【5年中考压轴真题】2022～2026年广西选择题、填空题、解答题汇编

**基本信息** 2022-2026年广西中考数学压轴真题汇编，含选择、填空、解答题各10题，覆盖5年高频考点，适配一轮复习真题演练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|方程根与系数关系、函数图像分析、几何图形变换|结合《九章算术》等文化素材，设置易中难梯度| |填空题|10小题|概率计算、二次函数最值、解直角三角形|融入正方形折叠、纸条交叉等生活情境| |解答题|10小题|二次函数探究、杠杆原理应用、圆与几何综合|设计“动手操作”“综合与实践”模块，突出数学建模与创新应用|

【5年中考压轴真题】2022~2026年广西选择题、填空题、解答题汇编 一．选择题（共10小题） 1．（2025•广西）·【易】已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝（　　） A．﹣25 B．﹣20 C．20 D．25 2．（2024•广西）·【较易】《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（　　） A．1 B．100 C．3x+4x+5x＝1 D．3x+4x+5x＝100 3．（2023•广西）·【较易】据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　） A．3.2（1﹣x）2＝3.7 B．3.2（1+x）2＝3.7 C．3.7（1﹣x）2＝3.2 D．3.7（1+x）2＝3.2 4．（2022•桂林）·【较易】桂林作为国际旅游名城，每年吸引着大量游客前来观光．现有一批游客分别乘坐甲乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲大巴因故停留一段时间后继续驶向景点，乙大巴全程匀速驶向景点．两辆大巴的行程s（km）随时间t（h）变化的图象（全程）如图所示．依据图中信息，下列说法错误的是（　　） A．甲大巴比乙大巴先到达景点 B．甲大巴中途停留了0.5h C．甲大巴停留后用1.5h追上乙大巴 D．甲大巴停留前的平均速度是60km/h 5．（2026•广西）·【较易】在平面上，基本图形经过旋转、平移等图形变化可以得到丰富的图案．如图1，在菱形ABCD中剪去一个菱形EMFD得到如图2的基本图形，图2经过旋转、拼接得到图3，图3经过平移、拼接得到图4．若AB＝2，点E，F分别为AD，CD的中点，则图1中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 6．（2026•广西）·【较易】已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在反比例函数的图象上，则y1，y2满足（　　） A．2y1+y2＝0 B．y1+2y2＝0 C．2y1﹣y2＝0 D．y1﹣2y2＝0 7．（2025•广西）·【中档】如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线y的一支上．若点A的坐标为（4，），则第三级阶梯的高EF＝（　　） A．4 B．3 C． D． 8．（2023•广西）·【中档】如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 9．（2022•桂林）·【中档】如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则△ABC的面积是（　　） A． B．1 C．2 D．2 10．（2024•广西）·【中档】如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点．连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（　　） A．1 B．2 C．5 D．10 二．填空题（共10小题） 11．（2025•广西）·【较易】如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD，则AD＝　 　 ． 12．（2025•广西）·【较易】从3，4，5三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为　 　 ． 13．（2022•桂林）·【较易】如图，点A在反比例函数y的图象上，且点A的横坐标为a（a＜0），AB⊥y轴于点B，若△AOB的面积是3，则k的值是 　 　 ． 14．（2026•广西）·【较易】如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE，BE．若AB＝4，，则BE＝ 　 　 ． 15．（2026•广西）·【较易】二次函数y＝（x﹣20）2+26的最小值为　 　 ． 16．（2023•广西）·【较易】如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约 　 　 m（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 17．（2024•广西）·【中档】如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M则OM＝　 　 m． 18．（2023•广西）·【中档】如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 　 　 ． 19．（2022•桂林）·【中档】如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 　 　 米． 20．（2024•广西）·【中档】如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 　 　 cm． 三．解答题（共10小题） 21．（2024•广西）·【中档】课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y＝x2+2ax+a﹣3的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出a＝﹣4，求二次函数y＝x2+2ax+a﹣3的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成如表： a … ﹣4 ﹣2 0 2 4 … x … * 2 0 ﹣2 ﹣4 … y的最小值 … * ﹣9 ﹣3 ﹣5 ﹣15 … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x＝﹣a，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值” （2）请结合函数解析式y＝x2+2ax+a﹣3，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 22．（2023•广西）·【中档】【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务， 【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m）•l＝M•（a+y），其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 【方案设计】：目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值； 任务二：确定刻线的位置． （4）根据任务一，求y关于m的函数解析式； （5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 23．（2026•广西）·【中档】如图1，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，∠BAC＝45°，BC＝2，BD⊥AC于点D． （1）求证：OD平分∠ADB； （2）如图2，若以O为圆心，OD为半径的圆与BC相切于点E，求AC的长及∠CBD的度数． 24．（2026•广西）·【较难】关于x的一次函数yx+k（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，O是坐标原点． 【性质初探】 （1）y随x的增大而　 　 （填“增大”或“减小”）； （2）求证：△AOB的面积为1； 【归纳提炼】我们把形如yx+k（k≠0）的一次函数称为“正向积1”函数． 【深入探究】 （3）图象经过点（2，2）的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请说明理由； （4）已知点P（m，n）不在坐标轴上，若图象过点P的“正向积1”函数有且只有一个． ①求n关于m的函数解析式； ②选取一个符合条件的点P，并验证该点是线段AB的中点． 25．（2025•广西）·【较难】【平行六边形】如图1，在凸六边形ABCDEF中，满足AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中AB与DE，BC与EF，CD与FA叫做“主对边”；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F叫做“主对角”；AD，BE，CF叫做“主对角线”． （1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 　 　 ②平行六边形的三组主对角分别相等 　 　 ③平行六边形的三条主对角线互相平分 　 　 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． （2）如图2，已知平行六边形OPQRST满足OP＝PQ＝QR＝RS．求证：平行六边形OPQRST是菱六边形； （3）如图3是一张边长为3，4，6的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 26．（2023•广西）·【较难】【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF：折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B′，E′展平纸片，连接AB′，BB′，BE′．请完成： （1）观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系； （2）证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B′，P′，展平纸片，连接BB′，P′B′．请完成： （3）证明BB′是∠NBC的一条三等分线． 27．（2022•桂林）·【较难】如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）求CP+PQ+QB的最小值； （3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标． 28．（2022•桂林）·【较难】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值； （3）在（2）的条件下，求的值． 29．（2024•广西）·【难】如图1，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6．AC的垂直平分线分别交AC，AB于点M，O，CO平分∠ACB． （1）求证：△ABC∽△CBO； （2）如图2，将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A'OC'，旋转角为α（0°＜α＜360°）．连接A′M，C′M． ①求△A'MC'面积的最大值及此时旋转角α的度数，并说明理由； ②当△A'MC'是直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数． 30．（2025•广西）·【难】综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）． 初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影▱MNPQ的平面图如图2所示，P在AD上，MN＝3m，AN＝1m，AP＝2m，AB＝3m，BC＝2.5m．由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，▱MNPQ也随之移动（MN始终在AB边所在直线l上且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为▱MNPQ移动到P落在BC上的情形． 【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时▱MNPQ的位置． 设遮阳区的面积为Sm2，▱MNPQ从初始时向右移动的距离为xm． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的x与S的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至M与A重合，求该过程中S关于x的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，▱MNPQ向右移动了多少？（直接写出结果） 【5年中考压轴真题】2022~2026年广西选择题、填空题、解答题汇编 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x220． 故选：C． 2．【解答】解：设出租的田有x亩，根据题意得， 111＝100， 整理得，100． 故选：B． 3．【解答】解：由题意得：3.2（1+x）2＝3.7， 故选：B． 4．【解答】解：由图象可得， 甲大巴比乙大巴先到达景点，故选项A正确，不符合题意； 甲大巴中途停留了1﹣0.5＝0.5（h），故选项B正确，不符合题意； 甲大巴停留后用1.5﹣1＝0.5h追上乙大巴，故选项C错误，符合题意； 甲大巴停留前的平均速度是30÷0.5＝60（km/h），故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 5．【解答】解：由图可得3∠B＝360°， ∴∠B＝120°， ∵在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠A＝180°﹣120°＝60°， 作DG⊥AB于G，交EM于H， ∵四边形EMFD是菱形， ∴EM∥CD， ∴EM∥AB∥CD， ∴DH⊥EM，∠DEM＝∠A＝60° ∴Rt△ADG中，， ∵点E，F分别为AD，CD的中点， ∴DE＝MF＝EM＝DF＝1， 同法可求得 ∴， 故选：B． 6．【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（1，y2）在反比例函数的图象上， ∴﹣2y1＝y2， ∴2y1+y2＝0． 故选：A． 7．【解答】解：∵点A（4，）在双曲线y上， ∴k＝46， ∴反比例函数的解析式为y， ∵BC＝1且BC与x轴平行，AB与y轴平行，点A坐标为（4，）， ∴点C的横坐标比点A的横坐标小1，即横坐标为3， ∵点C在y上， ∴C点坐标为（3，2）， 同理，DE＝1，则点E的横坐标为2，把x＝2代入y，则y＝3， ∴求得E点坐标为（2，3）， FG＝1，则点G的横坐标为1，把x＝1代入y，则y＝6， ∴G点坐标为（1，6）， 观察图象可知，EF的长度等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标， 即EF＝6﹣3＝3． 故选：B． 8．【解答】解：设A（m，）， 在y中，令y得x，令x＝m得y， ∴B（，），D（m，）， ∴C（，）， ∴S2＝S4＝1，S3， ∵， ∴11， 解得k＝2， 经检验，k＝2是方程的解，符合题意， 故选：C． 9．【解答】解：如图，过点A作AD⊥AC于点A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E， ∵∠C＝45°， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CDAC＝2， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°， ∴∠DAB＝22.5°， ∴∠B＝∠DAB， ∴AD＝BD＝2， ∵AD＝AC，AE⊥CD， ∴DE＝CE， ∴AECD， ∴△ABC的面积•BC•AE（2+2）＝2． 故选：D． 10．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为各边中点， ∴∠ABC＝∠ADC＝∠BCA＝∠BAC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，AH＝DH＝AE＝BE＝BF＝CF＝CG＝DG， ∴△ABH≌△BCE≌CDF≌△DAG（SAS）， ∴∠ABH＝∠BCE＝∠CDF＝∠DAG，∠AHB＝∠BEC＝∠CFD＝∠DGA， ∴∠DQA＝∠AMB＝∠CNB＝∠CPD＝90°， ∴∠HMA＝∠ENB＝∠CPF＝∠GQD＝90°， ∴BH∥DF，AG∥CE， ∴△ADQ≌△DPC≌△CNB≌△BMA（ASA）， ∵HM，EN，PF，QG分别为△ADQ，△BAM，△CNB，△DPC 的中位线， ∴M，N，P，Q分别为AQ，BM，CN，DP 的中点， ∴MN＝PN＝PQ＝QM， ∴四边形MNPQ为正方形， 正方形的边长为5，则CD＝5，CF＝2.5， 由勾股定理得，DF， 由题意得△DQG∽△DFC， ∴DQ：QG＝CD：CF＝2：1，得 DQ＝2QG， ∵E，F，G，H分别为各边中点． ∴DQ＝PQ ∴四边形MNPQ的面积， 故选：C． 二．填空题（共10小题） 11．【解答】解：延长AD交BC于E， ∵AB＝CA，BD＝CD， ∴AE⊥BC，BE＝CE， ∵AB＝BC＝CA＝2， ∴BE＝CE＝1， ∴AE，DE1， ∴AD＝AE﹣DE1． 故答案为：1． 12．【解答】解：列表如下： 3 4 5 3 7 8 4 7 9 5 8 9 由表知，共有6种等可能结果，其中选出的两个数字之和是偶数的有2种结果， 所以选出的两个数字之和是偶数的概率为， 故答案为：． 13．【解答】解：设点A的坐标为（a，）， ∵△AOB的面积是3， ∴3， 解得k＝﹣6， 故答案为：﹣6． 14．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且AB＝4， ∴AD＝CD＝BC＝AB＝4，∠D＝∠C＝90°， 在△ADE中，∠D＝90°， ∴tan∠DAE， ∴DEAD1， ∴CE＝CD﹣DE＝4﹣1＝3， 在△BCE中，∠C＝90°， 由勾股定理得：BE5． 故答案为：5． 15．【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝（x﹣20）2+26， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝20． ∴当x＝20时，y取最小值为26． 故答案为：26． 16．【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB， ∴AD＝BDAB， 在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3m， ∴AC5（m），AD4（m）， ∴CA＝CB＝5m，AB＝2AD＝8（m）， ∴共需钢材约＝AC+CB+AB+CD＝5+5+8+3＝21（m）， 故答案为：21． 17．【解答】解：如图，以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立直角坐标系， 由题意可知，P（0，），B（5，4），其中B点为抛物线顶点， 设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣5）2+4， 将P（0，）代入上式， 解得：a， 即抛物线的解析式为：y（x﹣5）2+4， M为抛物线与x轴的交点， 即y（x﹣5）2+4＝0， 解得：x1，x2（舍）， ∴OMm． 故答案为：． 18．【解答】解：如图所示，连接AE， ∵M，N分别是EF，AF的中点， ∴MN是△AEF的中位线， ∴， ∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°， ∴， ∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大， ∵点E是BC上的动点， ∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度， ∴此时 ， ∴， ∴MN的最大值为． 故答案为：． 19．【解答】解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作⊙F， ∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点， ∴MF＝FN＝20m，OF＝40m， ∵∠AOB＝30°，EF⊥OB， ∴EF＝20m，OEEF＝20m， ∴EF＝MF， 又∵EF⊥OB， ∴OB是⊙F的切线，切点为E， ∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大， 此时OP＝20m， 故答案为：20． 20．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∵两张纸条宽度均为3cm， ∴四边形ABCD为平行四边形，且AE＝AF＝3cm， ∴∠ADF＝∠ABE＝60°， ∴△ADF≌△ABE（AAS）， ∴AD＝AB， ∴四边形ABCD为菱形， 在Rt△ADF中，∠ADF＝60°，AF＝3cm， ∴AD， 四边形ABCD的周长为：cm． 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 21．【解答】解：（1）①a＝﹣4，y＝x2+2ax+a﹣3＝x2﹣8x﹣7； ②当抛物线在对称轴即x＝4时，y取得最小值为：16﹣32﹣7＝﹣23； （2）合理，理由： ∵1＞0，故函数有最小值， 当x＝﹣a（对称轴）时，y取得最小值， 故甲同学的说法合理； （3）正确，理由： 当x＝﹣a时，y＝x2+2ax+a﹣3＝﹣a2+a﹣3， ∵﹣1＜0，故y有最大值， 当a时，y的最大值为：3． 22．【解答】解：（1）由题意得：m＝0，y＝0， ∵m0＝10，M＝50， ∴10l＝50a， ∴l＝5a； （2）由题意得：m＝1000，y＝50， ∴（10+1000）l＝50（a+50）， ∴101l﹣5a＝250； （3）由（1）（2）可得：， 解得：； （4）由（3）可知：l＝2.5，a＝0.5， ∴2.5（10+m）＝50（0.5+y）， ∴； （5）由（4）可知：， 当m＝100时，则有y＝5； ∴相邻刻线间的距离为5厘米． 23．【解答】（1）证明：连接OA，OB，如图1所示： ∵⊙O是锐角三角形ABC的外接圆， ∴OA＝OB， ∵BD⊥AC于点D， ∴∠BDA＝90°， 在△BDA中，∠BDA＝90°，∠BAC＝45°， ∴△BDA是等腰直角三角形， ∴AD＝BD， 在△AOD和△BOD中， ， ∴△AOD≌△BOD（SSS）， ∴∠ADO＝∠BDO， ∴OD平分∠ADB； （2）解：连接OB，OC，OE，DE，过点O作OM⊥AC于点M，如图2所示： ∴∠OMC＝90°，OC＝OB， ∴△OMD和△OMC都是直角三角形， 根据垂径定理得：CM＝AM， ∴AC＝2CM， ∵∠BAC＝45°， ∴根据圆周角和圆心角的关系得：∠BOC＝2∠BAC＝90°， 在△OBC中，∠BOC＝90°，BC＝2，OC＝OB， 由勾股定理得：BCOC， ∴OC＝OBBC， 由切线的性质得：OE⊥BC， 在△OBC中，BC＝2，OC＝OB， ∴OEBC＝1，点E是BC的中点， ∴OD＝OE＝1， ∵BD⊥AC于点D， ∴∠BDA＝∠BDC＝90°， 由（1）的结论得：∠ADO＝∠BDO∠BDA＝45°， 在Rt△OMD中，∠ADO＝45°， ∴Rt△OMD是等腰直角三角形， ∴OM＝DM， 由勾股定理得：ODOM， ∴OM＝DMOD， 在Rt△OMC中，由勾股定理得：CM， ∴AC＝2CM； 在△BDC中，∠BDC＝90°，点E是BC的中点， ∴DE是Rt△BDC的斜边BC上的中线， 根据直角三角形斜边中线性质得：DE＝BE＝CEBC＝1， ∴OE＝OD＝DE＝1， ∴△OED是等边三角形， ∴∠OED＝60°， ∵OE⊥BC， ∴∠OEC＝90°， ∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＝30°， ∵DE＝BE＝1， ∴∠EBD＝∠EDB， 又∵∠CED是△EBD的外角， ∴∠CED＝∠EBD+∠EDB＝2∠EBD＝30°， ∴∠EBD＝15°， ∴∠CBD＝∠EBD＝15°． 24．【解答】（1）解：∵k2＞0， ∴y随x的增大而增大， 故答案为：增大； （2）证明：当x＝0时，y＝k， ∴B（0，k）， 当y＝0时，x， ∴A（，0）， ∴△AOB的面积|k|×||＝1； （3）存在，理由如下： 将点（2，2）代入yx+k中， ∴k2×2+k＝2， 解得k＝1或k＝﹣2， 当k＝1时，yx+1； 当k＝﹣2时，y＝2x﹣2； （4）解：①将点P（m，n）代入yx+k中， ∴m+k＝n， ∵图象过点P的“正向积1”函数有且只有一个， ∴Δ＝1+2mn＝0（m≠0）， ∴n； ②取m＝1，则n， ∴P（1，）， ∴k， 解得k＝﹣1， ∴yx﹣1， ∴A（2，0），B（0，﹣1）， ∴AB的中点为（1，）， ∴该点是线段AB的中点． 25．【解答】（1）解：连接BE，CF，AD，BE，AD交于点O， 由图可知： ①AB平行于DE，只能知道△AOB∽△DOE，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②AB平行于DE，∠ABE＝∠BED，同理可得∠CBE＝BEF，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的． 故答案为：①错误；②正确；③错误； （2）证明：过点Q作QH平行且相等于PO，连接OH，HS， 则平行四边形PQHO是平行四边形， ∴PQ平行于OH，PQ＝OH， 在平行六边形OPQRST中，PO平行于RS，PO＝RS， ∴QH平行且相等于RS， ∴QRSH为平行四边形， ∴QR平行于HS，QR＝HS， 在平行六边形OPQRST中，PQ平行于ST，QR平行于OT， ∴OH平行于ST，HS平行于OT， ∴HSTO为平行四边形， ∴HS＝OT，OH＝ST， ∴QR＝OT，PQ＝ST， ∵OP＝PQ＝QR＝RS， ∴PQ＝QR＝RS＝ST＝OT＝PO， ∴平行六边形OPQRST是菱六边形． （3）解：设三角形纸片为△ABC， 裁剪后的纸片为菱六边形DEFGHK， ∴DE平行于HG，HK平行于EFHG，GF平行于AB，DE＝EF＝FG＝HG＝KH＝DK， ∴△ADE∽△ABC，△BKH∽△BAC， ∴，， 设DE＝EF＝FG＝HG＝KH＝DK＝x， 则， ∴，，， ∵AB＝AD+DK+BK＝3， ∴， 解得：， ∴，，． 26．【解答】（1）解：∠1＝∠2＝∠3； （2）证明：如图1， 设AM，EF交于点O， 由题意得：EF是AB的垂直平分线，AM是BB′的垂直平分线，AB＝AB′， ∴AB′＝BB′，OA＝OB＝OB′， ∴AB′＝BB′＝AB，O为外心， ∴∠ABB′＝60°， ∴∠1＝∠2＝30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠3＝90°﹣60°＝30°， ∴∠1＝∠2＝∠3； （3）证明：如图2， 同理（2）得：OB＝OB′＝OP＝OP′，BP′＝PB′＝BB′， ∴∠P′BO＝∠B′BO，∠OBB′＝∠BB′O， ∵EF∥BC， ∴∠OB′B＝∠B′BC， ∴∠P′BO＝∠B′BO＝∠B′BC， ∴BB′是∠NBC的一条三等分线． 27．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）； （2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，如图： ∵CC'＝PQ，CC'∥PQ， ∴四边形CC'QP是平行四边形， ∴CP＝C'Q， ∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ， ∵B，Q，C'共线， ∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值， ∵C（0，4），CC'＝PQ＝1， ∴C'（0，3）， ∵B（4，0）， ∴BC'5， ∴BC'+PQ＝5+1＝6， ∴CP+PQ+BQ最小值为6； （3）如图： 由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x， 设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0）， ∵B（4，0），C（0，4）； ∴BN，QN＝t，PM，CM＝|t﹣3|， ∵∠CMP＝∠QNB＝90°， ∴△CPM和△QBN相似，只需或， ①当时，， 解得t或t， ∴Q（，）或（，）； ②当时，， 解得t或t（舍去）， ∴Q（，）， 综上所述，Q的坐标是（，）或（，）或（，）． 28．【解答】（1）证明：如图1，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD∥OC， ∵CD⊥AD， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵AE＝4BE，OA＝OB， 设BE＝x，则AB＝3x， ∴OC＝OB＝1.5x， ∵AD∥OC， ∴∠COE＝∠DAB， ∴cos∠DAB＝cos∠COE； （3）解：由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x， ∴EC2x， ∵FG⊥AB， ∴∠AGF＝90°， ∴∠AFG+∠FAG＝90°， ∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB， ∴∠E＝∠AFH， ∵∠FAH＝∠CAE， ∴△AHF∽△ACE， ∴． 29．【解答】（1）证明：∵OM垂直平分AC， ∴OA＝OC，∠A＝∠ACO， ∵CO平分∠ACB， ∴∠ACO＝∠BCO＝∠A， ∵∠B＝∠B， ∴△ABC∽△CBO． （2）解：①∵∠ACO＝∠BCO＝∠A，∠B＝90°， ∴：∠ACO＝∠BCO＝∠A＝30°， 在Rt△ABC中，AB＝6， ∴AC4， ∴AM＝2， ∴OM＝AM•tan30°＝2， 如图3，作MH⊥A'C'于点H，ON⊥A'C'于点N，连接MN， 在△AOC旋转的过程中，对应边AC＝A'C'＝4，对应高OM＝ON＝2， 在Rt△MHN中，MH＜MN， 在△OMN中，MN＜OM+ON， ∴MH＜MN＜OM+ON， 如图4，当N、H重合时MH取最大值，此时最大值为OM+ON＝4， ∴S△A'MC'A'C'•MH＝8，即△A'MC'面积最大值是8， 此时M、O、N三点共线，α＝∠MON＝180°． ②在旋转得过程中，等腰三角形AOC的形状、大小不变，∠AOC＝∠A'OC'＝120°， ∵MC′≤MO+OC'＝MO+OC＝6＜4A'C'，同理MA'≤6＜A'C'， ∴△A'MC'中只有可能∠A'MC'＝90°， ∵OM垂直平分AC， ∴MA＝MC，∠AMO＝90°， （Ⅰ）如图5，当点C'与A重合时，A'恰好在MO的延长线上，满足∠A'MC'＝90°，此时α＝120°； （Ⅱ）如图6，当A'与C重合时，点C'恰好在MO的延长线上，满足∠A'MC'＝90°，此时α＝240°． 综上，当△A'MC'是直角三角形时，α为120°或240°． 30．【解答】解：（1）由图可知，初始位置时S＝0， ∴从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大而增大； （2）如图： 根据题意，初始位置时P在AD上，右移至图3时，P在BC上， ∴向右移动的距离x＝AB＝3m，此时AM＝1m，Q向右移动到AD上， ∴AN＝MN﹣AM＝3﹣1＝2（m）， ∴S5（m2）； ∴图3情形的x的值为3m，S的值为5m2； （3）设初始位置时，∠ANP＝α，如图： ∵AP＝2m，AN＝1m，∠PAN＝90°， ∴tanα2， 从图3情形起右移至M与A重合的过程中，设PQ交BC于G，PN交BC于E，QM交AD于点F，连接EF，如图： 由平移的性质可知，PG＝（x﹣3）m，BN＝（4﹣x）m， ∴GQ＝3﹣（x﹣3）＝（6﹣x）m，AN＝3﹣（4﹣x）＝（x﹣1）m， ∵tanP＝tan∠ENB＝tanα＝2， ∴GE＝2PG＝（2x﹣6）m，BE＝2BN＝（8﹣2x）m， ∵AM＝MN﹣AN＝AB﹣AN＝BN，∠MAF＝90°＝∠NBE，∠FMA＝∠ENB， ∴△FMA≌△ENB（ASA）， ∴FM＝EN， ∵FM∥EN， ∴四边形FMNE是平行四边形， ∴EF∥MN，EF＝MN＝3m， ∵MN∥PQ， ∴四边形QFEG，四边形FANE都是梯形， ∴S＝S梯形QFEG+S梯形FANE2x2+14x﹣19， ∴S关于x的解析式为S＝﹣2x2+14x﹣19（3＜x≤4）； （4）当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，故当x＝3时，由（2）知，S最大为5m2； 当3＜x≤4时，S＝﹣2x2+14x﹣19＝﹣2（x）2 ∴当x时，S最大为； 当x＞4时，S随x的增大而减小，此时S； ∵5， ∴遮阳区面积最大时，▱MNPQ向右移动了m． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $