【5年中考压轴真题】2022～2026年黑龙江省选择题、填空题、解答题汇编

**基本信息** 2022-2026年黑龙江省中考数学压轴真题汇编，含选择、填空、解答题各15题，聚焦二次函数、几何图形（菱形/正方形）、动态问题等核心考点，适配一轮复习重难点突破。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15题|二次函数性质、几何图形判定、动态轨迹|分层标注难度（较易/中档/较难），如第8题函数图像应用（较易）、第2题菱形综合证明（较难）| |填空题|15题|规律探究、图形旋转、新定义问题|结合黑龙江地域命题特色，如第16题“友好三角形”规律探究| |解答题|15题|二次函数综合、几何动态综合、存在性问题|注重多知识点融合，如第31题二次函数平移与几何最值综合，体现中考压轴题命题趋势|

【5年中考压轴真题】2022~2026年黑龙江省选择题、填空题、解答题汇编 一．选择题（共15小题） 1．（2026•齐齐哈尔）·【中档】如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B（m，0）（3＜m＜4）．下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③b2＝4a（c﹣n）；④若点P（t，y1），Q（3﹣t，y2）（t）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，则y1＞y2；⑤若OA＝OB，则关于x的方程ax2+（b+1）x＝0的两根之和为c．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2026•黑龙江）·【较难】如图，在菱形ABCD中，DE垂直平分BC，∠EDF∠ADC，DF，DE分别交对角线AC于G，H两点，下列结论：①连接EF，则△DEF为等边三角形；②过点G作GN⊥AD于点N，则GN＝GF；③AG＝GH＝CHEF；④M为边AB上任意一点，连接MD和ME，若S△BME：S△DEC＝4：5，则有S△DAM：S菱形ABCD＝1：10；⑤逆时针旋转∠FDE，使射线DF与边AB交于点P，射线DE与边BC交于点Q，若CQ，AP＝2，则PQ．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 3．（2026•绥化）·【中档】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，5），与x轴交于A（m，0），B两点，其中2＜m＜3．则下列结论：①0；②b+4a＝0；③a﹣b+3c＞0；④； ⑤方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0（k为常数）有实数根． 其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2025•大庆）·【较难】如图，在正方形ABCD中，，点E，F分别在线段AB，BC上，，连接EF，AC．过点E，F分别作线段AC的垂线，垂足分别为G，H．动点P在△ACD内部及边界上运动，四边形EFHG，△PEG，△PEF，△PFH，△PGH的面积分别为S0，S1，S2，S3，S4，若点P在运动中始终满足3S0＝S1+S2+S3+S4，则满足条件的所有点P组成的图形长度为（　　） A．2 B． C．4 D．2π 5．（2025•绥化）·【中档】如图，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3．则下列结论：①a﹣c＞0；②方程ax2+bx+c﹣5＝0没有实数根；③b＜﹣2；④0．其中错误的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025•黑龙江）·【较难】如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE＝BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①MN＝AF；②∠EAH＝∠EHA；③EN•BF＝EC•HN；④若BF：FC＝3：4，则tan∠FAC；⑤图中共有5个等腰三角形．其中正确的结论是（　　） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 7．（2024•大庆）·【中档】如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N′，则△MBN′周长的最小值为（　　） A．15 B．5+5 C．10+5 D．18 8．（2024•哈尔滨）·【较易】一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，当x＝9min时，y＝（　　） A．36L B．38L C．40L D．42L 9．（2024•绥化）·【中档】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中：①0；②am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）；③3a+c＜1；④若M（x1，y）、N（x2，y）是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤﹣3．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2023•大庆）·【中档】如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，已知点P在边AB上，以1m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以m/s的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动．图2是△BPQ的面积y（m2）与点P的运动时间t（s）之间的函数关系图象（点M为图象的最高点），则平行四边形ABCD的面积为（　　） A．12m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2 11．（2023•哈尔滨）·【较易】一条小船沿直线从A码头向B码头匀速前进，到达B码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回A码头，在整个过程中，这条小船与B码头的距离s（单位：m）与所用时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从A码头到B码头的速度和从B码头返回A码头的速度分别为（　　） A．15m/min，25m/min B．25m/min，15m/min C．25m/min，30m/min D．30m/min，25m/min 12．（2023•齐齐哈尔）·【中档】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①abc＞0；②b＝2a；③3a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；⑤若点（m，y1）（﹣m+2，y2）均在该二次函数图象上，则y1＝y2．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 13．（2022•大庆）·【中档】函数y＝[x]叫做高斯函数，其中x为任意实数，[x]表示不超过x的最大整数．定义{x}＝x﹣[x]，则下列说法正确的个数为（　　） ①[﹣4.1]＝﹣4；②{3.5}＝0.5；③高斯函数y＝[x]中，当y＝﹣3时，x的取值范围是﹣3≤x＜﹣2； ④函数y＝{x}中，当2.5＜x≤3.5时，0≤y＜1． A．0 B．1 C．2 D．3 14．（2022•哈尔滨）·【较易】一辆汽车油箱中剩余的油量y（L）与已行驶的路程x（km）的对应关系如图所示．如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为（　　） A．150km B．165km C．125km D．350km 15．（2022•绥化）·【中档】如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的一个动点，连接BP，CP，过点B作射线，交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE＝∠CBP，如果AB＝2，BC＝5，AP＝x，PM＝y，其中2＜x≤5．则下列结论中，正确的个数为（　　） （1）y与x的关系式为y＝x；（2）当AP＝4时，△ABP∽△DPC；（3）当AP＝4时，tan∠EBP． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二．填空题（共15小题） 16．（2026•齐齐哈尔）·【较易】数学活动课上，同学们把底角为30°的等腰三角形称为“友好三角形”，并利用“友好三角形”进行规律探究．如图，在平面直角坐标系中，点A1在经过原点的直线l上，OA1＝1，点B1在x轴正半轴上，△A1OB1是以OB1为底边的“友好三角形”，以A1B1为底边向右作“友好三角形A1B1C1”；过点C1作A1B1的平行线，分别交直线l和x轴正半轴于点A2，B2，以A2B2为底边向右作“友好三角形A2B2C2”；过点C2作A2B2的平行线，分别交直线l和x轴正半轴于点A3，B3，以A3B3为底边向右作“友好三角形A3B3C3”…按此规律，点C2026的纵坐标为　 　 ． 17．（2026•黑龙江）·【较难】如图，B1是直线l：yx+2与y轴的交点，过点B1作A1B1⊥l交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…，按照这个规律进行下去，则点∁n的纵坐标为　 　 ． 18．（2026•绥化）·【中档】已知△ABC是腰长为4的等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF，点E，F的对应点分别是点C，D，连接CF．当CF∥AB时，则CF的长为　 　 ． 19．（2025•大庆）·【中档】定义：若点A（m，n），点A1（﹣m，﹣n）都在同一函数图象上，则称点A和点A1为该函数的一组“奇对称点对”，记为[A，A1]．规定：[A，A1]与[A1，A]为同一组“奇对称点对”．例如：点B（1，2）和点B1（﹣1，﹣2）都在一次函数y＝2x的图象上，则点B和点B1为一次函数y＝2x的一组“奇对称点对”，记为[B，B1]． 下列说法正确的序号为 　 　 ． ①点A（1，1），点A1（﹣1，﹣1），则点A和点A1为二次函数y＝x2+x﹣1的一组“奇对称点对”； ②反比例函数有无数组“奇对称点对”； ③点C（1，2），点C1（﹣1，﹣2），若[C，C1]为函数y＝ax2+bx﹣1的一组“奇对称点对”，则a＝2，b＝2； ④由函数y＝﹣x在x＜0范围内的图象与函数y＝﹣x2+2x﹣k（k＞0）在x≥0范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是． 20．（2025•绥化）·【较难】在边长为7的等边三角形ABC中，点D在AB上，BD＝2．点M是直线BC上的一个动点，连接MD，以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND，连接BN．当△BND为直角三角形时，则CM的长是　 　 ． 21．（2025•黑龙江）·【中档】如图，在平面直角坐标系中，直线yx+3交x轴于点A，交y轴于点B．四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，A3A4B4C4，⋯都是正方形，顶点A1，A2，A3，A4，⋯都在x轴上，顶点B1，B2，B3，B4，⋯都在直线yx+3上，连接BA1，B1A2，B2A3，B3A4，⋯分别交C1B1，C2B2，C3B3，C4B4，⋯于点D1，D2，D3，D4，⋯．设△BB1D1，△B1B2D2，△B2B3D3，△B3B4D4，⋯的面积分别为S1，S2，S3，S4，⋯，则S2025＝　 　 ． 22．（2024•大庆）·【较难】定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”y＝3x+1，其“倍值点”为（﹣1，﹣2）．下列说法不正确的序号为 　 　 ． ①函数y＝2x+4是“倍值函数”； ②函数y的图象上的“倍值点”是（2，4）和（﹣2，﹣4）； ③若关于x的函数y＝（m﹣1）x2+mxm的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是m； ④若关于x的函数y＝x2+（m﹣k+2）x的图象上存在唯一的“倍值点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，则k的值为． 23．（2024•哈尔滨）·【中档】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，∠CDG∠AOB，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若AO＝6EF，DE，则DF的长为 　 　 ． 24．（2024•绥化）·【较难】在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点E在直线AD上，且DE＝2cm，则点E到矩形对角线所在直线的距离是 　 　 cm． 25．（2023•大庆）·【较难】如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°），得到△AB′C′，使∠BAC+∠B′AC′＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 　 　 ． ①△ABC与△AB′C′面积相同；②BC＝2AD；③若AB＝AC，连接BB′和CC′，则∠B′BC+∠CC′B′＝180°；④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，则B′C′＝10． 26．（2023•哈尔滨）·【中档】如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，连接AE，BE，F为BE的中点，连接CF，若 CF，，则AE的长为 　 　 ． 27．（2023•齐齐哈尔）·【中档】如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1；过点B1作B1A2⊥AB于点A2，过点A2作A2B2⊥x轴于点B2；过点B2作B2A3⊥AB于点A3，过点A3作A3B3⊥x轴于点B3；…；按照如此规律操作下去，则点A2023的坐标为 　 　 ． 28．（2022•大庆）·【中档】如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的两个动点，且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍．连接DE，DF分别与对角线AC交于点M，N，给出如下几个结论：①若AE＝2，CF＝3，则EF＝4；②∠EFN+∠EMN＝180°；③若AM＝2，CN＝3，则MN＝4；④若2，BE＝3，则EF＝4．其中正确结论的序号为 　 　 ． 29．（2022•哈尔滨）·【较易】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为 　 　 ． 30．（2022•绥化）·【中档】在长为2，宽为x（1＜x＜2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为 　 　 ． 三．解答题（共15小题） 31．（2026•齐齐哈尔）·【较难】综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a＜0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，作直线AC，BC，点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）求PE的最大值及PE最大时点P的坐标； （3）如图2，若将抛物线y＝ax2+bx+4沿射线AC方向平移个单位长度，得到新抛物线，点Q为新抛物线上一点，且∠CBQ＝∠ACB，则点Q的坐标为　 　 ； （4）当PE最大时，作直线OE，若点M为直线BC上的一个动点，连接OM，将线段OM绕点O顺时针旋转90°得到OM′，取OM′的中点N，过点N作NF⊥OE，垂足为F，连接AN，PF，则AN+PF的最小值为　 　 ． 32．（2026•黑龙江）·【难】如图，在平面直角坐标系中，▱AOBC的AO边与x轴重合，点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，OA，OC的长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＜OC）． （1）求点A和点C坐标； （2）在OB边上有一动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OB方向匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒1.6个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B匀速运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q运动到点B时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t秒，求△APQ的面积S关于运动时间t的函数解析式； （3）在x轴上有一点R（1，0），在y轴上有一动点M，在第一象限内是否存在一点N，使得以M，N，R，B四点为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由． 33．（2026•绥化）·【较难】综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究． 在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC上的动点． 【观察感知】（1）如图1，当点E，F运动到AE＝BF时，连接AF，BE．求证：△ABE≌△BAF． 【探索发现】（2）如图2，连接AC，点M是AC上的一点，CM：AM＝1：2，连接AF，BE，AF与BE相交于点G，连接GM．当BE平分∠ABC，AF平分∠BAC时，且AB+AC＝2BC，试求出GM与FC的数量关系，并说明你的理由． 【问题拓展】（3）如图3，当AB＝2，BC＝8时，作直线EF，若直线EF将矩形ABCD分成周长相等的两部分，过点D作DH⊥EF于点H，连接AH．当矩形的边AD与直线EF的夹角成60°时，请你直接写出∠DAH的正切值．（自行完成作图并作答） 34．（2025•大庆）·【较难】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过坐标原点O及点，过点A作射线AM平行于y轴（点M在点A上方），点F坐标为（0，1），连接AF并延长交抛物线于点E，射线AB平分∠FAM，过点A作AB的垂线l交y轴于点T． （1）求二次函数的表达式； （2）判断直线l与二次函数y＝ax2+bx+c的图象的公共点的个数，并说明理由； （3）点P（m，0）为x轴上的一个动点，且∠APE为钝角，请直接写出实数m的取值范围． 35．（2025•绥化）·【难】综合与探究 如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝kx﹣5经过B、C两点，若点A（1，0），B（﹣5，0），点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当PE＝3ED时，求P点坐标； （3）若点F是直线BC上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（2025•黑龙江）·【较难】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，tan∠COA，OA的长是一元二次方程x2﹣3x﹣18＝0的根，过点C作CQ⊥OA交OA于点Q，交对角线OB于点P．动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OA向终点A运动，动点N从点B以每秒个单位长度的速度沿BO向终点O运动，M、N两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）求点P坐标； （2）连接MN、PM，求△PMN的面积S关于运动时间t的函数解析式； （3）当t＝3时，在对角线OB上是否存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 37．（2024•大庆）·【难】如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），点M为抛物线顶点，点E为AB中点． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线BC上方的抛物线上存在点Q．使得∠QCB＝2∠ABC，求点Q的坐标； （3）已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点． ①若点F与点C重合，D（m，﹣12），且m＞1，求证：D，E，F三点共线； ②若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 38．（2024•哈尔滨）·【难】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yx2+bx+c经过点O（0，0），与x轴正半轴交于点A，点A坐标（3，0）． （1）求b，c的值； （2）如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接PA，PO，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，t＝﹣2，点D在OA上，DF⊥OA，交PA于点C，CF＝CD，点E在第二象限，连接EC，EC⊥CD，连接ED，过点E作ED的垂线，交过点F且平行AC的直线于点G，连接DG交AC于点M，过点A作x轴的垂线，交EC的延长线于点B，交DG的延长线于点R，CMRB，连接RE并延长交抛物线于点N，RA＝RN，点T在△ADM内，连接AT，CT，∠ATC＝135°，DH⊥AT，交AT的延长线于点H，HT＝2DH，求直线CT的解析式． 39．（2024•绥化）·【难】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线相交于A，B两点，其中点A（3，4），B（0，1）． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）过点B作BC∥x轴交抛物线于点C．连接AC，在抛物线上是否存在点P使tan∠BCPtan∠ACB．若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答） （3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标． 40．（2023•大庆）·【难】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与对应函数值y如下表： x ⋯ ﹣1 0 1 2 3 4 ⋯ y ⋯ 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 ⋯ （1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式； （2）若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于P，Q两点（P在Q左边），R为二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m时，求tan∠RPQ的值； （3）若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y（ax2+bx+c）的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值范围． 41．（2023•哈尔滨）·【难】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣6，0），B（8，0），与y轴交于点C． （1）求a，b的值； （2）如图①，E是第二象限抛物线上的一个动点，连接OE，CE，设点E的横坐标为t，△OCE的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图②，在（2）的条件下，当S＝6时，连接BE交y轴于点R，点F在y轴负半轴上，连接BF，点D在BF上，连接ED，点L在线段RB上（点L不与点B重合），过点L作BR的垂线与过点B且平行于ED的直线交于点G，M为LG的延长线上一点，连接BM，EG，使∠GBM∠BEG，P是x轴上一点，且在点B的右侧，∠PBM﹣∠GBM＝∠FRB∠DEG，过点M作MN⊥BG，交BG的延长线于点N，点V在BG上，连接MV，使BL﹣NVBV，若∠EBF＝∠VMN，求直线BF的解析式． 42．（2023•齐齐哈尔）·【难】综合与探究： 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c上的点A，C坐标分别为（0，2），（4，0），抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2，连接AC，CM． （1）求点M的坐标及抛物线的解析式； （2）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当S△PAC＝S△ACM时，求点P的坐标； （3）点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标； （4）将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，在抛物线平移过程中，当 MA'+MC'的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 　 　 ，MA′+MC′的最小值为 　 　 ． 43．（2022•大庆）·【较难】已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C． （1）求b的值； （2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值； ②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围； （3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 44．（2022•哈尔滨）·【较难】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+b经过点A（，），点B（，），与y轴交于点C． （1）求a，b的值； （2）如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为﹣2．过点D向y轴作垂线，垂足为点E．点P为y轴负半轴上的一个动点，连接DP，设点P的纵坐标为t，△DEP的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，连接OA，点F在OA上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，连接DF交y轴于点G，点G为DF的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N，连接CN，PB，延长PB交AN于点M，点R在PM上，连接RN，若3CP＝5GE，∠PMN+∠PDE＝2∠CNR，求直线RN的解析式． 45．（2022•绥化）·【较难】如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH． （1）求抛物线的解析式； （2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标； （3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由． 【5年中考压轴真题】2022~2026年黑龙江省选择题、填空题、解答题汇编 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1．【解答】解：由二次函数图象可得： ∵抛物线开口向下， ∴a＜0； 顶点坐标为（1，n），则对称轴为直线x＝1， 由对称轴公式， 整理得b＝﹣2a，结合a＜0，得b＞0； 抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0； 抛物线与x轴正半轴交点B（m，0）满足3＜m＜4． ∵a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①错误； 根据二次函数轴对称性质：对称轴为x＝1，则y（﹣1）＝y（3）， 将x＝3代入解析式得，y（3）＝9a+3b+c， 把b＝﹣2a代入，化简得，y（3）＝9a+3（﹣2a）+c＝3a+c， ∵3＜m＜4，说明直线x＝3在交点B左侧，此位置抛物线图象在x轴上方， ∴y（3）＞0，即3a+c＞0，故②错误； ∵顶点坐标为（1，n）， ∴， ∴4an＝4ac﹣b2，b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），故③正确； 抛物线开口向下，点到对称轴越近，函数值越大． 点P到对称轴x＝1的距离：|t﹣1|， 点Q到对称轴x＝1的距离：|（3﹣t）﹣1|＝|2﹣t|， 平方作差比较距离大小：|t﹣12|﹣|2﹣t|2＝（t2﹣2t+1）﹣（t2﹣4t+4）＝2t﹣3， ∵， ∴2t﹣3＜0，即|t﹣1|2＜|2﹣t|2，得|t﹣1|＜|2﹣t|， ∴点P离对称轴更近，y1＞y2，故④正确； 由A（0，c）得OA＝c，由B（m，0）得OB＝m， ∵OA＝OB， ∴m＝c，即B（c，0）， 将B（c，0）代入抛物线解析式：ac2+bc+c＝0， ∵c≠0， ∴ac+b+1＝0，b+1＝﹣ac， 设一元二次方程ax2+（b+1）x＝0的两根为x1，x2， 由韦达定理可得：， 将b+1＝﹣ac代入得：，故⑤正确； 综上所述正确结论一共有3个， 故选：B． 2．【解答】解：如图，连接EF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC+∠BCD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°， ∵DE垂直平分BC， ∴DB＝CD，BE＝EC，∠DEC＝90°， ∴DB＝CD＝BC， 即△DBC为等边三角形， ∴∠DBC＝∠BCD＝∠CDB＝60°，∠ABC＝120°，∠ADC＝120°， ∴△ABD也是等边三角形，∠BAD＝60°， ∵， ∴∠EDF＝60°， ∵DE⊥BC，△DBC为等边三角形， ∴DE平分∠CDB，∠CDE＝∠BDE＝30°， ∴∠FDB＝∠EDF﹣∠BDE＝60°﹣30°＝30°， ∴∠ADF＝∠ADB﹣∠FDB＝60°﹣30°＝30°， ∵∠BAD＝∠BCD＝60°，DA＝CD，∠ADF＝∠CDE＝30°， ∴△ADF≌△CDE（ASA）， ∴DF＝DE， ∵∠EDF＝60°， ∴△DEF为等边三角形， 故①正确，符合题意； 如图，过点G作GN⊥AD于点N， ∵∠BAD＝60°，∠ADF＝30°， ∴∠AFD＝90°， 即GF⊥AB， ∵AC平分∠DAB，GN⊥AD，GF⊥AB， ∴GN＝GF， 故②正确，符合题意； ∵△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD， ∵DF⊥AB， ∴， ∵AB∥CD， ∴△AFG∽△CDG， ∴， ∴， 同理△CEH∽△ADH，， ∴， ∴， 即， ∵点E、F是BC、AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴， ∴AC＝2EF， ∴， 故③正确，符合题意； 如图，M为边AB上任意一点，连接MD和ME，过点M作MH⊥BC交CB延长线于点H， 设菱形边长为a，则， ∴S菱形ABCD＝BC•DE＝a•a，， ∵S△BME：S△DEC＝4：5， ∴， ∴， 解得， ∵∠ABC＝120°， ∴∠MBH＝60°， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 由旋转性质知∠PDQ＝60°， ∵∠ADB＝60°， ∴∠ADP＝∠BDQ， ∵∠ADP＝∠BDQ，DA＝DB，∠DAB＝∠DBQ＝60°， ∴△DAP≌△DBQ（ASA）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过点P作PM⊥CB交CB延长线于M， ∵∠ABC＝120°， ∴∠PBM＝60°， ∴，PM＝PB•sin60°， ∴MQ＝BM+BQ， 在Rt△PMQ中，PQ， 故⑤错误，不符合题意． 综上所述，正确的是①②③④． 故选：C． 3．【解答】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣2，5），与y轴交于正半轴， ∴a＜0，， ∴b＝4a＜0， ∴，故①错误； ∵b＝4a， ∴b﹣4a＝0，故②错误； ∵a＜0，c＞0， ∴c﹣a＞0， ∴a﹣b+3c＝a﹣4a+3c＝3（c﹣a）＞0，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，5）， ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝5，即4a﹣2×4a+c＝5， ∴c＝4a+5， 由图象可得当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0， ∴4a+8a+4a+5＞0， ∴， 由图象可得当x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＜0， ∴9a+12a+4a+5＜0， ∴， ∴，故④正确； ∵方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0可化为ax2+bx+c＝﹣k2x﹣k2， ∴该方程的解为抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣k2x﹣k2的交点的横坐标， ∵直线y＝﹣k2x﹣k2＝﹣k2（x+1）， ∴该直线过定点（﹣1，0），且过第二、三、四象限， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣k2x﹣k2必有交点， ∴方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0（k为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 故选：B． 4．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝AB＝BC＝3，∠BAC＝∠BCA＝45°， ∴ACAB＝6， ∵EG⊥AC，FH⊥AC， ∴∠EGA＝∠EGC＝∠FHC＝∠FHG＝90°， ∴∠AEG＝∠HFC＝45°， ∴△AGE，△HFC为等腰直角三角形， ∴AG＝GE，HC＝HF， ∵AE＝CF， 由勾股定理得AG＝GE＝HC＝HF＝1，BE＝BF，GH＝AC﹣AG﹣CH＝4， ∴∠BEF＝∠BFE＝45°， ∴∠BEF＝45°， ∴∠GEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∵∠EGH＝∠FHG＝90°， ∴四边形GEFH是矩形， ∴S0＝EG•GH＝1×4＝4， ∵S1+S2+S3＝S0+S4，3S0＝S1+S2+S3+S4， ∴S4＝4， ∵动点P在△ACD内部及边界上运动， ∴点P的运动轨迹是△ACD内部及边界上平行于AC的一条线段MN， 则△DMN是等腰直角三角形， 如图，取AC的中点O，连接OD交MN于点Q， 则DOAC＝3， ∵S4GH•OQ＝4，GH＝4， ∴OQ＝2， ∴DQ＝OD﹣OQ＝3﹣2＝1， ∴MN＝2， 即点P组成的图形长度为2， 故选：A． 5．【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），图象开口向上， ∴对称轴直线为， ∴b＝﹣2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0， ∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∴a﹣c＝a﹣（﹣3a）＝4a＞0，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为x＝1， ∴当x＝1时，函数有最小值，最小值x轴的下方， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝5两个不同的交点， ∴方程ax2+bx+c﹣5＝0有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c与y轴交于点C（0，m），其中﹣4＜m＜﹣3， ∴当x＝0，y＝c＝m， ∴﹣4＜c＜﹣3， ∵c＝﹣3a，b＝﹣2a，， ∴ 解得，故③正确； 当x＝1时，函数有最小值，最小值为y＝a+b+c＜0，b＝﹣2a， ∴b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a＜0， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A． 6．【解答】解：如图1，过点B作BK∥EN，交CD于点K， 在正方形ABCD中， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°，AB∥CD， ∴△ABC、△ADC是等腰三角形，又BE＝BF，AB＝AB， ∴△AEB≌△AFB（SAS）， ∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE，∠BAE＝∠BAF， ∴△AEF是等腰三角形， ∵EG⊥AF， ∴∠NEC+∠AFE＝90°， 又∵∠BAF+∠AFE＝90°， ∴∠NEC＝∠BAF， ∵BK∥EN， ∴∠KBC＝∠NEC，∠BKC＝∠ENC， ∴∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE， 设∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE＝α， ∵∠EAH＝∠BAE+∠BAC＝α+45°，∠AHE＝∠HEC+∠ACB＝α+45°， ∴∠EAH＝∠AHE，故结论②正确； ∴EA＝EH，即△AEH是等腰三角形， ∵在△ABF和△BCK中， ， ∴△ABF≌∠BCK（AAS）， ∴BK＝AF，∠CKB＝∠AFE＝∠AEF＝90°﹣α， ∵BK∥EN，AB∥CD， ∴四边形BMNK是平行四边形， ∴MN＝BK， ∴MN＝AF，故结论①正确， ∵∠NEC＝∠BAF，∠BCD＝∠ABC＝90°， ∴△NEC﹣△BAF， ∴， ∴EN•BF＝CN•AF， ∵∠EAH＝∠AHE＝∠CHN＝45°+α，∠ACE＝∠ACN＝45°， ∴△AEC∽△HNC， ∴， ∴CN•AE＝EC•HN， ∵AE＝AF， ∴CN•AF＝EC•HN， ∴EN•BF＝EC•HN，故结论③正确， 过点F作FP⊥AC，如图2； 设BF＝3x，由BF：FC＝3：4可得FC＝4x，AB＝BC＝7x， ∴AF2＝AB2+BF2＝（7x）2+（3x）2＝58x2， ∵ ∴AP5， ∴， 故结论④正确，∠CNE＝90°﹣α，∠CHN＝∠AHE＝α+45°，α＜45°， ∴∠CNE不一定等于∠CHN，α＜45°， ∴△CNH不一定是等腰三角形， 故等腰三角形有△ABC、△ADC、△AEF、△AEH，共四个，故结论⑤错误， 综上所述：正确结论有①②③④． 故选：C． 7．【解答】解：过点N′作EF∥AB，交AD、BC于E、F，过点M作MG⊥EF于点G， ∵矩形ABCD， ∴AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴四边形AMGE和BMGF都是矩形， ∴∠A＝∠MGN'＝90°， 由旋转的性质得∠NMN'＝90°，MN＝MN′， ∴∠AMN＝90°﹣∠NMG＝∠GMN′， ∴△AMN≌△GMN′（AAS）， ∴MG＝AM， ∴点N'在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动， 作点M关于直线EF的对称点M'，连接MB交直线EF于点N′，此时△MBN′周长取得最小值， 最小值为BM+BM′， ∵BMAB＝5，MM′＝5+5＝10， ∴， 故选：B． 8．【解答】解：设当5≤x≤15时的直线方程为：y＝kx+b（k≠0）． ∵图象过（5，30）、（15，50）， ∴． ∴． ∴y＝2x+20． 令x＝9， ∴y＝2×9+20＝38． 故选：B． 9．【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下， ∴a＜0． 又抛物线的对称轴是直线x1， ∴b＝2a＜0． 又抛物线交y轴正半轴， ∴当x＝0时，y＝c＞0． ∴0，故①错误． 由题意，当x＝﹣1时，y取最大值为y＝a﹣b+c， ∴对于抛物线上任意的点对应的函数值都≤a﹣b+c． ∴对于任意实数m，当x＝m时，y＝am2+bm+c≤a﹣b+c． ∴am2+bm≤a﹣b，故②正确． 由图象可得，当x＝1时，y＝a+b+c＜0， 又b＝2a， ∴3a+c＜0＜1，故③正确． 由题意∵抛物线为y＝ax2+bx+c， ∴x1+x22＞﹣3，故④错误． 综上，正确的有②③共2个． 故选：B． 10．【解答】解：由题意可知：AB：BC＝1：，设AB＝a，则BC， 如图，过点P作PE垂直于CB的延长线于点E， ∵PA＝t，则PB＝a﹣t，BQ， 在Rt△PBE中，∠PBE＝180°﹣∠ABC＝60°， ∴PE， 则y，化简得：y． 由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为3， ∴3， ∴a2＝16， ∵a为正数， ∴a＝4， ∴AB＝4，则BC， 如图，过点A作AF垂直于CB的延长线于点F， 在Rt△ABF中，∠ABF＝60°， ∴AF， ∴S▱ABCD＝BC×AF24 （m2）． 故答案为：C． 11．【解答】解：这条小船从A码头到B码头的速度为：1500÷50＝30（m/min）， 从B码头返回A码头的速度为：1500÷（160﹣100）＝25（m/min）． 故选：D． 12．【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，故①正确， ∵x1， ∴b＝﹣2a，故②错误， ∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， ∵b＝﹣2a， ∴3a+c＝0，故③正确， 方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）的解可看作y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝﹣k2的交点， ∵﹣k2≤0， ∴当y＝﹣k2过抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点时，两函数只有一个交点，即方程ax2+bx+c+k2＝0有两个相等的实数根，故④错误， ∵点（m，y1）（﹣m+2，y2）关于直线x＝1对称， ∴y1＝y2，故⑤正确． 故选：B． 13．【解答】解：①根据题意可得：[﹣4.1]＝﹣5，错误； ②∵[3.5]＝3， ∴{3.5}＝3.5﹣[3.5]＝3.5﹣3＝0.5，正确； ③高斯函数y＝[x]中，当y＝﹣3时，x的取值范围是﹣3≤x＜﹣2，正确； ④函数y＝{x}中，当2.5＜x＜3时，[x]＝2，0.5＜x﹣[x]＜1，即0.5＜y＜1， 当x＝3时，[x]＝3，x﹣[x]＝0，即y＝0， 当3＜x≤3.5时，[x]＝3，0＜x﹣[x]≤0.5，即0＜y≤0.5， 综上，0≤y＜1，正确． 正确的命题有②③④． 故选：D． 14．【解答】解：当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为：（50﹣35）×（500÷50）＝150（km）， 故选：A． 15．【解答】解：（1）过点P作PF⊥BC于点F，如图， ∵四边形ABCD是矩形，PF⊥BC， ∴四边形ABFP是矩形， ∴PF＝AB＝2，BF＝AP＝x， ∴AM＝AP﹣PM＝x﹣y． ∵∠ABE＝∠CBP，∠A＝∠PFB＝90°， ∴△ABM∽△FBP， ∴， ∴． ∴x2﹣xy＝4． ∴y＝x． ∴（1）的结论正确； （2）当AP＝4时，DP＝AD﹣AP＝5﹣4＝1， ∵，， ∴． ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABP∽△DPC． ∴（2）的结论正确； （3）由（2）知：当AP＝4时，△ABP∽△DPC， ∴∠ABP＝∠DPC． ∵∠BPA+∠ABP＝90°， ∴∠APB+∠DPC＝90°． ∴∠CPB＝90°． ∴∠BPE＝90°． ∴tan∠EBP． 由（1）知：PM＝AP3， BP2，CP． ∵AD∥BC， ∴． ∴， 解得：PE， ∴tan∠EBP， ∴（3）的结论错误， 综上，正确的结论为：（1）（2）， 故选：C． 二．填空题（共15小题） 16．【解答】解：如图过点A1作A1D⊥x轴于点D， ∵∠A1OD＝30°，OA1＝1， ∴，，， ∴， ∴， ∵∠C1A1B1＝30°＝∠A1B1O， ∴A1C1∥x轴，则C1的纵坐标为， ∴∠A2A1C1＝∠A1OB1＝30°， 同理可得：，， ∴， ∴A2的纵坐标为， 同理可得A2C2∥x轴，则C2的纵坐标为， ∵∠A1OD＝30°， ∴， ∴，则，， ∴， ∴A3的纵坐标为， …， ∴An的纵坐标为， 又∵An∁n∥x轴，则∁n的纵坐标为， ∴点C2026的纵坐标为， 故答案为：． 17．【解答】解：∵B1是直线yx+2与y轴的交点， ∴B1（0，2），B0（﹣4，0）， ∴OB1＝2，OB0＝4， ∴B1B02， ∴， ∵四边形A1B1B2C1是正方形， ∴∠A1B1B2＝∠B1A1C1＝90°，B1B2＝A1B1＝C1A1， ∴∠A1B1B0＝180°﹣∠A1B1B2＝90°， ∴， 如图，分别过点C1，C2，C3作x轴的垂线，垂足分别为E，F，H， ∴∠B1OA1＝∠B1A1C1＝∠A1EC1＝90°， ∴∠B0B1O+∠OB0B1＝∠B0B1O+∠A1B1O＝∠OA1B1+∠A1B1O＝∠OA1B1+∠C1A1E＝90°， ∴∠OB0B1＝∠A1B1O＝∠C1A1E， ∴C1E＝A1C1•sin∠C1A1E＝A1C1•sin∠OB0B1＝1， ∴C1的纵坐标为1； ∵四边形A2B2B3C2，A3B3B4C3都是正方形， ∴∠A2B2B3＝∠A2B2B0＝∠A3B3B4＝∠A3B3B0＝90°，A2B2＝B2B3＝A2C2，A3B3＝B3B4＝A3C3， 同理可得：∠C2A2F＝∠C3A3H＝∠OB0B1， ∵， ∴， ∴，， ∴C2的纵坐标为，， ∴， ∴C3的纵坐标为， …； ∴按照这个规律进行下去，则点∁n的纵坐标为． 故答案为：． 18．【解答】解：作BG⊥CF于点G，如图所示， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是AC的中点， ∴，∠ABC＝45°， ∴， 由旋转的性质可知：△DCB≌△FEB， ∴， ∵CF∥AB， ∴∠ABC＝∠BCG＝45° ∴， ∴， ∴； 当点F运动到点F'时，此时CF'∥AB， 同理可得，，， ∴； 综上所述，CF的长为或， 故答案为：或． 19．【解答】解：①将x＝1代入y＝x2+x﹣1，得到y＝1+1﹣1＝1； 将x＝﹣1代入y＝x2+x﹣1，得到y＝（﹣1）2﹣1﹣1＝﹣1； 可知点A（1，1），点A1（﹣1，﹣1）都在二次函数y＝x2+x﹣1上， 那么点A和点A1为二次函数y＝x2+x﹣1的一组“奇对称点对”；故①正确； ②当x＝a（a≠0）代入，得到， 当x＝﹣a代入，可得， ∴，都在反比例函数上， ∴，为反比例函数的一组奇对称点对”， ∵a可以取无数个不为0的数， ∴反比例函数有无数组“奇对称点对”；故②正确； ③∵点C（1，2），点C1（﹣1，﹣2），[C，C1]为函数y＝ax2+bx﹣1的一组“奇对称点对”， ∴点C（1，2），点C1（﹣1，﹣2）都在函数y＝ax2+bx﹣1上， ∴， ∴③错误； ④不妨设C和C是函数的一组“奇对称点对”，即C和C1在w函数上， 假设C（m，﹣m）在y＝﹣x上，那么C1（﹣m，m）在y＝﹣x2+2x﹣k上， 将C1（﹣m，m）代入y＝﹣x2+2x﹣k，得到m＝﹣m2﹣2m﹣k， ∴m2+3m+k＝0， ∵，该函数有两组“奇对称点对”， ∴m2+3m+k＝0有两个不同的实数根m1，m2， ∴32﹣4k＞0，m1•m2＞0， ∴（符合题意）， ∴， ∴④正确； 故答案为：①②④． 20．【解答】解：过点D作DE∥AC交BC于点E，①当∠DBN＝90°时，如图（1）， ∵△BAC，△DMN是等边三角形，∠DBN＝90°， ∴∠ABC＝∠DEB＝∠MDN＝∠BDE＝60°，DM＝DN， 即△DBE是等边三角形， ∴BD＝DE＝BE＝2，∠NBE＝∠DBN﹣∠DBE＝30°，∠EDN+∠NDB＝∠NDB+∠MDB＝60°， ∴∠EDN＝∠BDM， ∴△DEN≌△DBM（SAS）， ∴∠DEN＝∠DBM＝180°﹣60°＝120°，BM＝NE， ∴∠BEN＝∠DEN﹣∠DEB＝60°， ∴∠BNE＝90°， ∴， 即BM＝1， ∴MC＝BC+BM＝7+1＝8． ②当∠BDN＝90°时，如图（2） 同理可得△DEN≌△DBM，∠NDE＝∠BDN﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠NED＝∠MBD＝60°， 即∠DMB＝∠DNE＝90°， ∴， ∴CM＝BC﹣BM＝6． ③当∠BND＝90°时，如图（3） 同理可证△DBN≌△DEM，DE＝BD＝2，∠DEM＝60°， ∴∠DME＝∠DNB＝90°， ∴． ∴CM＝BC﹣BM＝6． ④当∠BDN＝90°时，如图（4） 同理可证△DBN≌△DME，DE＝BD＝BE＝2，∠DEM＝60°， ∴∠MDE＝∠NDB＝90°，CE＝BC﹣BE＝5， ∴， ∴CM＝ME+CE＝9． 综上所述，CM的长是6或8或9． 故答案为：6或8或9． 21．【解答】解：当x＝0时，， ∴点B的坐标是（0，3）， ∵点B1在直线， 设点B1的坐标是， 则点A1的坐标是（x1，0），点C1的坐标是， ∵四边形OA1B1C1是正方形， ∴OA1＝A1B1，OA1∥C1B1， ∴， 解得：x1＝2， ∴B1的坐标是（2，2）， ∴正方形OA1B1C1的边长为2， ∴OC1＝OA1＝A1B1＝B1C1＝2， ∴BC1＝BC﹣OC1＝3﹣2＝1， ∵OA1∥C1B1， ∴△BC1D1∽△BOA1， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 设点B2的坐标为， 则点A2的坐标是（x2，0），点C2的坐标是， ∴A1A2＝x2﹣x1＝x2﹣2， ∵四边形A1A2B2C2是正方形， ∴A1A1＝B2A2，A1A2∥C2B2， ∴， 解得：， ∴， ∴B2的坐标是， ∴， ∴， ∵A1A2∥C2B2， ∴△B1C2D2∽△B1A1A2， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵B1的坐标是（2，2），B2的坐标是， ∴， ∵B1的坐标是（2，2），点B的坐标是（0，3）， ∴， ∵，， ∴， 又∵四边形OA1B1C1和A1A2B2C2均为正方形， ∴B1C1∥x轴，B2C2∥x轴， ∴B1C1∥B2C2， ∴∠BB1C1＝∠B1B2C2， ∴△BB1D1∽△B1B2D2，且相似比为， ∴， ∴当时，， 同理可证△B1B2D2∽△B2B3D3，且相似比为， 则， …， ∴， 故答案为：． 22．【解答】解：由题意，对于①，∵y＝2x+4， 又令y＝2x， ∴2x＝2x+4，此时方程无解． ∴y＝2x+4不是“倍值函数”，故①错误． 对于②，∵y， 又令y＝2x， ∴2x． ∴x＝2或x＝﹣2． ∴y图象上的“倍值点”为（2，4），（﹣2，﹣4），故②正确． 对于③∵y＝（m﹣1）x2+mxm， 又令y＝2x， ∴2x＝（m﹣1）x2+mxm，即（m﹣1）x2+（m﹣2）xm＝0． ∵函数y＝（m﹣1）x2+mxm的图象上有两个“倍值点”， ∴方程（m﹣1）x2+（m﹣2）xm＝0的Δ＝（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）＞0，且m﹣1≠0． ∴m且m≠1，故③错误． 对于④，∵y＝x2+（m﹣k+2）x， 又令y＝2x， ∴2x＝x2+（m﹣k+2）x，即x2+（m﹣k）x0． ∵y＝x2+（m﹣k+2）x的图象上存在唯一的“倍值点”， ∴方程x2+（m﹣k）x0的Δ＝（m﹣k）2﹣4（）＝0． ∴n＝（m﹣k）2+2k． ∴n关于m的函数的对称轴是直线m＝k，此时最小值为2k． 又∵y＝x2+（m﹣k+2）x存在唯一的“倍值点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k， ∴①， ∴k＝0； ②， ∴此时无解； ③， ∴k（舍去）或k． 综上，k＝0或k，故④错误． 故答案为：①③④． 23．【解答】解：在DF上截取DH＝HE， ∴∠FHE＝2∠FDE， 设FE＝x，HD＝y， ∵DE＝2， ∴DF， 在Rt△HEF中，y2＝（y）2+x2， ∴y＝6， ∴sin∠FHE， ∵∠AOB＝4∠FDE， ∴∠COD＝4∠FDE， ∵O是BD的中点，E是DG的中点， ∴OE是△BDG的中位线， ∴F是CD的中点， ∵OC＝OD， ∴∠DOF＝2∠FDE＝∠FHE， ∴， ∴x＝1， ∴DF； 解法2：设∠CDG＝α， ∵∠AOB＝4∠CDG＝4α， ∵O是BD的中点，E时DG的中点， ∴OE∥BG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OE⊥C， ∴∠DOE＝2α， ∴∠ODF＝90°﹣2α， ∴∠ODE＝90°﹣α， ∵∠DEF＝∠G＝90°﹣α， ∴∠ODE＝∠OED， ∴△OED是等腰三角形， 设EF＝m，则OD＝6m，OF＝5m， 在Rt△OFD中，DFm， 在Rt△DEF中，11m2+m2＝12， 解得m＝1， ∴DF； 故答案为：． 24．【解答】解：如图1，过点E作EF⊥BD于点F， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝BD，AD＝BC，AB＝CD， ∵AB＝4cm，BC＝8cm， ∴由勾股定理得cm， ∴BDcm， ∵∠EFD＝∠BAD＝90°，∠EDF＝∠BDA， ∴△DEF∽△DBA， ∴， ∴， ∴EFcm； 如图2，过点E作EM⊥AC于点M， ∵AD＝BC＝8cm，DE＝2cm， ∴AE＝6cm， ∵∠AME＝∠ADC＝90°，∠EAM＝∠CAD， ∴△AEM∽△ACD， ∴， ∴ ∴EMcm； 如图3，过点E作EN⊥BD的延长线于点N， ∴∠END＝∠BAD＝90°， ∴∠EDN＝∠BDA， ∴△END∽△BAD， ∴， ∴， ∴ENcm； 如图4，过点E作EH⊥AC的延长线于点H， ∴∠AHE＝∠ADC＝90°， ∴∠EAH＝∠CAD， ∴△AHE∽△ADC， ∴， ∵AD＝BC＝8cm，DE＝2cm， ∴AE＝10cm， ∴， ∴EHcm； 综上，点E到矩形对角线所在直线的距离是cm或cm或cm， 故答案为：或或． 25．【解答】证明：延长AD至E，使DE＝AD，连接B'E，C'E， ∵AD是中线， ∴B'D＝C'D， ∴四边形AC'EB'是平行四边形， ∴B'E∥AC'，B'E＝AC'，S△B'C'AS▱B'EC'A＝S△AB'E， ∴∠B′AC′+∠AB′E＝180°， ∵∠BAC+∠B′AC′＝180°， ∴∠BAC＝∠AB′E， ∵将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′， ∴AB＝AB'，AC＝AC'＝B'E， 在△BAC和△AB′E中， ， ∴△BAC≌△AB′E（SAS）， ∴BC＝AE，S△ABC＝S△AB'E， ∴S△ABC＝S△B'C'A，故①正确； ∵AE＝2AD， ∴BC＝2AD，故②正确； ∵AB＝AC， ∴AB'＝AC'＝AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，∠ABB'＝∠AB'B，∠ACC'＝∠AC'C，∠AB'C'＝∠AC'B'， ∵∠BAC+∠B′AC′＝180°， ∴α+β＝180°，∠B'C'A+∠ABC＝90°， ∴∠ABB'+∠AC'C＝90°， ∴∠B′BC+∠CC′B′＝180°；故③正确； ∵BC＝6， ∴AD＝3， ∵AB'＝AC'＝AB＝AC＝4， ∴平行四边形AC'EB'是菱形， ∴B'C'⊥AE，B'D＝C'D， ∴B'D， ∴B'C'＝2，故④错误， 故答案为：①②③． 26．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，BC＝DC＝AD， ∵F为BE的中点，CF， ∴BE＝2CF， 设DE＝3x，EC＝2x，则DC＝BC＝5x， 在Rt△BCE中，（5x）2+（2x）2＝（）2， 解得x＝1或﹣1（舍去）， ∴CE＝2，DE＝3，BC＝AD＝DC＝5， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2， 即AE． 故答案为：． 27．【解答】解：在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4， ∴△OAB 是等腰直角三角形，∠OBA＝45°， ∵OA1⊥AB， ∴△OA1B 是等腰直角三角形， 同理可得：△OA1B1，△A1B1B均为等腰直角三角形， ∴A1（2，2）， 根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得：A2（3，1），A3（4，），A4（4，）， 由此可推出：点A2023的坐标为（4，）， 故答案为：（4，）． 28．【解答】解：∵正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍， ∴BE+BF+EF＝AB+BC， ∴EF＝AE+FC， 若AE＝2，CF＝3，则EF＝2+3＝5，故①错误； 如图，在BA的延长线上取点H，使得AH＝CF， 在正方形ABCD中，AD＝CD，∠HAD＝∠FCD＝90°， 在△AHD和△CFD中， ， ∴△AHD≌△CFD（SAS）， ∴∠CDF＝∠ADH，HD＝DF，∠H＝∠DFC， 又∵EF＝AE+CF， ∴EF＝AE+AH＝EH， 在△DEH和△DEF中， ， ∴△DEH≌△DEF（SSS）， ∴∠HDE＝∠FDE，∠H＝∠EFD，∠HED＝∠FED， ∵∠CDF+∠ADF＝∠ADH+∠ADF＝∠HDF＝90° ∴∠EDF＝∠HDE＝45°， ∵∠H＝∠DFC＝∠DFE，∠EMN＝∠HED+∠EAM＝45°+∠DEF， ∴∠EFN+∠EMN＝∠DFC+45°+∠DEF＝∠DFE+∠EDF+∠DEF＝180°， 则∠EFN+∠EMN＝180°，故②正确； 如图，作DG⊥EF于点G，连接GM，GN， 在△AED和△GED中， ， ∴△AED≌△GED（AAS）， 同理，△GDF≌△CDF（AAS）， ∴AG＝DG＝CF，∠ADE＝∠GDE，∠GDF＝∠CDF， ∴点A，G关于DE对称轴，C，G关于DF对称， ∴GM＝AM，GN＝CN，∠EGM＝∠EAM＝45°，∠NGF＝∠NCF＝45°， ∴∠MGN＝90°，即△GMN是直角三角形， 若AM＝2，CN＝3， ∴GM＝2，GN＝3， 在Rt△GMN中，MN，故③错误； ∵MG＝AM，且2，BE＝3， 在Rt△GMN中，sin∠MNG， ∴∠MNG＝30°， ∵∠EFN+∠EMN＝180°，∠EMN+∠AME＝180°， 且∠CFN＝∠EFN， ∴∠AME＝∠CFN， ∴2∠AME＝2∠CFN， 即∠AMG＝∠CFG， ∴∠GMN＝∠BFE， ∴∠BEF＝∠MNG＝30°， ∴cos∠BEF＝cos∠MNG， ∴EF＝2，故④错误， 综上，正确结论的序号为②， 故答案为：②． 29．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，BO＝DO， ∴AE5， ∴BE＝AE＝5， ∴BO＝8， ∴BC4， ∵点F为CD的中点，BO＝DO， ∴OFBC＝2， 故答案为：2． 30．【解答】解：第一次操作后的两边长分别是x和（2﹣x），第二次操作后的两边长分别是（2x﹣2）和（2﹣x）． 当2x﹣2＞2﹣x时，有2x﹣2＝2（2﹣x），解得x＝1.5， 当2x﹣2＜2﹣x时，有2（2x﹣2）＝2﹣x，解得x＝1.2． 故答案为：1.2或者1.5． 三．解答题（共15小题） 31．【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线的解析式y＝ax2+bx+4， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设点， 当x＝0时，， ∴C（0，4）， 设直线BC的解析式为y＝kx+4， ∵B（4，0）， ∴4k+4＝0，则k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为 y＝﹣x+4， ∵PD⊥x轴， ∴E（m，﹣m+4）． ∴， ∵， ∴当m＝2时，PE的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为（2，4）； （3）对于，当x＝0时，y＝4，则C（0，4）， ∵A（﹣2，0），， ∴将抛物线沿射线AC方向平移个单位长度，相当于将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 分两种情况： 当点Q在x轴上方时，如图， 设直线AC的解析式为y＝px+4， 将A（﹣2，0）代入，得0＝﹣2p+4， 解得p＝2， ∴直线AC的解析式为y＝2x+4， ∵∠CBQ＝∠ACB， ∴BQ∥AC， ∴设直线BQ的解析式为y＝2x+t， 将B（4，0）代入，得0＝8+t，解得t＝﹣8， ∴直线BQ的解析式为y＝2x﹣8， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴Q（5，2）； 当点Q在x轴下方时，如图，设， ∵OB＝OC＝4，OA＝2， ∴∠OCB＝∠OBC， 又∵∠CBQ＝∠ACB， ∴∠ABQ＝∠ACO， ∴， ∴，整理得x2﹣3x﹣13＝0， 解得或（舍去）， ， ∴， 综上，满足条件的Q的坐标为 （5，2）或， 故答案为：（5，2）或； （4）如图， 由（2）知，P（2，4），E（2，2），直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 设M（m，﹣m+4），则M'（﹣m+4，﹣m）， ∴， ∵E（2，2），O（0，0）， ∴直线OE的解析式为y＝x，则OE与x轴正方向成45°， ∵NF⊥OE于点F， ∴设F（t，t），且NF与x轴所形成的锐角为45°，分别过点N、点F作x轴、y轴的平行线，设交点为K，如图，则△NKF是等腰直角三角形， ∴xN﹣t＝t﹣yN，即， ∴m＝2﹣2t，则N（t+1，t﹣1）， ∴， 设G（﹣3，1）， ∴AN＝FG， ∴AN+PF＝FG+PF，问题转化为求直线OE上的点F到点G（﹣3，1）和点P（2，4）的距离和的最小值， 设点G关于直线y＝x的对称点为G'，则G'（1，﹣3），则AN+PF的最小值为G'P的长度， ∵， ∴AN+PF的最小值为． 故答案为：． 32．【解答】解：（1）x2﹣7x+12＝0， （x﹣3）（x﹣4）＝0， 解得x1＝3，x2＝4， ∵OA，OC的长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＜OC）， ∴OA＝3，OC＝4， ∵点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上， ∴A（﹣3，0），C（0，4）； （2）∵A（﹣3，0），C（0，4）， ∴OA＝3，OC＝4， 在直角三角形AOC中，由勾股定理得：， ∵四边形AOBC是平行四边形， ∴BC＝AO＝3，AC＝BO＝5， ∴点Q从点A运动到点C用时，点Q从点A运动到点B用时（5+3）÷1.6＝5（s）， 如图1，当时，AQ＝1.6t，过点O，P分别作OM⊥AC，PN⊥AC，垂足为点M，N， ∴∠AMO＝∠AOC＝90°， ∵∠OAM＝∠CAO， ∴△OAM∽△CAO， ∴， ∴， 解得：， ∵▱AOBC中，AC∥BO，OM⊥AC，PN⊥AC， ∴， ∴， 即； 当时，则，OP＝t，BP＝5﹣t，， 如图2，过点P作直线PE⊥BC交BC，x轴于点E，F， ∵▱AOBC中，AC∥BO，BC∥AO， ∴∠CAO＝∠POF，∠BEP＝∠OFP＝∠COA＝90°， ∴△ACO∽△OPF， ∴， ∴， ∴， ∵BC∥AO，CO⊥x轴，EF⊥x轴， ∴EF＝CO＝4， ∴， ∵S＝S▱AOBC﹣S△AOP﹣S△BQP﹣S△ACQ， ∴， 即， 综上所述，； （3）在第一象限内存在一点N，使得以M，N，R，B四点为顶点的四边形是矩形，N点坐标为（4，3）或（4，1）或．理由如下： 由（2）知BC＝AO＝3，OC＝4，BC∥AO， ∴B（3，4）， 设M（0，m），N（x，y），而R（1，0）， ①当MN，RB是矩形对角线时， 依题意得：， ∴x＝4，m+y＝4， ∴N（4，y）， 而MN＝RB，则（4﹣0）2+（y﹣m）2＝（3﹣1）2+（4﹣0）2， ∴y﹣m＝±2， ∴或 解得：y＝3或y＝1， ∴N（4，3）或N（4，1）； ②当MR，NB是矩形对角线时， 依题意得：， ∴x＝﹣2，此时点N不在第一象限，舍去； 当MB，NR是矩形对角线时， 依题意得：， ∴x＝2，m＝y﹣4， ∴N（2，y），M（0，y﹣4）， 而MB＝NR，则（3﹣0）2+（y﹣4﹣4）2＝（2﹣1）2+（y﹣0）2， 解得：， ∴， 综上所述，在第一象限内存在一点N，使得以M，N，R，B四点为顶点的四边形是矩形，N点坐标为（4，3）或（4，1）或． 33．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAE＝∠ABF＝90°， 在△ABE和△BAF中， ， ∴△ABE≌△BAF（SAS）； （2）解：，理由如下： 如图2，连接CG，过点G作GK⊥BC于点K， ∵BE平分∠ABC、AF平分∠BAC，且AF与BE相交于点G， ∴点G是△ABC的内心， ∴点G到△ABC三边的距离相等， 设GK＝r，根据△ABC的面积得，， ∴r（AB+AC+BC）＝BC•AB， ∵AB+AC＝2BC， ∴r×3BC＝BC•AB， ∴AB＝3r， ∴； ∵∠FKG＝∠FBA＝90°，∠AFB＝∠GFK， ∴△FGK∽△FAB， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵∠GAM＝∠FAC， ∴△GAM∽△FAC， ∴， 即GM与FC的数量关系为； （3）解：∠DAH的正切值为或， 理由如下：∵矩形的边AD与直线EF的夹角成60°， ∴分以下两种情况讨论， ①当∠HED＝60°时，如图3， 过点H作HN⊥AD于N， ∴∠HNE＝90°， ∴∠EHN＝30°， 设EN＝x，则， ∴EH＝2x， ∵DH⊥EF， ∴∠DHE＝90°， ∴∠HDE＝30°， ∴ED＝4x， ∵直线EF将矩形ABCD分成周长相等的两部分， ∴BF＝ED＝4x， 过点F作FP⊥AD于点P， ∴∠APF＝90°， ∴四边形ABFP是矩形， ∴BF＝AP＝4x， ∵， ∴PF＝2， 在Rt△EFP中，∠EPF＝90°， ∴∠PEF＝60°，∠PFE＝30°， ∴PE＝2， ∴AD＝AP+PE+ED＝4x+2+4x＝8x+2， ∵BC＝8， ∴AD＝8， ∴8x+2＝8， ∴， ∴HNx， AN＝AP+PE+EN＝4x+2+x， ∴tan∠DAH， ②当∠HED＝60°时，如图4， 由①知，AD＝AP﹣MP+ED＝4x﹣2+4x＝8x﹣2， ∵BC＝8， ∴AD＝8， ∴8x﹣2＝8， ∴， ∴HQx， AQ＝AP﹣PE+EQ＝4x﹣2+x， ∴tan∠DAH 综上所述，∠DAH的正切值为或． 34．【解答】解：（1）∵函数的对称轴为y轴， ∴b＝0， ∵抛物线经过原点， ∴c＝0， ∴y＝ax2， 将点代入y＝ax2， ∴12a＝3， 解得a， ∴抛物线的解析式为yx2； （2）直线l与二次函数的图象的公共点只有一个，理由如下： 设直线AE与x轴的交点为G，延长MA交x轴于点H，直线AT与x轴的交点为N， 设直线AE的解析式为y＝kx+1， ∴2k+1＝3， 解得k， ∴直线AF的解析式为yx+1， ∴G（，0）， ∵OH＝2， ∴GH＝3， ∵AH＝3， ∴tan∠AGH， ∴∠AGH＝30°， ∴∠GAH＝60°， ∴∠MAG＝120°， ∵AB平分∠EAM， ∴∠BAF＝60°， ∵AB⊥AT， ∴∠BAT＝90°， ∴∠GAT＝30°， ∴∠TAH＝30°， 在Rt△ANH中，AH＝3，∠NAH＝30°， ∴NH， ∴ON＝OH﹣NH， ∴N（，0）， 设直线AN的解析式为y＝k'x+n， ∴， 解得， ∴直线AT的解析式为yx﹣3， 当x﹣3x2时，整理得x2﹣4x+12＝0， ∴Δ＝48﹣48＝0， ∴直线l与二次函数的图象的公共点只有一个； （3）当x+1x2时，解得x＝2或x， ∴E（，）， 设AE的中点为Q， ∵， ∴Q（，），AE， 当∠APE＝90°时，PQAE， ∴（m）2+（）2＝（）2， 解得m或m， ∴m时，∠APE为钝角． 35．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5交x轴于A（1，0），B（﹣5，0）两点， ∴， 解得， ∴y＝x2+4x﹣5； （2）y＝x2+4x﹣5中，当x＝0时，y＝﹣5， ∴C（0，﹣5）， ∴设直线BC的解析式为y＝kx﹣5， ∵B（﹣5，0）， ∴﹣5k﹣5＝0， ∴k＝﹣1， ∴y＝﹣x﹣5，设P（x，x2+4x﹣5）， 则E（x，﹣x﹣5）， 当x＜﹣5时，PE＝x2+4x﹣5﹣（﹣x﹣5）＝x2+5x，DE＝﹣x﹣5， ∵PE＝3ED， ∴x2+5x＝3（﹣x﹣5）， 解得x＝﹣3（不合），或x＝﹣5（舍去）， ∴点P不存在； 当﹣5＜x＜0时，PE＝﹣x﹣5﹣（x2+4x﹣5）＝﹣x2﹣5x，DE＝x+5， ∴﹣x2﹣5x＝3（x+5）， 解得x＝﹣3，或x＝﹣5（舍去）， ∴x2+4x﹣5＝﹣8． ∴P1（﹣3，﹣8）； 当0＜x＜1时，PE＜CE，点P不存在； 当x＞1时，PE＝x2+4x﹣5﹣（﹣x﹣5）＝x2+5x，DE＝x+5，x2+5x＝3（x+5）， 解得x＝3，或x＝﹣5（舍去）， ∴x2+4x﹣5＝16， ∴P2（3，16）， 故P点坐标为P1（﹣3，﹣8），P2（3，16）； （3）过点F，P作FG⊥x轴于G，PH⊥x轴于H， 则∠AGF＝∠AHP＝90°， ∵△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形． ∴AF＝AP，∠PAF＝90°， ∴∠FAG+∠PAH＝∠APH+∠PAH＝90°， ∴∠FAG＝∠APH， ∴△AFG≌△PAH（AAS）， ∴AH＝FG，PH＝AG， 设P（m，m2+4m﹣5）， 当﹣5＜m＜1时，AH＝1﹣m，PH＝﹣m2﹣4m+5， ∴FG＝1﹣m， ∴﹣x﹣5＝1﹣m， ∴x＝m﹣6， ∴F（m﹣6，1﹣m）， ∴AG＝1﹣（m﹣6）＝7﹣m， ∴﹣m2﹣4m+5＝7﹣m， 解得m＝﹣1，m＝﹣2， ∴P坐标为（﹣1，﹣8），或（﹣2，﹣9）； 当m＞1时，AH＝m﹣1，PH＝m2+4m﹣5， ∴FG＝m﹣1， ∴﹣x﹣5＝m﹣1， ∴x＝﹣m﹣4， ∴F（﹣m﹣4，m﹣1）， ∴AG＝1﹣（﹣m﹣4）＝m+5， ∴m2+4m﹣5＝m+5， 解得m＝2，m＝﹣5（舍去）， ∴P坐标为 （2，7）； 故P坐标为 （﹣1，﹣8），或（﹣2，﹣9），或 （2，7）． 36．【解答】解：（1）由x2﹣3x﹣18＝0， 解得x1＝6，x2＝﹣3， ∵OA的长是x2﹣3x﹣18＝0的根， ∴OA＝6， ∵四边形OABC为菱形， ∴OA＝OC＝6， ∵， ∴∠COA＝60°， 又∵CQ⊥OA， ∴∠OCQ＝30°， ∴OQ＝3， ∵四边形OABC为菱形， ∴OB平分∠COA， ∴∠POQ＝30°， ∴， ∴点P的坐标为； （2）过点M作MK⊥OB于点K， 由题可知，OM＝t，则， 由（1）得：，则， 当0＜﹣t﹣＜4时，， ∴； 当4＜t≤6时，， ∴； 综上所述，； （3）如图， 当t＝3时，OM＝3，点M和点Q重合，，，∠ONM＝∠NOM＝30°， 假设在对角线OB上存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形， 当∠EMN为顶角时，点E1与点O重合，E1（0，0）； 当∠MEN为顶角时，点E2与点P重合，； 当∠ENM为顶角时，NE1＝NM＝OM＝3， 设，则OE3＝2a， ∵OE3+NE3＝ON， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上，当t＝3时，在对角线OB上存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形，E1（0，0），，； 37．【解答】（1）解：将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）解：对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝0， ﹣x2+2x+3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）， ∴OB＝OC＝3， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∵∠QCB＝2∠ABC， ∴∠QCB＝90°， 如图所示，过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G， ∴∠GCQ＝90°﹣∠ABC＝45°， ∴△GCQ是等腰直角三角形， ∵CG＝QG， 设Q（q，﹣q2+2q+3），则G（0，﹣q2+2q+3）， ∴CG＝﹣q2+2q，GQ＝q， ∴﹣q2+2q＝q， 解得：q＝0（舍去）或q＝1， ∴Q（1，4）； （3）①证明：点F与点C重合，则F（0，3）， ∵点E为AB中点，A（﹣1，0），B（3，0）， ∴E（1，0）， 设直线EF的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入E（1，0），F（0，3）， ∴， 解得：， ∴y＝﹣3x+3， 联立， 解得：或， ∴D（5，﹣12），在直线EF上，即D，E，F三点共线； ②解：设D（x1，y1），F（x2，y2）， ∵D，E，F三点共线，E（1，0） ∴设DF的解析式y＝k（x﹣1）， 联立， 消去y得，﹣x2+（2﹣k）x+（3+k）＝0， ∴x1+x2＝2﹣k，x1x3＝﹣3﹣k， ∵A（﹣1，0），B（3，0）， 设直线AD解析式为y＝k1（x+1），直线BF的解析式为y＝k2（x﹣3）， 联立， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴8， 而不为定值， ∴P在直线y＝8上运动， ∴P到x轴的距离为定值8， ∵直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，P到AM，EM的距离是变化的， ∴△ABP的面积为是定值． 38．【解答】解：（1）将点O（0，0）和点A（3，0）代入抛物线yx2+bx+c得， ， ∴， ∴； （2）SyP； （3）如图1， 作PJ⊥x轴于J，连接BF，连接BD，作MW⊥BE于W，作GV⊥BE于，作NS⊥x轴于S，延长BE，交SN于Q， 则∠Q＝∠NSD＝∠MWC＝∠MWB＝∠RBC＝90°， 把t＝﹣2代入y得，y， ∵AJ＝3﹣（﹣2）＝5， ∴AJ＝PJ， ∴∠PAJ＝45°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠PAJ＝45°， ∴∠PAJ＝∠ACD， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴可得四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝∠DBC＝45°，∠FCB＝∠BCD＝90°， ∵CF＝CD＝BC， ∴∠CFB＝∠CBF＝45°， ∵FG∥AC， ∴∠CFG＝∠ACD＝45°， ∴点F、G、B共线， ∵∠FBD＝∠FBC+∠DBC＝90°，∠GED＝90°， ∴∠FBD+∠DEG＝180°， ∴点G、E、D、B共圆， ∴∠EGD＝∠DBC＝45°，∠EDG＝∠FBC＝45°， ∴∠EGD＝∠EDG， ∴EG＝ED， ∵∠EVG＝∠DCE＝90°， ∴∠EGV+∠VEG＝90°， ∵∠DEG＝90°， ∴∠DEC+∠VEG＝90°， ∴∠DEC＝∠EGV， ∴△EGV≌△DEG（AAS）， ∴EV＝CD，CE＝GV， 设CMx，WI＝a， ∴∠ACB＝45°，CMRB， ∴WM＝CW＝x，RB＝3x， ∵MW∥BR， ∴△MWI∽△RBI， ∴， ∴BI＝3WI＝3a， ∴AB＝BC＝CW+WI+BI＝x+4a， ∵BC∥AD， ∴△RBI∽△RAD， ∴， ∴， ∴x＝2a， ∴BC＝AB＝x+4a＝6a，RB＝3x＝6a， ∴BFBC＝6a，DF＝2CD＝12a， ∵DF∥RB， ∴△GFD∽△GBR， ∴， ∴BGBF＝2， ∴GV＝BVBG＝2a， ∴CE＝GV＝2a， ∵BE＝BC+CE＝6a+2a＝8a， ∴ER， ∵RN＝RA＝12a， ∴EN＝RN﹣RE＝2a， ∴CE＝EN＝2a， 作IK⊥RN于K， 由S△RBE＝S△RBI+S△RIE得， ∴， ∴IK＝3a， ∴∠NRD＝∠ARD， ∵RD＝RD， ∴△ARD≌△NRD（SAS）， ∴∠RND＝∠RAD＝90°， ∴∠RND＝∠ECD＝90°， ∵DE＝DE， ∴Rt△DCE≌Rt△DNE（HL）， ∴DN＝CD＝6a， ∵∠Q＝∠NSO＝90°， ∴∠QEN+∠QNE＝90°， ∵∠END＝90°， ∴∠QNE+∠DNS＝90°， ∴∠DNS＝∠QEN， ∴△EQN∽△NEO， ∴， ∴NS＝3EQ，QNDS， 设N（x，y）， ∵E（3﹣8a，6a），D（3﹣6a，0）， ∴EQ＝3﹣8a﹣x，DS＝3﹣6a﹣x， ∴NS＝3（3﹣8a﹣x），NQ（3﹣6a﹣x）， ∵NQ+NS＝QS＝CD＝6a， ∴3（3﹣8a﹣x）（3﹣6a﹣x）＝6a， ∴x＝3， ∴y＝NS＝3（3﹣8a﹣x）a， ∴a， ∴a， ∴6a， ∴C（，）， 如图2， 延长DH，交CT于X，作DL⊥CT于L，交AH于Z，设CT交x轴于Y， ∵∠DHT＝90°，∠ATC＝135°， ∴∠XHT＝90°，∠XTH＝45°， ∴∠TXH＝45°， ∴∠XDL＝90°﹣∠TXH＝45°， ∴∠HZD＝90°﹣∠XDL＝45°， ∴DH＝HZ， 设HZ＝DH＝m，则XH＝2DH＝2m，DZDH， ∵∠XDL＝45°，∠ADC＝90°， ∴∠CDX+∠ADZ＝45°， ∵∠CDX+∠DCX＝∠DXL＝45°， ∴∠ADZ＝∠DCX， ∵∠DXC＝∠AZD＝135°，AD＝CD， ∴△ADZ≌△CDX（AAS）， ∴CX＝DZ， ∵DX＝DH+XH＝m+2m＝3m， ∴DL＝XL， ∴CL＝CX+XL， ∴tan∠DCL， ∴DY， ∴Y（2，0）， 设直线CT的解析式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴y． 39．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，4），B（0，1）， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+4x+1； （2）存在．理由如下： ∵BC∥x轴，且B（0，1）， ∴点C的纵坐标为1， ∴1＝﹣x2+4x+1， 解得：x1＝0（舍去），x2＝4， ∴C（4，1）， 过点A作AQ⊥BC于Q，设直线CP交y轴于点M，如图， 在Rt△ACQ中，∵A（3，4）， ∴Q（3，1）， ∵tan∠BCPtan∠ACB， ∴tan∠BCP， ∵BC＝4，∠CBM＝90°， ∴tan∠BCP， ∴BMBC4＝2， ∴|yM﹣1|＝2， ∴yM＝3或﹣1， ∴M1（0，3），M2（0，﹣1）， ∴直线CM1的解析式为yx+3，直线CM2的解析式为yx﹣1， 由，解得，（舍去）， 由，解得，（舍去）， ∴P1（，），P2（，）， 综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（，），P2（，）； （3）∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5， ∴原抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，5）， ∵将该抛物线向左平移2个单位长度得到新抛物线y′， ∴y′＝﹣x2+5， 联立得， 解得：， ∴D（1，4）， 又B（0，1）， 设E（2，t），F（m，n）， 当BD、EF为对角线时， 则， 解得：， ∴F（﹣1，3）； 当BE、DF为对角线时， 则， 解得：或， ∴F（1，4）与点D重合，不符合题意，舍去，或F（1，﹣2）； 当BF、DE为对角线时， 则， 解得：或， ∴F（3，4）或F（3，4）； 综上所述，点F的坐标为（﹣1，3）或（1，﹣2）或（3，4）或（3，4）． 40．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），（0，﹣3）三个点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3． （2）过R作RT⊥PQ，垂足为T， ∵点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m， ∴QT， ∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1， ∴点P，Q关于直线x＝1对称， ∵Q到x＝1的距离是m﹣1， ∴PQ＝2（m﹣1）＝2m﹣2， ∴PT＝2m﹣2， ∵yR＝（m）2﹣2（m）﹣3，yT＝yQ＝m2﹣2m﹣3， ∴RT＝yR﹣yT＝2m﹣22， ∴在Rt△RPT中，tan∠RPQ． （3）线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段设为A'B'，则A'（0，3），B'（4，3）， 二次函数y（x2﹣2x﹣3）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，对称轴为直线x＝1，二次函数y（x2﹣2x﹣3）与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）只是开口大小和方向发生了变化，并且||越大，开口越小．若线段A'B'与二次函数y（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点，分以下三种情况： ①当t＞0时，开口向上，如图，线段A'B'与二次函数y（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点，当抛物线经过B'（4，3）时开口最大，最小，t最大，把（4，3）代入y（x2﹣2x﹣3）得t， ∴0＜t． ②当t＜0时，开口向下，如图，线段A'B'与二次函数y（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点（1，3），代入y（x2﹣2x﹣3）得t． ③当t＜0时，开口向下，如图，线段A'B'与二次函数y（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点，当抛物线经过A'（0，3）时开口最大，||最小，t最小，把（0，3）代入y（x2﹣2x﹣3）得t＝﹣1， ∴﹣1＜t＜0． 综上，t的取值范围是：t或﹣1＜t＜0或0＜t． 41．【解答】解：（1）将点A（﹣6，0），B（8，0）代入y＝ax2+bx+6， ， 解得； （2）由（1）可知抛物线的解析式为yx2x+6， 当x＝0时，y＝6， ∴C（0，6）， ∴OC＝6， ∴S（﹣t）×63t； （3）∵S＝6， ∴﹣3t＝6， 解得t＝﹣2， ∴E（﹣2，5）， 如图：以BM为一边作∠MBT＝∠MBN，∠MBT的另一边BT交LM的延长线于点T， ∵ED∥BG， ∴∠DEB＝∠EBG， ∵∠GEB＝2∠GBM， ∴∠GEB＝∠GBT， ∴∠DEB+∠GEB＝∠EBG+∠GBT， ∴∠DEG＝∠EBT， ∵∠PBM﹣∠GBM＝∠FRB∠DEG，∠PBM﹣∠GBM＝∠TBP，∠ROB＝90°， ∴∠TBP＝90°﹣∠RBO∠EBT， ∵∠RBO+∠EBT+∠TBP＝180°， ∴∠EBT＝60°， ∵LG⊥EB， ∴∠GLB＝90°， ∴∠T＝30°， ∴LBBT， 作MK⊥BT， ∵MN⊥GB， ∴∠MKT＝∠N＝∠MKB＝90°， ∵MB＝MB， ∴△MNB≌△MKB（AAS）， ∴NB＝BK，MN＝MK， ∵BL﹣NVBV， ∴2BL﹣2NV＝BV， ∴BT﹣NV＝BV+NV＝BN＝BK， ∴BT﹣BK＝NV＝KT， ∴Rt△NMV≌Rt△KMT（HL）， ∴∠T＝∠NVM＝30°， ∴∠NMV＝60°， ∵∠EBF＝∠VMN， ∴∠EBF＝60°， 作FS⊥BE交于S点，作EQ⊥x轴交于Q点， ∴∠EQB＝∠RSF＝∠BSF＝90°， ∵B（8，0）， ∴OB＝8， ∵E（﹣2，5）， ∴EQ＝5，QB＝10， ∵tan∠EBQ， ∴， 解得OR＝4， ∴BR4， ∵tan∠FRB，tan∠FBS＝tan60°， ∴设FS＝2m，则RS＝3m，BS＝2m， ∴3m+2m＝4， 解得m， ∵RFm， ∴OF， ∴F（0，）， 设直线BF的解析式为y＝kx+c， ∴， 解得， ∴直线BF的解析式为yx． 42．【解答】解：（1）∵点M在y轴负半轴且OM＝2， ∴M（0，﹣2）， 将A（0，2），C（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）过点P作PF⊥x轴于点F，交线段AC于点E， 设直线AC的解析式为y＝kx+m（k≠0）， 将A（0，2），C（4，0）代入y＝kx+m，得 ， 解得 ， ∴直线AC的解析式为； 设点P的横坐标为p（0＜p＜4）， 则 ，， ∴， ∵S△ACM＝8，S△PACPE×OC＝﹣2p2+8p＝8， 解得p1＝p2＝2， ∴P（2，5）； （3）∵在△COM中，∠COM＝90°，以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似， ∴以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形， 又∵QD⊥x轴，直线QD交直线CM于点N， ∴∠CNQ≠90°，即点N不与点O是对应点， 故分为∠CQN＝90°和∠QCN＝90°两种情况讨论： ①当∠CQN＝90°时，由于QN⊥x轴， ∴CQ⊥y轴，即CQ在x轴上， 又∵点Q在抛物线上， ∴此时点B与点Q重合， 作出图形如下： 此时∠CQN＝∠COM＝90°， 又∵∠QCN＝∠OCM， ∴△CQN∽△COM，即此时符合题意， 令y＝﹣x2x+2＝0， 解得：x1，x2＝4（舍去）， ∴点Q的坐标，即点B的坐标是Q1（，0）； ②当∠QCN＝90°时，作图如下： ∵QD⊥x轴，∠COM＝90°， ∴QD∥OM， ∴∠CNQ＝∠OMC， ∵∠CNQ＝∠OMC，∠QCN＝∠COM＝90°， ∴△QCN∽△COM，即此时符合题意， ∵QCN∽△COM， ∴∠CQN＝∠OCM，即∠DQC＝∠OCM， ∵DQC＝∠OCM，∠QDC＝∠COM， ∴△QDC∽△COM， ∴2，QD＝2DC， 设点Q的横坐标为q，则Q（q，﹣q2q+2），D（q，0）， ∴QD＝﹣q2q+2，CD＝4﹣q， ﹣q2q+2＝2（4﹣q）， 解得：q1，q2＝4（舍去）， ∴点Q的坐标是Q2（，5）， 综上所述：点Q的坐标是，； （4）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线， 将点M向右平移m个单位长度得到点M'，作出图形如下： 由平移的性质可知，MA'＝M'A，MC'＝M'C， ∴MA'+MC'的值最小就是M'A+M'C最小值， 显然点M'在直线y＝﹣2上运动， 作出点C关于直线y＝﹣2对称的对称点C″，连接AC″交直线y＝﹣2于点M'，连接M'C，则此时M'A+M'C取得最小值，即为AC″的长度， ∵点C关于直线y＝﹣2对称的对称的点是点C″，C（4，0）， ∴C″（4，﹣4）， ∴（MA'+MC'）min＝（M'A+M'C）min＝AC″2， 设直线AC”的解析式是：y＝k1x+b1， 将点A（0，2），C″（4，﹣4）代入得：， 解得：， ∴直线AC″的解析式是：yx+2， 令yx+2＝﹣2，解得：x， ∴M'（，﹣2）， ∴平移的距离是m， 又∵y＝﹣q2q+2＝﹣（x）2， ∴平移前的抛物线的顶点坐标是（，）， ∴新抛物线的顶点坐标为（，）即（，）， 故答案为：（，），2． 43．【解答】解：（1）∵已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2， ∴b＝﹣4； （2）如图1：①令x2+bx+m＝0， 解得x＝2或x＝2， ∵M在N的左侧， ∴M（2，0），N（2，0）， ∴MN＝2，MN的中点坐标为（2，0）， ∵△MNP为直角三角形， ∴， 解得m＝0（舍）或m＝﹣1； ②∵m＝﹣1， ∴y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）， 令x2﹣4x﹣1＝﹣4， 解得x＝1或x＝3， ∴抛物线y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）与直线y＝﹣4的交点为（1，﹣4），（3，﹣4）， ∵y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+1（x＜0）， 当﹣x2+4x+1＝﹣4时，解得x＝5（舍）或x＝﹣1， ∴抛物线y＝﹣x2+4x+1（x＜0）与直线y＝﹣4的交点为（﹣1，﹣4）， ∴﹣1≤x＜2或0≤x≤1或3≤x＜2时，﹣4≤y＜0； （3）y＝x2﹣4x+m关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）， 如图2，当y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）经过点A时，﹣1﹣4﹣m＝﹣1， 解得m＝﹣4， ∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0），当x＝5时，y＝1， ∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0）与线段AB有一个交点， ∴m＝﹣4时，当线段AB与图象C恰有两个公共点； 如图3，当y＝x2﹣4x+m（x≥0）经过点（0，﹣1）时，m＝﹣1， 此时图象C与线段AB有三个公共点， ∴﹣4≤m＜﹣1时，线段AB与图象C恰有两个公共点； 如图4，当y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）经过点（0，﹣1）时，m＝1， 此时图象C与线段AB有两个公共点， 当y＝x2﹣4x+m（x≥0）的顶点在线段AB上时，m﹣4＝﹣1， 解得m＝3， 此时图象C与线段AB有一个公共点， ∴1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点； 综上所述：﹣4≤m＜﹣1或1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点． 44．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+b经过点A（，），点B（，）， ∴， 解得：， 故a，b； （2）如图1，由（1）得：a，b， ∴抛物线的解析式为yx2， ∵点D在该抛物线上，点D的横坐标为﹣2， ∴y（﹣2）2， ∴D（﹣2，）， ∵DE⊥y轴， ∴DE＝2， ∴E（0，）， ∵点P为y轴负半轴上的一个动点，且点P的纵坐标为t， ∴P（0，t）， ∴PEt， ∴SPE•DE（t）×2＝﹣t， 故S关于t的函数解析式为S＝﹣t； （3）如图2，过点C作CK⊥CN，交NR的延长线于点K，过点K作KT⊥y轴于点T， 由（2）知：抛物线的解析式为yx2， 当x＝0时，y， ∴C（0，）， ∴OC， ∵FH⊥y轴，DE⊥y轴， ∴∠FHG＝∠DEG＝90°， ∵点G为DF的中点， ∴DG＝FG， ∵∠HGF＝∠EGD， ∴△FGH≌△DGE（AAS）， ∴FH＝DE＝2，HG＝EGHE， 设直线OA的解析式为y＝kx， ∵A（，）， ∴k， 解得：k， ∴直线OA的解析式为yx， 当x＝2时，y2， ∴F（2，）， ∴H（0，）， ∴HE， ∴GEHE， ∵3CP＝5GE， ∴CPGE， ∴P（0，﹣1）， ∵AN∥y轴，PN∥x轴， ∴N（，﹣1）， ∴PN， ∵E（0，）， ∴EP（﹣1）， 设直线BP的解析式为y＝mx+n，则， 解得：， ∴直线BP的解析式为yx﹣1， 当x时，y1， ∴M（，）， ∴MN（﹣1）， ∵，， ∴， 又∵∠PNM＝∠DEP＝90°， ∴△PMN∽△DPE， ∴∠PMN＝∠DPE， ∵∠DPE+∠PDE＝90°， ∴∠PMN+∠PDE＝90°， ∵∠PMN+∠PDE＝2∠CNR， ∴∠CNR＝45°， ∵CK⊥CN， ∴∠NCK＝90°， ∴△CNK是等腰直角三角形， ∴CK＝CN， ∵∠CTK＝∠NPC＝90°， ∴∠KCT+∠CKT＝90°， ∵∠NCP+∠KCT＝90°， ∴∠CKT＝∠NCP， ∴△CKT≌△NCP（AAS）， ∴CT＝PN，KT＝CP， ∴OT＝CT﹣OC2， ∴K（，2）， 设直线RN的解析式为y＝ex+f，把K（，2），N（，﹣1）代入， 得：， 解得：， ∴直线RN的解析式为yx． 45．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，C（6，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0）， ∴抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣6）， 将点A（0，﹣4）代入解析式可得，﹣12a＝﹣4， ∴a． ∴抛物线的解析式为：y（x+2）（x﹣6）x2x﹣4． （2）∵AB⊥y轴，A（0，﹣4）， ∴点B的坐标为（4，﹣4）． ∵D（4，0）， ∴AB＝BD＝4，且∠ABD＝90°， ∴△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝45°． ∵EF⊥AB， ∴∠AFE＝90°， ∴△AEF是等腰直角三角形． ∵AEm， ∴AF＝EF＝m， ∴E（m，﹣4+m），F（m，﹣4）． ∵四边形EGFH是正方形， ∴△EHF是等腰直角三角形， ∴∠HEF＝∠HFE＝45°， ∴FH是∠AFE的角平分线，点H是AE的中点． ∴H（m，﹣4m），G（m，﹣4m）． ∵B（4，﹣4），C（6，0）， ∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣12． 当点G随着E点运动到达BC上时，有2m﹣12＝﹣4m． 解得m． ∴G（，）． （3）存在，理由如下： ∵B（4，﹣4），C（6，0），G（m，﹣4m）． ∴BG2＝（4m）2+（m）2， BC2＝（4﹣6）2+（﹣4）2＝20， CG2＝（6m）2+（4m）2． 若以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，则△BGC是直角三角形， ∴分以下三种情况： ①当点B为直角顶点时，BG2+BC2＝CG2， ∴（4m）2+（m）2+20＝（6m）2+（4m）2， 解得m， ∴G（，）； ②当点C为直角顶点时，BC2+CG2＝BG2， ∴20+（6m）2+（4m）2＝（4m）2+（m）2， 解得m， ∴G（，）； ③当点G为直角顶点时，BG2+CG2＝BC2， ∴（4m）2+（m）2+（6m）2+（4m）2＝20， 解得m或2， ∴G（3，﹣3）或（，）； 综上，存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，点G的坐标为（，）或（，）或（3，﹣3）或（，）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $