【5年中考压轴真题】2022～2026年福建省选择题、填空题、解答题汇编

**基本信息** 汇编2022-2026年福建省中考压轴真题，含选择、填空、解答题各10题，覆盖函数、几何、代数等核心知识，梯度设计适配一轮复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|抛物线性质、圆的切线、解直角三角形|结合“割圆术”文化情境，如第9题考查刘徽割圆术思想| |填空题|10题|分式化简、二次函数交点、胡克定律应用|联系生活实际，如第11题金银饰品称重问题| |解答题|10题|几何综合证明、二次函数综合、实际应用建模|突出跨学科融合，如第21题探究数的位数规律，第26题手工制作纸盒的几何应用|

【5年中考压轴真题】2022~2026年福建省选择题、填空题、解答题汇编 一．选择题（共10小题） 1．（2025•福建）·【较易】已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 2．（2022•福建）·【较易】如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是（　　） A．96 B．96 C．192 D．160 3．（2026•福建）·【较易】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D．若AD＝CD，则tanA的值是（　　） A． B．1 C． D．2 4．（2022•福建）·【较易】如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（　　） （参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 5．（2026•福建）·【较易】已知抛物线y＝x2﹣2nx经过点A（3，a），B（5，b）．若a＜b，且ab＜0，则n的取值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2025•福建）·【较易】如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P＝30°，则∠BCP的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 7．（2024•福建）·【较易】小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（　　） A．OB⊥OD B．∠BOC＝∠AOB C．OE＝OF D．∠BOC+∠AOD＝180° 8．（2024•福建）·【中档】已知二次函数y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的图象经过，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个实数a，使得y1＞a B．无论实数a取什么值，都有y1＞a C．可以找到一个实数a，使得y2＜0 D．无论实数a取什么值，都有y2＜0 9．（2023•福建）·【中档】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（　　） A． B．2 C．3 D．2 10．（2023•福建）·【中档】如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y和y的图象的四个分支上，则实数n的值为（　　） A．﹣3 B． C． D．3 二．填空题（共10小题） 11．（2026•福建）·【较易】由于水对物体的浮力作用，实心的纯金和纯银浸没水中称重时，弹簧测力计的示数分别约为原来的和．一件重80克的实心金银饰品，浸没水中称重，弹簧测力计的示数为原来的，若实心的纯金和纯银浸没水中称重，弹簧测力计的示数分别按原来的和计算，则这件金银饰品中含金　 　 克． 12．（2026•福建）·【较易】已知实数p，q满足，则（p﹣1）（q﹣1）的值为　 　 ． 13．（2024•福建）·【较易】如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与⊙O交于A，B两点，且点A，B都在第一象限．若A（1，2），则点B的坐标为 　 　 ． 14．（2023•福建）·【较易】已知1，且a≠﹣b，则的值为 　 　 ． 15．（2022•福建）·【较易】推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误． 例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下： 设任意一个实数为x，令x＝m， 等式两边都乘以x，得x2＝mx．① 等式两边都减m2，得x2﹣m2＝mx﹣m2．② 等式两边分别分解因式，得（x+m）（x﹣m）＝m（x﹣m）．③ 等式两边都除以x﹣m，得x+m＝m．④ 等式两边都减m，得x＝0．⑤ 所以任意一个实数都等于0． 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 　 　 ． 16．（2025•福建）·【较易】某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按4：3：2：1的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如表： 项目 员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A　 　 B．（填“＞”“＝”或“＜”） 17．（2025•福建）·【中档】弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 　 　 千克． 18．（2024•福建）·【中档】无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F＝AD＝400，则f2＝CD＝　 　 ．（单位：N）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77） 19．（2023•福建）·【中档】已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是 　 　 ． 20．（2022•福建）·【中档】已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2025•福建）·【中档】阅读材料，回答问题． 【主题】两个正数的积与商的位数探究． 【提出问题】小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据提出算式“46×2＝92；35×21＝735；663×11＝7293；186×362＝67332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个（m+n﹣1）位的正整数． 【分析探究】问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 【推广延伸】 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为a×10n，则称这个数的位数是n+1，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A×B＝C，则必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b．并且，当c≥a且c≥b时，p＝m+n﹣1；当c＜a且c＜b时，p＝m+n． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为a×10m﹣1，b×10n﹣1，c×10p﹣1，其中a，b，c均为正数．由A×B＝C，得ab×10m+n﹣2＝c×10p﹣1， 即．（*） 当c≥a且c≥b时，1，所以b＜10，又，所以10．由（*）知，1，所以p＝m+n﹣1； 当c≥a且c＜b时，，所以，所以110，与（*）矛盾，不合题意； 当c＜a且c≥b时，①　 　 ； 当c＜a且c＜b时，②　 　 ． 综上所述，命题成立． 【拓展迁移】问题2 若正数A、B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． （1）解决问题1； （2）请把①②所缺的证明过程补充完整； （3）解决问题2． 22．（2024•福建）·【较难】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E，BE的延长线交于点F． （1）求的值； （2）求证：△AEB∽△BEC； （3）求证：AD与EF互相平分． 23．（2023•福建）·【较难】如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M． （1）求证：△ADE∽△FMC； （2）求∠ABF的度数； （3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO． 24．（2022•福建）·【较难】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． （1）求抛物线的解析式； （2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； （3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 25．（2026•福建）·【较难】如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是DC延长线上的一点，EB的延长线交⊙O于点F，AB＝BD，∠CBE＝∠ABD＝60°． （1）求∠E的度数； （2）求证：四边形AFEC是平行四边形； （3）设CF交BD于点G，且，求的值． 26．（2024•福建）·【较难】在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE＝FB），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． （1）直接写出的值； （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 　 　 ． （3）今有三种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示： 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 规格（单位：cm） 30×40 20×80 80×80 单价（单位：元） 3 5 20 现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒．如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用． （要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用） 27．（2023•福建）·【较难】已知抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，M为抛物线的顶点，C，D为抛物线上不与A，B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD，BC的交点为P． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若C（4，3），D（m，），且m＜2，求证：C，D，E三点共线； （3）小明研究发现：无论C，D在抛物线上如何运动，只要C，D，E三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 28．（2022•福建）·【较难】已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC． （1）如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形； （2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明； （3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度数． 29．（2026•福建）·【较难】已知抛物线y＝﹣x2+bx+c． （1）若b＝1，c＝2，求抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线上存在一点P（x0，y0）在x轴上方，求证：抛物线与x轴有两个交点； （3）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），直线y＝bx+2与y＝﹣bx﹣1相交于点D，E是y轴上不与点C重合的点．若坐标平面内存在点M满足MA＝MB＝MC＝ME，试探究CD和DE的数量关系，并证明． 30．（2025•福建）·【难】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB＝AC，BG＝DG． （1）求证：∠ABC＝∠DBE+∠E； （2）求证：AH2＝HF•HC； （3）若tan∠ABC，AD＝2DE，CD，求△AGH的周长． 【5年中考压轴真题】2022~2026年福建省选择题、填空题、解答题汇编 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：∵y＝3x2+bx+1， ∴当x＝0时，y＝1， ∴抛物线过点（0，1）， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵3＜b＜4， ∴， ∵，， ∴点A（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，y2）到对称轴的距离， ∴1＜y1＜y2， 故选：A． 2．【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝8， 则BC＝AB•tan∠CAB＝8， 由平移的性质可知：AC＝A′C′，AC∥A′C′， ∴四边形ACC′A′为平行四边形， ∵点A对应直尺的刻度为12，点A′对应直尺的刻度为0， ∴AA′＝12， ∴S四边形ACC′A′＝12×896， 故选：B． 3．【解答】解：连接BD，如图所示： ∵BC是⊙O的切线， ∴∠ABC＝90°， ∵AD＝CD， ∴点D为AC的中点， ∴AD＝BD＝CD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A＝∠ABD＝45°， ∴tanA＝1， 故选：B． 4．【解答】解：∵AB＝AC，BC＝44cm， ∴BD＝CD＝22cm，AD⊥BC， ∵∠ABC＝27°， ∴tan∠ABC0.51， ∴AD≈0.51×22＝11.22cm， 故选：B． 5．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2nx经过点A（3，a），B（5，b）， ∴a＝9﹣6n，b＝25﹣10n， ∵a＜b，且ab＜0， ∴a＜0，b＞0， ∴， 解得n， ∴n可以为2，n不可以取0，1，3， 故选：C． 6．【解答】解：如图，连接OA、OB， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴OA⊥PA， ∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣30°＝60°， ∵AB∥PC， ∴∠OAB＝∠AOP＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠AOB＝60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC为等边三角形， ∴∠BCP＝60°， 故选：C． 7．【解答】解：∵△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称， ∴△OAB≌△ODC， ∴∠AOB＝∠COD， ∵点E，F分别是底边AB，CD的中点， ∴∠AOE＝∠BOE∠AOB，∠COF＝∠DOF∠COD， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF， ∵OE⊥OF， ∴∠BOE+∠BOF＝90°， ∵∠BOE＝∠DOF， ∴∠DOF+∠BOF＝90°， ∴OB⊥OD，故A正确； ∵∠AOB与∠BOC的度数不能确定， ∴无法证明∠BOC与∠AOB的关系，故B错误； ∵△OAB≌△ODC，点E，F分别是底边AB，CD的中点， ∴OE＝OF，故C正确； ∵OB⊥OD， ∴∠BOC+∠COD＝90°①， ∵OE⊥OF， ∴∠COF+∠EOC＝90°， ∵∠COF＝∠AOE， ∴∠AOE+∠EOC＝90°， ∴OC⊥OA， ∴∠AOB+∠BOC＝90°②， ①+②得，∠BOC+∠COD+∠AOB+∠BOC＝180°， 即∠BOC+∠AOD＝180°，故D正确． 故选：B． 8．【解答】解：∵二次函数解析式为y＝x2﹣2ax+a（a≠0）， ∴二次函数开口向上，且对称轴为直线xa，顶点坐标为（a，a﹣a2）， 当a＞0时，0a， ∴a﹣a2＜y1＜a， 当a＜0时，a0， ∴a﹣a2＜y1＜a， 故A、B错误，不符合题意； 当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，由二次函数对称性可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，所以当x＝3a时，y2＞a＞0； 当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，由二次函数对称性可知可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以当x＝3a时y2＞a，可能大于0也可能小于0， 故C正确，符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C． 9．【解答】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心， 过A作AM⊥OB于M， 在正十二边形中，∠AOB＝360°÷12＝30°， ∴AMOA， ∴S△AOBOB•AM， ∴正十二边形的面积为123， ∴3＝12×π， ∴π＝3， ∴π的近似值为3， 故选：C． 10．【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y上，如图： ∵四边形是正方形， ∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°， ∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∴S△AOC＝S△OBD， ∵点A在第二象限， ∴n＝﹣3， 故选：A． 二．填空题（共10小题） 11．【解答】解：设这件金银饰品中含金x克，则含银（80﹣x） 克， 根据题意列方程得：， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，x＝60， 故答案为：60． 12．【解答】解：已知实数p，q满足， 则p，q均不为0， 去分母得：p+q＝pq， （p﹣1）（q﹣1） ＝pq﹣p﹣q+1 ＝pq﹣（p+q）+1 ＝pq﹣pq+1 ＝1， 故答案为：1． 13．【解答】解：点A与B关于直线y＝x对称， 设直线AB的解析式为y＝﹣x+b，将点A（1，2）坐标代入得， 2＝﹣1+b，解得b＝3， ∴直线AB解析式为y＝﹣x+3， ∵点A（1，2）在反比例函数图象上， ∴反比例函数解析式为y， 联立方程组，解得或． ∴B（2，1）． 故答案为：（2，1）． 14．【解答】解：∵1， ∴1， ∴ab＝2a+b， ∴1． 故答案为：1． 15．【解答】解：设任意一个实数为x，令x＝m， 等式两边都乘以x，得x2＝mx．①依据为等式的基本性质2； 等式两边都减m2，得x2﹣m2＝mx﹣m2．②依据为等式的基本性质1； 等式两边分别分解因式，得（x+m）（x﹣m）＝m（x﹣m）．③依据为分解因式； 等式两边都除以x﹣m，得x+m＝m．④依据为等式的基本性质2；但是用法出错， 题干中给出的条件是x＝m，所以x﹣m＝0，不能直接除． 故答案为：④． 16．【解答】解：由题意得：，解得A＝90， 82，解得B＝80， ∵90＞80， ∴A＞B， 故答案为：＞． 17．【解答】解：将F＝0.5g，x＝6.5﹣6＝0.5代入F＝kx， 得0.5g＝0.5k， 解得k＝g， ∴F与x的函数关系式为F＝gx， 将x＝6.8﹣6＝0.8，F＝mg代入F＝gx， 得mg＝0.8g， 解得m＝0.8， ∴当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 0.8千克． 故答案为：0.8． 18．【解答】解：如图， ∵∠PDA＝70°，∠PDQ＝30°， ∴∠ADQ＝∠PDA﹣∠PDQ＝70°﹣30°＝40°，∠1＝∠PDQ＝30°， ∵AB∥QD， ∴∠BAD＝∠ADQ＝40°， 在Rt△ABD中，F＝AD＝400，∠ABD＝90°， ∴F2＝BD＝AD•sin∠BAD＝400•sin 40°＝400×0.64＝256， 由题意可知，BD⊥DQ， ∴∠BDC+∠1＝90°， ∴∠BDC＝90°﹣∠1＝60°， 在Rt△BCD中，BD＝256，∠BCD＝90°， ∴f2＝CD＝BD•cos∠BDC＝256×cos60°＝256128， 故答案为：128． 19．【解答】解：抛物线的对称轴为：x1， ∵a＞0， ∴抛物线开口向上， ∵y1＜y2， ∴若点A在对称轴为直线x＝1的左侧，点B在对称轴为直线x＝1的右侧， 由题意可得：， 不等式组无解； 若点B在对称轴为直线x＝1的左侧，点A在对称轴为直线x＝1的右侧， 由题意可得：， 解得：﹣1＜n＜0， ∴n的取值范围为：﹣1＜n＜0． 故答案为：﹣1＜n＜0． 20．【解答】方法1、解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n， 令y＝0，则x2+2x﹣n＝0， ∴x＝﹣1±， 针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n， 令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0， ∴x＝1±， ∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1， ∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1）， ∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1， ∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1）， ∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等， ∴AB＝CD， ∵AD＝2BC， ∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧， ∴A（﹣1，0），B（﹣1，0），C（1，0），D（1，0）， ∴AD＝1（﹣1）＝2+2，BC＝﹣1（1）＝﹣2+2， ∴2+22（﹣2+2）， ∴n＝8， 故答案为：8． 方法2、∵y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1， ∴抛物线y＝x2+2x﹣n的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1）， ∵y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1， ∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣n﹣1）， ∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的图象可由y＝x2+2x﹣n的图象向右平移两个单位得到， ∵n＞0， ∴﹣n﹣1＜﹣1， 两函数的图象如图所示： 由平移得，AC＝BD＝2， ∵AB＝CD，AD＝2BC， ∴BC＝2AC＝4， ∴CD＝BC+BD＝6， ∵点C，D关于直线x＝1对称， ∴C（﹣2，0）， ∵点C在抛物线 y＝x2﹣2x﹣n 上， ∴4+4﹣n＝0， ∴n＝8， 故答案为：8． 三．解答题（共10小题） 21．【解答】解：（1）小明的猜想不正确， 反例：3×4＝12； （2）①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意； ②所以，又，所以， 由（*）知所以 p＝m+n； （3）当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是m﹣n+1， 当A的数字小于B的数字时，的位数是m﹣n． 证明如下：由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C＝A， 由小华的命题知，当a≥b时，必有a≥c， 此时，m＝n+x﹣1，所以x＝m﹣n+1， 当a＜b时，必有a＜c， 此时，m＝n+x，所以x＝m﹣n， 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是m﹣n+1， 当A的数字小于B的数字时，的位数是m﹣n． 22．【解答】解：（1）∵AB＝AC，且AB是⊙O的直径， ∴AC＝2AO， ∵∠BAC＝90°， 在Rt△AOC 中，， ∵AE⊥OC， 在Rt△AOE 中，， ∴， ∴； （2）证明：过点B作 BM∥AE，交EO延长线于点M，如图1， ∴∠BAE＝∠ABM，∠AEO＝∠BMO＝90°． ∵AO＝BO， ∴△AOE≌△BOM（AAS）， ∴AE＝BM，OE＝OM， ∵， ∴BM＝2OE＝EM， ∴∠MEB＝∠MBE＝45°， ∠AEB＝∠AEO+∠MEB＝135°， ∠BEC＝180°﹣∠MEB＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ABM＝∠CBE， ∴∠BAE＝∠CBE， ∴△AEB∽△BEC； （3）连接DE，DF．如图2， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠AFB＝90°，AB＝2AO． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴BC＝2BD，∠DAB＝45°， 由（2）知，△AEB∽△BEC， ，∠EAO＝∠EBD， ∴△AOE∽△BDE， ∴∠BED＝∠AEO＝90°， ∴∠DEF＝90°， ∴∠AFB＝∠DEF， ∴AF∥DE， 由（2）知，∠AEB＝135°， ∴∠AEF＝180°﹣∠AEB＝45°． ∵∠DFB＝∠DAB＝45°， ∴∠DFB＝∠AEF， ∴AE∥FD， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴AD与EF互相平分． 23．【解答】（1）证明：如图： ∵DF是由线段DC绕点D顺时针旋转 90° 得到的， ∴∠FDC＝90°，FD＝CD，∠DFC＝45°， ∵AB＝AC，AO⊥BC， ∴． ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAO＝∠ABC＝45°， ∴∠BAO＝∠DFC， ∵∠EDA+∠ADM＝90°，∠M+∠ADM＝90° ∴∠EDA＝∠M， ∴△ADE∽△FMC； （2）解：设BC与DF的交点为I，如图： ∵∠DBI＝∠CFI＝45°，∠BID＝∠FIC， ∴△BID∽△FIC， ∴，即， ∵∠BIF＝∠DIC， ∴△BIF∽△DIC， ∴∠IBF＝∠IDC， ∵∠IDC＝90°， ∴∠IBF＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ABF＝∠ABC+∠IBF＝135°； （3）证明：延长ON交BF于点T，连接DT，DO，如图： ∵∠FBI＝∠BOA＝90°， ∴BF∥AO， ∴∠FTN＝∠AON． ∵N是AF的中点， ∴AN＝NF， ∵∠TNF＝∠ONA， ∴△TNF≌△ONA（AAS）， ∴NT＝NO，FT＝AO， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AO⊥BC， ∴AO＝CO， ∴FT＝CO， 由（2）知，△BIF∽△DIC， ∴∠DFT＝∠DCO． ∵DF＝DC， ∴△DFT≌△DCO（SAS）， ∴DT＝DO，∠FDT＝∠CDO， ∴∠FDT+∠FDO＝∠CDO+∠FDO，即∠ODT＝∠CDF， ∵∠CDF＝90°， ∴∠ODT＝∠CDF＝90°， ∴． 24．【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为：yx2x． （2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t， 将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t， ∴， 解得． ∵A（4，0），B（1，4）， ∴S△OAB4×4＝8， ∴S△OAB＝2S△PAB＝8，即S△PAB＝4， 过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图， ∴S△PAB＝S△PNB+S△PNAPN×BEPN×AMPN＝4， ∴PN． 设点P的横坐标为m， ∴P（m，m2m）（1＜m＜4），N（m，m）， ∴PNm2m﹣（m）． 解得m＝2或m＝3； ∴P（2，）或（3，4）． （3）∵PD∥OB， ∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC， ∴△DPC∽△BOC， ∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB， ∵，， ∴． 设直线AB交y轴于点F．则F（0，）， 过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图， ∵∠PDC＝∠OBC， ∴∠PDG＝∠OBF， ∵PG∥OF， ∴∠PGD＝∠OFB， ∴△PDG∽△OBF， ∴PD：OB＝PG：OF， 设P（n，n2n）（1＜n＜4）， 由（2）可知，PGn2n， ∴PG（n）2． ∵1＜n＜4， ∴当n时，的最大值为． 25．【解答】（1）解：∵AB＝BD，∠ABD＝60°， ∴△ABD是等边三角形． ∴∠BAD＝∠BDA＝60°． ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°． 又∵∠BCE+∠BCD＝180°， ∴∠BCE＝∠BAD＝60°． ∵∠CBE＝60°， ∴∠E＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝60°． （2）证明：∵∠ACD＝∠ABD＝60°， ∴∠ACD＝∠E． ∴AC∥EF． ∵四边形AFBD是⊙O的内接四边形， ∴∠AFB+∠ADB＝180°． ∴∠AFB＝120°． ∴∠AFB+∠E＝180°． ∴AF∥CE． ∴四边形AFEC是平行四边形． （3）解：过点C作CH⊥BE，垂足为H，连接DF，设CD＝a． ∵∠E＝∠CBE＝∠BCE＝60°， ∴△BCE是等边三角形． ∴BE＝CE． 又∵∠CFB＝∠CDB，∠E＝∠E， ∴△CFE≌△BDE（AAS）． ∴EF＝ED． ∴BF＝CD＝a． ∵∠E＝60°， ∴△DEF是等边三角形． ∴∠FDE＝∠BCE＝60°． ∴BC∥DF． ∴△BCG∽△DFG． ∴． ∵BC∥DF， ∴△BCE∽△FDE． ∴． ∴BE＝2a，EF＝3a． ∵四边形AFEC是平行四边形， ∴AC＝EF＝3a． ∵△BCE是等边三角形，CH⊥BE， ∴． 在Rt△BCH中，， ∴． ∵FH＝BF+BH＝2a， ∴． ∵△CFE≌△BDE， ∴． ∴． 26．【解答】解：（1）如图2： 上述图形折叠后变成如图3： 由折叠和题意可知，GH＝AE+FB，AH＝DH， ∵四边形EFNM是正方形， ∴EM＝EF，即 AG＝EF， ∴GH+AG＝AE+FB+EF，即AH＝AB， ∵AH＝DH， ∴， ∴的值为2； （2）根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反， ∴C选项符合题意， 故答案为：C； （3）需要卡纸如表所示；理由如下： 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 需卡纸的数量（单位：张） 1 3 2 所用卡纸总费用（单位：元） 58 根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为5cm，如图4，则要制作一个边长为10cm的正方体的展开图形为： ∴型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图5： 型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图6： 型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图7： ∴可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸3张，型号Ⅰ卡纸1张，则10×2+2×3+1×1＝27（个）， ∴所用卡纸总费用为：20×2+5×3+3×1＝58（元）． 27．【解答】（1）解：因为抛物线 y＝ax2+bx+3 经过点A（1，0），B（3，0）， 所以 ， 解得， 所以抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3； （2）证明：设直线CE对应的函数表达式为 y＝kx+n（k≠0）， 因为E为AB中点，所以E（2，0）． 又因为C（4，3）， 所以，解得 ， 所以直线CE对应的函数表达式为 ． 因为点 在抛物线上，所以 ． 解得， 或 ． 又因为m＜2，所以 ， 所以 ． 因为 ，即 满足直线CE对应的函数表达式， 所以点D在直线CE上，即C，D，E三点共线； （3）△ABP的面积为定值，其面积为2． 理由如下：（考生不必写出下列理由） 如图1，当C，D分别运动到点C'，D'的位置时，C，D'与D，C'分别关于直线EM对称，此时仍有 C'D'，E三点共线． 设 AD'与 BC'的交点为P′，则P，P′关于直线EM对称，即 PP'∥x轴． 此时，PP'与AM不平行，且AM不平分线段 PP'， 故P，P'到直线AM的距离不相等，即在此情形下△AMP 与△AMP'的面积不相等， 所以△AMP 的面积不为定值． 如图2，当 C，D 分别运动到点C1D1 的位置，且保持 C1，D1，E三点共线．此时AD1 与 BC1 的交点P1 到直线EM的距离小于P到直线EM的距离， 所以△MEP1的面积小于△MEP的面积，故△MEP 的面积不为定值． 又因为△AMP，△MEP，△ABP 中存在面积为定值的三角形，故△ABP 的面积为定值． 在（2）的条件下，∵B（3，0），C（4，3），D（，）， ∴直线BC对应的函数表达式为 y＝3x﹣9；直线AD对应的函数表达式为 ， 由，解得， ∴，此时△ABP 的面积为2． 28．【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DEC， ∴AC＝DC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC， ∵CB平分∠ACD， ∴∠DCB＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠DCB， ∴AB∥CD， ∴四边形ABDC为平行四边形， ∵AB＝AC， ∴平行四边形ABDC为菱形； （2）解：∠ACE+∠EFC＝180°， 理由如下：∵△ABC≌△DEC， ∴∠ABC＝∠DEC， ∴∠ACB＝∠DEC， ∵∠ACB+∠ACF＝∠DEC+∠CEF＝180°， ∴∠CEF＝∠ACF， ∵∠CEF+∠ECF+∠EFC＝180°， ∴∠ACF+∠ECF+∠EFC＝180°， ∴∠ACE+∠EFC＝180°； （3）解：如图3，在AD上取点M，使AM＝BC，连接BM， 在△AMB和△CBD中， ， ∴△AMB≌△CBD（SAS）， ∴BM＝BD，∠ABM＝∠CDB， ∴∠BMD＝∠BDM， ∵∠BMD＝∠BAD+∠MBA， ∴∠ADB＝∠BCD+∠BDC， 设∠BCD＝∠BAD＝α，∠BDC＝β，则∠ADB＝α+β， ∵CA＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA＝α+2β， ∴∠BAC＝∠CAD﹣∠BAD＝2β， ∴∠ACB（180°﹣2β）＝90°﹣β， ∴∠ACD＝90°﹣β+α， ∵∠ACD+∠CAD+∠CDA＝180°， ∴90°﹣β+α+α+2β+α+2β＝180°， ∴α+β＝30°，即∠ADB＝30°． 29．【解答】解：（1）因为b＝1，c＝2， 所以， 所以抛物线的顶点坐标为； （2）证明：∵抛物线上的点P（x0，y0）在x轴上方， 得到， ∴， ∴Δ ， 即方程﹣x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根， 所以抛物线与x轴有两个交点； （3）CD和DE的数量关系是CD＝DE，理由如下： ∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2）， ∴抛物线的对称轴是直线x， 设A（x1，0），B（x2，0），x1＞x2， 则x1，x2是方程﹣x2+bx+2＝0的两根， 解得，． 又坐标平面内存在点M满足MA＝MB＝MC， 由对称性可设， 由两点间的距离公式可得， ， ， ∴，解得， ∴点M的坐标为， ∵直线y＝bx+2与y＝﹣bx﹣1相交于点D，所以b≠0． ∴解得， ∴点D的坐标为， ∵，， ∴点M，D所在的直线与y轴垂直， ∵点C，E都在y轴上， ∴MD⊥CE， 又∵MC＝ME， ∴MD垂直平分CE， ∴CD＝DE． 30．【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ABC＝∠ADB． ∵∠ADB＝∠DBE+∠E， ∴∠ABC＝∠DBE+∠E； （2）证明：连接CD，如图， ∵BG＝DG， ∴∠ABD＝∠GDB， 由（1）知：∠ABC＝∠ADB， ∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠ADB＝∠GDB+∠GDA， ∴∠DBE＝∠GDA， ∵∠DBE＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠GDA， ∴AH＝HD． ∵∠ACD＝∠ABD， ∴∠ACD＝∠GDB． ∵∠CHD＝∠DHF， ∴△CHD∽△DHF， ∴， ∴HD2＝HC•HF， ∴AH2＝HF•HC； （3）解：连接AO并延长交CB于点M，连接CD，如图， ∵AB＝AC， ∴， ∴AM⊥BC，CM＝BM， ∴tan∠ABC， 设BM＝k，则AMk，BC＝2k， ∴ABk， ∵AD＝2DE， ∴设DE＝a，则AD＝2a， ∴AE＝AD+DE＝3a． ∵∠ADB＝∠ACB，∠ACB＝∠ABC， ∴∠ADB＝∠ABC， ∵∠BAD＝∠EAB， ∴△BAD∽△EAB， ∴， ∴， ∴k＝a， ∴DE＝k，AE＝3k， ∵四边形ABCD为圆的内接四边形， ∴∠EDC＝∠ABC， ∵∠E＝∠E， ∴△EDC∽△EBA， ∴， ∴， ∴CE2+2k•CE﹣3k2＝0， ∵CE＞0， ∴CE＝k， ∵△EDC∽△EBA， ∴， ∴， ∴AB＝3． 由（2）知：AH＝HD，BG＝DG， ∴△AGH的周长＝AG+GH+AH ＝AG+GH+HD ＝AG+GD ＝AG+GB ＝AB ＝3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $