【5年中考压轴真题】2022～2026年江苏省南京市选择题、填空题、解答题汇编

**基本信息** 5年南京中考压轴真题汇编，覆盖代数几何核心知识，梯度设计适配一轮复习 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|函数性质、三角形面积（秦九韶问题）、统计平均|结合商场促销等生活情境，基础与中档题结合| |填空题|10|二次函数、圆与正六边形、折叠问题|融入数学文化（算术平方根推导），动态几何（旋转角度计算）| |解答题|10|函数平移、自旋转位似变换、抛物线拱桥|设计跨学科情境（影长函数、月食模拟），综合考查逻辑推理与模型应用|

【5年中考压轴真题】2022~2026年江苏省南京市选择题、填空题、解答题汇编 一．选择题（共10小题） 1．（2024•南京）·【较易】某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件A商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件A商品与1件B商品，立减了30元．若B商品的单价是整数元，则它的最小值是（　　） A．1元 B．99元 C．101元 D．199元 2．（2026•南京）·【较易】跳绳成绩，甲组平均96个，乙组平均100个，丙组平均104个，最后全部平均成绩102个，问哪组人数最多（　　） A．甲组人数最多 B．乙组人数最多 C．丙组人数最多 D．三组人数一样多 3．（2023•南京）·【较易】我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在△ABC中，AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，则△ABC的面积是（　　） A．80平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里 4．（2022•南京）·【较易】已知实数a，b，a＞b，下列结论中一定正确的是（　　） A．|a|＞|b| B． C．a2＞b2 D．a3＞b3 5．（2024•南京）·【较易】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E．若AB＝15，BC＝17，则AD的长为（　　） A．8 B．8.5 C．5 D．9 6．（2025•南京）·【中档】如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿y轴翻折；②沿函数y＝x+2的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转45°；④绕点（1，﹣1）按顺时针方向旋转90°．其中，能使函数y＝2x+4的图象经过一种变换后过点P（2，2）的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2023•南京）·【中档】如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（　　） A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm 8．（2022•南京）·【中档】直三棱柱的表面展开图如图所示，AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 9．（2025•南京）·【中档】实数在数轴上对应点的位置如图所示．下列四个点中，表示1的点可能是（　　） A．P B．Q C．R D．S 10．（2026•南京）·【中档】如图，在菱形ABCD中，∠B＝54°，现将菱形ABCD绕点B逆时针旋转16°得菱形A′BC′D′，连接DD′，则∠D′DC＝（　　） A．108° B．109° C．110° D．111° 二．填空题（共10小题） 11．（2024•南京）·【较易】阅读材料：由6+25+1+221+12，可知6+2的算术平方根是1．类似地，16﹣6的算术平方根是　 　 ． 12．（2026•南京）·【中档】二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m的取值范围为　 　 ． 13．（2023•南京）·【中档】如图，⊙O与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于点C，F．若AB＝2，则⊙O的半径长为 　 　 ． 14．（2022•南京）·【中档】如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的3个外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度数之比为1：2：4，则∠D＝　 　 °． 15．（2025•南京）·【中档】如图，扇形OAB的圆心角为260°，若点P在该扇形内，则∠APB的度数的范围是 　 　 ． 16．（2024•南京）·【中档】已知4是关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 　 　 ，　 　 ． 17．（2023•南京）·【中档】如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝　 　 cm． 18．（2022•南京）·【中档】如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列：（0，0），（1，0），（0，1），（2，0），（1，1），（0，2），（3，0），（2，1），（1，2），（0，3），（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），…，按这个规律，则（6，7）是第 　 　 个点． 19．（2025•南京）·【中档】如图，点E，F在矩形ABCD内，Rt△ABE≌Rt△CDF．若AB＝25，AD＝30，AE＝15，则EF的长为　 　 ． 20．（2026•南京）·【较难】如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，以A、B两点为端点作圆弧，使得弧AB上所有的点都落在△ABC的边界及内部，则弧AB所对的圆心角∠AOB的取值范围是　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•南京）·【中档】（1）将函数y＝﹣x2+2的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与y轴交点的纵坐标是　 　 ． （2）平移函数y＝﹣x2+2的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y＝kx+2的图象上．设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m，与y轴交点的纵坐标为n，n随m的变化而变化． ①若k＝2，当0≤m≤3时，求n的取值范围． ②设函数y＝kx+2的图象与x轴、y轴的交点分别为A，B，点P在线段AB上．当k取不同值时，下列关于n的变化趋势的描述：（a）n随m的增大而增大；（b）n随m的增大而减小；（c）n随m的增大先增大后减小；（d）n随m的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是　 　 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 22．（2024•南京）·【中档】（1）如图（1），点E，F分别在正方形ABCD边AB，CD上，连接EF．求作GH，使点G，H分别在边BC，AD上（均不与顶点重合），且GH⊥EF． （2）已知点P，Q，R，S的位置如图（2）所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同的方法求作该正方形过点P的边所在的直线． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 23．（2024•南京）·【较难】如图（1），夜晚，小明从路灯L的正下方P1处出发，先沿平路走到P2处，再上坡到达P3处．已知小明的身高为1.5m，他在道路上的影长y（单位：m）与行走的路程x（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，OA，BC是线段，AB是曲线． （1）结合P2的位置，解释点A的横坐标、纵坐标的实际意义． （2）路灯L的高度是　 　 m． （3）设P2P3的坡角为α（0°＜α＜45°）． ①通过计算：比较线段OA与线段BC的倾斜程度． ②当α取不同的值时，下列关于曲线AB的变化趋势的描述；（a）y随x的增大而增大；（b）y随x的增大而减小；（c）y随x的增大先增大后减小；（d）y随x的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是　 　 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 24．（2023•南京）·【较难】在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度θ（0°＜θ＜180°），再将旋转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作T（A，顺θ，k）；若逆时针旋转，记作T（A，逆θ，k）． 例如：如图①，先将△ABC绕点B逆时针旋转50°，得到△A1BC1，再将△A1BC1以点B为位似中心缩小到原来的，得到△A2BC2，这个变换记作T（B，逆50°，）． （1）如图②，△ABC经过T（C，顺60°，2）得到△A′B′C，用尺规作出△A′B′C．（保留作图痕迹） （2）如图③，△ABC经过T（B，逆α，k1）得到△EBD，△ABC经过T（C，顺β，k2）得到△FDC，连接AE，AF．求证：四边形AFDE是平行四边形． （3）如图④，在△ABC中，∠A＝150°，AB＝2，AC＝1．若△ABC经过（2）中的变换得到的四边形AFDE是正方形． Ⅰ．用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； Ⅱ．直接写出AE的长． 25．（2023•南京）·【较难】如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为D，分别交直线BC，于点E，F，射线AF交直线BC于点G． （1）求证AC＝CG． （2）若点E在CB的延长线上，且EB＝CG，求∠BAC的度数． （3）当BC＝6时，随着CG的长度的增大，EB的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由． 26．（2022•南京）·【较难】如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E是AD上一点，AE＝2．F是AB上的动点，连接EF，G是EF上一点，且为常数，k≠0）．分别过点F、G作AB、EF的垂线相交于点P．设AF的长为x，PF的长为y． （1）若，则y的值是 　 　 ； （2）求y与x之间的函数表达式； （3）在点F从点A到点B的整个运动过程中，若线段CD上存在点P，则k的值应满足什么条件？直接写出k的取值范围． 27．（2022•南京）·【较难】在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称． （1）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，CD⊥AB，垂足为D．下列3对三角形：①△ABC和△ACD；②△BAC和△BCD；③△DAC和△DCB．其中成自位似轴对称的是 　 　 ；（填写所有符合要求的序号） （2）如图3，已知△ABC经过自位似轴对称变换得到△ADE，Q是DE上一点，用直尺和圆规作点P，使P与Q是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； （3）如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点．∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，连结DE，求证：DE∥AC． 28．（2026•南京）·【较难】如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是AB的中点且AC＝CB＝10m，CD＝10m．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为331m，已知山顶F到点A的水平距离为364m． （1）请建立适当的直角坐标系，并求出该抛物线形拱桥的函数表达式． （2）若一人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为2m，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且PQ＝1.6m，请判断人眼在点Q处能否直接看到山顶F，并说明理由． （3）下列结论中，正确的是　 　 ． ①在挑桥的AD段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等； ②在拱桥的BD段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； ③人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近； ④人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近． 29．（2026•南京）·【难】背景材料：模拟“月食”变化 已知圆O的圆心为O（0，0），半径为3，另有一圆M，半径为2．当t＝0时，圆M的圆心为（﹣4，3），圆M以每分钟1个单位长度的速度沿着x轴正方向运动，在运动过程中，将圆M中未被圆O覆盖的部分称为“亮面”，当亮面再次变为一个完整的圆时，圆M停止运动，示意图如图所示： （1）判断下面命题是否正确，并说明理由． ①亮面始终为轴对称图形； ②当t＝8时，亮面再次为完整的圆； ③在整个运动过程中，亮面的面积始终不小于圆M面积的； （2）画出亮面面积S关于运动时间t的大致图象，并简述理由． 30．（2025•南京）·【难】某纸杯的尺寸（单位：cm）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片ABCD（可以看作扇形纸片OAD剪去扇形纸片OBC后剩余的部分）． （1）的长为　 　 cm，OB＝　 　 cm． （2）记a×b表示两边长分别为a，b（a≤b，单位：cm）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片ABCD的一张矩形纸片，它的一边与相切，点B，C在对边上，点A，D分别在另外两边上，直接写出a，b的值． ②用一张18.2×25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD吗？说明理由． ③若一张15×b的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD，写出求b的范围的思路（无需算出最终结果）． 【5年中考压轴真题】2022~2026年江苏省南京市选择题、填空题、解答题汇编 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C D D B A B C B 一．选择题（共10小题） 1．【答案】A 【解答】解：∵每满100元立减10元，立减20元，说明消费金额满了2个100元， ∴2件A商品的原价满足：200≤2A＜300， ∵乙在该商场单笔购买2件A商品与1件B商品，立减了30元，说明消费金额满了3个100元， ∴2件A商品与1件B商品的原价满足：300≤2A+B＜400， ∴299≤2A＜300时，B最小为1即可， 故选：A． 2．【答案】C 【解答】解：设甲组x人，乙组y人，丙组z人，根据题意得： ， ∴102x+102y+102z＝96x+100y+104z， ∴6x+2y＝2z， ∴丙组人数最多． 故选：C． 3．【答案】C 【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D， 设BD＝x里，则CD＝（14﹣x）里， 在Rt△ABD中，AD2+x2＝132， 在Rt△ADC中，AD2＝152﹣（14﹣x）2， ∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2， 132﹣x2＝152﹣196+28x﹣x2， 解得x＝5， 在Rt△ABD中，AD12（里）， ∴△ABC的面积BC•AD14×12＝84（平方里）， 故选：C． 4．【答案】D 【解答】解：A．由a＞b，如1＞﹣2，但|1|＜|﹣2|，那么|a|＞|b|不正确，故A不符合题意． B．由a＞b，如2＞1，但，那么不正确，故B不符合题意． C．由a＞b，如1＞﹣2，但12＜（﹣2）2，那么a2＞b2不正确，故C不符合题意． D．由a＞b，则a3＞b3，那么C正确，故D符合题意． 故选：D． 5．【答案】D 【解答】解：连接BE，作DH⊥BC于点H，则∠BHD＝∠CHD＝90°， ∵AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E，AB＝15，BC＝17， ∴AB＝EB＝15，AD⊥AB，CD⊥EB，AD＝ED， ∴∠BAD＝∠BEC＝90°， ∴CE8， ∵AD∥BC， ∴∠ADH＝∠CHD＝90°， ∵∠BAD＝∠ADH＝∠BHD＝90°， ∴四边形ABHD是矩形， ∴BH＝AD，DH＝AB＝15， ∴CH＝BC﹣BH＝17﹣AD， ∵DH2+CH2＝CD2，且CD＝CE+ED＝8+AD， ∴152+（17﹣AD）2＝（8+AD）2， 解得AD＝9， 故选：D． 6．【答案】B 【解答】解：①点P（2，2）关于y轴的对称点为（﹣2，2），把x＝﹣2代入y＝2x+4得，y＝2×（﹣2）+4＝0≠2， ∴函数y＝2x+4的图象沿y轴翻折后不过点P（2，2）； ②设点P（2，2）关于直线y＝x+2的对称点Q为（a，b），则点（，）在直线y＝x+2上， ∴2， ∴b＝a+4， ∴对称点为（a，a+4）， ∵直线PQ与直线y＝x+2垂直， ∴设直线PQ为y＝﹣x+t， 则，解得a＝0， ∴对称点为（0，4）， 当x＝0时，y＝2x+4＝4， ∴函数y＝2x+4的图象沿函数y＝x+2的图象翻折后过点P（2，2）； ③点P（2，2）绕原点按逆时针方向旋转45°得到（0，2）， 当x＝0时，y＝2x+4＝4， ∴函数y＝2x+4的图象绕原点按顺时针方向旋转45°后不过点P（2，2）； ④点P（2，2）绕点（1，﹣1）按逆时针方向旋转90°得到（﹣2，0）， 当x＝﹣2时，y＝2x+4＝0， ∴函数y＝2x+4的图象绕点（1，﹣1）按顺时针方向旋转90°过点P（2，2）； 故选：B． 7．【答案】A 【解答】解：如图：过点B作BC⊥AH，垂足为C， ∵OH⊥AC，BC⊥AC， ∴∠AHO＝∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝∠OAH， ∴△AOH∽△ABC， ∴， ∴， 如图：过点A作AD⊥BH，垂足为D， ∵OH⊥BD，AD⊥BD， ∴∠OHB＝∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝∠OBH， ∴△ABD∽△OBH， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴1， 解得：OH＝36， ∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm， 故选：A． 8．【答案】B 【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，四边形AMNB是正方形，立方体是直三棱柱， ∴CQ＝5， ∴折叠成直三棱柱后CM， 折叠成直三棱柱后CP， 折叠成直三棱柱后CN， ∵5， ∴与点C距离最大的是点N． 故选：B． 9．【答案】C 【解答】解：由数轴图可知﹣a＜a， ∴0＜a＜1， ∴表示1的点在表示a的点与表示的点之间，即可能是点R． 故选：C． 10．【答案】B 【解答】解：连接BD、BD′，DD′，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠ADC＝∠ABC＝54°， ∴∠BDC∠ADC＝27°， ∵菱形ABCD绕点B逆时针旋转16°得菱形A′BC′D′， ∴BD′＝BD，∠D′BD＝16°， ∴∠BDD′＝∠BD′D（180°﹣16°）＝82°， ∴∠D′DC＝∠BDD′+∠BDC＝82°+27°＝109°． 故选：B． 二．填空题（共10小题） 11．【答案】． 【解答】解：16﹣6 ＝9+7 ， ∴16﹣6的算术平方根是， 故答案为：． 12．【答案】m＜﹣1． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2）， ∴a﹣b＝m且a+b＝m+2， ∴2a＝2m+2． ∴a＝m+1＜0． ∴m＜﹣1． 故答案为：m＜﹣1． 13．【答案】． 【解答】解：连接CF，OC，OF，过D作DG⊥CF于G，过E作EH⊥CF于H， ∴EH∥DG， ∵EF，CD是⊙O的切线， ∴∠OFE＝∠OCD＝90°， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠FED＝∠CDE＝120°， ∴∠COF＝120°， ∵OC＝OF， ∴∠OCF＝∠OFC＝30°， ∴∠EFH＝∠DCG＝60°， ∵∠EHF＝∠DGC＝90°，CD＝EF， ∴△CDG≌△FEH（AAS）， ∴FH＝CG，EH＝DG， ∴四边形EHGD是矩形， ∴HG＝DE＝2， ∵EF＝CD＝2，∠DCG＝∠EFH＝∠OFE﹣∠OFH＝60°， ∴FH＝CGEF＝1， ∴CF＝4， 过O作OM⊥CF于M， ∴CMCF＝2， ∴OC， ∴⊙O的半径长为， 故答案为：． 14．【答案】72． 【解答】解：如图，延长ED到H， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠ADC＝∠BAD+∠BCD＝180°， 又∵∠EAB，∠FBC，∠GCD的度数之比为1：2：4， ∴∠EAB，∠FBC，∠GCD，∠CDH的度数之比为1：2：4：3， ∵∠EAB+∠FBC+∠GCD+∠CDH＝360°， ∴∠CDH＝360°108°， ∴∠ADC＝180°﹣108°＝72°， 故答案为：72． 15．【答案】50°＜∠APB＜140°． 【解答】解：延长BO交⊙O于点D，设点P在OA上，连接BP，AD，如图1所示： 依题意得：∠AOB＝100°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOB＝80°， 根据圆周角定理得：∠D＝50°，∠B＜40°， ∴∠APB＜∠B+∠AOB，即∠APB＜140°， 又∵∠APB＞∠AOB＞∠D， ∴∠APB＞50°， ∵50°＜∠APB＜140°， ∵点P在该扇形内， ∴50°＜∠APB＜140°． 故答案为：50°＜∠APB＜140°． 16．【答案】2，4． 【解答】解：关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）中，x﹣2＝0或ax2+bx+c＝0， 即x＝2或ax2+bx+c＝0， ∵4是关于x的方程（x﹣2）（ax2+bx+c）＝0（a，b，c是有理数，a≠0）的一个根， ∴a（4）2+b（4）+c＝0， 整理得：31a+4b+c﹣（8a+b）0， ∵a，b，c都是有理数， ∴8a+b＝0，31a+4b+c＝0， ∴b＝﹣8a，c＝a， ∴ax2﹣8ax+a＝0， 解得：x＝4±， ∴另一个根为4； 故答案为：2，4． 17．【答案】． 【解答】解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°， ∵CF＝4cm，FB′＝1cm， ∴B′C＝CF+FB′＝4+1＝5（cm）， 由折叠得BC＝B′C＝5cm，∠BCE＝∠B′CE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D， ∵CB′⊥AD于点F， ∴∠BCB′＝∠CFD＝90°， ∴∠BCE＝∠B′CE∠BCB′90°＝45°，DF3（cm）， ∴∠HEC＝∠BCE＝45°， ∴CH＝EH， ∵sinB＝sinD，cosB＝cosD， ∴CH＝EHBE，BHBE， ∴BEBE＝5， ∴BEcm， 解法二：延长DA交CE的延长线于点M． ∵AD∥CB， ∴∠M＝∠MCB， ∵∠MCB＝∠MCF＝45°， ∴∠M＝∠MCF＝45°， ∴CF＝FM＝4cm， ∵AD＝BC＝B′C＝5cm，FD＝3cm， ∴AF＝2cm， ∴AM＝2cm， ∵， ∴EB5（cm）． 故答案为：． 18．【答案】99． 【解答】解：横纵坐标和是0的有1个点， 横纵坐标和是1的有2个点， 横纵坐标和是2的有3个点， 横纵坐标和是3的有4个点， ……， 横纵坐标和是n的有（n+1）个点， ∴6+7＝13， ∵1+2+……+12+1313×（13+1）＝91， ∴横纵坐标和是13的有14点，分别为：（13，0）、（12，1）、（11，2）、（10，3）、（9，4）、（8，5）、（7，6）、（6，7）、（5，8）、（4，9）、（3，10）、（2，11）、（1，12）、（0，13）、 ∴（6，7）是第91+8＝99个点， 故答案为：99． 19．【答案】． 【解答】解：延长AE交DF于点H，如图， 在Rt△ABE中，BE20， ∵Rt△ABE≌Rt△CDF， ∴AE＝CF＝15，BE＝DF＝20，∠BAE＝∠DCF， ∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠DCF+∠FDC＝90°， ∴∠DAE＝∠FDC， ∵∠FDC+∠ADF＝90°， ∴∠DAE+∠ADF＝90°， ∴∠AHD＝90°， ∴∠AHD＝∠DFC＝90°， ∵∠DAE＝∠FDC， ∴△AHD∽△DFC， ∴， ∴， ∴AH＝24，DH＝18， ∴EH＝AH﹣AE＝9，FH＝DF﹣DH＝2， ∴EF． 故答案为：． 20．【答案】0°＜∠AOB≤100°． 【解答】解：如图， 由题意可知OA＝OB， 则圆心O点在AB的垂直平分线上；然后， 当∠OAC＜90°，会与AC线段有2个交点，当∠OBC＜90°，会与BC线段有2个交点， ∴要使得上所有点落在△ABC的边界及内部，只要使∠OAC≥90°且∠OBC≥90°， 当∠OAC≥90°时，∠OAB≥∠OAC﹣∠BAC＝90°﹣50°＝40°， ∴∠AOB≤180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝100°． 综上，0°＜∠AOB≤100°； 故答案为：0°＜∠AOB≤100°． 三．解答题（共10小题） 21．【答案】（1）﹣2； （2）①n的取值范围是﹣1≤n≤3；②（a）（b）． 【解答】解：（1）由“左加右减”的原则可知，将函数y＝﹣x2+2的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2， 令x＝0，则y＝﹣2，即平移后的图象与y轴交点的坐标为（0，﹣2）． 故答案为：﹣2； （2）∵平移函数y＝﹣x2+2的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y＝kx+2的图象上，设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m 则平移后的得到为（m，km+2）， ∴平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣m）2+km+2， 当x＝0时，与y轴交点的纵坐标n＝﹣m2+km+2， ①若k＝2，则n＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3， ∴n是关于m的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线m＝1， ∵m＝3时，n＝﹣（3﹣1）2+3＝﹣1，m＝1时，n＝3， ∴当0≤m≤3时，n的取值范围是﹣1≤n≤3； ②∵函数y＝kx+2的图象与x轴、y轴的交点分别为A，B， ∴A（，0），B（0，2）， ∴当k＜0时，0≤m， ∵n＝﹣m2+km+2， ∴对称轴为直线m0， ∴当m时，n随m的增大而减小， ∵m≥0， ∴n随m的增大而减小， 当k＞0时，m≤0， ∵n＝﹣m2+km+2， ∴对称轴为直线m0， ∵m≤0， ∴n随m的增大而增大， 故可能的序号是（a）（b）． 故答案为：（a）（b）． 22．【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】解：（1）如图，分别以点E，F为圆心，大于为半径画弧，连接交点，交BC于点G，交AD于点H，点G，H即为所求； （2）方法一：如图，连接QS，过点P作PF⊥QS，取PF＝QS，连接FR，作PJ∥FR，则PJ为正方形点P的边所在的直线，过点Q作PJ垂线，过点S作PJ垂线，所得的四边形为P，Q，R，S所在的正方形； 方法二：连接PS，QR，作以PS，QR为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点M，点N，连接MN交两圆于点H，点K，过点Q作PH直线的垂线QL，过点R作SH直线的垂线RT， ∴LH⊥HT，QL⊥LH，RT⊥HT， ∵∠QKR＝90°， ∴LQ，RT交于点K， ∴四边形LKTH是R，Q，P，S所在的正方形， ∴LH为该正方形点P的边所在的直线． 23．【答案】（1）横坐标：小明走到灯下6m处，纵坐标：此时影长为2m，影长的顶端正好在P2处； （2）6； （3）①线段OA的倾斜程度更大；②（a）（b）（c）． 【解答】解：（1）由题意得：A（6，2）， 横坐标：小明走到灯下6m处，纵坐标：此时影长为2m，影长的顶端正好在P2处； （2）由题意得：， 解得：x＝6， ∴路灯L的高度是6m， 故答案为：6； （3）①∵A（6，2）， ∴kOA， EF为小明在坡上任意一点， ∴此时，BF＝（x﹣8）m，影长FC＝ym，P1G＝8tanα m， ∵EF∥LG， ∴， ∴， ∵cosα， ∴BG， ∴CG， ∴， 整理得：， ∴， ∵， ∴kBC＜kOA， ∴线段OA的倾斜程度更大； ②A：小明走到灯下6m处，影子正好顶端在P2处， B：小明走到灯下8m处，到达P2， 可以看出AB段先增大后减小， ∴当α取不同的值时，可能出现（a）（b）（c）的情况， 故答案为：（a）（b）（c）． 24．【答案】（1） △A′B′C就是求作的三角形； （2）证明：∵△EBD和△ABC位似，△FDC与△ABC位似， ∴∠EBD＝∠ABC，，， ∴∠EBA＝∠DBC， ∴△EBA∽△DBC， ∴， ∴， ∴AE＝DF， 同理可得：DE＝AF， ∴四边形AFDE是平行四边形； （3）Ⅰ 四边形AFDE是正方形， Ⅱ． 【解答】（1）解：如图1， 1．以B为圆心，BC为半径画弧，以C为圆心，BC为半径画弧，两弧在BC的上方交于点D，分别以A，C为圆心，以AC为半径画弧，两弧交于点E， 2．延长CD至B′，使DB′＝CD，延长CE至A′，使A′E＝CE，连接A′B′， 则△A′B′C就是求作的三角形； （2）证明：∵△EBD和△ABC位似，△FDC与△ABC位似， ∴∠EBD＝∠ABC，，， ∴∠EBA＝∠DBC， ∴△EBA∽△DBC， ∴， ∴， ∴AE＝DF， 同理可得：DE＝AF， ∴四边形AFDE是平行四边形； （3）解：Ⅰ如图2， 1．以BC为边在BC上方作等边三角形GBC， 2．作等边三角形BCG的外接圆O，作直径BD，连接CD， 3．作∠DBE＝∠ABC，∠BDE＝∠ACB，延长BA，交⊙O于F，连接CF，DF， 则四边形AFDE是正方形， Ⅱ证明：由上知：△EBA∽△DBC，△FAC∽△DBC， ∴∠BAE＝∠DCB，∠FAC＝∠DBC，，， ∴∠BAE+∠FAC＝∠DCB+∠DBC， 要使▱AFDE是正方形，应使∠EAF＝90°，AE＝AF， ∴∠BAE+∠FAC+∠BAC＝270°，BD＝2CD， ∴∠BAE+∠FAC＝270°﹣∠BAC＝270°﹣150°＝120°， ∴∠DBC+∠DCB＝120°， ∴∠BDC＝60°， ∴作等边△BCG，保证∠BDC＝∠G＝60°，作直径BD，保证BD＝2CD，这样得出作法； ∵∠ABE＝∠DBC＝30°，∠EAB＝∠BCD＝90°，AB＝2， ∴AEAB． 25．【答案】（1）见证明过程； （2）36°； （3）见说明过程． 【解答】（1）证明：过A作直径AM， ∵AB＝AC， ∴AM⊥BC， ∴∠E+∠EOM＝90°， ∵AC⊥EF， ∴∠OAD+∠AOD＝90°， ∴∠E＝∠OAD， ∵OA＝OF， ∴∠OAD+∠DAF＝∠AFO＝∠E+∠G， ∴∠DAF＝∠G， AC＝CG； （2）解：∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴∠BAM＝∠CAM， 设∠BAM＝∠CAM＝2α， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC）＝90°﹣2α， ∵AC＝CG， ∴∠CAG＝∠CGA＝45°﹣α， ∴∠BAG＝2α+2α+45°﹣α＝45°+3α， 如图：过A作直径AM，交BC于点H，连接AE， ∵EF⊥AC，又EF过圆心， ∴EF垂直平分AC， ∴EC＝AE， ∵BH＝HC，又EB＝CG， ∴HE＝HG， ∴AM垂直平分EG， ∴AE＝AG， ∴EC＝AG， ∵EB＝CG， ∴EB+BC＝BC+CG， ∴EC＝BG， ∴AG＝BG， ∴∠BAG＝∠ABG， ∴45°+3α＝90°﹣2α， ∴α＝9°， ∴∠BAC＝4α＝36°； （3）答：当CG＝6，BE＝0； 当CG≥6时，BE随CG的增大而增大； 当3＜CG＜6时，BE随CG的增大而减小． 说明：①当BE＝0时，即点E与B重合， 在△BOH和△AOD中， ， ∴△BOH≌△AOD（AAS）， ∴AD＝BH＝3， ∴AC＝2AD＝6， ∴AB＝AC＝BC＝6， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°， ∴∠CAG＝30°，∠CAG+∠G＝60°， ∴∠G＝30°＝∠CAG， ∴CA＝CG＝6； ②当CG≥6时，如图： ∵∠E＝∠CAH，∠EDC＝∠AHC＝90°， ∴△ACH∽△ECD， ∴， ∴， ∴， ∴BECG2﹣6， ∴BE随CG的增大而增大． ③当3＜CG＜6时，如图， ∵∠ACM＝∠DCE，∠EDC＝∠AMC＝90°， ∴△AMC∽△EDC， ∴， ∴， ∴， ∴BECG2+6， ∴BE随CG的增大而减小． 综上所述： 当CG≥6时，BE随CG的增大而增大； 当3＜CG＜6时，BE随CG的增大而减小． 26．【答案】（1）5； （2）ykx2+2k． （3）． 【解答】解：（1）∵PF⊥AF， ∴∠AFP＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴∠A+∠AFP＝180°， ∴AD∥FP， ∴∠AEF＝∠PFG， ∵AE＝2，AF＝x＝4， ∴EF2， ∵k， ∴FGEF， ∵cos∠PFG＝cos∠AEF， ∴， ∴， ∴PF＝5， 故答案为：5； （2）∵PF⊥AB， ∴∠PFA＝90°， ∴∠PFG+∠AFE＝90°， 在矩形ABCD中，∠A＝90°，在Rt△EAF中，∠A＝90°， ∴∠AEF+∠AFE＝90°， ∴∠PFG＝∠AEF， ∵PG⊥EF， ∴∠PGF＝90°， ∴∠A＝∠PGF， ∴△PGF∽△FAE， ∴， ∴GF•EF＝PF•AE， 在Rt△EAF中，∵AE＝2，AF＝x， ∴EF2＝AE2+AF2＝22+x2＝4+x2， ∵， ∴GF＝kFE， ∴kEF2＝PF•AE， ∴ykx2+2k． （3）∵线段CD上存在点P， ∴y＝6， 6， 则k， ∵0≤x≤10，4≤x2+4≤104， ∴， ∵，点G在EF上， ∴k≤1， ∴． 27．【答案】（1）过程详见解答； （2）过程详见解答； （3）过程详见解答． 【解答】（1）解：如图1， 故答案为：①②； （2）解：（方法一）如图3﹣1， （Ⅰ）分别在AE和AD的延长线上截取AC′＝AC，AB′＝AB，连接B′C′， （Ⅱ）作射线AQ，交B′C′于点P′， （Ⅲ）连接BC′，CB′，交于点O，作射线AO， （Ⅳ）作P′P⊥AO，交BC于点P， 则点P就是Q点变换前的对应点， （方法二）如图3﹣2， 以点A为圆心，AE为半径画弧交AC于E′，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于D′，以点D′为圆心，DQ为半径画弧，交D′E′于Q′，连接AQ′，延长AQ′，交BC于P， 则点P就是求作的点； （3）证明：如图4， （方法一）延长BE，交AC于F， ∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD， ∴△ABE∽△ACD， ∴， ∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE+∠DAE＝∠CAD+∠DAE， ∴∠BAD＝∠FAE， ∵∠AEF＝∠ABE+∠BAE，∠ADB＝∠CAD+∠C， ∴∠AEF＝∠ADB， ∴△EAF∽△DAB， ∴， ∴， ∵点D是BC的中点， ∴CD＝BD， ∴BE＝EF， ∴DE∥AC， （方法二）∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD， ∴△ABE∽△ACD， ∴， ∵∠BAF＝∠BAC， ∴△ABF∽△ACB， ∴， ∴， ∵BD＝CD， ∴， ∴DE∥AC． 28．【答案】（1）抛物线形拱桥的函数表达式为：（﹣10≤x≤10）； （2）确实存在这样一个M点（横坐标为﹣1）； （3）①． 【解答】解：（1）以点C为原点，以AB所在直线为x轴，以CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则：A（﹣10，0），B（10，0），D（0，10）， 因为抛物线顶点为D（0，10）， 设抛物线为：y＝ax2+10， 把 A（﹣10，0）代入：0＝a•102+10， ， 所以抛物线形拱桥的函数表达式为：（﹣10≤x≤10）； （2）由（1）可知点A坐标为 （﹣10，0）， 且点P到点A的水平距离为2m，因为P在桥上且在A的右侧， 所以P的横坐标是：xp＝﹣10+2＝﹣8，将 x＝﹣8代入抛物线， 得：， 所以 P（﹣8，3.6）， 眼睛Q在P正上方1.6m， 所以Q（﹣8，5.2）， 点A（﹣10，0），山顶到点A的水平距离为364m（在右侧）， 所以xF＝﹣10+364＝354， 由于山高331m， 所以F（354，331）， 根据 Q（﹣8，5.2），F（354，331）， 可求得直线QF方程为：y＝0.9x+12.4， 设视线高度为y1＝0.9x+12.4， 桥面高度为y210， 所以y1﹣y2＝（0.9x+12.4）﹣（10）， h（x）＝0.1x2+0.9x+2.4， 令y＝0.1（x2+9x）+2.4， 配方可得：y＝0.1（x+4.5）2+0.375， 所以y1﹣y2≥0.375＞0， 所以视线QF在拱桥范围内的每一个点上，都比拱桥高出至少0.375m， 即视线完全在拱桥上方，没有任何遮挡．所以，人眼在点Q处能直接看到山顶F； （3）①设拱桥AD段上任意一点M的横坐标为x（﹣10≤x≤0）， 由抛物线， 人站在M点，眼睛在正上方1.6m处， 所以眼睛坐标为Q'（x，11.6） 从点Q'看山顶F（354，331）， 所以仰角α的正切为：， 由于点P（﹣8，3.6），眼睛Q（﹣8，5.2）， 从Q看山顶F，其仰角为β， 所以， 令tanα＝tanβ，解方程：， 化简得：（x+1）（x+8）＝0， 解得：x＝﹣1，或x＝﹣8，当x＝﹣8正好是点P的横坐标， x＝﹣1在AD段内（因为﹣10≤﹣1≤0），且与P不重合， 所以确实存在这样一个M点（横坐标为﹣1）； ②在拱桥的BD段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等这个结论是错误的， 根据结论①的推导，我们解出的两个使仰角相等的点， 横坐标分别为：x＝﹣8 和 x＝﹣1这两个点都在AD段（即x≤0的左侧）， 而BD段对应的是0≤x≤10， 在BD段内，没有任何一个x能满足上述方程， 所以，拱桥的BD段上不存在这样的点； ③用反例说明： 当人位于点D时，x＝0，眼睛坐标为（0，11.6）． 到F（354，331）的距离平方为： ， 此时眼睛坐标为（5，11.6），即（5，9.1）， 到F的距离平方为：（354﹣5）2+（331﹣9.1）2＝3492+321.92， 比较3542+319.42﹣3492﹣321.92 ＝（3542﹣3492）+（319.42﹣321.92） ＝（354﹣349）（354+349）+（319.4﹣321.9）（319.4+321.9） ＝5×703+（﹣2.5）×641.3 ＝3515﹣1603.25＝1911.75＞0， 也就是说，在x＝5处时，眼睛到山顶的距离比在点D处更近， 既然存在比D点更近的位置，那么点D是最近点的说法就不成立； ④同样用反例说明：当人位于点B时，x＝10，眼睛坐标为（10，1.6）， 到F的距离平方为： 仍然拿x＝5时的距离来比较：此时眼睛坐标为（5，9.1）， 到F的距离平方为：（354﹣5）2+（331﹣9.1）2＝3492+321.92， 所以3442+329.42﹣3492﹣321.92 ＝（3442﹣3492）+（329.42﹣321.92） ＝（344﹣349）（344+349）+（329.4﹣321.9）（329.4+321.9） ＝（﹣5）×693+7.5×651.3 ＝﹣3465+4884.75 ＝1419.75＞0， 也就是说，在x＝5处时，眼睛到山顶的距离比在点B处更近， 既然存在比D点更近的位置，那么点D是最近点的说法就不成立； 故答案为：①． 29．【答案】（1）圆M的运动轨迹如图， 则M1（0，3），M2（4，3）， ①两圆相交，相交部分或非相交部分均为轴对称图形， 则亮面始终为轴对称图形，且过O、M的直线为对称轴； 故①正确，符合题意； ②当t＝8时，圆M运动到圆M2的位置， 此时与初始位置对称，此时亮面再次为完整的圆； 故②正确，符合题意； ③由圆M的运动轨迹可知，当圆M运动到圆M1时，此时重叠部分面积最大，则亮面的面积最小， 如图，设两圆交于点E、F，连接EF，交y轴于点G，连接OE， 则OM垂直平分EF， 当M（﹣4，3）时，圆M与圆O相切， ∴此时OM＝5， ∴圆M的半径为2， 设MG＝x，则OG＝3﹣x， 在Rt△EMG中，EG2＝ME2﹣MG2＝22﹣x2， 在Rt△EOG中，EG2＝OE2﹣OG2＝32﹣（3﹣x）2＝6x﹣x2， ∴22﹣x2＝6x﹣x2， 解得x，即MG， ∴cos∠EMG， ∵cos60°，且， ∴∠EMG＞60°，则∠EMF＞120°， ∴亮面的圆心角则小于240°， 此时亮面的面积小于圆M面积的； 故③错误，不符合题意； （2）亮面面积S关于运动时间t的大致图象如图， 理由：①由第一问可知当t＝0和t＝8时，亮面为完整的圆，即圆M的面积， ∴S最大＝πr2＝4π， ②由对称性可知对称轴为t＝4， 同时由（1）③可知此时S最小值． 【解答】解：（1）圆M的运动轨迹如图， 则M1（0，3），M2（4，3）， ①两圆相交，相交部分或非相交部分均为轴对称图形， 则亮面始终为轴对称图形，且过O、M的直线为对称轴； 故①正确，符合题意； ②当t＝8时，圆M运动到圆M2的位置， 此时与初始位置对称，此时亮面再次为完整的圆； 故②正确，符合题意； ③由圆M的运动轨迹可知，当圆M运动到圆M1时，此时重叠部分面积最大，则亮面的面积最小， 如图，设两圆交于点E、F，连接EF，交y轴于点G，连接OE， 则OM垂直平分EF， 当M（﹣4，3）时，圆M与圆O相切， ∴此时OM＝5， ∴圆M的半径为2， 设MG＝x，则OG＝3﹣x， 在Rt△EMG中，EG2＝ME2﹣MG2＝22﹣x2， 在Rt△EOG中，EG2＝OE2﹣OG2＝32﹣（3﹣x）2＝6x﹣x2， ∴22﹣x2＝6x﹣x2， 解得x，即MG， ∴cos∠EMG， ∵cos60°，且， ∴∠EMG＞60°，则∠EMF＞120°， ∴亮面的圆心角则小于240°， 此时亮面的面积小于圆M面积的； 故③错误，不符合题意； （2）亮面面积S关于运动时间t的大致图象如图， 理由：①由第一问可知当t＝0和t＝8时，亮面为完整的圆，即圆M的面积， ∴S最大＝πr2＝4π， ②由对称性可知对称轴为t＝4， 同时由（1）③可知此时S最小值． 30．【答案】（1）9π；18； （2）①a＝（27﹣9）cm，b＝27（cm）； ②用一张18.2×25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD，理由： 将扇环纸片ABCD按如图所示放置，AB在矩形的边AG上，延长AB，DC，延长线交于点O，过点D作DE⊥AG于点E，过点C作CF⊥AG于点F， 由题意得：∠O＝60°，OB＝OC＝18cm，OA＝OD＝OE＝18+9＝27cm，AB＝CD＝9cm， ∴DE＝OD23.38（cm），OFOC＝9cm，FC＝OC•sin60°＝915.59（cm）， ∴AF＝OA﹣OF＝27﹣9＝18（cm）， ∵18＜18.2，23.38＜25.7， ∴AF＜AG＝18.2cm，DE＜GH＝25.2cm， ∴用一张18.2×25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD． ③设15×b的矩形纸片为矩形MNKS，MS＝NK＝15cm，将扇环纸片ABCD如图放置，使点A在MS边上，点B在KS边上，点D在NK边上，与边MN相切于点P， 则此时的b值最小，若求b的范围，则此时的MN为b的最小值． 延长AB，DC，延长线交于点O，连接OP，OP交SK于点H，过点D作DE⊥OP于点E，过点A作AF⊥OP于点F，设OD交SK于点G， 由题意得：∠AOD＝60°，OB＝OC＝18cm，OP＝OA＝OD＝OE＝18+9＝27（cm），AB＝CD＝9cm， ∵与边MN相切于点P， ∴OP⊥MN， ∵DE⊥OP，AF⊥OP，四边形MNKS为矩形， ∴四边形PNDE，四边形AFPM，四边形PNKH为矩形， ∴PN＝DE，MP＝AF，PH＝NK＝15cm， ∴b＝MN＝MP+PN＝AF+DE，OH＝OP﹣PH＝12（cm）． ∴求得AF，DE的值即可求得b的最小值； 由于OA＝OD＝27cm，解Rt△OAF和Rt△ODE即可求得结论． 【解答】解：（1）由题意得：的长为9πcm，的长为6πcm， 设∠AOD＝∠BOC＝n°，OB＝OC＝rcm，则OA＝（OD＝r+9）cm， ∴， ∴， ∴OB＝18cm． 故答案为：9π；18； （2）①延长AB，CD，延长线交于点O，设矩形的边与相切于点E，连接OE，交BC于点F，如图， 则OE⊥GN， ∵四边形GHMN为矩形， ∴四边形GHFE，MNEF为矩形， ∴a＝GH＝EF， 由题意得：OB＝OC＝18cm，OA＝OD＝OE＝18+9＝27cm，∠AOD＝∠BOC＝60°，AB＝CD＝9cm， ∴△OBC为等边三角形， ∴BC＝OB＝18cm，OF＝9cm，∠OBC＝∠OCB＝60°， ∴∠ABH＝∠OBC＝60°，∠DCM＝∠OCB＝60°， ∴BHAB＝4.5cm，CMCD＝4.5cm， ∴a＝EF＝OE﹣OF＝（27﹣9）cm， b＝GN＝HM＝HB+BC+CM＝4.5+18+4.5＝27（cm）． ②用一张18.2×25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD，理由： 将扇环纸片ABCD按如图所示放置，AB在矩形的边AG上，延长AB，DC，延长线交于点O，过点D作DE⊥AG于点E，过点C作CF⊥AG于点F， 由题意得：∠O＝60°，OB＝OC＝18cm，OA＝OD＝OE＝18+9＝27cm，AB＝CD＝9cm， ∴DE＝OD23.38（cm），OFOC＝9cm，FC＝OC•sin60°＝915.59（cm）， ∴AF＝OA﹣OF＝27﹣9＝18（cm）， ∵18＜18.2，23.38＜25.7， ∴AF＜AG＝18.2cm，DE＜GH＝25.2cm， ∴用一张18.2×25.7的矩形纸片可以剪出扇环纸片ABCD． ③设15×b的矩形纸片为矩形MNKS，MS＝NK＝15cm，将扇环纸片ABCD如图放置，使点A在MS边上，点B在KS边上，点D在NK边上，与边MN相切于点P， 则此时的b值最小，若求b的范围，则此时的MN为b的最小值． 延长AB，DC，延长线交于点O，连接OP，OP交SK于点H，过点D作DE⊥OP于点E，过点A作AF⊥OP于点F，设OD交SK于点G， 由题意得：∠AOD＝60°，OB＝OC＝18cm，OP＝OA＝OD＝OE＝18+9＝27（cm），AB＝CD＝9cm， ∵与边MN相切于点P， ∴OP⊥MN， ∵DE⊥OP，AF⊥OP，四边形MNKS为矩形， ∴四边形PNDE，四边形AFPM，四边形PNKH为矩形， ∴PN＝DE，MP＝AF，PH＝NK＝15cm， ∴b＝MN＝MP+PN＝AF+DE，OH＝OP﹣PH＝12（cm）． ∴求得AF，DE的值即可求得b的最小值； 由于OA＝OD＝27cm，解Rt△OAF和Rt△ODE即可求得结论． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $