【5年中考压轴真题】2022～2026年广东省选择题、填空题、解答题汇编

**基本信息** 2022-2026年广东省中考数学压轴真题汇编，含选择、填空、解答题各10题，覆盖函数、几何、概率等核心知识，适配一轮复习真题训练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|函数概念、圆的性质、概率计算|结合“广东醒狮”非遗情境，基础与中档题梯度分布| |填空题|10题|二次函数表达式、阴影面积、三角函数|设置开放题（如二次函数表达式），考查知识灵活应用| |解答题|10题|几何综合（旋转、相似）、函数与几何综合、文化探究（《九章算术》勾股数）|注重跨知识整合，如23题结合传统文化与实际应用，24题函数与几何动态问题，体现压轴题综合性|

【5年中考压轴真题】2022~2026年广东省选择题、填空题、解答题汇编 一．选择题（共10小题） 1．（2022•广东）·【易】水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr．下列判断正确的是（　　） A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量 2．（2024•广东）·【较易】已知不等式kx+b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．（2026•广东）·【较易】某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”“广绣”“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•广东）·【较易】方程的解是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝﹣9 C．x＝3 D．x＝9 5．（2023•广东）·【较易】如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 6．（2022•广东）·【较易】点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（　　） A．y1 B．y2 C．y3 D．y4 7．（2026•广东）·【中档】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得△AB′C′，连接B′C，则△AB′C的周长为（　　） A． B．18 C． D．24 8．（2025•广东）·【中档】如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG．若AB＝8，BC＝12，则tan∠GCF的值是（　　） A． B． C． D． 9．（2023•广东）·【中档】如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4 10．（2025•广东）·【中档】如图，在直径BC为2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共10小题） 11．（2025•广东）·【较易】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是　 　 ．（写出一个即可） 12．（2023•广东）·【较易】边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 13．（2022•广东）·【较易】扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留π）为 　 　 ． 14．（2025•广东）·【较易】计算20﹣2sin30°的结果是　 　 ． 15．（2024•广东）·【较易】计算：　 　 ． 16．（2023•广东）·【较易】某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打 　 　 折． 17．（2022•广东）·【较易】若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝ 　 　 ． 18．（2026•广东）·【较易】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝2，连接BD，∠BDC＝110°，∠ABD＝20°，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EF，FG，EG，则EG＝ 　 　 ． 19．（2026•广东）·【中档】如图，直线y＝2x+b与反比例函数y在第二象限的图象交于点A，B，与x轴交于点C．点A的横坐标为﹣1，且AB＝2BC，则反比例函数的解析式为　 　 ． 20．（2024•广东）·【中档】如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2026•广东）·【中档】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2，点D在AB上，且BD＝3AD，连接CD．过点A作CD的垂线交CD于点E，交BC于点F，连接BE，AE＝2． （1）求CE的长； （2）求证：BD2＝9DE•DC； （3）求的值． 22．（2022•广东）·【中档】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB． （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若AB，AD＝1，求CD的长度． 23．（2025•广东）·【中档】《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．如表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10， 　 ，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全如表中的勾股数． （2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 24．（2024•广东）·【较难】【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y＝ax（a＞0）上第一象限内的两个动点（OD＞OB），以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数y的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为（1，2）时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP＝3，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围． 25．（2023•广东）·【较难】综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F． （1）当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF；（直接写出结果，不要求写解答过程） （2）若点A（4，3），求FC的长； （3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接FN．将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2．设S＝S1﹣S2，AN＝n，求S关于n的函数表达式． 26．（2022•广东）·【较难】如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q． （1）求该抛物线的解析式； （2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标． 27．（2024•广东）·【较难】【知识技能】 （1）如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′．当点E的对应点E′与点A重合时，求证：AB＝BC． 【数学理解】 （2）如图2，在△ABC中（AB＜BC），DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′，连接A′B，C′C，作△A′BD的中线DF．求证：2DF•CD＝BD•CC′． 【拓展探索】 （3）如图3，在△ABC中，tanB，点D在AB上，AD．过点D作DE⊥BC，垂足为E，BE＝3，CE．在四边形ADEC内是否存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 28．（2023•广东）·【较难】综合探究 如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′． （1）求证：AA'⊥CA'； （2）以点O为圆心，OE为半径作圆． ①如图2，⊙O与CD相切，求证：； ②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积． 29．（2026•广东）·【难】如图1，设O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（﹣3，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，连接AB，BC． （1）求二次函数的解析式； （2）求cos∠ABC的值； （3）如图2，动点P在线段AB上，过点P作AB的垂线PQ，与二次函数在第二象限的图象交于点Q，求BP+2PQ的最大值． 30．（2025•广东）·【难】定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． （1）如图1，点P是线段MN的中外比点，MP＞PN，MN＝2，求PN的长． （2）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图3，动点B在第一象限内，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D，E，与对角线OB相交于点F．当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明． 【5年中考压轴真题】2022~2026年广东省选择题、填空题、解答题汇编 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D B D A B B D 一．选择题（共10小题） 1．【答案】C 【解答】解：根据题意可得， 在C＝2πr中．2，π为常量，r是自变量，C是因变量． 故选：C． 2．【答案】B 【解答】解：A．不等式kx+b＜0的解集是x＞﹣2，故本选项不符合题意； B．不等式kx+b＜0的解集是x＜2，故本选项符合题意； C．不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣2，故本选项不符合题意； D．不等式kx+b＜0的解集是x＞2，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．【答案】C 【解答】解：将这三个体验项目分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能的结果，其中他们恰好抽到同一个体验项目的结果有3种， ∴他们恰好抽到同一个项目的概率为． 故选：C． 4．【答案】D 【解答】解：， 2x＝3（x﹣3）， 解得：x＝9， 检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0， ∴x＝9是原方程的根， 故选：D． 5．【答案】B 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∵∠BAC＝50°， ∴∠ABC＝40°， ∵， ∴∠D＝∠ABC＝40°， 故选：B． 6．【答案】D 【解答】解：∵k＝4＞0， ∴在第一象限内，y随x的增大而减小， ∵（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y图象上，且1＜2＜3＜4， ∴y4最小． 故选：D． 7．【答案】A 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴， 将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△AB′C'， ∴AB'＝AB＝6，∠BAB'＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴AB'∥BC， 过点B'作B′H⊥BC于点H，则四边形ABHB'为矩形， ∴BH＝AB'＝6，B'H＝AB＝6， ∴HC＝BC﹣BH＝8﹣6＝2， 在Rt△B'HC 中，， ∴ΔAB′C的周长为6+10， 故选：A． 8．【答案】B 【解答】解：过点G作GM⊥BC于点M，如图所示： 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝90°， ∵点E，F是BC的三等分点， ∴BE＝EF＝CFBC＝4， ∴BF＝BE+EF＝8， ∴AB＝BF＝8， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴∠BFA＝45°， 同理：△CDE是等腰直角三角形， ∴∠CED＝45°， ∴∠BFA＝∠CED＝45°， ∴△GEF是等腰直角三角形， ∵GM⊥EF， ∴GM＝EM＝FMEF＝2， ∴CM＝CF+MF＝4+2＝6， 在Rt△GMC中，tan∠GCF． 故选：B． 9．【答案】B 【解答】解：过A作AH⊥x轴于H， ∵四边形ABCO是正方形， ∴∠AOB＝45°， ∴∠AOH＝45°， ∴AH＝OH， 设A（m，m），则B（0，2m）， ∴， 解得am＝﹣1，m， ∴ac的值为﹣2， 故选：B． 10．【答案】D 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D， ∵BC是直径， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵AD⊥BC， ∴AD＝BD＝CD， ∴AB2， ∴S扇形ABCπ，2π， ∴该粒米落在扇形内的概率为， 故选：D． 二．填空题（共10小题） 11．【答案】y＝﹣x2+x+2（答案不唯一） 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0）， ∴0＝﹣c2+bc+c， ∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象不经过原点， ∴c≠0， 则c﹣b＝1， 若取b＝1，则c＝2， ∴该二次函数的表达式可以是y＝﹣x2+x+2， 故答案为：y＝﹣x2+x+2（答案不唯一）． 12．【答案】15． 【解答】解：如图， ∵BF∥DE， ∴△ABF∽△ADE， ∴， ∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10， ∴， ∴BF＝2， ∴GF＝6﹣2＝4， ∵CK∥DE， ∴△ACK∽△ADE， ∴， ∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10， ∴， ∴CK＝5， ∴HK＝6﹣5＝1， ∴阴影梯形的面积（HK+GF）•GH （1+4）×6 ＝15． 故答案为：15． 13．【答案】π． 【解答】解：Sπ． 故答案为：π． 14．【答案】0． 【解答】解：原式＝1﹣2 ＝1﹣1 ＝0， 故答案为：0． 15．【答案】1． 【解答】解：原式1． 故答案为：1． 16．【答案】8.8． 【解答】解：设这种商品可以按x折销售， 则售价为5×0.1x，那么利润为5×0.1x﹣4， 所以相应的关系式为5×0.1x﹣4≥4×10%， 解得：x≥8.8． 答：该商品最多可以打8.8折， 故答案为：8.8． 17．【答案】1． 【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中， 得1﹣2+a＝0， 解得a＝1． 故答案为：1． 18．【答案】． 【解答】解：如图，延长BA，CD交于点H， ∵AD≠BC， ∴AB⊥CD，AB＝CD， ∴∠HBC+∠HCB＝90°， ∵点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点， ∴EGAB＝1，GFCD＝1，EF∥AB，GF∥DC， ∴∠BFG＝∠G，∠EFD＝∠HBD，EF＝GF． ∴∠EFG＝∠EFD+∠GFD＝∠ABD+∠DBC+∠BFG＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠HBC+∠HCB＝90°． ∴△EFG是等腰直角三角形， ∴EG， 故答案为：． 19．【答案】y． 【解答】解：由题意，过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F， ∴AE∥BF． ∴． ∵点A的横坐标为﹣1，直线y＝2x+b与反比例函数y在第二象限的图象交于点A，B， ∴OE＝1，A（﹣1，﹣k）． ∴AE＝﹣k，﹣2+b＝﹣k①． ∴BFAEk． ∴B（﹣3，k）． ∴﹣6+bk②． 由①②得，k＝﹣6． ∴反比例函数为y． 故答案为：y． 20．【答案】10 【解答】解：连接BD， ∵E是AB的中点， ∴S△AEDS△ABDS菱形ABCD＝6， 连接EC， 同理可得S△BEC＝S△AED＝6， ∵S△BEF＝4， ∴S△BEFS△BEC， ∴FCBC， ∴S△DFCS△BCDS菱形ABCD＝4， ∴S阴影＝S菱形ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DFC＝24﹣6﹣4﹣4＝10． 故答案为：10． 三．解答题（共10小题） 21．【答案】（1）4； （2）∵∠BAC＝90°，AE⊥CD， ∴∠AED＝∠CAD＝90°，∠DAE＝∠ACD＝90°﹣∠ADC， ∵∠ADE＝∠CDA， ∴△ADE∽△CDA， ∴， ∴AD2＝DE•DC， ∵BD＝3AD， ∴BD2＝9AD2， ∴BD2＝9DE•DC； （3）2． 【解答】（1）解：∵，AE＝2，AE⊥CD， ∴； （2）证明：∵∠BAC＝90°，AE⊥CD， ∴∠AED＝∠CAD＝90°，∠DAE＝∠ACD＝90°﹣∠ADC， ∵∠ADE＝∠CDA， ∴△ADE∽△CDA， ∴， ∴AD2＝DE•DC， ∵BD＝3AD， ∴BD2＝9AD2， ∴BD2＝9DE•DC； （3）解：由（2）知∠DAE＝∠ACD， ∵AE⊥CD， ∴∠AED＝∠CEA＝90°， ∴△AED∽△CEA， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴AC2＝AD×AB， ∴， ∵∠DAC＝∠CAB， ∴△DAC∽△CAB， ∴∠ACD＝∠ABC， ∵∠DAE＝∠ACD， ∴∠DAE＝∠ABC， ∴FA＝FB， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAE+∠FAC＝∠ABC+∠FCA＝90°， ∴∠FAC＝∠FCA， ∴FC＝FA， ∴FB＝FC， ∵∠BAC＝90°， ∴， ∴EF＝AF﹣AE＝3， 设S△ADE＝S， ∵BD＝3AD， ∴S△BDE＝3S， ∴S△ABE＝S△ADE+S△BDE＝4S， ∵， ∴， ∴S△BEF＝6S， ∴． 22．【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下： ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∵∠ADB＝∠CDB， ∴， ∴AB＝BC， 又∵∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． （2）． 【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下： ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∵∠ADB＝∠CDB， ∴， ∴AB＝BC， 又∵∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． （2）在Rt△ABC中，AB＝BC， ∴AC＝2， 在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2， ∴CD． 即CD的长为：． 23．【答案】（1）24； （2）a＝k（m2﹣n2），b＝2kmn，c＝k（m2+n2）或a＝2kmn，b＝k（m2﹣n2），c＝k（m2+n2）其中k、m、n都是正整数，m＞n，证明见解答； （3）这块绿地最少需要种植280株花． 【解答】解：（1）由表中勾股数的规律可知，令a＝10，b，c＝26， 则由勾股数定义可知a2+b2＝c2，即102+b2＝262， ∴b2＝262﹣102＝（26+10）（26﹣10）＝36×16， 解得b＝24或b＝﹣24（舍去）； 故答案为：24； （2）由题意，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n＞0，m，n互质且一奇一偶）； 非本原勾股数：a＝k（m2﹣n2），b＝k（2mn），c＝k（m2+n2）（k为正整数）， 证明：对于本原勾股数，计算a2+b2： （m2﹣n2）2+（2mn）2 ＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2 ＝m4+2m2n2+n4 ＝（m2+n2）2 ＝c2， 非本原勾股数为k倍的本原勾股数， 故a2+b2＝k2[（m2﹣n2）2+（2mn）2] ＝k2（m2+n2）2 ＝c2． 同理，a＝2kmn，b＝k（m2﹣n2），c＝k（m2+n2）成立； （3）根据题意，当最短边种21株花时，最短边的长为（21﹣1）1＝20（m）， 由表格知可能的一种三边长为20，21，29． 下面说明这是符合种最少要求的三角形三边长，设符合要求的三边长为20，p，q，则20≤p，且20≤q，当p或q＝20时，不符合勾股数的要求，：p，q至少是21，不妨设p＜q，则有q2＝p2+202，即q.由q的解析式可知p越大，q越大，反之则有p越小，q越小， 又∵当p＝21时，恰有q＝29， ∴20，21，29是符合种最少要求的三角形三边长，此时一个三角形边上种20+21+29＝70（株）， 故4个三角形最少需种4×70＝280（株）． 24．【答案】（1）见解析； （2）； （3）k的取值范围为6≤k≤8． 【解答】解：（1）设B（m，ma），则， ∵AD∥x轴， ∴D点的纵坐标为， 将代入y＝ax中，得：， ∴， ∴， ∴， 将代入中得出，y＝am， ∴函数的图象必经过点C； （2）∵点B（1，2）在直线y＝ax上， ∴a＝2， ∴y＝2x， ∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， ∵函数的图象经过点A，C， ∴，A（1，k）， ∴， ∴DC＝k﹣2， ∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E， ∴，∠BED＝∠BCD＝90°， ∴， 如图，过点D作DH⊥y轴，过点B作BF⊥y轴， ∵AD∥x轴， ∴H，A，D三点共线， ∴∠HED+∠BEF＝90°，∠BEF+∠EBF＝90°， ∴∠HED＝∠EBF， ∵∠DHE＝∠EFB＝90°， ∴△DHE∽△EFB， ∴， ∵BF＝1，， ∴HE＝2，， ∴， 由图知，HF＝DC， ∴， ∴； （3）∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合， ∴AC⊥BD， ∵四边形ABCD为矩形， ∴四边形ABCD为正方形，∠ABP＝∠DBC＝45°， ∴，，BP⊥AC， ∵BC∥x轴， ∴直线y＝ax为一，三象限的夹角平分线， ∴y＝x， 当⊙O过点B时，如图所示，过点D作DH∥x轴交y轴于点H， ∵AD∥x轴， ∴H，A，D三点共线， ∵以点O为圆心，AC长为半径作⊙O，， ∴， ∴， ∴，，， ∵AB∥y轴， ∴△DHO∽△DAB， ∴， ∴， ∴HO＝HD＝4， ∴HA＝HD﹣DA＝4﹣2＝2， ∴A（2，4）， ∴k＝2×4＝8， 当⊙O过点A时，根据A，C关于直线OD对称知，⊙O必过点C，如图所示，连接AO，CO，过点D作DH∥x轴交y轴于点H， ∵AO＝OC＝AC， ∴△AOC为等边三角形， ∵OP⊥AC， ∴， ∴，， ∴，， ∵AB∥y轴， ∴△DHO∽△DAB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当⊙O与△ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k≤8． 25．【答案】（1）当旋转角为22.5°时，OE＝OF； （2）； （3）． 【解答】解：（1）当OE＝OF时， 在Rt△AOE和Rt△COF中， ， ∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL）， ∴∠AOE＝∠COF（即∠AOE＝旋转角）， ∴2∠AOE＝45°， ∴∠COF＝∠AOE＝22.5°， ∴当旋转角为22.5°时，OE＝OF； （2）过点A作AG⊥x轴于点G，则有AG＝3，OG＝4， ∴， ∵四边形OABC是正方形， ∴OC＝OA＝5，∠AOC＝∠C＝90°， 又∵∠COF+∠FOA＝90°，∠AOG+∠FOA＝90°， ∴∠COF＝∠GOA， ∴Rt△AOG∽Rt△FOC， ∴， ∴， ∴FC的长为； （3）过点N作直线PQ⊥BC于点P，交OA于点Q， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠BCA＝∠OCA＝45°，BC∥OA， 又∠FON＝45°， ∴∠FCN＝∠FON＝45°， ∴F、C、O、N四点共圆， ∴∠OFN＝∠OCA＝45°， ∴∠OFN＝∠FON＝45°， ∴△FON是等腰直角三角形， ∴FN＝NO，∠FNO＝90°， ∴∠FNP+∠ONQ＝90°， 又∵∠NOQ+∠ONQ＝90°， ∴∠NOQ＝∠FNP， ∴△NOQ≌△FNP（AAS）， ∴NP＝OQ，FP＝NQ， ∵四边形OQPC是矩形， ∴CP＝OQ，OC＝PQ， ∴， ， ， ， ， ， ∴， 又∵△ANQ为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴S关于n的函数表达式为． 26．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3； （2）△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）． 【解答】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4， ∴B（﹣3，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F， 设P（m，0），则PA＝1﹣m， ∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴C（﹣1，﹣4）， ∴CF＝4， ∵PQ∥BC， ∴△PQA∽△BCA， ∴，即， ∴QE＝1﹣m， ∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA PA•CFPA•QE （1﹣m）×4（1﹣m）（1﹣m） （m+1）2+2， ∵﹣3≤m≤1， ∴当m＝﹣1时 S△CPQ有最大值2， ∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）． 27．【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明详见解析；（3）存在，理由见解析． 【解答】（1）证明：∵△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC'，且E'与A重合， ∴AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠DEA＝∠BCA， ∴∠DAE＝∠BCA， ∴AB＝BC． （2）证明：连接AA'， ∵旋转， ∴∠ADA′＝∠CDC′，AD＝A'D，CD＝C'D， ∴， ∴△ADA′∽△CDC′， ∴， ∵DE是△ABC的中位线，DF是△A'BD的中线， ∴AD＝BD，BF＝A'F， ∴DF是△AA'B的中位线， ∴AA'＝2DF， ∴， ∴2DF•CD＝BD•CC' （3）解：存在，理由如下， 解法一：取AD中点M，CE中点N，连接MN， ∵AD是⊙M直径，CE是⊙N直径， ∴∠AGD＝90°，∠CGE＝90°， ∴∠AGD+∠CGE＝180°， ∵tanB，BE＝3， ∴BD＝5， ∵CE， ∴ENCE， ∴BN＝BE+EN， ∵DE⊥CE， ∴DE是⊙N的切线，即DE在⊙N外， 作NF⊥AB， ∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BFN＝90°， ∴△BDE∽△BNF， ∴， ∴NF，即NF＞rn， ∴AB在⊙N外， ∴G点在四边形ADEC内部． 作MH⊥BC， ∵BM，tanB， ∴BH，MH， ∴NH， ∴MN7.4＜AM+CN ∴⊙M和⊙N有交点． 故四边形ADEC内存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°． 解法二：相似互补弓形， 分别以AD，CE为弦作⊙O2和⊙O，使得△O2AD∽△OEC，两圆的交点即为所求． 作图步骤：①在四边形ADEC内任取一点F，作△EFC得外接圆，圆心为O，连接OE，OC， ②作AD的中垂线， ③以D为圆心，OC为半径画圆交AD中垂线于点O2， ④以O2为圆心，O2A为半径画圆，交⊙O于点G，点G即为所求． 证明：∵， ∴△O2AD∽△OEC， ∴∠AO2D＝∠EOC， ∵∠AGD（360°﹣∠AO2D）＝180°∠AO2D， ∠EGC∠EOC， ∴∠AGD+∠EGC＝180°． 故四边形ADEC内存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°． 28．【答案】（1）证明过程详见解答； （2）①证明过程详见解答； ②． 【解答】（1）证明：∵点A关于BD的对称点为A′， ∴AE＝A′E，AA′⊥BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC， ∴OE∥A′C， ∴AA′⊥CA′； （2）①证明：如图2， 设⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G， ∴OF⊥CD，OF＝OE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝ODBD，AB∥CD，AC＝BD，OAAC， ∴OG⊥AB，∠FDO＝∠GBO，OA＝OB， ∴∠GAO＝∠GBO， ∵∠DOF＝∠BOG， ∴△DOF≌△BOG（ASA）， ∴OG＝OF， ∴OG＝OE， 由（1）知：AA′⊥BD， ∴∠EAO＝∠GAO， ∵∠EAB+∠GBO＝90°， ∴∠EAO+∠GAO+∠GBO＝90°， ∴3∠EAO＝90°， ∴∠EAO＝30°， 由（1）知：AA′⊥CA′， ∴tan∠EAO， ∴tan30°， ∴； ②解：如图3， 设⊙O切CA′于点H，连接OH， ∴OH⊥CA′， 由（1）知：AA′⊥CA′，AA′⊥BD，OA＝OC， ∴OH∥AA′，OE∥CA′， ∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′， ∴， ∴AA′＝2OH，CA′＝2OE， ∴AA′＝CA′， ∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°， ∴∠AOE＝∠ACA′＝45°， ∴AE＝OE，OD＝OAAE， 设AE＝OE＝x，则OD＝OA， ∴DE＝OD﹣OE＝（）x， 在Rt△ADE中，由勾股定理得， 1， ∴x2， ∴S⊙O＝π•OE2． 29．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3； （2）； （3）． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（﹣3，0）， ∴﹣9﹣3b+3＝0， 解得：b＝﹣2， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴C（﹣1，0）， 当x＝0时，y＝3， ∴B（0，3）， 如图1，过点C作CK⊥AB于K， ∵A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，0）， ∴AC＝2，AB＝3，BC， ∵cos∠BAC，即， ∴AK， ∴BK＝AB﹣AK＝2， ∴cos∠ABC； （3）过点Q作QE⊥x轴交AB、x轴于点D，E，设抛物线顶点为点F，对称轴与线段AB的交点为点G， 由（2）知OA＝OB＝3， ∵∠AOB＝90°， ∴∠A＝45°， ∴∠ADE＝∠QDP＝45°，△ADE为等腰直角三角形， ∵QP⊥AB， ∴△QDP为等腰直角三角形，QP＝DP， ∴， 设PQ＝PD＝m，则， 同理设DE＝AE＝n，则， ∴OE＝OA﹣AE＝3﹣n， ∴， 将点代入y＝﹣x2﹣2x+3， 则， 整理得，， ∵， ∴， 整理得，， ∵y＝﹣（x+1）2+4， ∴F（﹣1，4）， 同理可得△ACG为等腰直角三角形， ∴CA＝CG＝2， ∴G（﹣1，2）， ∴BF2+BG2＝（﹣1﹣0）2+（4﹣3）2+（﹣1﹣0）2+（3﹣2）2＝4，FG2＝（4﹣2）2＝4， ∴BF2+BG2＝FG2， ∴BF⊥AB， ∴当点P与点B重合时，则点Q与抛物线顶点F重合，则点D为抛物线对称轴与线段AB的交点G， ∴0＜n≤2， ∵， ∴当时，BP+2PQ取得最大值， ∴最大值为． 30．【答案】（1）； （2）见解析； （3）当△ODE是等腰直角三角形时，点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点．理由见解析． 【解答】解：（1）设PN＝x，则MP＝MN﹣PN＝2﹣x， 根据题意，得：，即， 整理，得：x2﹣6x+4＝0，解得：，， ∵， ∴舍去， ∴； （2）如图所示，点C为所求． 设BD＝x， ∴根据题意，得：AD＝BD＝BF＝FG＝x，AB＝2x， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴点C为线段AB的中外比点． （3）当△ODE是等腰三角形时，点D、E、F分别为AB，BC，OB的中外比点，理由如下： 第一种情况：当∠OED＝90°，则OE＝ED， ∴∠OEC+∠DEB＝90°， ∵四边形OABC是矩形， ∴∠OCE＝∠EBD＝90°， ∴∠COE+∠OEC＝90°， ∴∠COE＝∠DEB， ∴△COE≌△BED（AAS）， 设点E（m，n）， ∴OC＝EB＝n，CE＝BD＝m，则D（m+n，n﹣m）， ∵点D、E在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：k＝mn，将其代入②，得：， 整理，得：n2﹣mn﹣m2＝0， 解得：， ∴（舍去）， ∴，，， ∴，CE＝m，，BD＝m，，， ∵，，BD2＝m2，， ∴，， ∴点E、D为BC、AB的中外比点． ∵点E在反比例函数的图象上，， ∴， ∴反比例函数为， ∵， 设直线OB的函数解析式为y＝ax（a≠0）， 将点，O（0，0）代入，得：， ∴直线OB的函数解析式为， 联立方程组， 解得：， ∴， ∴， ∴点F为OB的中外比点． 第二种情况：当∠ODE＝90°，则OD＝DE， ∴∠ODA+∠EDB＝90°， ∵四边形OABC是矩形， ∴∠OAD＝∠EBD＝90°， ∴∠ODA+∠DOA＝90°， ∴∠EDB＝∠DOA， ∴△OAD≌△DBE（AAS）， 设点D（a，b）， ∴OA＝DB＝a，AD＝BE＝b，则E（a﹣b，a+b）， ∵点D、E在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：k＝ab，将其代入②，得：， 整理，得：b2+ab﹣a2＝0， 解得：， ∴，（舍去）， ∴，，， ∴，，BC＝a，BD＝a，，， ∴，， ∴点E、D为BC、AB的中外比点． ∵点E在反比例函数的图象上，， ∴， ∴反比例函数为， ∵， 设直线OB的函数解析式为y＝gx（g≠0）， 将点，O（0，0）代入，得：， ∴直线OB的函数解析式为， 联立方程组，， 解得：， ∴， ∴， ∴点F为OB的中外比点． 第三种情况：当∠EOD＝90°，则点E、D分别位于y轴、x轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． ∴综上所述，当△ODE是等腰直角三角形时，点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $