴AE∥BF， ∴△BGF∽△AGE， ∴， ∵AE＝4， ∴BF＝3． 解法二： 连接BD交AC 于O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝OB， ∵EF＝DE， ∴OE是△BFD的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴BF＝3， 故选：B． 16．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB72°， 由题意得：CP平分∠ACB， ∴∠BCE＝∠ACE∠ACB＝36°， ∴∠A＝∠ACE＝36°， ∴AE＝CE， ∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°， ∴∠B＝∠CEB＝72°， ∴CB＝CE， ∴AE＝CE＝CB， ∵△BCE是顶角为36°的等腰三角形， ∴△BCE是黄金三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A、B、D不符合题意，C符合题意； 故选：C． 17．【解答】解：由题意可知：AB⊥BC， 在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°， ∵tan∠ADB＝tan58°， ∴BD（m）， 在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°， ∵CD＝70m， ∴BC＝CD+BD＝（70）m， ∴AB＝BC×tanC≈（70）×0.40（m）， 解得：AB≈37m， 答：该建筑物AB的高度约为37m． 故选：C． 18．【解答】解：依据题意，由“倍增点”的意义， ∵2（1+3）＝8+0，2（1﹣2）＝﹣2+0， ∴点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”． ∴①正确． 对于②，由题意，可设满足题意得“倍增点”A为（x，x+2）， ∴2（x+1）＝x+2+0． ∴x＝0． ∴A（0，2）． ∴②错误． 对于③，可设抛物线上的“倍增点”为（x，x2﹣2x﹣3）， ∴2（x+1）＝x2﹣2x﹣3． ∴x＝5或﹣1． ∴此时满足题意的“倍增点”有（5，12），（﹣1，0）两个． ∴③正确． 对于④，设B（x，y）， ∴2（x+1）＝y+0． ∴y＝2（x+1）． ∴P1B． ∴当x时，P1B有最小值为． ∴④正确． 故选：C． 19．【解答】解：由题意，当P到C时，DP2＝y＝7， ∴DC2＝7． 作DH⊥BC于H，如图1所示， ∵∠B＝60°，BD＝2， ∴BHBD＝1，DH． ∴CH2． ∴BC＝BH+CH＝1+2＝3． ∴AB＝BC＝3，故①正确． ∴此时t＝AB÷1＝3（秒）． ∴当t＝5时，P在AC上，且PC＝2． 如图2，AD＝AP＝1， 又∠A＝60°， ∴△ADP是等边三角形． ∴DP＝AD＝AP＝1． ∴y＝DP2＝1，故②正确． 当4≤t≤6时，如图3， ∴PC＝1，此时P从如图的位置运动到A． ∴AHAD． ∴DH，此时P运动到H时y＝DH2取最小值为． 又HP＝AC﹣AH﹣PC＝31， ∴DP． ∴此时y＝DP2取最大值为3． ∴当4≤t≤6时，y≤3，故③错误． ∵t1+t2＝6，t1＜t2， ∴t1+t2＜2t2，2t1＜t1+t2，t2＝6﹣t1． ∴t1＜3，t2＞3． 又由题意，可得，当0≤t≤3时，y＝（t﹣1）2+3；当3≤t≤6时，y＝（t﹣5.5）2， ∴y1＝（t1﹣1）2+3，y2＝（t2﹣5.5）2（t1﹣0.5）2． ∴y1﹣y2＝（t1﹣1）2+3﹣（t1﹣0.5）2 ＝3﹣t1＞0． ∴y1＞y2，故④正确． 故选：D． 二．填空题（共15小题） 20．【解答】解：将点（0，1）经过一次011变换， 即先向右平移一个单位得到（1，1）， 再绕点O顺时针旋转90得到（1，﹣1）， 再绕点O顺时针旋转90得到（﹣1，﹣1）； 如此将点（﹣1，﹣1）经过011变换得到点（0，1）， 再将点（0，1）经过011变换得到点（﹣1，﹣1）． 故答案为：（﹣1，﹣1）． 21．【解答】解：过点G作GH⊥AD于点H，连接GD，如图所示： ∴∠GHA＝∠GHE＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4cm， ∴AB∥CD，CD＝AB＝4cm， ∵点E是AD的中点，且AD＝5cm， ∴AE＝DE＝2.5cm， 设AH＝acm，则EH＝AE﹣AH＝（2.5﹣a）cm， 由折叠性质得：GE＝DE＝2.5cm，∠2＝∠3，∠EGF＝∠D， 在△GHA和△GHE中，∠GHA＝∠GHE＝90°，AG＝3cm， 由勾股定理得：GH2＝AG2﹣AH2＝GE2﹣EH2， ∴32﹣a2＝2.52﹣（2.5﹣a）2， 解得：a， ∴AH＝a（cm）， ∴GH（cm） ∵GE∥AB，AB∥CD， ∴GE∥CD， ∴∠1＝∠ADC， ∴∠1＝∠EGF． ∴AD∥GF， ∵GE∥AB，AB∥CD， ∴GE∥CD， ∴∠1＝∠D， ∴∠1＝∠EGF． ∴AD∥GF， 在四边形EGFD中，GE∥CD，AD∥GF， ∴四边形EGFD是平行四边形， ∴DF＝GE＝2.5cm ，∴CF＝CD﹣DF＝1.5cm， ∵平行四边形EGFD的面积为：DE•GH6（cm2）， ∴S△GDF6＝3（cm2）， ∴GE∥CD， ∴△CFG的边CF上的高与△GDF的边DF上的高相同， ∴， ∴S△CFGS△GDF1.8． 故答案为：1.8． 22．【解答】解：如图，连接AG，过点F作FN⊥AD，垂足为N， 则∠FNA＝∠FNE＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°， ∴四边形ABFN是矩形， ∴NF＝AB＝AD， 由折叠可知AG⊥EF， ∴∠GAE+∠AEF＝∠NFE+∠AEF＝90°， ∴∠GAE＝∠NFE， 又∵∠FNE＝∠D＝90°， ∴△ADG≌△FNE（ASA）， ∴AG＝EF， ∵ ∴， 设正方形边长为x，则AB＝AD＝CD＝x， ∵CG＝4， ∴DG＝CD﹣CG＝x﹣4， 在Rt△ADG中，AG2＝DG2+AD2， 即， ∴x2﹣8x+16+x2＝48， 2x2﹣8x﹣32＝0， x2﹣4x﹣16＝0， 解得：或（不合题意舍去）， ∴． 故答案为：． 23．【解答】解：如图，过M作MN⊥AP于N， ∴∠ANM＝∠ABC＝90°， ∵∠MAN＝∠CAB， ∴△AMN∽△ACB， ∴MN：BC＝AM：AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC10， ∵四边形PAQB是平行四边形， ∴AMAB＝3，PQ＝2PM， ∴MN：8＝3：10， ∴MN＝2.4， ∵PM≥MN， ∴PQ≥2MN＝4.8， ∴PQ的最小值是4.8． 故答案为：4.8． 24．【解答】解：如图，连接BE，延长FE交BA的延长线于H， ∵矩形ABCD中，，AD＝2，E为边AD的中点， ∴AE＝DE＝1，∠BAE＝∠D＝90°， ∵将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′， ∴ED＝ED′＝1，∠ED′F＝∠D＝90°，∠DEF＝∠D′EF， 则Rt△HAE≌Rt△FDE（ASA），DF＝AH， ∴BE， ∵BD′＝2， ∴， ∴△BED′为直角三角形， 设∠DEF＝α，则∠AEH＝∠DEF＝α，∠DED′＝2α， ∴∠AEB＝90°﹣2α，∠AHE＝90°﹣α， ∴∠HEB＝∠AHE＝90°﹣α， ∴△BHE为等腰三角形， ∴BH＝BE， ∴AH＝BH﹣AB， ∴DF＝AH， 故答案为：． 25．【解答】解：点（1，4）经过1次运算后得到点为（1×3+1，4÷2），即为（4，2）， 经过2次运算后得到点为（4÷2，2÷1），即为（2，1）， 经过3次运算后得到点为（2÷2，1×3+1），即为（1，4）， …， 发现规律：点（1，4）经过3次运算后还是（1，4）， ∵2024÷3＝674⋯2， ∴点（1，4）经过2024次运算后得到点（2，1）， 故答案为：（2，1）． 26．【解答】解：过点A作AF⊥PE于点F， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠D＝∠ABC＝30°，AD＝CD， ∴∠DAC75°， 由折叠可知：∠E＝∠D＝30°， ∴∠APE＝∠DAC﹣∠AEP＝45°， 在Rt△APF中，PF＝AP•cos∠APE， ∴PF＝AF＝2×cos45°， 在Rt△AEF中，tan∠AEP， ∴EF， ∴PE＝PF+EF， 故答案为：． 27．【解答】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6，则6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6，则需图②的个数：6×2＝12（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4，3，2的长方体，用4×3＝12个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体，此时需要：2×3×4×6＝144（个）． 故答案为：12；144． 28．【解答】GU解：由图2可知，当x＝a时，y取得最小值3，此时点P运动到点B， ∵点P与点B重合，且点Q是AP的中点， ∴， ∴AB＝6； ∵当x＝b时，y＝5，此时点P运动到点C， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵点Q是AC的中点， ∴， ∴AC＝10， ∴在Rt△ABC中，， ∴在矩形ABCD中，AD＝BC＝8，CD＝AB＝6． 延长BQ，CD，相交于点E， ∵点Q是AP的中点， ∴AQ＝PQ， ∵在矩形ABCD中，AB∥CD， ∴∠ABQ＝∠E，∠BAQ＝∠EPQ， ∴△ABQ≌△PEQ（AAS）， ∴BQ＝EQ，PE＝AB＝6． ∵点P是CD的中点， ∴， ∴CE＝CP+PE＝3+6＝9， 在矩形ABCD中，∠C＝90°， ∴在Rt△BCE中，， ∵BQ＝EQ， ∴， 故答案为：． 方法2：过Q点作MN∥AD交AB于M，交PD于N， ∴PNPD＝AM＝1.5，MQMNAD＝4，BM＝4.5， 在Rt△BQM中，BQ． 29．【解答】解：由x得， x（舍负）， 所以点A1坐标为（）， 则， 同理可得，，…， 所以． 因为A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An， 则， 所以． 因为k1＝1， 所以． 当n＝6时，k6＝36． 故答案为：36． 30．【解答】解：已知A1（1，﹣1），过点A1作x轴的垂线，交y于点A2， ∵作x轴垂线时，横坐标不变， ∴A2的横坐标x2＝1， 把x＝1代入y，得y21， ∴A2（1，1）． 过点A2作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A3，作y轴垂线时，纵坐标不变， ∴A3的纵坐标为y3＝1， 把y＝1代入y＝﹣x，得1＝﹣x，即x3＝﹣1， ∴x3＝﹣1， ∴A3（﹣1，1）， 过点A3作y轴的垂线，交y于点A4， 作x轴垂线时，横坐标不变， ∴A4的横坐标x4＝﹣1， 把x＝﹣1代入y，得y41， ∴A4（﹣1，﹣1）， 过点A4作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A5， 作y轴垂线时，纵坐标不变， ∴A5的纵坐标y5＝﹣1， 把y＝﹣1代入y＝﹣x，得﹣1＝﹣x，即x5＝1， ∴A5（1，﹣1）， ∴观察可得，每4个点为一个循环周期， ∴2025÷4＝506…1， ∴A2025坐标与A1相同， ∴A2025的坐标为（1，﹣1）， 故答案为：（1，﹣1）． 31．【解答】解：如图，过F作FH⊥AC于H， 由作图可得：∠BAP＝∠CAP，DE⊥AB，， ∵∠PQE＝67.5°， ∴∠AQF＝67.5°， ∴∠BAP＝∠CAP＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠FAH＝45°， ∴， ∴F到AN的距离为； 故答案为：． 32．【解答】解：设小正方形的边长为x， ∵a＝4，b＝2， ∴BD＝2+4＝6， 在Rt△BCD中，DC2+BC2＝DB2， 即（4+x）2+（x+2）2＝62， 整理得，x2+6x﹣8＝0， 而长方形面积为＝（x+4）（x+2）＝x2+6x+8＝8+8＝16 ∴该矩形的面积为16， 解法二：由题意得第一个矩形的左上角的三角形面积＝第二个矩形左上角的长方形的面积＝4×2＝8，所以原矩形面积为16 故答案为：16． 33．【解答】解：如图，过点A1作A1H⊥x轴于点H， ∵所有菱形都两两全等， ∴从A1开始，每8个点记为1组， ∵126＝8×15+6， ∴A126的位置和第1组中A6的位置相同， ∵∠A1OA3＝60°， ∴∠OA1H＝30°， ∵菱形OA1A2A3的边长为2， ∴OA1＝A1A2＝OA3＝2， ∴OHOA1＝1， ∴A1H， ∴A1（1，）， ∴A2（3，），A3（2，0）， 由平移得，A3A4＝2， ∴OA4＝OA3+A3A4＝4， ∴A4（4，0），A7（6，0）， ∵菱形OA1A2A3与菱形A4A5A6A7全等， 同理可得，A6（5，），A14（13，），A22（21，）， ∴A6+8n（5+8n，）， ∴A6+8×15（5+8×15，）， ∴A126（125，）． 故答案为：（125，）． 34．【解答】解：连接OE，如图： ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠OCE， ∴∠OEC＝∠BAC， ∴AB∥OE， ∴∠ABC＝∠EOC， ∵cos∠ABC， ∴cos∠EOC， ∵MN是⊙O的切线， ∴∠OEN＝90°， ∴， ∵ON＝10， ∴OE＝6， ∴OC＝OE＝6； 故答案为：6． 三．解答题（共18小题） 35．【解答】解：（1）设第x天的单价m元与x满足的一次函数关系式为：m＝kx+b， 由题中表格可知：当x＝1时，m＝50；当x＝2时，m＝48； ∴，解得， ∴m＝﹣2x+52， 故答案为：﹣2x+52； （2）根据题意可得：y1＝（﹣2x+52）（10x+10）﹣745， 化简整理得：， ∴A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式为：； （3）①由图象可知：二次函数的图象经过点（1，495）、（2，905）， ∴，解得， ∴y2＝﹣30x2+500x+25， 故答案为：y2＝﹣30x2+500x+25； ②50x2+1000x﹣200 ＝﹣50（x﹣10）2+4800， ∵﹣50＜0， ∴当x＝10时，y1+y2有最大值4800， ∴第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元； （4）由题可知：y2＞y1， ∴﹣30x2+500x+25＞﹣20x2+500x﹣225即﹣10x2＞﹣250， 解得：﹣5＜x＜5， ∵x取正整数， ∴1≤x≤4， ∴这15天中共有4天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大， 故答案为：4． 36．【解答】解：（1）∵点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上， ∴4a+2b﹣3＝﹣3， 解得：b＝﹣2a， ∴抛物线为：y＝ax2﹣2ax﹣3， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴m＝1； （2）∵点Q（1，﹣4）在y＝ax2﹣2ax﹣3的图象上， ∴a﹣2a﹣3＝﹣4， 解得：a＝1， ∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， 将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： y＝（x﹣1）2﹣4+5＝（x﹣1）2+1， ∵0≤x≤4， ∴当x＝1时，函数有最小值为1， 当x＝4时，函数有最大值为（4﹣1）2+1＝10 ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11； （3）∵y＝ax2﹣2ax﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）． ∴x1+x2＝2，， ∵， ∴， ∵4＜x2﹣x1＜6， ∴即， 解得：． 解法二：∵4＜x2﹣x1＜6，抛物线对称轴是直线x＝1， ∴2＜x2﹣1＜3， ∴3＜x2＜4， ∴当x＝3时，y＜0，x＝4时，y＞0， ∴ 解得：． 37．【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2﹣2ax+c 过点C（2，3），E（﹣2，0）， 得 ， 解得， ∴抛物线表达式为 ， 当 y＝0 时，， 解得 x1＝﹣2 （舍去），x2＝4， ∴F（4，0）； （2）设直线CE的表达式为 y＝kx+b， ∵直线过点C（2，3），E（﹣2，0）， 得 ， 解得 ， ∴直线CE的表达式为 ， 设点 ，则点Q向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点 ， 将 代入 ， 解得 t1＝﹣4，t2＝4 （舍去）， ∴Q点坐标为（﹣4，﹣6）； （3）将 E（﹣2，0）代入 y＝ax2﹣2ax+c 得c＝﹣8a， ∴y＝ax2﹣2ax﹣8a＝a（x﹣1）2﹣9a， ∴顶点坐标为 （1，﹣9a）， ①当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， ∴0＜﹣9a＜3， 解得 ， ②当抛物线与直线BC交点在点C上方，且与直线AD交点在点D下方时，与正方形有两个交点， ， 解得 综上所述，a的取值范围为 或 ． 38．【解答】解：（1）∵∠BAD＝∠ABC＝∠BDC＝90°， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴△ADB∽△DBC， ∴， ∵∠BAD＝90°，AD＝2，AB＝4， ∴， ∴， ∴； （2）①四边形DBA'F是矩形，理由如下， 由折叠的性质得∠A＝∠A'＝90°，∠ABD＝∠A'BD'， ∵∠ABD+∠DBC＝∠ABC＝90°， ∴∠A'BD＝∠A'BD'+∠DBC＝90°， ∴四边形DBA'F是矩形； ②方法一：延长AD和A'D'相交于点Q，连接BQ， 由折叠的性质得∠A＝∠A'＝90°，∠ABD＝∠A'BD'，∠EBD＝∠EBD'， ∵点A'恰好落在边BC上， ∴AB＝A'B＝4，∠ABA'＝90°， ∴四边形ABA'Q是矩形， ∵AB＝A'B＝4， ∴四边形ABA'Q是正方形， ∵∠ABE＝∠ABD+∠EBD＝∠A'BD'+∠EBD′＝∠A'BE＝0.5×90°＝45°， ∴点E在对角线BQ上， ∴DQ＝AQ﹣AD＝2，， ∵四边形ABA'Q是正方形， ∴AQ∥CB， ∴△DQE∽△CBE， ∴， ∴； 方法二：如图，延长AD交BE于点F， ∵∠ABD+∠ADB＝90°， ∠ABD+∠DBC＝90°， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵∠A＝∠BDC＝90°， ∴△ABD∽△DCB， ∵折叠， ∴△ABD≌△D'BA'， ∴， ∴， ∴CD＝4， ∴BC10， ∵折叠， ∴∠ABE＝∠A'BE， ∵AF∥A'B， ∴∠F＝∠EBC， ∴AF＝AB＝4， ∴DF＝2， ∴， ∴DE＝CD； （3）由折叠的性质得∠EBD＝∠EBD'，BD＝BD'， ∴BE是线段DD'的垂直平分线， ∴∠BPD＝90°， ∴点P在以BD为直径的⊙O上，连接OC，OP， ∴CP≥OC﹣OP，即点P在OC上时，线段CP存在最小值， ∵， 线段CP的最小值为． 39．【解答】解：（1）将B（8，0）代入y＝ax2x﹣6， ∴64a+22﹣6＝0， ∴a， ∴yx2x﹣6， 当y＝0时，t2t﹣6＝0， 解得t＝3或t＝8（舍）， ∴t＝3， ∵B（8，0）在直线y＝kx﹣6上， ∴8k﹣6＝0， 解得k； （2）作PM⊥x轴交于M， ∵P点横坐标为m， ∴P（m，m2m﹣6）， ∴PMm2m+6，AM＝m﹣3， 在Rt△COA和Rt△AMP中， ∵∠OAC+∠PAM＝90°，∠APM+∠PAM＝90°， ∴∠OAC＝∠APM， ∴△COA∽△AMP， ∴，即OA•MA＝CO•PM， 3（m﹣3）＝6（m2m+6）， 解得m＝3（舍）或m＝10， ∴P（10，）； （3）作PN⊥x轴交BC于N，过点N作NE⊥y轴交于E， ∴PNm2m﹣6﹣（m﹣6）m2+2m， ∵PN⊥x轴， ∴PN∥OC， ∴∠PNQ＝∠OCB， ∴Rt△PQN∽Rt△BOC， ∴， ∵OB＝8，OC＝6，BC＝10， ∴QNPN，PQPN， 由△CNE∽△CBO， ∴CNENm， ∴CQPQ＝CN+NQPQ＝CN+PN， ∴CQPQmm2+2mm2m（m）2， 当m时，CQPQ的最大值是． 40．【解答】（1）证明：设AC＝DE＝a， ∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°， ∴∠A＝∠C＝45°， ∴AB＝BC， ∵BM⊥AC， ∴， ∵∠EDF＝30°，EN⊥DF， ∴， ∴BM＝EN； （2）①证明：∵∠D＝30°，CN⊥DF， ∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°﹣30°＝60°， ∵α＝∠ACD＝30°， ∴∠ACN＝90°， ∵BM⊥AC， ∴∠PMC＝∠BMC＝90°， ∴四边形PMCN为矩形， ∵BM＝EN，即BM＝CN， 而BM＝CM， ∴CM＝CN， ∴四边形PMCN是正方形； ②解：当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为；当60°＜α＜120°时，线段MP，DP，CD的数量关系为．理由如下： 如图1，当30°＜α＜60°时，连接CP， 由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°， ∵CP＝CP， ∴Rt△PMC≌Rt△PNC（HL）， ∴PM＝PN， ∴MP+DP＝PN+DP＝DN， ∵∠D＝30°， ∴cosDcos30°， ∴； 如图2，当60°＜α＜120°时，连接CP， 由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°， ∵CP＝CP， ∴Rt△PMC≌Rt△PNC（HL）， ∴PM＝PN， ∴DN＝PN﹣DP＝MP﹣DP， ∵∠CDF＝30°， ∴cos∠CDFcos30°， ∴， 综上，当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为；当60°＜α＜120°时，线段MP，DP，CD的数量关系为． 41．【解答】解：（1）BD＝CE，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵AE是由AD绕点A逆时针旋转60°得到的， ∴∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即：∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）①由（1）得：∠DAE＝60°，AD＝AE，BD＝CE， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AE， ∴AE＝DE＝BE﹣BD＝BE﹣CE， 故答案为：AE＝BE﹣CE； ②如图， ∠BAD＝45°，理由如下： 连接AF，作AG⊥DE于G， ∴∠AGD＝90°， ∵F是BC的中点，△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形， ∴AF⊥BC，∠ABF＝∠ADG＝60°， ∴∠AFB＝∠AGD， ∴△ABF∽△ADG， ∴，∠BAF＝∠DAG， ∴∠BAF+∠DAF＝∠DAG+∠DAF， ∴∠BAD＝∠FAG， ∴△ABD∽△AFG， ∴∠ADB＝∠AGF＝90°， 由（1）得：BD＝CE， ∵CE＝DE＝AD， ∴AD＝BD， ∴∠BAD＝45°． 42．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣6与x轴交于点A，与y轴交于点C， 当x＝0时，y＝﹣6，当y＝0时，x＝﹣6， ∴A（﹣6，0），C（0，﹣6）， ∵抛物线与x轴的另一个交点为B，抛物线的对称轴为直线， ∴B（3，0）， 设抛物线解析式为 y＝a（x+6）（x﹣3），代入C（0，﹣6）， ∴﹣6＝﹣18a， 解得：， ∴； （2）∵A（﹣6，0），C（0，﹣6）， ∴OA＝OC＝6， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴∠ACO＝45°， 设直线AC的解析式为 y＝kx+b，代入A（﹣6，0），C（0，﹣6）， ， 解得：， ∴直线AC的解析式为 y＝﹣x﹣6， 如图，取点E（0，﹣3），F（﹣9，0）， 过点E，F分别作AC的平行线l1，l2过点E，F分别作AC的垂线，垂足分别为K，G， ∴∠GCF＝∠ECK＝∠ACO＝45°，EC＝FC＝3， ∴△ECK，△GCF是等腰直角三角形， ∴，FC， ∵点D到直线AC的距离为， ∴D在l1，l2上， ∵l1，l2平行AC，l1，l2的解析式分别为y＝﹣x﹣3，y＝﹣x﹣9， 联立， 消去y得，x﹣6＝﹣x﹣3， 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣3， 联立，消去y得，， 解得：x＝﹣3， ∵点D横坐标为t， ∴或或t＝﹣3； （3）∵yx﹣6， ∴H（）， 如图，过点P作PQ⊥HQ使得PQ＝2QH，则PH， ∴，tan∠PHQ＝2，， ∴， 过点O作ON⊥QH， 设HQ的延长线交x轴于点T，PH交x轴于点L，则∠TON＝90°﹣∠OTH＝∠PHQ， ∴， ∴当P在ON上时，取得最小值，最小值为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 43．【解答】解：（1）①以点O为坐标原点，以地面为x轴，建立如图所示的坐标系，如图， 则A（，），C（3，3）， ∵点C为最高点， ∴抛物线的顶点坐标为（3，3）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3， ∴a3， ∴a， ∴y（x﹣3）2+3， ∴y关于x的函数表达式为y； ②∵花枪下落过程中， ∴x≥3， 当ym时，， ∴x或x（不合题意，舍去）， 当ym时，， ∴x或x（不合题意，舍去）， ∴枪下落过程中，能接到的高度最大为m，最小为m，d的取值范围为． （2）∵花枪飞行高度h（m）与时间t（s）之间的关系式是h＝﹣5t2+7t（t＞0）， ∴花枪落地时h＝0， ∴﹣5t2+7t0， ∴t或t（不合题意，舍去）， ∴乙从开始抛出花枪，到花枪落地需要秒， 设丙的平均速度为vm/s， ∵乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪， ∴v≥5， ∴v， ∴丙的平均速度至少为 m/s． 44．【解答】解：（1）当a＝0，b＝3 时，二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）可化为：y＝x（x﹣0）+（x﹣0）（x﹣3）+x（x﹣3）＝3x2﹣6x， ∴此函数图象的对称轴为直线； （2）当 b＝2a时，二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）可化为：y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣2a）+x（x﹣2a）＝3x2﹣6ax+2a2， ∴抛物线对称轴为直线， ∵3＞0， ∴抛物线开口方向向上， ∵在0≤x≤1时，y随x的增大而减小， ∴a≥1， ∵在3≤x≤4时，y随x的增大而增大， ∴a≤3， ∴1≤a≤3； （3）若点A（a，y1），B（，y2），C（b，y3）均在该函数的图象上， ∴y1＝a（a﹣a）+（a﹣a）（a﹣b）+a（a﹣b）＝a2﹣ab， y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）＝3x2﹣2（a+b）x+ab， ∴ ， ； ∵y1+my2+y3＝0， ∴， 整理得：， ∵a，b为两个不相等的实数， ∴a﹣b≠0， ∴，解得：m＝4． 45．【解答】（1）证明：连接CD，如图所示： 根据旋转可得：∠CAD＝60°，AC＝AD， ∴△ACD为等边三角形， ∴CD＝AD，∠ACD＝60°， ∵∠EAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣60°＝60°， ∴∠EAD＝∠ACD， ∵AE＝CF， ∴△AED≌△CFD（SAS）， ∴DE＝DF； （2）解：，理由如下： ∵AH⊥AC， ∴∠HAF＝90°， ∴∠BAH＝∠BAC﹣∠HAF＝30°， ∴， ∵AB＝AC， ∴， ∴∠BAH＝∠C， ∵CF＝2AE， ∴， ∴， ∴△AEH∽△CFH， ∴，∠AHE＝∠CHF， ∴∠AHE+∠AHF＝∠AHF+∠CHF，即∠EHF＝∠AHC， ∵， ∴， ∴△EFH∽△ACH， ∴∠EFH＝∠C＝30°，∠HEF＝∠HAC＝90°， ∴∠EHF＝90°﹣30°＝60°， ∴， ∴； （3）解：延长CA，并取点N，使AN＝AF，过点G作GM⊥AN于点M，如图所示： 则∠GMA＝90°， ∵EG＝EF， ∴AE为△FGN 的中位线， ∴，AE∥GN， ∴∠GNA＝∠BAC＝120°， ∴∠GNM＝180°﹣120°＝60°， ∵AB＝6， ∴AC＝AB＝6， 设AE＝x，则 GN＝2AE＝2x，CF＝2AE＝2x，AN＝AF＝6﹣2x， ∵，， ∴，， ∴AM＝AN+MN＝6﹣2x+x＝6﹣x， 在Rt△AGM中，根据勾股定理得：AM2+GM2＝AG2， 即， 解得：x1＝2，x2＝1， ∴AE＝1或2． 46．【解答】解：（1）∵点O为AC的中点， ∴OA＝OC， ∵OF＝EO，∠AOF＝∠COE， ∴△AOF≌△COE（SAS）， ∴∠OAF＝∠C，AF＝CE， ∴AF∥BC， ∴∠ABC+∠DAF＝180°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠DAF＝90°； ∵AB＝6，BC＝8，DB＝3，BE＝4， ∴AD＝3，CE＝4， ∴AF＝4， ∴； 故答案为：； （2）①中的结论仍然成立，理由如下： ∵点O为AC的中点， ∴OA＝OC， ∵OF＝EO， ∴四边形AECF为平行四边形， ∴AF＝CE， ∴AF∥CE， ∴∠OAF＝∠C， ∵AB＝6，BC＝8，DB＝3，BE＝4， ∵， ∵∠DBE＝∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝∠CBE， ∴△ABD∽△CBE， ∴∠BAD＝∠BCE，， ∴∠DAF＝∠BAD+∠BAC+∠CAF＝∠BCE+∠BAC+∠ACE＝∠BAC+∠ACB＝90°，； ②在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴， 由①得四边形AECF为平行四边形， ∴四边形AECF的面积等于2S△AEC， ∴当S△AEC最小时，四边形AECF的面积最小， 即当E到AC的距离最小时，S△AEC最小，四边形AECF的面积最小， 如图，过点E作EM⊥AC于点M，连接BM，则当EM最小时，四边形AECF的面积最小， ∵BE+EM≥BM，BE＝4， ∴EM≥BM﹣4， 即当点B，E，M三点共线时，EM取得最小值，最小值为BM﹣4， 此时BM⊥AC时，BM最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①得：， ∴． 47．【解答】解：（1）①∠ACD， ②， 故答案为：∠ACD，； （2）△AEB是直角三角形， ∵∠ACE＝∠AFC，∠CAE＝∠FAC， ∴△ACF∽△AEC， ∴， ∴AC2＝AF•AE， 由（1）得 AC2＝AD•AB， ∴AF•AE＝AD•AB， ∴， ∵∠FAD＝∠BAE， ∴△AFD∽△ABE， ∴∠ADF＝∠AEB＝90°， ∴△AEB是直角三角形； （3）∵∠CEB＝∠CBD，∠ECB＝∠BCD， ∴△CEB∽△CBD， ∴． ∴CD•CE＝CB2＝24． 如图，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C，D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0＝6，交⊙A于D0，CD0＝4，∠CDD0＝90°， ∴CD0•CE0＝24＝CD•CE，则， ∵∠ECE0＝∠D0CD， ∴△ECE0∽ΔD0CD， ∴∠CDD0＝∠CE0E＝90°， ∴点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动， 过点B作BE'⊥E0E，垂足为E′，BE′即为最短的BE，连接CE′， ∵∠BCE0＝∠CE0E′＝∠BE′E0＝90°， ∴四边形CE0E'B是矩形， 在Rt△CE0E'中可求得CE′2， ∴CE＝2． 48．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝2，， ∴∠C＝90°，CD＝AB＝2，， ∴， ∴∠BDC＝60°， ∵∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°， ∴∠EAG﹣∠EAD＝∠BAD﹣∠EAD， 即∠DAG＝∠BAE， ∴△ADG∽△ABE， ∴； （2）如图2，过点F作FM⊥CG于点M， ∵∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，AE＝GF， ∴∠BAE＝∠DAG＝∠CGF，∠ABE＝∠GMF＝90°， ∴△ABE≌△GMF（AAS）， ∴BE＝MF，AB＝GM＝2， ∴∠MDF＝∠BDC＝60°，FM⊥CG， ∴， ∴， 设 DM＝x，则 ， ∴DG＝GM+MD＝2+x， 由（1）可知：， ∴， 解得 x＝1， ∴； （3）如图3，连接AC， 设AE＝EC＝x，则有x2＝（2x）2+22， 解得x， ∴sin∠AEB， ∴∠AEB＝60°， ∴∠AEC＝120°， 将△AEP绕点E顺时针旋转 120°，EA与EC重合，得到△CEP'，连接PP'， 矩形ABCD中，AD＝BC，AB＝2， ∴tan∠ACB， ∴∠ACB＝30°， ∴AC＝2AB＝4， ∵EA＝EC， ∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∠AEC＝120°， ∴∠ACG＝∠GAC＝90°﹣30°＝60°， ∴△AGC 是等边三角形，AG＝AC＝4， ∴PE＝EF＝AG＝4， ∵将△AEP绕点E顺时针旋转 120°，EA与EC重合，得到△CEP'， ∴PA＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4， ∴， ∴当点P，C，P′三点共线时，PA+PC 的值最小， 此时为 ． 49．【解答】解：（1）当点A在线段OE的垂直平分线上，则有AE＝AO， 根据题意可得：AN＝AC﹣DE＝2cm，EN＝tcm，AO＝2tcm， ∴AE＝AN+EN＝（2+t）cm， ∵点A在线段OE的垂直平分线上， ∴AE＝AO，即2+t＝2t， 解得：t＝2，符合题意， ∴当t为2秒时，点A在线段OE的垂直平分线上； （2）过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，连接CO， 则∠OGA＝∠BHO＝90°， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， 根据勾股定理得：AB10cm， ∴∠OGA＝∠BHO＝∠ACB＝90°，OB＝（10﹣2t）cm， ∴OG∥BC，OH∥AC， ∴，，即，， 解得：OG，OH， 由平移可知PC∥FD，且DE＝DF， ∴， ∴CP＝CE＝6﹣t， ∴S＝S△PCO+S△CEO ； （3）过点P作PM⊥OB于点M， ∴∠BMP＝∠ACB＝90°， ∵∠MBP＝∠ABC， ∴△BMP∽△BCA， ∴，即， ∴BM，PM， ∴OM＝AB﹣BM﹣AO＝102t＝10， ∵OQ⊥AB，△AOH与△AOQ关于直线AB对称， ∴tan∠OAQ，即， ∴OH＝OQ， ∵tan∠MOP，tan∠OBH， ∵PO∥BH， ∴∠MOP＝∠OBH， ∴， 解得t，故符合题意， ∴当t为秒时，PO∥BH． 50．【解答】解：（1）将A（3，1），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c， ， 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣2， ∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3， ∴当x＝1时，y取最小值，最小值为﹣3， ∴顶点G的坐标为（1，﹣3）． （2）a．当抛物线向右平移时，根据平移规律可得新抛物线解析式为：y＝（x﹣1﹣n）2﹣3， 对称轴为直线x＝n+1， ∵n＞0， ∴n+1＞1， 分情况讨论： ①当时，即时，如图： 直线x＝3与抛物线交点M纵坐标最大， 将x＝3，y＝8代入解析式得8＝（3﹣1﹣n）2﹣3， 解得，与矛盾，不合题意； ②当时，即时，如图： 直线x＝0与抛物线交点N纵坐标最大， 将x＝0，y＝8代入解析式得8＝（0﹣1﹣n）2﹣3， 解得，与矛盾，不合题意； ，符合题意； b．当抛物线向左平移时，根据平移规律可得新抛物线解析式为：y＝（x﹣1+n）2﹣3， 对称轴为直线x＝1﹣n， ∵n＞0， ∴1﹣n＜1， ∴当x＝3时，y取最大值8， 代入解析式得：8＝（3﹣1+n）2﹣3， 解得：，（舍）； 综上可知，或； （3）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 将A（3，1），B（0，﹣2）代入得，， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝x﹣2， 图象沿直线AB平移时，上下与左右平移的距离相等， 设向上，向右平移m个单位， ∴A′（3+m，1+m），G′（1+m，﹣3+m）， 由平移得AA′＝GG′，AA′∥GG′， ∴四边形A′AGG′是平行四边形， ∵线段AG′与A′G交于点M， ∴， a．如图，抛物线沿射线BA平移， ∵A（3，1），B（0，﹣2），G（1，﹣3）， ∴由勾股定理可得，，， ∴AB2+BG2＝AG2， ∴∠ABG＝90°，且， ∵， ∴∠BMG＝∠BAG， ∴A、B、G、M四点共圆，是在以AG为直径的圆上， ∵AG 中点P（2，﹣1），则， ∴， 即， 解得：或（舍）， ∴； b．如图，抛物线沿射线AB平移， 作A关于B点对称点A''（﹣3，﹣5）， 则可同理证明∠A''BG＝90°，且， ∵， ∴∠BMG＝∠BA''G， ∴A''、B、G、M四点共圆，在以A''G为直径的圆上， ∵A''G中点P'（﹣1，﹣4），则， ∴， 即， 解得：（舍）或， ∴； 综上所述：或． 51．【解答】解：（1）∵抛物线 y＝x2+bx+c过点A（0，2），B（2，2）， 得 ， 解得 ， ∴抛物线C1的表达式为y＝x2﹣2x+2； ∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， ∴顶点D（1，1）； （2）如图1，连接DE，过点E作EG∥y轴，交AD延长线于点G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，与y轴交于 H'， 设点E的横坐标为t． 设直线AD的表达式为y＝kx+b， 由题意知 ， 解得 ， ∴直线AD的表达式为 y＝﹣x+2， 则E（t，t2﹣2t+2），G（t，2﹣t）， ∴EG＝t2﹣t， ∵▱ADFE的面积为12， ∴S△ADES△四边形ADFE6， ∴S△ADE＝S△AGE﹣S△DGE， ∵H′D＝1， ∴EG＝12， ∴t2﹣t＝12， 解得t1＝4，t2＝﹣3 （舍）， ∴E（4，10）， ∵点E先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点F， ∴F（5，9）， 将F（5，9）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1）， 得m2﹣11m+18＝0， 解得m1＝2，m2＝9， （3）如图3，过M作MP⊥x轴，垂足为P，过点D作DK∥y轴，过点Q作QK∥x轴，与DK交于点K， 设 M（h，h2﹣2h+2），则N（n，0）， ∵y＝x2﹣2mx+m2+2﹣m＝（x﹣m）2+2﹣m， ∴抛物线C2的顶点Q（m，2﹣m）， ∴DK＝|1﹣（2﹣m）|＝|m﹣1|，KQ＝|m﹣1|， ∴DK＝KQ，∠DQK＝45°， ∵MN∥DQKQ∥NP， ∴∠MNP＝∠DQK＝45°， ∴∠NMP＝45°， ∴MP＝NP， ∴n﹣h＝h2﹣2h+2， ∴n＝h2﹣h+2＝（h）2， ∴当时，， ∴点N横坐标最小值为，此时点N到直线BD距离最近，△BDN的面积最小， 最近距离即边BD上的高，高为：， ∴△BDN面积的最小值为S△BDN． 52．【解答】解：（1）∵△ABC∽△ADE， ∴， ∴，， ∵点D，E分别在边AB和AC上， ∴BD＝AB﹣AD，CE＝AC﹣AE， ∴， 故答案为：； （2）①∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ∴； ②∠BAC＝∠BFC，证明如下： 连接AF， 由①得△BAD∽△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE，即∠ABF＝∠ACF， ∴点A、B、C、F四点共圆， ∴∠BAC＝∠BFC； （3）①∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴， ∵△AFG∽△ABE， ∴∠AFG＝∠ABC＝90°，∠FAG＝∠BAE，∠AGF＝∠AEB， ∵点F在线段CB的延长线上， ∴∠AGF＝∠AEF， ∴点A、F、G、E四点共圆， ∴∠AFG+∠AEG＝180°， ∴∠AEG＝90°， ∵， ∴， ∵∠FAG＝∠BAE， ∴， ∴， 设FG＝2x，则 AF＝3x， 由勾股定理得AF2+FG2＝AG2， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴EF＝BF+BE＝5； 解法2：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴， ∵△AFG∽△ABE， ∴∠AFG＝∠ABC＝90°，∠FAG＝∠BAE，∠AGF＝∠AEB， ∵点F在线段CB的延长线上， ∴∠AGF＝∠AEF， ∴点A、F、G、E四点共圆， ∴∠AFE＝∠AGE， ∵AG为直径， ∴∠AEG＝90°， 当AE＝GE时，∠AGE＝∠AFE＝45°， ∵FB＝AB＝3， ∴FE＝FB+BE＝5； ②∵主动点F在直线BC上， ∴从动点G必须在某一直线上， ∵当点F在点B时，点G在点E的位置， ∴点G在直线EG上运动， 当CG1⊥EG时，CG 的长度最小，为CG1，此时点F在F1处， 由①得∠AEG＝90°， ∴∠AEB+∠BEG＝∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠BEG＝∠BAE， ∵∠BEG＝∠CEG1， ∴∠BAE＝∠CEG1， ∴， ∴， 设，则EG1＝3a， 由勾股定理得， ∴（2a）2+（3a）2＝（6﹣2）2， 解得（负值不符合题意舍去）， ∴，， 作G1M⊥BC于M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ΔAF1G1∽△ABE， ∴∠AF1G1＝∠ABE＝90°， ∴∠G1ME＝∠ABE＝90°， ∵∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠G1EM＝90°， ∴∠BAE＝∠G1EM， ∴△ABF1∽△F1MG1， ∴， ∴， ∴， ∴或BF1＝2（此时点F和点E重合，不符合题意，舍去）， 综上所述，当CG的长度最小时，此时BF的长为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $