专题05 二次函数压轴题综合（精选60题）（福建专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题05 二次函数压轴题综合（精选60题） 一、单选题 1．（2025·福建·中考真题）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵，， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离， ∴； 故选：A． 2．（2024·福建·中考真题）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（    ） A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有 C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，， 的大小情况，即可解题． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为， 当时，， 当时，， ， 当时，， ， 故A、B错误，不符合题意； 当时，， 由二次函数对称性可知，， 当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于， 故C正确符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C． 3．（2023·福建·中考真题）根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2021·福建·中考真题）二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大小关系，从而可以求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为： ，且开口向上， 距离对称轴越近，函数值越小， ， A，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意； B,若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意； C，若，所以，则一定成立，故选项正确，符合题意； D，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质及不等式，解题的关键是：根据二次函数的对称轴及开口方向，确定各点纵坐标值的大小关系，再进行分论讨论判断即可． 二、填空题 5．（2023·福建·中考真题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵分别位于抛物线对称轴的两侧， 假设点在对称轴的右侧，则，解得， ∴ ∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧， ∴ 解得： 又∵， ∴ ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（2022·福建·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 ． 【答案】8 【分析】先求出抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，然后根据，得出，列出关于n的方程，解方程即可。 【详解】解： 把y=0代入得：， 解得：，， 把y=0代入得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 即， ， 令，则， 解得：，， 当时，，解得：， ∵， ∴不符合题意舍去； 当时，，解得：， ∵， ∴符合题意； 综上分析可知，n的值为8． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出，列出关于n的方程是解题的关键． 三、解答题 7．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． （2）①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 8．（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为． （2）设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 9．（2023·福建·中考真题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，且，求证：三点共线； (3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的面积为定值，其面积为2 【分析】（1）将代入，即可解得； （2），中点为，且，可求出过两点所在直线的一次函数表达式，为抛物线上的一点，所以，此点在，可证得三点共线； （3）设与分别关于直线对称，则关于直线对称，且与的面积不相等，所以的面积不为定值；如图，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值；故的面积为定值，由（2）求出，此时的面积为2． 【详解】（1）解：因为抛物线经过点， 所以 解得 所以抛物线的函数表达式为； （2）解：      设直线对应的函数表达式为， 因为为中点，所以． 又因为，所以，解得， 所以直线对应的函数表达式为． 因为点在抛物线上，所以． 解得，或． 又因为，所以． 所以． 因为，即满足直线对应的函数表达式，所以点在直线上，即三点共线； （3）解：的面积为定值，其面积为2． 理由如下：（考生不必写出下列理由） 如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线．设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，所以的面积不为定值．      如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值． 又因为中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值． 在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为，求得，此时的面积为2． 【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键． 10．（2022·福建·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． (1)求抛物线的解析式； (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； (3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或（3，4） (3)存在， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解； （3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值． 【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以抛物线的解析式为． （2）设直线AB的解析式为， 将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以直线AB的解析式为． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N． 过点B作BE⊥PM，垂足为E． 所以 ． 因为A（4，0），B（1，4），所以． 因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍， 所以，． 设，则． 所以， 即， 解得，． 所以点P的坐标为或（3，4）． （3） 记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点 ， ， 设 直线AB的解析式为． 设，则 整理得 时，取得最大值，最大值为 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键． 11．（2021·福建·中考真题）已知抛物线与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线过点，求的最小值； （2）已知点中恰有两点在抛物线上． ①求抛物线的解析式； ②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证：与的面积相等． 【答案】（1）-1；（2）①；②见解析 【分析】（1）先求得c=1，根据抛物线与x轴只有一个公共点，转化为判别式△=0，从而构造二次函数求解即可； （2）①根据抛物线与x轴只有一个公共点，得抛物线上的点只能落在x轴的同侧，据此判断即可；②证明AB=BC即可 【详解】解：因为抛物线与x轴只有一个公共点， 以方程有两个相等的实数根， 所以，即． （1）因为抛物线过点，所以， 所以，即． 所以， 当时，取到最小值． （2）①因为抛物线与x轴只有一个公共点， 所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧． 又点中恰有两点在抛物线的图象上， 所以只能是在抛物线的图象上， 由对称性可得抛物线的对称轴为，所以， 即，因为，所以． 又点在抛物线的图象上，所以， 故抛物线的解析式为． ②由题意设，则． 记直线为m，分别过M，N作，垂足分别为E，F， 即， 因为，所以． 又，所以，所以． 所以，所以，即． 所以， 即．① 把代入，得， 解得， 所以．② 将②代入①，得， 即，解得，即． 所以过点A且与x轴垂直的直线为， 将代入，得，即， 将代入，得， 即， 所以，因此， 所以与的面积相等． 【点睛】本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积等基础知识，突出运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识，灵活运用函数与方程思想、数形结合思想及化归与转化思想求解是解题的关键． 四、单选题 12．（2025·福建厦门·二模）抛物线经过点、、．则下列说法正确的是（   ） A．顶点可能在第一象限 B．若，则顶点在第三象限 C．顶点不可能在第二象限 D．若，则顶点在第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，确定顶点坐标符号是解题关键.由的纵坐标相等，可以确定抛物线对称轴，确定，将代入抛物线，确定的正负情况，结合顶点坐标进一步确定正负情况，即可确定纵坐标的正负，明确顶点位置． 【详解】解：抛物线经过点， 该抛物线的对称轴为，则顶点不可能在一，四象限，故A、D选项错误， 抛物线经过， 当时， ，即 该抛物线开口向上 当时， 代入得 顶点坐标为 顶点横坐标为 顶点在轴左侧 又纵坐标为， 当时，顶点在第三象限．故B正确 当时，同理可得 又纵坐标为， ， 当时，顶点可能在第二、三象限．故C错误 故选：B． 13．（2025·福建福州·三模）下列关于的函数中，当时，函数值随的值增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数、反比例函数和一次函数的图象和性质．根据二次函数，一次函数，反比例函数的图象的性质解答即可． 【详解】解：A、一次函数中一次项系数为， ∴y随x的增大而增大，故本选项符合题意； B、∵二次函数，中二次项系数为， ∴图象开口向上，当时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意； C、∵二次函数中二次项系数为 ∴图象开口向下，当时，y随x的增大而减少，故本选项不符合题意； D、反比例函数中系数为，经过一三象限， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； 故选：A． 14．（2025·福建莆田·三模）已知点在二次函数的图象上，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，整式的混合运算，不等式的解答，掌握知识点是解题的关键． 将分别代入二次函数，求出，再代入不等式，化简即可求解． 【详解】解：将分别代入二次函数，得 ． ∴ ∵ ∴， 即，解得． 故选D． 15．（2025·福建福州·三模）已知抛物线与轴交于点，其中．以下四个结论：①；②；③函数的最小值大于；④不等式的解集为．其中正确结论的序号为（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键． 根据题意画出函数大致图象，得到a、b同号，，可判断①结论；根据，得，可判断②结论；根据，二次函数最小值为，可判断③结论；根据函数与函数的交点为和，利用图象可判断④结论． 【详解】解：根据题意画出函数大致图象如下： ∵抛物线与轴交于点，其中， ∴抛物线开口向上，对称轴在之间，与y轴交点在负半轴， ∴a、b同号，， ∴， ∴①结论正确； ∵， ∴， ∴， ∴②结论正确； ， ∵， ∴， ∵， ∴当时， ， ∴③结论错误； ∵函数中，当时，，当时，， ∴函数与函数的交点为和， ∴不等式的解集为或， ∴④结论错误． 故选：A． 16．（2025·福建福州·二模）在平面直角坐标系中，是拋物线上的两点．若对于，都有，则的取值范围是（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得抛物线与x轴的交点的横坐标分别为，从而得到抛物线的对称轴，进而得到点关于对称轴的对称点为与点不重合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线与x轴的交点的横坐标分别为， ∴抛物线的对称轴为直线为， ∵对于，都有， ∴点关于对称轴的对称点为与点不重合， ∵， ∴， ∵， ∴或， 解得：或． 故选：D 17．（2025·福建泉州·二模）已知抛物线经过点，点，将抛物线在A，B之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值记为w，且当时，y的最小值也为w，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解不等式组等知识，先把代入，求出，然后根据对称轴公式求出对称轴为，然后分；；三种情况讨论，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 化简得， ∴抛物线的对称轴为， 当，即时， 抛物线在，之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值为顶点的纵坐标， 当时，y的最小值也为顶点的纵坐标，故符合题意； 当，即时， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，当时，y取最小值， ∵当时，，抛物线在，之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值， ∴或， 解得或无解， ∴， 当，即时， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，当时，y取最小值， ∵抛物线在，之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值， ∴或或或， 解得无解， 解得无解， 解得无解， 解得无解， 综上，， 故选：C． 18．（2025·福建龙岩·一模）已知二次函数的图象经过两点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴为，根据和关于对称，分三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点到对称轴的距离为：，点到对称轴的距离为：，点关于对称， ①当时，则点关于对称轴对称， ∴， ∴； ②当时，则：， ∴， ∴， ∴； ③当时，则：， ∴， ∴， ∴； 综上：； 故选A． 19．（2025·福建漳州·二模）已知抛物线与直线只有一个交点P，且点P在第一象限，若，则m的值可能是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查抛物线与直线的交点问题，掌握二次方程判别式、函数图像的位置关系以及代数式的最值是解题的关键． 联立抛物线与直线方程，利用判别式求唯一交点条件，结合点在第一象限的坐标条件，推导与的关系，代入求值范围． 【详解】∵抛物线与直线只有一个交点 ∴方程只有一个解 ∴，交点的横坐标，纵坐标， ∴ ∵， ∴ ∵点在第一象限 ∴点横坐标，纵坐标 ∴ ∴ ∴ 代入得： ∴ 把代入得： 时有最小值是，时随的增大而增大 且时 ，，，中只有在范围内 的值可能是 故选：． 20．（2025·福建福州·二模）已知抛物线上有三点，，．若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元一次不等式组、整式的加减的应用，由题意可得，，，结合，求出，从而即可得出，，计算出，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线上有三点，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 故选：B． 21．（2025·福建泉州·二模）已知点，，在二次函数的图象上，，，则下列判断正确的是（   ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．无论非零实数a为何值，都有 D．无论非零实数a为何值，都有 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．先利用抛物线与y轴的交点坐标为和C点坐标得到抛物线对称轴为直线，再利用已知条件得到，所以点A到直线的距离小于点B到直线的距离，根据二次函数的性质，画出二次函数的草图，得出当时，；当时，，然后即可作出判断． 【详解】解：∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， ∵抛物线经过， ∴抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴，， ∴点A到直线的距离小于点B到直线的距离， 当时， 如图： 可得，即， ∴； 当时，如图： 可得，即， ∴， 综上，无论非零实数a为何值，都有， 故选：D． 22．（2025·福建泉州·一模）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先求出A、B点坐标，作图分析出现四个交点的情况，过点A的直线与抛物线相切的直线之间存在四个交点的情况，分两种情况计算出m值即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵， 令，则或， ∴，， ∵直线与新图象有4个交点， ∴①当直线过点A时，则交点有3个，此时； ②当直线与抛物线相切时，则，整理得： ， ， 解得， 如图所示，当直线在两条直线之间时，有4个交点， 此时m的范围为：． 故选：A． 23．（2025·福建南平·二模）已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为（   ） A．4或 B．4或 C．4或 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，根据直线解析式为，根据选项令和，结合抛物线与线段有且只有一个交点利用排除法判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标，与轴交点坐标，， ∵点，点， ∴直线解析式为， 当时，点，点，此时点即为抛物线与线段唯一交点，符合题意，故排除选项C、D； 当时，点，点， 联立，解得或，则抛物线与线段有两个交点和，不合题意，故排除选项B； 故选：A． 五、填空题 24．（2025·福建泉州·二模）抛物线与轴交于点．过点作轴的垂线，若抛物线与直线有两个交点，设其中靠近轴的交点的横坐标为，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线的对称轴为直线，设抛物线与直线交点（靠近轴）为，由，则时，然后找出临界值当时，抛物线经过点时，开口向上，此时值最小，当时，抛物线经过点时，开口向下，此时值最大，即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线的对称轴为直线， 设抛物线与直线交点（靠近轴）为， ∵， ∴时， 当时，抛物线经过点时，开口向上，此时值最小， 将点代入得， 解得 ， ∴ 故答案为：． 25．（2025·福建厦门·二模）已知实数k、m、n，满足，．若m，n异号，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，等式的性质，分解因式的应用，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．根据，，得出，整理得出，根据，得出，根据，异号，得出，，求出，根据，求出结果即可． 由此即可求解． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，异号， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，取最小值，当或时，取最大值， ∵当时，，， ∴无法取最小值， ． 故答案为：． 26．（2025·福建厦门·二模）已知二次函数，，都在该抛物线上，且 ，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，进而根据 ，可得比离对称轴更近，列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，都在该抛物线上，且 ， ∴ 解得： 故答案为：． 27．（2025·福建龙岩·二模）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用对称轴公式得出对称轴为，由知开口向下，令求出与轴交点为和．由，得点在轴上方，即，推出．由且开口向下，知点到对称轴距离小于点到对称轴距离，结合得，通过距离公式，解得．联立确定． 【详解】在抛物线中，对称轴为： ∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小， 令，即，， 解得，， ∴抛物线与轴交点为和． ∵点，，且． ∵， ∴点在轴上方，即， 解得． 又∵，且抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧随增大而增大，在对称轴右侧随增大而减小， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，且两点都在轴上方． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，则，且． 由，化简得， 解得． 综上，的取值范围是． 故答案为：． 28．（2025·福建宁德·二模）已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意得到二次函数的对称轴为直线，再由当时，函数值；当时，，可得，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，然后分两种情况：若点，均在对称轴的右侧，若点，均在对称轴的两侧，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：二次函数的对称轴为直线， ∴横坐标为5关于对称轴的对称点的横坐标为1， ∵当时，函数值；当时，， ∴，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 若点，均在对称轴的右侧， 此时， ∵抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1， ∴当时，， ∴，即， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点为， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 即， 此时； 若点，均在对称轴的两侧，则 ， 即； 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 29．（2025·福建莆田·二模）二次函数的图象过，，三个点．若，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数解析式求出对称轴以及函数的增减性，根据函数增减性进行判断得到，，则，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：二次函数对称轴为：， ∴与函数值对应的点为， 当时，， ∴抛物线与轴相交于点，即交于正半轴， ， ∴函数开口向下， ∴， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 故，，三个点，则的大小关系为． ∵， ∴，， ∴ 解得 故答案为：． 30．（2025·福建·一模）已知抛物线，，是抛物线上任意两点，若对于，，都有，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用，正确求出的值，并分两种情况讨论是解题关键．先求出的值，再求出，，然后分两种情况：①和②，根据得出的符号，由此即可得． 【详解】解：∵，是抛物线上任意两点， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴， ①当时，要使，则， ∴， 解得，符合题设； ②当时，要使，则， ∴， 解得， ∴此时； 综上，的取值范围为或， 故答案为：或． 31．（2025·福建厦门·二模）已知函数，当取不同值时，函数会有不同的图象，它们组成的“图象集”记为．若存在的某个范围，对该范围内的任意，当时，相应的函数图象与（不含的部分）都不相交，则的该范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．把函数解析式变形可得，即在抛物线上运动，从而得到函数图象与的交点为，再根据题可得，即可求解． 【详解】解：， 顶点为， 又∵ ∴在抛物线上运动， ∴函数图象与的交点为， ∵当时，相应的函数图象与（不含的部分）都不相交， ∴ 故答案为：． 六、解答题 32．（2025·福建厦门·二模）太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角。冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天：夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天。设冬至这天正午时刻太阳高度角为，夏至这天正午时刻太阳高度角为．厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线为遮阳棚，为遮阳棚安装在窗户上方的支架，，线段的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚所在的抛物线与抛物线的形状相同． 如图2，为小明家的朝南窗户，测得，，窗户的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（的长）． (1)求小明家所需的遮阳棚的跨度； (2)春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米．若，，求d的最大值． 【答案】(1)小明家所需的遮阳棚的跨度为2 (2)当时，d取得最大值为0.35 【分析】（1）过点M作垂线交于点E，交于点F，根据的高度为1.5米，，可以得到，即可求出的长度，即遮阳棚的跨度； （2）将点N坐标代入得，，令，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点M作的垂线交于点E，交于点F，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴小明家所需的遮阳棚的跨度长为； （2）解：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系， 依题意可得： 由（1），， ， ， ， ， 由题意得：B到x轴距离为， 则， 将代入， 得， 令， ， ∴开口向下， ∵对称轴为直线，且， ∴当时，w取得最大值为0.45， ， ， ∴当时，d取得最大值为0.35． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用．熟练掌握题目展示素材，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，函数与方程与不等式，锐角三角函数解三角形，是解决问题的关键． 33．（2025·福建厦门·二模）项目式学习：人工智能视觉识别 项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框． 概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴、y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：如图2，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比． 【概念理解】 （1）如图，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比 ． （2）如图，铅笔经过计算机识别后的图形为线段，表达式为 其目标矩形的纵横比 ． 【联系实际】 （3）如图和图，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，C到的距离为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）． 【应用拓展】 （4）为方便救助溺水者，拟在图的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并在图坐标系下求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）． （5）据调查，拱顶离水面最大距离为，该河段水位在此基础上再涨达到最高．当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．  （救生圈大小忽略不计） 【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）可挂6个，最左侧一个救生圈悬挂点E的坐标为；（5）． 【分析】本题主要考查了二次函数综合应用、运用待定系数法求函数解析式、二次函数的应用等知识点，是读懂题意、理解目标矩形和纵横比是解题的关键． 概念理解： （1）由新定义知圆的目标矩形的纵横比； （2）根据目标矩形的纵横比的定义，可得线段的目标矩形纵横比； 联系实际： （3）由点C到的距离为5米，知，又抛物线目标矩形的纵横比，可得，，，再用待定系数法得； 应用拓展： （4）抛物线，得与横轴交点、，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于y轴成轴对称，由得桥面可挂6个，进而确定最左侧一个救生圈悬挂点的坐标； （5）如图，当水位达到最高时，水位线为，当时，，，，在中，勾股定理求得长度即可． 【详解】解：概念理解： （1）∵足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的长和宽都为圆的直径， ∴目标矩形的纵横比； 故答案为：1； （2）根据目标矩形的纵横比的定义，线段的目标矩形纵横比． 故答案为：； 联系实际： （3）如图： ∵点C到的距离为5米，， ∴， ∵抛物线目标矩形的纵横比， ∴，解得：， ∵抛物线关于y轴对称， ∴、， 设抛物线的表达式为， 把代入得：，解得：， ∴； 应用拓展： （4）∵如图2：相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于y轴对称， ∴， ∴左侧可挂3个，桥面可挂6个． ∵最左侧位于拱面上方处， ∴最左侧一个救生圈悬挂点E的坐标为． （5）如图3，当水位达到最高时，水位线为． ∵救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方， ∴当时，，，， 在中，由勾股定理得：． 答：救生绳至少需． 34．（2025·福建福州·三模）已知二次函数． (1)求证：该二次函数图象必过定点； (2)若，在该二次函数图象上，，求k值； (3)若该二次函数图象与x轴有两个交点，其横坐标分别为，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）令，求出值，进行判断即可； （2）把点代入函数解析式，根据，列出方程进行求解即可； （3）令，根的判别式得到，再根据根与系数的关系，进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴当时，； ∴该二次函数图象必过定点； （2）由题意，，， ∵， ∴， 解得：或； （3）令， ∵二次函数图象与x轴有两个交点， ∴，， ∴， ∴， ∵二次函数， ∴， ∴， ∵， ∴． 35．（2025·福建福州·三模）已知：抛物线． (1)求证：抛物线与轴总有两个交点； (2)若抛物线与轴的交点为均为整数，且，求出的值． (3)在第（2）问的条件下，当时，抛物线上是否存在点，使得是直角三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不存在，见解析 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及根的判别式、直角三角形的存在性，根据题意进行正确得分类讨论是解决本题的关键． （1）令，则，计算一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）将分别代入抛物线解析式，解方程组，即可求解； （3）假设当时，抛物线上存在点，使得是直角三角形，只有，过点作，交轴于点，过点作，证明，列出比例式，进而得出，则抛物线上不存在点使得是直角三角形． 【详解】（1）证明：令，则 ， 抛物线与轴总有两个交点； （2）抛物线与轴的交点为， ， ， ， ， ， 均为整数，且， ，都是整数，且， ， 解得， （3）抛物线与轴的交点为， ， ， 即 假设当时，抛物线上存在点，使得是直角三角形 由题意知，只有，过点作，交轴于点，过点作，交于点， ． ． ， ， ， ， ，矛盾，故假设不成立． 抛物线上不存在点使得是直角三角形． 36．（2025·福建莆田·三模）平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数图象的顶点坐标； (2)已知平面内一点，将点向左平移2个单位长度，平移后的对应点在这个二次函数图象上，试求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数的解析式、坐标的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，再将解析式化为顶点式即可得解； （2）求出将向左平移2个单位长度得，再代入二次函数的解析式计算即可得解． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， ； 函数解析式为：， 顶点坐标为； （2）解： 将向左平移2个单位长度得， 把代入得， ． 37．（2025·福建三明·三模）图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的解析式； (2)当该河段水位再涨达到最高时，有一艘货船它露出水面高，船体宽，需要从拱桥下通过，请通过计算判断该货船是否能顺利通行． (3)为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼．如图3，为了安全，灯笼底部距离水面不小于（此时水面是指（2）中最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．请设计悬挂方案，并说明悬挂的灯笼数量最多可以是多少个． 【答案】(1)； (2)能顺利通行； (3)方案一：从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：从距顶点处开始挂灯笼.最多可挂8盏灯笼． 【分析】本题考查了二次函数和圆的综合应用，解题的关键是能把实际问题转化为数学问题，掌握二次函数，圆的相关性质． （1）函数关系式为，将代入计算即可； （2）画出图形，根据题意可知，，T，由勾股定理可得，即可得到答案． （3）根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，可知悬挂点的纵坐标的最小值是，即可知悬挂点的横坐标的取值范围是：；方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，根据，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，可知共可挂7盏灯笼；方案二：从距顶点处开始挂灯笼，可知共可挂8盏灯笼． 【详解】（1）解：由题意可知点B的坐标为， 设函数关系式为，代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， （2）解：如图，设圆心为M，设圆的半径为r米，由题意得于点C，于点T，连接， 则米， ∴，解得米， 根据题意可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴能顺利通行，船航行线路是船的中心线沿航行； （3）解：∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴当悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， ∴， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：； 方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼， ∵，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼， 方案二：从距顶点处开始挂灯笼，如图4， ∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼． 38．（2025·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，已知二次函数是常数，． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若函数图象经过点，当时，；当时，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质并准确计算是解题的关键． （1）根据，函数图象经过点和，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据题意得到，函数图象在时取得最小值，即，以及，联立这三个式子求解，即可解题． 【详解】（1）解：，函数图象经过点和， ， 解得， 二次函数解析式为， 函数图象的顶点坐标为． （2）解：函数图象经过点， ①， 当时，；当时，， 函数在时取得最小值，即②， ， ，在的左侧， 当时，，即③， 由①②③解得． 39．（2025·福建龙岩·二模）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式． (2)已知点D是抛物线上位于第三象限内的一个动点，过点D作轴于点E，连接交于点F设点D的横坐标为m． ①当时，求m的值． ②连接交于点P，连接，设，，．试探究：在点D运动的过程中，S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)① ②存在，最大值为 【分析】对于（1），将点代入关系式得出方程组，求出解即可； 对于（2），①先设点，再求出直线的关系式，进而表示出，，根据得出方程，求出解即可； ②设点，且，则点，可表示出，接下来得出，再将式子代入得出二次函数，然后讨论极值可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：①如图，根据题意可知点，且， 则点， 当时，， ∴点． 设直线的关系式为， 根据题意得，， 解得， ∴直线的关系式为， ∴点， ∴，． ∵， ∴， 解得（舍去），； ②如图所示，根据题意可知点，且，则点， ∴． ∵，， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，S的最大值是． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的关系式，求一次函数关系式，求二次函数的极值，理解用坐标的差表示线段的长是解题的关键． 40．（2025·福建厦门·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标为 (3)的最大值为 【分析】本题主要考查了函数的解析式的求法、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点和点代入求得a、b的值即可解答； （2）以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形，，故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，即，解方程即可求解； （3）先求得直线的表达式为易得，再根据计算，然后根据二次函数的性质求最值即可。 【详解】（1）解：将点和点代入可得： ，解得：， 故抛物线的表达式为． （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，，即 ∴，即为等腰直角三角形， ∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似， ∴为等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为， ∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， ∵， 故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意； 当为直角时，则， 当时，解得：或（舍去）， ∴点． （3）解：如图：连接，设点， 设直线的表达式为， 则有，解得：， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， ∴， ． ∴的最大值为． 41．（2025·福建三明·二模）综合实践： 根据以下素材，解决问题． 如何确定拱桥形状？ 问题背景 河面上有一座拱桥，对它的形状，同学们各抒己见有同学说拱桥的形状是抛物线，也有同学说是圆弧为确定拱桥的形状，九年级综合实践小组开展了一次探究活动． 素材1 在正常水位时，小组成员对拱形内水面宽度和拱顶离水面的距离进行了测量并绘制了图．测得拱形内水面宽为40米，拱顶离水面的距离为10米． 素材2 大雨过后，水位上涨．小组成员再对拱形内水面宽度和拱顶离水面的距离进行了两次测量．发现当拱形内水面宽为36米时，水位（相对正常水位）上涨米；当拱形内水面宽为32米时，水位（相对正常水位）上涨米． 素材3 如何检验探究过程中提出的假设是否符合实际情况呢？定义：离差平方和是实际观测值与预测值之间差的平方和，反映了基于假设算得的预测值与实际观测值之间的差异．离差平方和越小，说明预测值与实际观测值之间的误差越小，提出的假设与实际情况更为接近． 解决问题 假设1 小组成员首先假设拱桥形状是抛物线．根据素材1建立如图所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式． 假设2 小组成员又提出拱桥形状可能是圆弧．请根据素材1求出该圆弧的半径． 分析判断 基于假设1和假设2，请分别计算拱形内水面宽36米和32米时水位上涨的预测值，直接填入下表（数据保留两位小数），并结合素材3分别求出两种假设下数据的离差平方和，判断拱桥更接近哪一种形状．（参考数据：6.4） 【答案】抛物线解析式为；圆弧的半径为25米；接近抛物线，理由见解析 【分析】根据题意，分别求得抛物线的解析式，基于假设1和假设2，请分别计算水面宽和时水位上涨的预测值，进而根据离差平方和的定义，进行判断即可求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，    ∵水面宽为40米，拱顶离水面的距离为10米． ∴， 设抛物线解析式为，将点代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 假设2，如图所示，设圆心，连接，    依题意，，在中，， 设半径， ∴ 解得： ∴该圆弧的半径为25米 对于抛物线，当水面宽时，将代入，得 ； 对圆弧，当水面宽时，设，交于点，    则， 在中， 设，则 解得：（负值舍去） 填表如下， 水面宽36米 水面宽32米 水位上涨的实际观测值（m） 假设1的预测值（m） 假设2的预测值（m） 根据离差平方和的定义，对于假设1，离差平方和为 对于假设2，离差平方和为 ∵ ∴拱桥更接近抛物线． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理的实际应用，熟练掌握掌握二次函数与垂径定理是解题的关键． 42．（2025·福建三明·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求该二次函数的顶点坐标； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，的面积是面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程综合. （1）将代入求出解析式，化为顶点式即可； （2）先求出，进而求出，，设直线的解析式为，求得直线的解析式为，设，得到，根据列方程计算即可. 【详解】（1）将代入得 解得 ∴ ∴该二次函数的顶点坐标为 （2）当时，， 解得， ∴ ∴， ∵的面积是面积的一半， ∴ 设直线的解析式为， 将代入得 解得 ∴直线的解析式为， 作轴交于D， 设， 则 ∴ ∵ ∴ 整理得 解得，， 当时， 当时，. 43．（2025·福建厦门·三模）已知二次函数． (1)若二次函数图象经过点，求该二次函数的解析式； (2)点在二次函数的图象上，且关于原点O对称，连接． ①求直线的解析式； ②将二次函数的图象向上平移3个单位得到抛物线C，探究直线与抛物线C的交点个数． 【答案】(1) (2)①；②当时，直线与抛物线C有两个交点；当时，直线与抛物线C有一个交点；当时，直线与抛物线C没有交点 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①设，则，根据方程有两个不相等的实数根，得出，从而得出，求出直线的解析式为：； ②先求出二次函数的图象向上平移3个单位得到抛物线C为：，根据在二次函数的图象上，得出，根据，得出，根据二次函数性质求出，最后得出答案即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）①解：点，在二次函数的图象上，且关于原点对称， 设， 则， 得：， 是不同的两点， ∴方程有两个不相等的实数根， ， 方程的两根为：或， ， ∴直线的解析式为：； ②将二次函数的图象向上平移3个单位得到抛物线C为：， ， 联立得：， ， 在二次函数的图象上， ， ， ， ， ， ， ∴当时，m随n的增大而增大， 当时，m随n的增大而减小， ， ， ， 对， 当时，，直线与抛物线C有两个交点， 当时，，直线与抛物线C有一个交点， 当时，，直线与抛物线C没有交点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程，根的判别式，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 44．（2025·福建厦门·三模）如图，有一栋底面呈长方形的建筑物，长，宽，墙角有一根木桩，木桩上拴着一只小狗，拴小狗的绳子长为x米． (1)若，当小狗的活动区域面积为时，求绳子长； (2)若，请判断小狗的活动区域面积能否达到，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查了扇形的面积公式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由题意得，小狗的活动范围是一个半径为绳长，圆心角为270度的扇形，根据扇形的面积公式列方程，求解即可； （2）先根据题意得出小狗的活动范围，得到二次函数，再根据二次函数的性质求解即可判断． 【详解】（1）解：当时，小狗的活动区域面积， 当时，， ， ∴， 答：绳子长为． （2）解：绳长， 当时，小狗的活动区域面积， 此时S随x的增大而增大， 当时，， ， 此时小狗的活动面积为：， 当时，， 解得：， ， 与均不符合题意， 小狗的活动区域不能达到． 45．（2025·福建宁德·二模）学完二次函数知识后，小明利用抛物线设计了一个如图1所示的公园休憩凉亭，凉亭的支柱为抛物线的一部分，为保护支柱，要求设计时让每个柱脚到屋檐铅垂线的距离不小于．图2是凉亭的截面图，其中抛物线柱脚之间的距离，抛物线柱的最高点离地面的距离为，平屋面离地面的距离为，其一端恰好在抛物线柱上，根据设计要求，柱脚到过屋檐的铅垂线的距离，斜屋面与平屋面的夹角，档板与斜屋面的夹角． (1)在图2所示的平面直角坐标系中，求出抛物线的函数表达式； (2)求平屋面的长；（结果精确到） (3)判断柱脚到过屋檐的铅垂线的距离是否满足设计要求？（结果精确到） （参考数值：，，，） 【答案】(1) (2) (3)设计符合要求 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、解直角三角形等知识，熟练掌握待定系数法、解直角三角形等知识是关键． （1）利用待定系数法进行解答即可； （2）令，得，解得，．即可求出答案； （3）过点作于点．求出．得到．过点作，交延长线于点，交轴于点．求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，． 设抛物线的表达式为， 将，代入，得： 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）∵平屋面离底面的距离为， ∴令，得， 解得，． ∴． ∴平屋面的长为． （3）如图，过点作于点． 在中，，， ， ． 在中，，， ． ∴． 如图，过点作，交延长线于点，交轴于点． 易得四边形为矩形， 在中，， ， ∴， ∵， ∴． ∴设计符合要求． 46．（2025·福建泉州·二模）已知：抛物线，其顶点为A，且与y轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线．       (1)当时， ①求抛物线的解析式，并直接写出顶点A的坐标． ②点D在抛物线上，延长至E使得，若点E落在抛物线上，求D的坐标． (2)动点M在抛物线的对称轴上（M不与A重合），过M作直线垂直于y轴，交于点P（P在对称轴左侧），交于点Q（Q在对称轴右侧）．当点P与点B重合时，若时，求h的值． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，正确根据翻折的性质得到翻折后的抛物线解析式是解题的关键． （1）①利用待定系数法求出抛物线解析式，进而可得顶点坐标；②可求出翻折后的抛物线顶点坐标为，则翻折后的抛物线解析式为，设，可证明点D为的中点，则，即可得到，解方程即可得到答案； （2）根据题意可得，则， ，同理可得抛物线的解析式为：，则， 再由，联立求解即可． 【详解】（1）解：①当时，抛物线的解析式为， 把代入中得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点A的坐标为； ②∵翻折前抛物线顶点坐标为， ∴翻折后的抛物线顶点坐标为， ∵翻折前后两个抛物线的形状相同，但是开口方向相反， ∴翻折后的抛物线解析式为， 设， ∵， ∴点D为的中点， ∴， ∵在抛物线的图象上， ∴， 解得或， 当时，，当时，， ∴点D的坐标为或； （2）解：∵点P与点重合，且轴交对称轴于点M， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 同理可得抛物线的解析式为：， ∵点Q在抛物线上， ∴，即，① 又点在抛物线上， ∴，即，② 把②代入①得， 解得：． 47．（2025·福建泉州·三模）已知二次函数（b、c是常数）的图象经过，两点． (1)求c的值； (2)令，求当时，y的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）点与点均在抛物线上，得到，再计算即可； （2）抛物线的对称轴为，可得对称轴，由于二次项系数，又，所以存在下面两种情形：①若，即时，②若，即时，分别利用二次函数的图象与性质，画图求解． 【详解】（1）解：∵点与点均在抛物线上， ∴ 由，得， 即； （2）解：抛物线的对称轴为 ∵， ∴对称轴， 由于二次项系数，又，所以存在下面两种情形： ①若，即时， 画出二次函数大致图象如图1所示， 当时，； 当时， ∴； ②若，即时， 画出二次函数大致图象如图2所示， 当时，； 当时， ∴． 综上，满足条件的y的取值范围为或． 48．（2025·福建莆田·二模）【问题背景】 在古代，人们通过观察日出日落时间来确定二十四节气、安排农事活动．某校综合实践小组希望通过建立数学模型来探究2024年某地在冬至日前后昼长的变化规律． 【数据收集】 研究小组收集了如下几个节气的数据： 日期 日出时间 日落时间 白昼时长（日落时间-日出时间）/小时 11月7日立冬 06：16 17：19 11.05 11月22日小雪 06：26 17：14 10.80 12月7日大雪 06：38 17：14 10.60 12月22日冬至 06：46 17：19 10.55 1月6日小寒 06：51 17：27 10.60 1月21日大寒 06：51 17：39 10.80 2月4日立春 06：46 17：50 11.07 【建立模型】 从11月7日开始的每15天记作一个单位时间，记为时间，白昼时长记为y（单位：小时），列出下表，并在直角坐标系中描出表格中各对数值所对应的点，然后连接这些点，画出该函数的图象（如图）．实践小组观察曲线发现，可以用抛物线近似地刻画y与x的关系． x 0 1 2 3 4 5 6 y 11.05 10.8 10.6 10.55 10.6 10.8 11.07 任务1：请求出以点为顶点，且过点的抛物线的解析式； 【反思优化】 经检验，发现图中有其他的点不在任务1中的抛物线上，存在偏差．小组决定利用以下方法优化函数解析式，减少偏差．选取x为1，2，3，4，5，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与表格中对应y的值之差的平方和S．若S的值越小，则偏差越小． 任务2：请求出a的值，使得的值最小； 【模型应用】 很多智能手机开发了护眼模式，可以识别日出、日落时刻，并在黑夜时长内开启该模式． 任务3：请利用任务2中优化后的函数解析式来推测2024年11月7日—2025年2月4日期间手机开启护眼模式时长（即黑夜时长）超过13小时的天数．（白昼时长黑夜时长小时，参考数据：，） 【答案】任务1：；任务2：；任务3：81天． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． 任务1：把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； 任务2：求出当，2，3，4，5时，对应的函数值，进而根据题意求出S关于a的函数关系式，据此利用二次函数的性质求解即可； 任务3：根据任务2所求，求出当时，对应的自变量的值，再根据从11月7日开始，每15天记作一个单位时间即可求出答案． 【详解】解：任务1：二次函数的顶点坐标为， ∴可设抛物线解析式为， 该二次函数过， ， 解得， 与x的函数解析式为． 任务2：当，2，3，4，5时， 对应的函数值分别为，，10.55，，， ， ∴当时，S最小， ． 任务3：由任务2得到优化后的函数解析式为． 白昼时长黑夜时长小时， 若黑夜时长13小时，则白昼时长为11小时， 令，则，即或5.7． 从11月7日开始，每15天记作一个单位时间， 或85.5， 白昼时长小于11小时的天数从2024年11月12日—2025年1月31日共天，即黑夜时长大于13小时的天数为81天． 49．（2025·福建漳州·二模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且其顶点在直线上． (1)求a的值； (2)直线与x轴交于点D，若，求直线的函数表达式； (3)直线l与抛物线相交于M，N两点，若，试探究直线l是否经过一个定点Q，若经过，求出点Q的坐标；若没有，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)经过定点Q，． 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数交点问题等知识． （1）根据顶点坐标在直线上进行解答即可； （2）分两种情况，求出相应点的坐标，利用待定系数法求解即可； （3）求出直线l的函数表达式为，即，即可得到结论． 【详解】（1）解：因为抛物线， 所以抛物线的顶点坐标为． 因为顶点在直线上 所以， 所以． （2）①如图1，当点D在点A右侧时． 因为抛物线与x轴的交点，与y轴的交点， 所以． 所以． 过点D作，垂足为E， 因为， 所以， 设，则． 所以． 所以．所以 所以点D的坐标为． 因为， 设直线的函数表达式为． 解得 所以可求得直线的函数表达式为． ②如图2，当点D在点A左侧时．作轴交直线CD于点F， 可得点F与点关于直线AC对称，所以求得点F的坐标为 同理可得直线的函数表达式为． 综上所述，直线CD的函数表达式为或； （3）经过定点Q，理由如下： 因为点M，N在抛物线上， 所以设，直线l的函数表达式为， 如图3，过点C作直线轴，过点M作，过点N作，垂足分别为G，H， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 所以． 所以，即 整理，得，① 联立方程组 所以． 所以，② 将②代入①，得， 所以直线l的函数表达式为，即， 所以直线l经过定点． 50．（2025·福建泉州·二模）定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限． (1)求二次函数的表达式； (2)若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法求函数表达式、重心的概念，正确利用中点公式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）为“平稳三角形”，则可得到点，求出直线的表达式为，进而求解． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， 所以二次函数的表达式为； （2）解： 为“平稳三角形”，是的中线，交x轴于G点， G是的重心， 设交x轴于点H， 是的中线， 点的纵坐标为， 令，则，解得，（舍去）， ． 是的中线， D为的中点， ， 设直线的表达式为， 将与代入， 得， 解得， 所以直线的表达式为， 令，则，解得， ， ． 51．（2025·福建福州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)求证：当时，抛物线与轴有两个交点； (2)抛物线与轴有两个交点，，其中为正整数，且． ①设抛物线与轴交于点，是否能存在成立？若能，求此时的数量关系：若不能，请说明理由； ②求证：当为正整数时，． 【答案】(1)见解析 (2)①不存在成立，理由见解析；②见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、根与系数的关系、相似三角形的判定与性质、不等式的性质等知识点，灵活运用反证法成为解题的关键． （1）当时，抛物线的解析式为：，然后根据一元二次根的判别式解答即可； （2）①由题意可知：画图如下：连接，先证明可得，再求得、、，进而得到、，然后代入可得；再根据根与系数的关系可得，然后进行整理即可解答； ②假设，则或，然后运用反证法即可证明结论． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为：， ∴抛物线与x轴交点的横坐标为方程的解， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根， ∴当时，抛物线与轴有两个交点． （2）解：①不存在．理由如下： 由题意可知：画图如下：连接， ∵， ∴， ∴， 令时，则，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵、是抛物线与x轴的两个交点， ∴方程的两个根为a，b， ∴， ∵a为正整数，且， ∴，， ∴，即， 由得或, ∴不存在成立； ②假设，则或， 将代入中得，即， ∴， 当时，该等式不成立， 当时，， ∵a、b均为正整数， ∴t为正整数， 由①知，又， ∴为正整数，则k为整数，且， 又， ∴k为正整数， ∴为整数，且能被2整除， ∴的值可以为，， 又∵， ∴， ∴，此时，，，这与矛盾， 故假设不成立， ∴当为正整数时，． 52．（2025·福建龙岩·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知是射线上的两点（点在点的下方），连接．若，求的面积； (3)将抛物线沿直线平移一定长度，使得顶点平移至点，此时的抛物线与轴交于两点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的解析式，设设，，根据，列出方程求出的值，进而得到点坐标，过点作轴，过点作轴，分割法求出三角形的面积即可； （3）求出的解析式，根据题意，得到点在直线上，设，进而得到新的抛物线的解析式，求出，的坐标，根据正切值的定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴， ∵， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵点在点的下方， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作轴，过点作轴， 则：， ∴ ； （3）∵， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵抛物线沿直线平移一定长度，使得顶点平移至点， ∴点在直线上，设， ∴平移后的解析式为：， 令， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得：或， 当时， 则：，即：， 解得：， ∴； 当时， 则：，即：， 解得：， ∴； 综上：． 53．（2025·福建厦门·二模）某公园有一个地面喷泉景观区，如图，在景观区内的点处竖直装有水管，地面上、下的长度分别为，，点处连接水泵，点处装有喷头，使其向右喷出抛物线形水柱（简称喷泉）．该抛物线上与点离地高度相同的点记为，喷泉的最大高度（即最高点的离地高度）记为，通常当时喷泉达到最佳观赏比例．小梧用无人机拍摄喷泉景观区．无风时，观测到与射线的夹角为，且此时该喷泉正好达到最佳观赏比例． (1)通常来说，在不考虑水管对水的摩擦和阻力的情况下，水泵能把水从水泵竖直压上去的最大高度近似为该水泵的压水扬程．但实际上，考虑到水管对水的摩擦和阻力，以及若要保持水柱特定形状（如抛物线形），都需要水泵有更大的压水扬程．小桐推断：这个喷泉的水泵的压水扬程为．你同意吗？请说明理由； (2)根据测算，当有风且风力不超过3级时，该喷泉仍保持抛物线形，但受风力影响，喷泉的最大高度是无风时的至，的长度也会改变，表三是测算所得的数据． 表三 3.20 3.25 3.30 3.35 3.41 3.50 的长度 8.80 9.00 9.20 9.40 9.60 10.00 当有风且风力不超过3级时， ①判断喷泉是否还可能达到最佳观赏比例，并说明理由； ②记喷泉落地点为．无人机从射线正上方且与点水平距离处出发，水平向左飞行，是否会穿进喷泉？请说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】(1)不同意；理由见解析 (2)①不可能达到；理由见解析  ②不会穿进；理由见解析 【分析】（1）首先求出，然后得到，，由求出，然后在中，解直角三角形求出，然后得到，求出，得到，进而求解即可； （2）①首先求出，然后求出当有风且风力不超过3级时，，然后由，求出，进而判断求解即可； ②以地面水平线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出抛物线形喷泉的解析式为，然后得出，，当时，，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）由题可知，． 过点作于，交地面水平线于点，则，． 所以． 所以． 因为喷泉为抛物线形状， 所以点，关于直线成轴对称． 所以． 过点作，交的延长线于点， 则． 因为， 所以． 在中，， 所以，即． 因为此时该喷泉正好达到最佳观赏比例， 所以，即． 所以． 解得． 所以． 考虑到水管对水的摩擦和阻力，以及要保持水柱为抛物线形， 所以该喷泉的水泵的压水扬程应大于，故不同意小桐的推断． （2）①根据表三，当有风且风力不超过3级时，长度随着喷泉的最大高度的增大大致呈现出均匀增大的规律． 设． 把，代入可得， 解得 所以． 由（1）可知，无风时． 由题可知，当有风且风力不超过3级时，，即． 若喷泉达到最佳观赏比例，则，即． 又因为，可得． 解得，不符合的条件． 所以，有风且风力不超过3级时，喷泉不可能达到最佳观赏比例； ②以地面水平线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则点的坐标为． 过点作于，交轴于点，则，顶点的坐标为． 设该抛物线的解析式为：， 因为，， 所以． 所以． 把代入，得． 可得，即． 若设该抛物线的解析式为，则，可得． 又因为抛物线经过，可得． 即抛物线形喷泉的解析式为． 由①可知，，而， 所以． 对于， 因为，在每个象限内，随的增大而增大． 所以． 因为当时，， 可得，即无论取何值，无人机飞行终点的位置（射线正上方且与点水平距离处）都在抛物线外． 对于该抛物线，因为，当时，随的增大而减小． 所以当时，都有． 也即，无人机从射线正上方且与点水平距离处出发，水平向左飞行，不会穿进喷泉． 【点睛】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，解直角三角形．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型． 54．（2025·福建南平·二模）已知二次函数． (1)请完善下表，通过描点、连线，在网格图中画出函数图象，利用图象回答：当时，的取值范围是 ； … 0 0.5 1 … … … (2)两个不相等的正数满足．求证：关于的方程，不可能同时有实数根． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数图象和一元二次方程根的关系． （1）将表中数值代入，求出值填表即可；再通过表中的数据描点画出函数图象即可；最后根据函数图象可得，当时，的取值范围； （2）假设关于的方程都有实数根，根据（1）知，当时，，则当时，，时，，进而得，再根据是两个不相等的正数，得与相矛盾，即可得出结论． 【详解】（1）解：表格如下： … 0 0.5 1 … … 0 1 0 … 在网格图中画出函数图象如下： 由函数图象可知，当时，的取值范围：， 故答案为：； （2）解：证明：假设关于的方程都有实数根， 则有 由（1）知，当时，， 所以当时，， 当时，， 所以， 因为是两个不相等的正数， 所以，与相矛盾， 所以假设不成立， 所以关于的方程不可能同时有实数根． 55．（2025·福建·二模）如图，已知二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，作直线． (1)求直线的函数表达式； (2)P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作于点Q，当线段取得最大值时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法先求解抛物线为，再求解，，再求解一次函数的解析式即可； （2）如图，过作轴交于，连接，，设，则，，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于， ∴， ∴， ∴， 令，则， 解得：，， ∴， 令时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为； （2）解：如图，过作轴交于，连接，， 设，则， ∴， ∴， 当时，面积最大，而为定值， ∴此时最大， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，二次函数与面积问题，线段问题，熟练的利用二次函数的性质解题是关键． 56．（2025·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为． (1)当时，求的坐标； (2)当变化时，点始终在抛物线上，的顶点为，点关于点的对称点为，经过点且平行于轴的直线为，于点． ①求证：； ②当时，若是抛物线上的动点，在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)当时，顶点的坐标为 (2)①见解析；②直线上存在点，使得为定值 【分析】（1）将代入抛物线解析式，配方后即可得到顶点的坐标； （2）①先表示出顶点的坐标，根据题意可得出抛物线的解析式，从而得出点坐标、点坐标，由直线过点且平行于轴得出点坐标，表示出、即可得证； ②先表示出当时抛物线的解析式，根据抛物线与抛物线的平移规律推出点，过作直线的垂线，垂足为，交轴于点，结合①中的结论即可证为定值． 【详解】（1）解：当时， 抛物线的解析式为， 所以抛物线的顶点的坐标为； （2）解：①抛物线的解析式为， 顶点的坐标为， 当变化时，点始终在抛物线上， 抛物线的解析式为， ， 点，关于点对称，即为中点， ， 根据勾股定理，， 直线过点且平行于轴， 直线：， 于点， ∴， ， ． ②直线上存在点，使得为定值 当时，抛物线的解析式为， 由①知抛物线：，将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到抛物线， 对应的，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， 将直线：向上平移个单位长度得到直线：， 过作直线的垂线，垂足为，交轴于点， 由①，， 即抛物线上任一点到点的距离等于到直线：的距离， 点在上， ， ， 即直线上存在点， 使得为定值． 【点睛】本题考查的知识点是把化成顶点式、二次函数综合、勾股定理，解题关键是熟练掌握二次函数的相关知识点． 57．（2025·福建泉州·一模）已知抛物线经过和两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为第一象限内该抛物线上的一动点，且在直线的上方，过点作轴于点，交直线于点，以为直径作． ①如图1，当与轴相切时，求点的坐标； ②如图2，直线与轴交于点，交直线于点，求弦的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由待定系数法代值解方程即可得到答案； （2）①设点的坐标为，则点的坐标为，求出，由与轴相切时，，得到求解即可得到答案； ②在中，解直角三角形得到，在中，由勾股定理，连接，由相似三角形的判定定理得到，由相似比得到，由抛物线性质求最值即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线经过和两点，则 ， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：①如图所示： 设点的坐标为，则点的坐标为． ∵点在直线的上方， ∴， ∵当与轴相切时，， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； ②如图2所示： 由直线可得：点的坐标为． 由（2）得：，， ∴，， 在中， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， 连接所示： 则． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，弦的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、二次函数与圆、两点之间距离公式、二次函数图象与性质、解一元二次方程、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的解法是解决问题关键． 58．（2025·福建厦门·二模）如图，抛物线与轴，轴分别交于三点（点在点的左侧），其中点，对称轴． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在抛物线上，过点作轴于点，过点的直线交轴于点，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，于点，求的最大值，以及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到新抛物线，点是新抛物线上一个动点且在上方，当时，请求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，待定系数法求解析式，锐角三角函数比，平移的性质，函数图象的对称性，求交点坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和作辅助线． （1）利用对称轴求出，将代入解析式即可求解； （2）过点作轴，交于点，令，利用三角函数比表示出，证明，继而可得，设点，则点，利用完全平方公式整理代数式即可得到最值； （3）根据平移的性质得出，作，根据条件得出，进而根据点的坐标得，根据图象的对称性得出直线的表达式为 ，新抛物线解析式和此直线解析式联立即可得出结果． 【详解】（1）解：∵对称轴为， 将代入得 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴，交于点，令， ∵，， ∴，， 直线的表达式为：， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， 由等角的余角相等可得， ， 设点，则点 ， 而， 则 ， 即的最大值为，此时，点； （3）解： 新抛物线的表达式为 ， 由点的坐标，可得， 作， ， ，则， 由可求点坐标为 由点的坐标易得， 则直线的表达式为：， 根据图象的对称性，直线的表达式为: ， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：(舍去) 或， 即点． 59．（2025·福建泉州·一模）如果直线经过抛物线的顶点，那么称直线为抛物线的准切线．如，直线经过抛物线的顶点，所以直线是抛物线的准切线． (1)若直线为抛物线的准切线，试求的值； (2)已知直线是抛物线（）的准切线，将直线向下平移个单位，得到新直线恰好也是抛物线的准切线． ①请求出直线的解析式； ②若当时，的最小值为，试求出的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； （1）根据题意，求得顶点为，进而求解； （2）①根据题意，求得顶点为，进而求得的解析式，进而求得，进而求解；②根据题意，可得抛物线的表达式为，分当时，当，当时，分别求解即可； 【详解】（1）解：， 顶点为， 直线为抛物线的准切线， ， 解得，； （2）①， 顶点为， 直线向下平移个单位，得到直线：， 直线、都是抛物线的准切线， ∴方程的解是， 即， ∵ 即直线的解析式为：， ②顶点为在直线：上， ∴， ， ∴抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， ∵，顶点为， i）当，即时，在，取得最小值， ∴， 解得，或（舍去）， ii）当，即时，在顶点处，取得最小值， ∴ ， iii）当，即时，在，取得最小值， ∴， 方程无解， 综上所述，或； 60．（2025·福建泉州·一模）如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P在x轴上方的抛物线上． (1)求直线的解析式； (2)求以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值； (3)如图2，若直线与直线相交于点M，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了二次函数综合、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先求出点A，B，C的坐标，设直线的解析式为，代入点B，C的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）设，分2种情况①点在直线上方；②点在直线下方，利用割补法表示出以A，B，P，C为顶点的四边形面积，再利用二次函数的性质求出最大值，再比较2种情况的最大值的大小即可得出答案； （3）设，分2种情况①点在直线上方；②点在直线下方，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、，得出，，通过证明，得到，结合图形列出方程，解出的值即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得：，， ，， 令，则， ， 设直线的解析式为， 代入和，得， 解得：， 直线的解析式为． （2）解：由（1）得，，，， ，， 设， ①若点在直线上方，则， 如图，连接、、、， ， ， 当时，有最大值； ②若点在直线下方，则， 如图，连接、、， ， ， 当时，有最大值； ， 以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值为． （3）解：由（1）得，直线的解析式为，， 设， ①若点在直线上方，则， 如图，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、， ， 当，则， ， ， 轴， ， ， ， 解得：，， 点的坐标为或； ②若点在直线下方，则， 如图，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、， 同理①中的方法可得，，， 轴， ， ， ， 解得：（舍去），， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 试卷第102页，共103页 试卷第103页，共103页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数压轴题综合（精选60题） 一、单选题 1．（2025·福建·中考真题）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·福建·中考真题）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（    ） A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有 C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有 3．（2023·福建·中考真题）根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 4．（2021·福建·中考真题）二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 5．（2023·福建·中考真题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ． 6．（2022·福建·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 ． 三、解答题 7．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 8．（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 9．（2023·福建·中考真题）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，且，求证：三点共线； (3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 10．（2022·福建·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． (1)求抛物线的解析式； (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； (3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 11．（2021·福建·中考真题）已知抛物线与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线过点，求的最小值； （2）已知点中恰有两点在抛物线上． ①求抛物线的解析式； ②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证：与的面积相等． 四、单选题 12．（2025·福建厦门·二模）抛物线经过点、、．则下列说法正确的是（   ） A．顶点可能在第一象限 B．若，则顶点在第三象限 C．顶点不可能在第二象限 D．若，则顶点在第四象限 13．（2025·福建福州·三模）下列关于的函数中，当时，函数值随的值增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 14．（2025·福建莆田·三模）已知点在二次函数的图象上，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（2025·福建福州·三模）已知抛物线与轴交于点，其中．以下四个结论：①；②；③函数的最小值大于；④不等式的解集为．其中正确结论的序号为（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 16．（2025·福建福州·二模）在平面直角坐标系中，是拋物线上的两点．若对于，都有，则的取值范围是（  ） A． B． C．或 D．或 17．（2025·福建泉州·二模）已知抛物线经过点，点，将抛物线在A，B之间的部分（含端点）所有点的纵坐标的最小值记为w，且当时，y的最小值也为w，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 18．（2025·福建龙岩·一模）已知二次函数的图象经过两点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·福建漳州·二模）已知抛物线与直线只有一个交点P，且点P在第一象限，若，则m的值可能是（   ） A． B． C．3 D．4 20．（2025·福建福州·二模）已知抛物线上有三点，，．若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 21．（2025·福建泉州·二模）已知点，，在二次函数的图象上，，，则下列判断正确的是（   ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．无论非零实数a为何值，都有 D．无论非零实数a为何值，都有 22．（2025·福建泉州·一模）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 23．（2025·福建南平·二模）已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为（   ） A．4或 B．4或 C．4或 D．4或 五、填空题 24．（2025·福建泉州·二模）抛物线与轴交于点．过点作轴的垂线，若抛物线与直线有两个交点，设其中靠近轴的交点的横坐标为，且，则的取值范围是 ． 25．（2025·福建厦门·二模）已知实数k、m、n，满足，．若m，n异号，则k的取值范围为 ． 26．（2025·福建厦门·二模）已知二次函数，，都在该抛物线上，且 ，则的取值范围是 ． 27．（2025·福建龙岩·二模）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是 ． 28．（2025·福建宁德·二模）已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是 ． 29．（2025·福建莆田·二模）二次函数的图象过，，三个点．若，则a的取值范围是 ． 30．（2025·福建·一模）已知抛物线，，是抛物线上任意两点，若对于，，都有，则的取值范围为 ． 31．（2025·福建厦门·二模）已知函数，当取不同值时，函数会有不同的图象，它们组成的“图象集”记为．若存在的某个范围，对该范围内的任意，当时，相应的函数图象与（不含的部分）都不相交，则的该范围是 ． 六、解答题 32．（2025·福建厦门·二模）太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角。冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天：夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天。设冬至这天正午时刻太阳高度角为，夏至这天正午时刻太阳高度角为．厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线为遮阳棚，为遮阳棚安装在窗户上方的支架，，线段的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚所在的抛物线与抛物线的形状相同． 如图2，为小明家的朝南窗户，测得，，窗户的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（的长）． (1)求小明家所需的遮阳棚的跨度； (2)春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米．若，，求d的最大值． 33．（2025·福建厦门·二模）项目式学习：人工智能视觉识别 项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框． 概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴、y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：如图2，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比． 【概念理解】 （1）如图，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比 ． （2）如图，铅笔经过计算机识别后的图形为线段，表达式为 其目标矩形的纵横比 ． 【联系实际】 （3）如图和图，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，C到的距离为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）． 【应用拓展】 （4）为方便救助溺水者，拟在图的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并在图坐标系下求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）． （5）据调查，拱顶离水面最大距离为，该河段水位在此基础上再涨达到最高．当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．  （救生圈大小忽略不计） 34．（2025·福建福州·三模）已知二次函数． (1)求证：该二次函数图象必过定点； (2)若，在该二次函数图象上，，求k值； (3)若该二次函数图象与x轴有两个交点，其横坐标分别为，，求证：． 35．（2025·福建福州·三模）已知：抛物线． (1)求证：抛物线与轴总有两个交点； (2)若抛物线与轴的交点为均为整数，且，求出的值． (3)在第（2）问的条件下，当时，抛物线上是否存在点，使得是直角三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（2025·福建莆田·三模）平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数图象的顶点坐标； (2)已知平面内一点，将点向左平移2个单位长度，平移后的对应点在这个二次函数图象上，试求的值． 37．（2025·福建三明·三模）图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的解析式； (2)当该河段水位再涨达到最高时，有一艘货船它露出水面高，船体宽，需要从拱桥下通过，请通过计算判断该货船是否能顺利通行． (3)为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼．如图3，为了安全，灯笼底部距离水面不小于（此时水面是指（2）中最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．请设计悬挂方案，并说明悬挂的灯笼数量最多可以是多少个． 38．（2025·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，已知二次函数是常数，． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若函数图象经过点，当时，；当时，，求的值． 39．（2025·福建龙岩·二模）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式． (2)已知点D是抛物线上位于第三象限内的一个动点，过点D作轴于点E，连接交于点F设点D的横坐标为m． ①当时，求m的值． ②连接交于点P，连接，设，，．试探究：在点D运动的过程中，S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值；若不存在，请说明理由． 40．（2025·福建厦门·一模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 41．（2025·福建三明·二模）综合实践： 根据以下素材，解决问题． 如何确定拱桥形状？ 问题背景 河面上有一座拱桥，对它的形状，同学们各抒己见有同学说拱桥的形状是抛物线，也有同学说是圆弧为确定拱桥的形状，九年级综合实践小组开展了一次探究活动． 素材1 在正常水位时，小组成员对拱形内水面宽度和拱顶离水面的距离进行了测量并绘制了图．测得拱形内水面宽为40米，拱顶离水面的距离为10米． 素材2 大雨过后，水位上涨．小组成员再对拱形内水面宽度和拱顶离水面的距离进行了两次测量．发现当拱形内水面宽为36米时，水位（相对正常水位）上涨米；当拱形内水面宽为32米时，水位（相对正常水位）上涨米． 素材3 如何检验探究过程中提出的假设是否符合实际情况呢？定义：离差平方和是实际观测值与预测值之间差的平方和，反映了基于假设算得的预测值与实际观测值之间的差异．离差平方和越小，说明预测值与实际观测值之间的误差越小，提出的假设与实际情况更为接近． 解决问题 假设1 小组成员首先假设拱桥形状是抛物线．根据素材1建立如图所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式． 假设2 小组成员又提出拱桥形状可能是圆弧．请根据素材1求出该圆弧的半径． 分析判断 基于假设1和假设2，请分别计算拱形内水面宽36米和32米时水位上涨的预测值，直接填入下表（数据保留两位小数），并结合素材3分别求出两种假设下数据的离差平方和，判断拱桥更接近哪一种形状．（参考数据：6.4） 水面宽36米 水面宽32米 水位上涨的实际观测值（m） 假设1的预测值（m） 假设2的预测值（m） 42．（2025·福建三明·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求该二次函数的顶点坐标； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，的面积是面积的一半，求点的坐标． 43．（2025·福建厦门·三模）已知二次函数． (1)若二次函数图象经过点，求该二次函数的解析式； (2)点在二次函数的图象上，且关于原点O对称，连接． ①求直线的解析式； ②将二次函数的图象向上平移3个单位得到抛物线C，探究直线与抛物线C的交点个数． 44．（2025·福建厦门·三模）如图，有一栋底面呈长方形的建筑物，长，宽，墙角有一根木桩，木桩上拴着一只小狗，拴小狗的绳子长为x米． (1)若，当小狗的活动区域面积为时，求绳子长； (2)若，请判断小狗的活动区域面积能否达到，并说明理由． 45．（2025·福建宁德·二模）学完二次函数知识后，小明利用抛物线设计了一个如图1所示的公园休憩凉亭，凉亭的支柱为抛物线的一部分，为保护支柱，要求设计时让每个柱脚到屋檐铅垂线的距离不小于．图2是凉亭的截面图，其中抛物线柱脚之间的距离，抛物线柱的最高点离地面的距离为，平屋面离地面的距离为，其一端恰好在抛物线柱上，根据设计要求，柱脚到过屋檐的铅垂线的距离，斜屋面与平屋面的夹角，档板与斜屋面的夹角． (1)在图2所示的平面直角坐标系中，求出抛物线的函数表达式； (2)求平屋面的长；（结果精确到） (3)判断柱脚到过屋檐的铅垂线的距离是否满足设计要求？（结果精确到） （参考数值：，，，） 46．（2025·福建泉州·二模）已知：抛物线，其顶点为A，且与y轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线．       (1)当时， ①求抛物线的解析式，并直接写出顶点A的坐标． ②点D在抛物线上，延长至E使得，若点E落在抛物线上，求D的坐标． (2)动点M在抛物线的对称轴上（M不与A重合），过M作直线垂直于y轴，交于点P（P在对称轴左侧），交于点Q（Q在对称轴右侧）．当点P与点B重合时，若时，求h的值． 47．（2025·福建泉州·三模）已知二次函数（b、c是常数）的图象经过，两点． (1)求c的值； (2)令，求当时，y的取值范围． 48．（2025·福建莆田·二模）【问题背景】 在古代，人们通过观察日出日落时间来确定二十四节气、安排农事活动．某校综合实践小组希望通过建立数学模型来探究2024年某地在冬至日前后昼长的变化规律． 【数据收集】 研究小组收集了如下几个节气的数据： 日期 日出时间 日落时间 白昼时长（日落时间-日出时间）/小时 11月7日立冬 06：16 17：19 11.05 11月22日小雪 06：26 17：14 10.80 12月7日大雪 06：38 17：14 10.60 12月22日冬至 06：46 17：19 10.55 1月6日小寒 06：51 17：27 10.60 1月21日大寒 06：51 17：39 10.80 2月4日立春 06：46 17：50 11.07 【建立模型】 从11月7日开始的每15天记作一个单位时间，记为时间，白昼时长记为y（单位：小时），列出下表，并在直角坐标系中描出表格中各对数值所对应的点，然后连接这些点，画出该函数的图象（如图）．实践小组观察曲线发现，可以用抛物线近似地刻画y与x的关系． x 0 1 2 3 4 5 6 y 11.05 10.8 10.6 10.55 10.6 10.8 11.07 任务1：请求出以点为顶点，且过点的抛物线的解析式； 【反思优化】 经检验，发现图中有其他的点不在任务1中的抛物线上，存在偏差．小组决定利用以下方法优化函数解析式，减少偏差．选取x为1，2，3，4，5，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与表格中对应y的值之差的平方和S．若S的值越小，则偏差越小． 任务2：请求出a的值，使得的值最小； 【模型应用】 很多智能手机开发了护眼模式，可以识别日出、日落时刻，并在黑夜时长内开启该模式． 任务3：请利用任务2中优化后的函数解析式来推测2024年11月7日—2025年2月4日期间手机开启护眼模式时长（即黑夜时长）超过13小时的天数．（白昼时长黑夜时长小时，参考数据：，） 49．（2025·福建漳州·二模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且其顶点在直线上． (1)求a的值； (2)直线与x轴交于点D，若，求直线的函数表达式； (3)直线l与抛物线相交于M，N两点，若，试探究直线l是否经过一个定点Q，若经过，求出点Q的坐标；若没有，请说明理由． 50．（2025·福建泉州·二模）定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限． (1)求二次函数的表达式； (2)若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积． 51．（2025·福建福州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)求证：当时，抛物线与轴有两个交点； (2)抛物线与轴有两个交点，，其中为正整数，且． ①设抛物线与轴交于点，是否能存在成立？若能，求此时的数量关系：若不能，请说明理由； ②求证：当为正整数时，． 52．（2025·福建龙岩·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知是射线上的两点（点在点的下方），连接．若，求的面积； (3)将抛物线沿直线平移一定长度，使得顶点平移至点，此时的抛物线与轴交于两点，且，求点的坐标． 53．（2025·福建厦门·二模）某公园有一个地面喷泉景观区，如图，在景观区内的点处竖直装有水管，地面上、下的长度分别为，，点处连接水泵，点处装有喷头，使其向右喷出抛物线形水柱（简称喷泉）．该抛物线上与点离地高度相同的点记为，喷泉的最大高度（即最高点的离地高度）记为，通常当时喷泉达到最佳观赏比例．小梧用无人机拍摄喷泉景观区．无风时，观测到与射线的夹角为，且此时该喷泉正好达到最佳观赏比例． (1)通常来说，在不考虑水管对水的摩擦和阻力的情况下，水泵能把水从水泵竖直压上去的最大高度近似为该水泵的压水扬程．但实际上，考虑到水管对水的摩擦和阻力，以及若要保持水柱特定形状（如抛物线形），都需要水泵有更大的压水扬程．小桐推断：这个喷泉的水泵的压水扬程为．你同意吗？请说明理由； (2)根据测算，当有风且风力不超过3级时，该喷泉仍保持抛物线形，但受风力影响，喷泉的最大高度是无风时的至，的长度也会改变，表三是测算所得的数据． 表三 3.20 3.25 3.30 3.35 3.41 3.50 的长度 8.80 9.00 9.20 9.40 9.60 10.00 当有风且风力不超过3级时， ①判断喷泉是否还可能达到最佳观赏比例，并说明理由； ②记喷泉落地点为．无人机从射线正上方且与点水平距离处出发，水平向左飞行，是否会穿进喷泉？请说明理由．（参考数据：，，，） 54．（2025·福建南平·二模）已知二次函数． (1)请完善下表，通过描点、连线，在网格图中画出函数图象，利用图象回答：当时，的取值范围是 ； … 0 0.5 1 … … … (2)两个不相等的正数满足．求证：关于的方程，不可能同时有实数根． … 0 0.5 1 … … 0 1 0 … 55．（2025·福建·二模）如图，已知二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，作直线． (1)求直线的函数表达式； (2)P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作于点Q，当线段取得最大值时，求点P的坐标． 56．（2025·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为． (1)当时，求的坐标； (2)当变化时，点始终在抛物线上，的顶点为，点关于点的对称点为，经过点且平行于轴的直线为，于点． ①求证：； ②当时，若是抛物线上的动点，在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，说明理由． 57．（2025·福建泉州·一模）已知抛物线经过和两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为第一象限内该抛物线上的一动点，且在直线的上方，过点作轴于点，交直线于点，以为直径作． ①如图1，当与轴相切时，求点的坐标； ②如图2，直线与轴交于点，交直线于点，求弦的最大值． 58．（2025·福建厦门·二模）如图，抛物线与轴，轴分别交于三点（点在点的左侧），其中点，对称轴． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在抛物线上，过点作轴于点，过点的直线交轴于点，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，于点，求的最大值，以及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到新抛物线，点是新抛物线上一个动点且在上方，当时，请求出符合条件的点的坐标． 59．（2025·福建泉州·一模）如果直线经过抛物线的顶点，那么称直线为抛物线的准切线．如，直线经过抛物线的顶点，所以直线是抛物线的准切线． (1)若直线为抛物线的准切线，试求的值； (2)已知直线是抛物线（）的准切线，将直线向下平移个单位，得到新直线恰好也是抛物线的准切线． ①请求出直线的解析式； ②若当时，的最小值为，试求出的值． 60．（2025·福建泉州·一模）如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P在x轴上方的抛物线上． (1)求直线的解析式； (2)求以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值； (3)如图2，若直线与直线相交于点M，且，求点P的坐标． 试卷第102页，共103页 试卷第103页，共103页 学科网（北京）股份有限公司 $$