【5年中考压轴真题】2022～2026年安徽省选择题、填空题、解答题汇编

**基本信息** 2022-2026年安徽省中考数学压轴真题汇编，含选择、填空、解答题各10题，分层设题（易至难），聚焦几何综合、函数应用与核心素养，适配一轮复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10题|几何动态（如等腰直角三角形综合）、函数图象分析|结合图形变换（旋转、折叠），设置多结论辨析题| |填空题|10题|概率计算（《九章算术》背景）、几何折叠与坐标|融入实际情境（机器人运动、天平平衡），设计分层设问| |解答题|10题|二次函数综合、四边形证明与计算|注重跨知识整合（函数与几何结合），设置探究性问题（如栅栏设计最值）|

【5年中考压轴真题】2022~2026年安徽省选择题、填空题、解答题汇编 一．选择题（共10小题） 1．（2026•安徽）·【较难】如图，点C，E分别为等腰直角△ABC与等腰直角△DBE的直角顶点，且点C在边DE上．AF⊥DE，垂足为F．边AB的中点为M，线段MC，AC分别交BD于点N，H，连接AD，AN．若AD＝DC，则下列结论错误的是（　　） A．DF＝CE B．CMDN C．CH＝CN D．ANCD 2．（2025•安徽）·【中档】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（　　） A．EC﹣ED的最大值是2 B．FB的最小值是 C．EC+ED的最小值是4 D．FC的最大值是 3．（2024•安徽）·【中档】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD是边AC上的高．点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且DE⊥DF．设AE＝x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为（　　） A． B． C． D． 4．（2023•安徽）·【中档】如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（　　） A．PA+PB的最小值为3 B．PE+PF的最小值为2 C．△CDE周长的最小值为6 D．四边形ABCD面积的最小值为3 5．（2022•安徽）·【中档】已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（　　） A． B． C．3 D． 6．（2026•安徽）·【易】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的图象分别与x轴和y轴交于点A和B，与反比例函数y（m≠0）在第一象限内的图象交于点P．若OP＝OB，，则m＝（　　） A． B． C． D． 7．（2025•安徽）·【中档】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则（　　） A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．2b﹣c＜0 D．a﹣b+c＜0 8．（2024•安徽）·【中档】在凸五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，F是CD的中点．下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是（　　） A．∠ABC＝∠AED B．∠BAF＝∠EAF C．∠BCF＝∠EDF D．∠ABD＝∠AEC 9．（2023•安徽）·【中档】已知反比例函数y（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（　　） A． B． C． D． 10．（2022•安徽）·【较易】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共10小题） 11．（2026•安徽）·【中档】图1是轨道示意图，其中A，B，C，D是矩形的四个顶点，E为AC，BD的交点，AB＝AE＝1m．机器人以1m/min的速度在轨道上作匀速运动，且运动方向只能在点A，B，C，D，E处发生改变．机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A． （1）若机器人到点A的距离y（单位：m）关于运动时间x（单位：min）的函数图象如图2所示，则y取最大值时，x＝　 　 ； （2）将机器人在运动过程中经过点B，C，D，E的顺序不同视为运动方式不同，则用时最短的运动方式共有　 　 种． 12．（2025•安徽）·【中档】对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；若余数为0，则m；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为　 　 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为　 　 ． 13．（2024•安徽）·【中档】如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，BC上．沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B′，C′处，然后还原． （1）若点N在边CD上，且∠BEF＝α，则∠C′NM＝　 　 （用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平面内的点D′处，然后还原．若点D′在线段B′C′上，且四边形EFGH是正方形，AE＝4，EB＝8，MN与GH的交点为P，则PH的长为 　 　 ． 14．（2023•安徽）·【中档】如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m，R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（精确到0.1m）． 参考数据：（sin24.2°≈0.41，cos24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．） 15．（2022•安徽）·【中档】如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题： （1）∠FDG＝　 　 °； （2）若DE＝1，DF＝2，则MN＝　 　 ． 16．（2026•安徽）·【易】中国古代数学著作《九章算术》中有关于“开平方”和“开立方”算法的记载．数学兴趣小组从《九章算术》中挑选出4个问题作为数学活动材料，其中“开平方”问题和“开立方”问题各2个．在某次活动中，从这4个问题中随机抽出一个进行算法推演，则抽到的是“开平方”问题的概率为　 　 ． 17．（2025•安徽）·【中档】在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为10g，20g，30g，40g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 　 　 ． 18．（2024•安徽）·【较易】不透明的袋中装有大小质地完全相同的4个球，其中1个黄球、1个白球和2个红球．从袋中任取2个球，恰为2个红球的概率是 　 　 ． 19．（2023•安徽）·【较难】如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C． （1）k＝　 　 ； （2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为 　 　 ． 20．（2022•安徽）·【较易】如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y的图象经过点C，y（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2026•安徽）·【难】已知抛物线yx（2a﹣x）（a＞0）． （1）求抛物线顶点的纵坐标； （2）点，（x1＜x2）都在抛物线上． （i）求的值； （ii）设a为正整数，线段AB上横坐标为整数的点的个数为m，请比较m与2a﹣2的大小，并说明理由． 22．（2025•安徽）·【较难】已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（4，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝x2﹣2x上（A，B与原点都不重合）． （i）若a，且x1＝x2，比较y1与y2的大小； （ii）当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值． 23．（2024•安徽）·【中档】已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上． （ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值； （ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值． 24．（2023•安徽）·【难】在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2． （1）求a，b的值； （2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E． （i）当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和； （ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由． 25．（2022•安徽）·【较难】如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）． 26．（2026•安徽）·【易】如图1，在▱ABCD中，CD＝2AD，边CD的中点为M，连接AM． （1）求证：∠C＝2∠AMD； （2）如图2，MN⊥BC，垂足为N．点P在线段AM上，PE⊥CD，PF⊥BC，垂足分别为E、F． （i）求证：PF﹣PE＝MN； （ii）若PF＝4PE，求的值． 27． （2025•安徽）·【较难】已知点A′在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA′的垂直平分线，连接A′E，A′B． （1）如图1，若BA′的延长线经过点D，AE＝1，求AB的长； （2）如图2，点F是AA′的延长线与CD的交点，连接CA′． （i）求证：∠CA′F＝45°； （ii）如图3，设AF，BE相交于点G，连接CG，DG，DA′，若CG＝CB，判断△A′DG的形状，并说明理由． 28．（2024•安徽）·【较难】如图1，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM＝CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点． （1）求证：OE＝OF； （2）连接BM交AC于点H，连接HE，HF． （ⅰ）如图2，若HE∥AB，求证：HF∥AD； （ⅱ）如图3，若▱ABCD为菱形，且MD＝2AM，∠EHF＝60°，求的值． 29．（2023•安徽）·【较难】在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD． （1）如图1，求∠ADB的大小； （2）已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB． （i）如图2，连接CD，求证：BD＝CD； （ii）如图3，连接BE，若AC＝8，BC＝6，求tan∠ABE的值． 30．（2022•安徽）·【较难】已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE． （1）如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形； （2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC． （ⅰ）求∠CED的大小； （ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF． 【5年中考压轴真题】2022~2026年安徽省选择题、填空题、解答题汇编 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：对于选项A， 连接MD交AC于点Q，作△ABC的外接圆，如图所示： ∵△ABC是等腰直角三角形，点C为直角顶点， ∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，AC＝BC， ∴AB是△ABC外接圆的直径， ∵点M是AB的中点， ∴点M是△ABC外接圆的圆心，记作△ABC的外接圆为⊙M， ∵△DBE是等腰直角三角形，点E为直角顶点， ∴∠E＝90°，∠EDB＝∠EBB＝45°， ∴∠CAB＝∠EDB＝45°， ∴点D在⊙M上， ∴∠ADB＝90°， ∴∠FEA＝180°﹣（∠EDB+∠ADB）＝180°﹣（45°+90°）＝45°， ∵AF⊥DE，垂足为F， ∴∠F＝90°， ∴△FAD是等腰直角三角形， ∴DF＝AF， 在△BCE中，∠E＝90°， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， 又∵∠FCA+∠ECB＝180°﹣∠ACB＝90°， ∴∠FCA＝∠EBC， 在△AFC和△CBE中， ， ∴△AFC≌△CBE（AAS）， ∴AF＝CE， ∴DF＝CE， 故选项A正确，不符合题意； 对于选项B， ∵AD＝DC， ∴， ∴∠1＝∠2∠CBA＝22.5°， 由垂径定理得：MD⊥AC， ∴∠MQC＝∠AQD＝90°， 在△ABC中，AC＝BC，点M是AB的中点， ∴CM⊥AB，CM＝AM＝BMAB， ∴△AMC是等腰直角三角形， ∴∠MCA＝45°， 又∵MD⊥AC， ∴MQ＝AQ＝CQAC，∠CMB＝∠CMA＝90°， 在△MQC中，由勾股定理得：CMMQAQ， ∵CM⊥AB，AM＝BM， ∵CM是AB边的垂直平分线， ∴AN＝BN， ∴∠3＝∠2＝22.5°， ∴∠CAN＝∠CAB﹣∠2＝22.5°， 又∴∠CAD＝∠1＝22.5°， ∴∠DAN＝∠CAN+∠CAD＝45°， 在△ADN中，∠ADB＝90°，∠DAN＝45°， ∴△ADN是等腰直角三角形， ∴AD＝DN， 在△AQD中，∠AQD＝90°， ∴AQ＜AD， ∴CMAD， 故选项B错误，符合题意； 对于选项C， 在△BMN中，∠CMB＝90°，∠1＝22.5°， ∴∠MNB＝90°﹣∠1＝67.5°， ∴∠CNH＝∠MNB＝67.5°， 在△AHN中，∠CHN＝180°﹣（∠MCA+∠CNH）＝180°﹣（45°+67.5°）＝67.5°， ∴∠CNH＝∠CHN＝67.5°， ∴CH＝CN， 故选项C正确，不符题意； 对于选项D， ∵CM⊥AB，AM＝BM， ∵CM是AB边的垂直平分线， ∴AN＝BN， ∴∠3＝∠2＝22.5°， ∴∠CAN＝∠CAB﹣∠2＝22.5°， 又∴∠CAD＝∠1＝22.5°， ∴∠DAN＝∠CAN+∠CAD＝45°， 在△ADN中，∠ADB＝90°，∠DAN＝45°， ∴△ADN是等腰直角三角形， ∴AD＝ND， 由勾股定理得：ANAD， ∵AD＝CD， ∴ANCD， 故选项D正确，不符合题意， 综上所述：选项B错误，符合题意． 故选：B． 2．【解答】解：∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF， ∴DE＝DF，∠EDF＝90°， 又∵∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1， 过点D作DG⊥BC于点G，在DG上取一点H，使得DH＝AD＝1，延长FH交AB于点I，则四边形ABGD是矩形， ∴∠GDA＝∠ADE+∠EDG＝90°＝∠EDG+∠HDF． ∴∠ADE＝∠HDF， ∴△DHF≌△DAE（SAS）， ∴∠DHF＝∠DAE＝90°， ∴FH⊥DG，即点F在FH上运动， ∴四边形DAIH和四边形BGHI是矩形， ∴HI＝AD＝BG＝1，AI＝DH＝1，BI＝4﹣1＝3， ∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝1， ∴，， ∴， ∴BE最大时，EC﹣ED最大， 当点E与点A重合时，F与H重合时，BF最小，此时，ED＝1，，故A错误，符合题意； ，故B正确，不符合题意； 作点D关于AB的对称点M，连接MC，则ED＝EM，AD＝AM＝1，∠BAM＝∠BAD＝90°，过M作MN⊥CB于点N，此时EC+ED≥CM，当C、E、M三点共线时，EC+ED最小， ∵MN⊥CB，∠ABN＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形AMNB是矩形， ∴BN＝AM＝1，CN＝3+1＝4，AB＝MN＝4， ∴EC+ED的最小值，故C正确，不符合题意； 当E与A重合时，， 当E与B重合时，过C作CQ⊥FH，则四边形CQIB是矩形，如图， ∴CQ＝IB＝4﹣1＝3，QI＝BC＝3， ∵△DHF≌△DAE， ∴FH＝AE＝4， ∴QF＝FH+HI﹣QI＝4+1﹣3＝2， ∴， 综上，FC最大值为.故D项正确，不符合题意； 故选：A． 3．【解答】解：过D作DH⊥AB于H，如图： ∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2， ∴AC2， ∵BD是边AC上的高， ∴BD； ∴CD，AD＝AC﹣CD， ∴DH， ∴S△ADEAE•DHxx，S△BDEBE•DH（4﹣x）x； ∵∠BDE＝90°﹣∠BDF＝∠CDF，∠DBE＝90°﹣∠CBD＝∠C， ∴△BDE∽△CDF， ∴（）2＝（）2， ∴S△CDFS△BDE（x）x， ∴y＝S△ABC﹣S△ADE﹣S△CDF2×4x﹣（x）x， ∵0， ∴y随x的增大而减小，且y与x的函数图象为线段（不含端点）， 观察各选项图象可知，A符合题意； 故选：A． 4．【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，如图： ∵△ADE和△BCE是等边三角形， ∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°， ∴DE∥BM，CE∥AM， ∴四边形DECM是平行四边形， ∵P为CD中点， ∴P为EM中点， ∵E在线段AB上运动， ∴P在直线l上运动， 由AB＝4知等边三角形ABM的高为2， ∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为， 作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB＝PA'+PB最小， 此时PA+PB最小值A'B2，故选项A错误，符合题意； ∵PM＝PE， ∴PE+PF＝PM+PF， ∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度， ∵F为AB的中点， ∴MF⊥AB， ∴MF为等边三角形ABM的高， ∴PE+PF的最小值为2，故选项B正确，不符合题意； 过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图， ∵△ADE和△BCE是等边三角形， ∴KEAE，TEBE， ∴KT＝KE+TEAB＝2， ∴CD≥2， ∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2， ∴DE+CE+CD≥6， ∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意； 设AE＝2m，则BE＝4﹣2m， ∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DKAKm，CTBT＝2m， ∴S△ADKm•mm2，S△BCT（2﹣m）（2m）m2﹣2m+2，S梯形DKTC（m+2m）•2＝2， ∴S四边形ABCDm2m2﹣2m+22m2﹣2m+4（m﹣1）2+3， ∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为3，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 5．【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧， ∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC， ∴S1+S0＝S2+S3， ∵S1+S2+S3＝2S0， ∴S1+S1+S0＝2， ∴S1S0， ∵△ABC是等边三角形，边长为6， ∴S062＝9， ∴S1， 过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T． ∵△PAB的面积是定值， ∴点P的运动轨迹是直线PM， ∵O是△ABC的中心， ∴CT⊥AB，CT⊥PM， ∴•AB•RT，CR＝3，OR， ∴RT， ∴OT＝OR+TR， ∵OP≥OT， ∴OP的最小值为， 当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为， 如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为， ∵， 故选：B． 6．【解答】解：过P作PC⊥y轴于C， ∴PE∥OA， ∴． 由题意，∵一次函数为y＝kx﹣1（k≠0）， ∴当x＝0时，y＝﹣1，则B（0，﹣1）． ∴OB＝1． ∴OP＝OB＝1． ∴BE，则OE＝BE﹣OB． ∴P的纵坐标为． ∵一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的图象分别与x轴和y轴交于点A和B，与反比例函数y（m≠0）在第一象限内的图象交于点P， ∴P的横坐标为：，则PE，m＞0． ∴OP1． ∴m（负值不合题意，舍去）． 故选：C． 7．【解答】解：由图象可知抛物线交x轴于点（2，0），另一个交点横坐标在﹣1和0之间， 根据对称性可知对称轴， ∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，故B选项错误； 当x＝﹣1时，可知y＞0，即a﹣b+c＞0，故D选项错误； 观察图象知a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，故A选项错误； 由上述对称轴的范围可知b＜﹣a，即b+a＜0， 故4b+4a＜0①， 把点（2，0）代入抛物线中， 得4a+2b+c＝0，故4a＝﹣2b﹣c， 再代入①式中，可得4b﹣2b﹣c＜0， 整理即为2b﹣c＜0，故C选项正确． 故答案为：C． 8．【解答】选项A：连接AC、AD， ∵AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝DE， ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴AC＝AD， ∵F是CD的中点， ∴AF⊥CD，所以选项A不合题意； 选项B：连接BF、EF， ∵AB＝AE，∠BAF＝∠EAF，AF＝AF， ∴△ABF≌△AEF（SAS）， ∴∠AFB＝∠AFE，BF＝EF， ∴△BFC≌△EFD（SSS）， ∴∠BFC＝∠EFD， ∴∠BFC+∠AFB＝∠EFD+∠AFE，即∠AFC＝∠AFD＝90°， ∴AF⊥CD，所以选项B不合题意； 选项C：思路与选项B大致相同，先证△BFC≌△EFD（SAS），再证△ABF≌△AEF（SSS）， ∴∠BFC+∠AFB＝∠EFD+∠AFE，即∠AFC＝∠AFD＝90°， ∴AF⊥CD，所以选项C不合题意； 选项D 的条件无法证出全等，故证不出AF⊥CD，所以选项D符合题意． 故答案选：D． 9．【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数y的图象经过第一、三象限，则k＞0， ∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x0， 由图象可知，反比例函数y与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点（1，k）和（k，1）， ∴﹣1+b＝k， ∴k﹣b＝﹣1， ∴b＝k+1， ∴对于函数y＝x2﹣bx+k﹣1，当x＝1时，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1， ∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1）， ∵反比例函数y与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点， ∴方程x+b有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0， ∴k﹣1≠0， ∴当x＝0时，y＝k﹣1≠0， ∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象不过原点， ∴符合以上条件的只有A选项． 故选：A． 10．【解答】解：∵y＝ax+a2与y＝a2x+a， ∴x＝1时，两函数的值都是a2+a， ∴两直线的交点的横坐标为1， 若a＞0，则一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a都是增函数，且都交y轴的正半轴，图象都经过第一、二、三象限； 若a＜0，则一次函数y＝ax+a2经过第一、二、四象限，y＝a2x+a经过第一、三、四象限，且两直线的交点的横坐标为1； 故选：D． 二．填空题（共10小题） 11．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴EC＝BE＝AE＝1m，∠ABC＝90°， 由图象可得，当x＝1时，y＝1， ∴当x＝1时，机器人从点A运动到点B，或点A运动到点E， ∵从x＝1到y取最大值时，y随x的增大而增大， ∴机器人从点B运动到点C，或从点E运动到点C， ∵机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A， ∴若机器人从点E运动到点C，接下来运动到点B或点D都不符合题意， ∴机器人应从点B运动到点C，此时y取最大值， ∵AC＝AE+EC＝2m，AB＝1m，∠ABC＝90°， ∴， ∴y取最大值时，， 故答案为：； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴EC＝ED＝1m，CD＝AB＝1m，， ∵机器人从点A出发，经过其余四点各一次后，回到点A， ∴机器人的运动方式有： ①A→B→C→E→D→A， ∴运动时间为（AB+BC+CE+DE+AD）÷1＝（11+1）÷13（min）； ②A→B→C→D→E→A， ∴运动时间为（AB+BC+CD+DE+EA）÷1＝（11+1+1）÷14（min）； ③A→B→E→C→D→A， ∴运动时间为（AB+BE+EC+CD+DA）÷1＝（1+1+1+1）÷14（min）； ④A→E→B→C→D→A， ∴运动时间为（AE+EB+BC+CD+DA）÷1＝（1+11）÷13（min）； ⑤A→E→D→C→B→A， ∴运动时间为（AE+ED+DC+CB+BA）÷1＝（1+1+11）÷14（min）； ⑥A→D→C→E→B→A， ∴运动时间为（AD+DC+CE+EB+BA）÷1＝（1+1+1+1）÷14（min）； ⑦A→D→E→C→B→A， ∴运动时间为（AD+DE+EC+CB+BA）÷1＝（1+11）÷13（min）； ⑧A→D→C→B→E→A， ∴运动时间为； ∵ ， ∴， ∴为最短用时，共4种， 故答案为：4． 12．【解答】解：（1）∵15÷3＝5…0， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵5÷3＝1…2， ∴15进行二次变换后得到的数为5+1＝6； ∵6÷3＝2…0， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为1×3＝3，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为1﹣1＝0，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则n＝3×3＝9，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则n＝3﹣1＝2，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为2+9＝11， 故答案为：11． 13．【解答】解：（1）∵MN⊥EF，∠BEF＝α， ∴∠EMN＝90°﹣α， ∵CD∥AB， ∴∠CNM＝∠EMN＝90°﹣α， ∴∠C′NM＝∠CNM＝90°﹣α． 故答案为：90°﹣α． （2）如图，设PH与NC'交于点G'， ∵四边形ABCD和四边形EFGH是正方形， ∴∠A＝∠D＝∠GHE＝90°，GH＝EH， ∴∠AHE+∠GHD＝∠AHE+∠AEH＝90° ∴∠GHD＝∠AEH， ∴△EAH≌△HDG（AAS） 同理可证△EAH≌△HDG≌△GCF≌△FBE， ∴DH＝CG＝AE＝4，DG＝EB＝8， ∴GH4， ∵MN⊥GH，且∠C′NM＝∠CNM， ∴MN垂直平分GG'，即PG＝PG'GG'，且NG＝NG'， ∵四边形CBMN沿MN折叠， ∴CN＝C'N， ∴CN﹣NG＝C'N﹣NG'，即C'G'＝CG＝4， ∵△GDH沿GH折叠得到△GD'H， ∴GD'＝GD＝8， ∵∠HC'G'＝∠HD'G＝90°， ∴C'G'∥D'G， ∴， ∴HG'＝GG'HG＝2， 又∵PG'GG'， ∴PH＝PG'+HG'＝3． 故答案为：3． 14．【解答】解：如图，由题意可知，∠ORB＝36.9°，∠ORA＝24.2°， 在Rt△AOR中，AR＝40m，∠ORA＝24.2°， ∴OA＝sin∠ORA×AR ＝sin24.2°×40 ≈16.4（m）， OR＝cos24.2°×40 ≈36.4（m）， 在Rt△BOR中， OB＝tan36.9°×36.4≈27.3（m）， ∴AB＝OB﹣OA ＝27.3﹣16.4 ＝10.9（m）， 答：无人机上升高度AB约为10.9m． 15．【解答】解：由题知，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴∠AEB+∠GEF＝90°， ∵∠AEB+∠ABE＝90°， ∴∠GEF＝∠ABE， 在△ABE和△GEF中， ， ∴△ABE≌△GEF（AAS）， ∴EG＝AB＝AD，GF＝AE， 即DG+DE＝AE+DE， ∴DG＝AE， ∴DG＝GF， 即△DGF是等腰直角三角形， ∴∠FDG＝45°， 故答案为：45°； （2）∵DE＝1，DF＝2， 由（1）知，△DGF是等腰直角三角形， ∴DG＝GF＝2，AB＝AD＝CD＝ED+DG＝2+1＝3， 延长GF交BC延长线于点H， ∴CD∥GH， ∴△EDM∽△EGF， ∴， 即， ∴MD， 同理△BNC∽△BFH， ∴， 即， ∴， ∴NC， ∴MN＝CD﹣MD﹣NC＝3， 故答案为：． 16．【解答】解：所有可能出现的结果共4种，且每种结果发生的可能性相等， 其中抽取到“开平方”问题的结果有2种． 根据概率公式，抽到的是“开平方”问题的概率为， 故答案为：． 17．【解答】解：由题意可知，20g+50g＝70g，10g+40g＝20g+30g＝50g， 把质量为10g，20g，30g，40g的四件物品分别记为1、2、3、4， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中天平恢复平衡的结果有4种， ∴天平恢复平衡的概率为， 故答案为：． 18．【解答】解： 由图可知，共有12种可能的结果，其中2个红球的结果出现2次， ∴P， 故答案为：． 19．【解答】解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°， ∴， ∴， ∵C是OB的中点， ∴OC＝BC＝AC＝2， 如图，过点C作CP⊥OA于P， ∴△OPC≌△APC（HL）， ∴， 在Rt△OPC中，PC， ∴C（，1）． ∵反比例函数y（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C， ∴， 解得k． 故答案为：． （2）设直线AC的解析式为y＝k1x+b（k≠0）， 则， 解得， ∴AC的解析式为yx+2， ∵AC∥BD， ∴直线BD的解析式为yx+4， ∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上， ∴联立得， 解得，， 当D的坐标为（23，）时， BD29+3＝12， ∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4； 当D的坐标为（23，）时， BD29+3＝12， ∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4； 综上，OB2﹣BD2＝4． 故答案为：4． 20．【解答】解：由题知，反比例函数y的图象经过点C， 设C点坐标为（a，）， 作CH⊥OA于H，过A点作AG⊥BC于G， ∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC， ∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形， ∴OH＝CG＝BG＝a， 即B（3a，）， ∵y（k≠0）的图象经过点B， ∴k＝3a•3， 故答案为：3． 三．解答题（共10小题） 21．【解答】解：（1）令y＝0，求得抛物线与x轴的两个交点为（0，0），（2a，0）， 则抛物线的对称轴为， 把x＝a代入抛物线解析式得， 解得y＝3，即为抛物线顶点的纵坐标； （2）（i）令，可得， 即， ∵x1＜x2， 故解得，， ∴； （ii）当a＝1，2，3时，m＞2a﹣2；当a≥4时，m＜2a﹣2．理由如下： 由（i）得， 已知，显然成立， 令， 解得， 也就是说，当a≥6时，m＜2a﹣2恒成立， 故只用讨论a＝1，2，3，4，5的情形： a＝1时，，，故整数点只有x＝1， ∴m＝1，2a﹣2＝0， ∴m＞2a﹣2； a＝2时，，， 故整数点有x＝1，x＝2，x＝3， ∴m＝3，2a﹣2＝2， ∴m＞2a﹣2； a＝3时，，， 故整数点有x＝1，x＝2，x＝3，x＝4，x＝5， ∴m＝5，2a﹣2＝4， ∴m＞2a﹣2； a＝4时，，， 故整数点有x＝2，x＝3，x＝4，x＝5，x＝6， ∴m＝5，2a﹣2＝6， ∴m＜2a﹣2； a＝5时，，， 故整数点有x＝2，x＝3，x＝4，x＝5，x＝6，x＝7，x＝8， ∴m＝7，2a﹣2＝8， ∴m＜2a﹣2； 综上所述，当a＝1，2，3时，m＞2a﹣2；当a≥4时，m＜2a﹣2． 22．【解答】解：（1）由题意得，将点（4，0）代入y＝ax2+bx得， 16a+4b＝0，即b＝﹣4a， ∴， 故所求抛物线的对称轴是直线x＝2． （2）（i）由（1）可知，抛物线的解析式为． 又∵x1＝x2， ∴． ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴x1≠0， ∴， 故y2＞y1； （ii）由题意知，，， ∵， ∴， ∵两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以x1≠0，x2≠0． 故，即x2＝a（x1﹣4）+2． ∴， 依题意知，是与x1无关的定值． 不妨将x1＝1和x1＝2分别代入，可得2﹣3a＝1﹣a，（或直接令2﹣4a＝0，解得） 解得， 经检验，当时，是一个与x1无关的定值，符合题意． ∴，b＝﹣4a＝﹣2． 23．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx的顶点横坐标为，y＝﹣x2+2x的顶点横坐标为1， ∴， ∴b＝4； （2）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上， ∴， ∵B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+4x上， ∴， t）， ∴h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， （i）∵h＝3t， ∴3t＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， ∴t（t+2x1）＝t+2x1， ∵x1≥0，t＞0， ∴t+2x1＞0， ∴t＝1， ∴h＝3； （ii）将x1＝t﹣1代入h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， ∴h＝﹣3t2+8t﹣2， ， ∵﹣3＜0， ∴当，即时，h取最大值． 24．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2， ∴， 解得：； （2）由（1）得：y＝﹣x2+4x， ∴当x＝t时，y＝﹣t2+4t， 当x＝t+1时，y＝﹣（t+1）2+4（t+1），即y＝﹣t2+2t+3， ∴B（t，﹣t2+4t），C（t+1，﹣t2+2t+3）， 设OA的解析式为y＝kx，将A（3，3）代入，得：3＝3k， ∴k＝1， ∴OA的解析式为y＝x， ∴D（t，t），E（t+1，t+1）， （i）设BD与x轴交于点M，过点A作AN⊥CE，如图， 则M（t，0），N（t+1，3）， ∴S△OBD+S△ACEBD•OMAN•CE（﹣t2+4t﹣t）•t（﹣t2+2t+3﹣t﹣1）•（3﹣t﹣1）（﹣t3+3t2）（t3﹣3t2+4）t3t2t3t2+2＝2； （ii）①当2＜t＜3时，过点D作DH⊥CE于H，如图， 则H（t+1，t），BD＝﹣t2+4t﹣t＝﹣t2+3t，CE＝t+1﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣2，DH＝t+1﹣t＝1， ∴S四边形DCEB（BD+CE）•DH， 即（﹣t2+3t+t2﹣t﹣2）×1， 解得：t； ②当t＞3时，如图，过点D作DH⊥CE于H， 则BD＝t﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣3t，CE＝t2﹣t﹣2， ∴S四边形DBCE（BD+CE）•DH， 即（t2﹣3t+t2﹣t﹣2）×1， 解得：t11（舍去），t21（舍去）； 综上所述，t的值为． 25．【解答】解：（1）由题意可得：A（﹣6，2），D（6，2）， 又∵E（0，8）是抛物线的顶点， 设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2+8，将A（﹣6，2）代入， （﹣6）2a+8＝2， 解得：a， ∴抛物线对应的函数表达式为yx2+8； （2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上， ∴P2的坐标为（m，m2+8）， ∴P1P2＝P3P4＝MNm2+8，P2P3＝2m， ∴l＝3（m2+8）+2mm2+2m+24（m﹣2）2+26， ∵0， ∴当m＝2时，l有最大值为26， 即栅栏总长l与m之间的函数表达式为lm2+2m+24，l的最大值为26； （ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18﹣3n， ∴矩形P1P2P3P4面积为（18﹣3n）n＝﹣3n2+18n＝﹣3（n﹣3）2+27， ∵﹣3＜0， ∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27， 此时P2P1＝3，P2P3＝9， 令x2+8＝3， 解得：x＝±， ∴此时P1的横坐标的取值范围为9≤x， 方案二：设P2P1＝n，则P2P39﹣n， ∴矩形P1P2P3P4面积为（9﹣n）n＝﹣n2+9n＝﹣（n）2， ∵﹣1＜0， ∴当n时，矩形面积有最大值为， 此时P2P1，P2P3， 令x2+8， 解得：x＝±， ∴此时P1的横坐标的取值范围为x． 26．【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中， ∴CD∥AB，∠C＝∠DAB， ∴∠DMA＝∠MAB， ∵CD＝2AD，边CD的中点为M， ∴， ∴∠DMA＝∠DAM， ∴∠DAB＝∠DAM+∠MAB＝2∠AMD， ∴∠C＝2∠AMD； （2）（i）证明：作MG⊥PF于G， ∵MN⊥BC，PF⊥BC， ∴∠MNF＝∠NFP＝∠MGF＝90°， ∴四边形MNFG为矩形， ∴MN＝GF，∠GMN＝90°， ∴∠NMC+∠C＝90°，∠NMC+∠EMG＝90°， ∴∠C＝∠EMG， ∴∠EMG＝2∠EMA， ∴∠EMA＝∠GMA， ∵PE⊥CD， ∴∠MEP＝∠MGP＝90°， ∵MP＝MP， ∴△MEP≌△MGP（AAS）， ∴PE＝PG， ∵PF﹣PG＝GF， ∴PF﹣PE＝MN； （i）解：作MG⊥PF于G并延长交AB于Q，过A作AH⊥MG交MG于H， 由（i）知，MG∥NF， ∵在▱ABCD中， ∴AD∥BC，AB∥CD，∠C＝∠DAB， ∴MQ∥AD， ∴∠DAB＝∠AQH， ∴∠C＝∠AQH， ∵MQ∥AD，AB∥CD， ∴四边形AQMD为平行四边形， ∴AQ＝DM， ∵M为边CD的中点， ∴CM＝DM＝AQ， 又∠H＝∠MNC＝90°， ∴△AHQ≌△MNC（AAS）， ∴AH＝MN， ∵PF＝4PE， 设PE＝a，则PF＝4a，PG＝a，FG＝MN＝3a， ∴MN＝AH＝3a， ∵MH⊥PF，MH⊥AH， ∴PG∥AH， ∴△MPG∽△MAH， ∴， ∴， 即． 27．【解答】（1）解：∵BE是线段AA′的垂直平分线， ∴A′E＝AE＝1，BA′＝BA， ∴BE＝BE， ∴△ABE≌△A'BE（SSS）， ∴∠BAE＝∠BA'E＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB＝45°， ∴△A'DE是等腰直角三角形， ∴A'D＝A'E＝1， ∴DE， ∴AD＝AE+DE1， ∴AB＝AD＝A'B1； （2）（i）证明：由题意知，BA＝BA′＝BC， ∴∠BAA′＝∠BA′A，∠BCA′＝∠BA′C， ∴∠AA'C＝∠AA'B+∠CA'B（180°﹣∠ABA'）（180°﹣∠CBA'）＝180°﹣45°＝135°， ∴∠CA′F＝180°﹣∠AA′C＝45°； （ii）解：△A′DG是等腰直角三角形，理由如下：作CN⊥BG交BG于点M，交AB于点N， ∵CN⊥BG，CG＝CB， ∴M为BG的中点， ∵AA′⊥BE， ∴CN∥AF， ∴MN是△ABG的中位线， ∴， ∵∠ABE＝90°﹣∠CBG＝∠BCN，∠BAE＝∠CBN＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCN（ASA）， ∴， ∵E为AD的中点，AG＝GA′， ∴EG∥A′D， ∴∠DA′G＝∠EGA＝90°， 同理可证△ADA′≌△BAG（ASA）， ∴A′D＝AG＝A′G， ∴△A′DG是等腰直角三角形． 28．【解答】（1）证明：∵▱ABCD， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴AM∥CN， ∵AM＝CN， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∴AN∥CM， ∴∠OAE＝∠OCF， 在△AOE与△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF； （2）（i）证明：∵HE∥AB， ∴， ∵OB＝OD，OE＝OF， ∴， ∵∠HOF＝∠AOD， ∴△HOF∽△AOD， ∴∠OHF＝∠OAD， ∴HF∥AD； （ii）解：∵▱ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∵OE＝OF，∠EHF＝60°， ∴∠EHO＝∠FHO＝30°， ∴， ∵AM∥BC，MD＝2AM， ∴，即HC＝3AH， ∴OA+OH＝3（OA﹣OH）， ∴OA＝2OH， ∵BN∥AD，MD＝2AM，AM＝CN， ∴，即3BE＝2ED， ∴3（OB﹣OE）＝2（OB+OE）， ∴OB＝5OE， ∴， ∴的值是． 29．【解答】（1）解：∵M是AB的中点， ∴MA＝MB， 由旋转的性质得：MA＝MD＝MB， ∴∠MAD＝∠MDA，∠MDB＝∠MBD， ∵∠MAD+∠MDA+∠MDB+∠MBD＝180°， ∴∠ADB＝∠MDA+∠MDB＝90°， 即∠ADB的大小为90°； （2）（i）证明：∵∠ADB＝90°， ∴AD⊥BD， ∵ME⊥AD， ∴ME∥BD， ∵ED∥BM， ∴四边形EMBD是平行四边形， ∴DE＝BM＝AM， ∴DE∥AM， ∴四边形EAMD是平行四边形， ∵EM⊥AD， ∴平行四边形EAMD是菱形， ∴∠BAD＝∠CAD， 又∵∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴A、C、D、B四点共圆， ∵∠BCD＝∠CAD， ∴， ∴BD＝CD； （ii）解：如图3，过点E作EH⊥AB于点H， 则∠EHA＝∠EHB＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB10， ∵四边形EAMD是菱形， ∴AE＝AMAB＝5， ∴sin∠CAB， ∴EH＝AE•sin∠CAB＝53， ∴AH4， ∴BH＝AB﹣AH＝10﹣4＝6， ∴tan∠ABE， 即tan∠ABE的值为． 30．【解答】（1）证明：设CE与BD交于点O， ∵CB＝CD，CE⊥BD， ∴DO＝BO， ∵DE∥BC， ∴∠DEO＝∠BCO， ∵∠DOE＝∠BOC， ∴△DOE≌△BOC（AAS）， ∴DE＝BC， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∵CD＝CB， ∴平行四边形BCDE是菱形； （2）（i）解：∵DE垂直平分AC， ∴AE＝EC且DE⊥AC， ∴∠AED＝∠CED， 又∵CD＝CB且CE⊥BD， ∴CE垂直平分DB， ∴DE＝BE， ∴∠DEC＝∠BEC， ∴∠AED＝∠CED＝∠BEC， 又∵∠AED+∠CED+∠BEC＝180°， ∴∠CED； （ii）证明：由（i）得AE＝EC， 又∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝120°， ∴∠ACE＝30°， 同理可得，在等腰△DEB中，∠EBD＝30°， ∴∠ACE＝∠ABF＝30°， 在△ACE与△ABF中， ， ∴△ABF≌△ACE（AAS）， ∴AC＝AB， 又∵AE＝AF， ∴AB﹣AE＝AC﹣AF， 即BE＝CF． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $