1.4.2　第1课时　用空间向量研究距离问题 课件2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量在距离问题中的应用，系统讲解点到直线、点到平面等距离的求法，通过复习直线方向向量和平面法向量搭建学习支架，衔接空间向量基础与距离计算，形成完整知识脉络。 其亮点在于结合AI思考辨析和实例训练，以数学眼光抽象空间形式，用数学思维推导公式应用，借数学语言表达距离关系。如正方体模型建系解题，帮助学生直观理解，提升教师教学效率，培养学生空间观念与推理能力。

1.4.2　第1课时　用空间向量研究距离问题 第一章　空间向量与立体几何 学 习 目 标 1.借助直线的方向向量和平面的法向量会求点到直线的距离、点到平面的距离. 2.知道两平行线间的距离、直线和平面平行时直线到平面的距离、两个平行平面间的距离. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点1　点到直线的距离、两条平行直线之间的距离 1.点到直线的距离 如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中,由勾股定 理,得PQ=　　 　　　=　　　　 　.  2.两条平行直线之间的距离 求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离. AI·思考辨析 若直线l的方向向量为s,点P到直线l上一点Q的向量为,则点P到直线l的距离能否表示为d=? 提示 不能,点P到直线l的距离表示为d=,分母应为方向向量s的模长,而非的模长. 体验新知 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)直线外一点到该直线的距离就是该点与直线上任意一点连线的距离. (　　) (2)在点到直线的距离的图示中,|PQ|=||·sin<>.(　　) × √ 2.(2026河南高二期末)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,则点A1到直线DE的距离是(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. A 解析 以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,4),D(0,4,0),E(4,2,0), 从而=(0,-4,4),=(4,-2,0), 故点A1到直线DE的距离是. 故选A. 3.(2026天津高二月考)已知空间直角坐标系中的点P(1,1,1),A(2,0,1),B(0,1,0), 则点P到直线AB的距离为　　　　　.  解析 由题可得,=(-1,1,0),=(-2,1,-1), 所以点P到AB的距离为d=. 知识点2 点到平面的距离、两个平行平面之间的距离 点到平面的距离 如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的 AI·思考辨析 平面外的直线AB上两点A,B到平面α的距离相等,那么直线AB与平面α位置关系是怎样的? 提示 平行或相交.如果点A,B在平面α的同侧,那么直线AB与平面α平行;如果点A,B在平面α的异侧,那么直线AB与平面α相交. 体验新知 1.(2026四川成都高二期末)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2, BC=CC1=1,E为CD中点,则点D到平面AD1E的距离为(　　) A.1 B. C. D.2 C 解析 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),E(0,1,0),D1(0,0,1),B(1,2,0),B1(1,2,1), =(1,0,-1),=(1,-1,0), 设平面AD1E的法向量为m=(x,y,z), 则 令x=1,得y=1,z=1,所以m=(1,1,1). 又=(1,0,0),则点D到平面AD1E的距离为d=. 故选C. 2.(北师大版教材习题)已知点M(-1,1,-2),平面α经过原点O,且垂直于向量n=(1,-2,2),求点M到平面α的距离. 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一 利用空间向量求点线距 【例1】 (北师大版教材例题)如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3.用向量的方法求点B到直线A'C的距离. 解 依题意有A'(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0), 所以=(1,2,-3),=(0,2,0),所以. 所以点B到直线A'C的距离为d=. 变式训练1　(2026河北邢台高二期中)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC, AB=AA1=2AC=2,D是线段B1C上的动点,则点D到直线AB的距离的最小值是(　　) A. B. C. D. A 解析 由题可知,AB,AC,AA1两两垂直. 以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(2,0,0),B1(2,0,2),C(0,1,0), =(2,0,0),=(0,1,0),=(2,-1,2), 设=k=(2k,-k,2k)(0≤k≤1),则=(2k,1-k,2k), 故点D到直线AB的距离 d=,即点D到直线AB的距离的最小值是.故选A. 能力提升点二 利用空间向量求点面距 【例2】 如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点. (1)证明:PO⊥平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离. (1)证明 因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点, 所以OP⊥AC,且OP=2.连接OB. 因为AB=BC=2,AB2+BC2=8+8=16=AC2, 所以AB⊥BC,即△ABC为等腰直角三角形,则OB⊥AC,OB=AC=2. 因为OP2+OB2=PB2, 所以OP⊥OB. 由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O,OB,AC⊂平面ABC,所以PO⊥平面ABC. (2)解 以O为原点,OB,OC,OP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则P(0,0,2),B(2,0,0),O(0,0,0),M(,0),C(0,2,0), =(0,0,2),=(,0),=(0,2,0). 设平面POM的法向量n=(x,y,z), 则 令x=-1,则y=2,z=0,得n=(-1,2,0), 所以点C到平面POM的距离为. 变式训练2 (北师大版教材习题)在边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别是AB和AD的中点,CG⊥平面ABCD,且CG=2,求点B到平面EFG的距离. 解 以C为原点,CB,CD,CG所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(4,0,0),E(4,2,0),F(2,4,0),G(0,0,2). 能力提升点三 转化与化归思想在求空间距离中的应用 【例3】 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求直线B1C到平面A1BD的距离. 解 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C(0,2,0), 所以=(2,0,2),=(2,0,2),=(2,2,0), 所以,即CB1∥DA1. 又CB1⊄平面A1BD,DA1⊂平面A1BD,所以CB1∥平面A1BD, 所以直线B1C到平面A1BD的距离等于点B1到平面A1BD的距离. 设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z), 则 令x=1,则y=-1,z=-1,得n=(1,-1,-1). 又=(0,2,0),所以点B1到平面A1BD的距离d=. 例题探究 (变结论)本例的条件不变,求平面A1BD与平面B1CD1间的距离. 解 由本例知,CB1∥平面A1BD,同理,D1B1∥平面A1BD. 又B1C∩D1B1=B1,B1C,D1B1⊂平面B1CD1, 所以平面A1BD∥平面B1CD1, 即平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点B1到平面A1BD的距离. 由本例知,点B1到平面A1BD的距离d=, 所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)点到直线的距离; (2)点到平面的距离; (3)直线到平面的距离; (4)两平行平面间的距离. 2.方法归纳:数形结合、转化法. 3.常见误区:(1)容易对距离公式理解不到位,在使用时不注意条件的限制; (2)容易对公式推导过程的理解不清晰. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.(2026河南高二期末)已知点A(1,0,-1),B(2,2,1),C(-1,2,2),则点C到直线AB的距离为(　　) A. B. C. D. B 解析 由题意得,=(-2,2,3),=(1,2,2), 可知=(-2)2+22+32=17,||==3,=-2+4+6=8, 所以点C到直线AB的距离为.故选B. 1 2 3 4 5 2.(2026山西高二期中)已知点P(1,-2,1),Q(1,2,3),点P在平面α内,若平面α的法向量n=(1,0,1),则点Q到平面α的距离为(　　) A.1 B. C. D.2 B 解析 由题意得=(0,4,2), 所以点Q到平面α的距离d=.故选B. 1 2 3 4 5 3.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量为n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(　　) A. B. C. D.3 B 解析 ∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),=(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1), ∴两平面间的距离d=.故选B. 1 2 3 4 5 4.若在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为　　　　　.  解析 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5.(人教B版教材例题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个边长为1的正方形,PA⊥面ABCD,PA=1.求点D到平面PBC的距离. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 本 课 结 束 距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此PQ==    　　　　 =　　　　.  解 由题意,得=(1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(1,-2,2), 所以点M到平面α的距离为d=. 取参考向量=(0,2,0),平面EFG的法向量为n=(x,y,z), =(-2,2,0),=(-4,-2,2), 则 取n=(1,1,3),所以点B到平面EFG的距离d=. 则D(0,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),M,A(1,0,0),N, ∴=(-1,1,0),=(-1,0,1),, ∴,故MN∥平面ACD1. 设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z), 则 令x=1,则y=z=1,∴n=(1,1,1). ∴点M到平面ACD1的距离d=. 即直线MN到平面ACD1的距离为. 解 依题意,AB,AD,AP是两两互相垂直的. 以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 所以=(0,1,0),=(-1,0,1),=(0,1,-1). 设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),则 令z=1,则得x=1,y=0,此时n=(1,0,1). 因为,所以点D到平面PBC的距离为. $