九年级数学暑假结业卷 考试范围（1～2章）-（暑期衔接课堂）2026年暑假九年级数学衔接讲义（北师大版）

**基本信息** 九年级数学暑假结业卷，以传统建筑窗棂、哪吒手办销售等真实情境为载体，通过基础题（如一元二次方程解法）、能力题（如折叠问题）、创新题（如“倍根方程”探究）三层设计，考查一元二次方程与特殊四边形，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|正方形性质、方程根的判别式|结合天津蓟州等多地期末真题，基础巩固| |填空题|8/24|方程根、矩形内角、规律探究|第16题通过方程序列培养推理意识| |解答题|10/66|方程解法、动态几何、定义探究、实际应用|第25题“倍根方程”新定义考查创新意识，第27题哪吒手办销售问题体现模型意识|

九年级数学暑假结业卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：1~2章全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·天津蓟州·期末）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（     ）． A．对角相等 B．邻边互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】对比正方形和矩形的性质，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：对角相等、邻边互相垂直、对角线相等均为矩形的性质， 正方形是特殊的矩形，正方形也具有这三个性质， 选项A、B、C不符合题意， 正方形的对角线互相垂直，普通矩形的对角线不互相垂直，只有矩形为正方形时对角线才互相垂直， 对角线互相垂直是正方形具有而矩形不一定具有的性质． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）关于x的一元二次方程的常数项是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般形式即可确定常数项． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为 ，其中为常数项； ∵ 原方程为 ， 对应一般形式可得常数项为， ∴ 该方程的常数项是． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，据此计算即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 其中，，， ∴， 化简得， 解得． 4．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，图中阴影部分是一个正方形，则这个正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出正方形的边长，进而可知正方形的面积． 【详解】解：由图可知正方形的边长， ∴这个正方形的面积是． 5．（2025·江苏无锡·二模）已知m，n（）是关于x的方程的两根，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程转化为二次函数与直线交点问题，利用二次函数图像性质判断根的范围即可． 【详解】解：设二次函数， 由于二次项系数为，且， 则抛物线开口向上，与轴交于，两点， 原方程的两根，就是抛物线与直线交点的横坐标， 由于，则抛物线开口向上， 如图： 则较小的根在的右侧，较大的根在的左侧， 即得到． 6．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，将正方形沿折叠，点落在对角线上的点处，已知，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质及折叠的性质可知：，，设，则，可求出，列方程即可求出的长． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 由折叠的性质可知：，，， ，， 设，则， ， ， ， ， ． 7．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（     ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据新定义“倍方程”，一元二次方程的解法与根与系数的关系，逐个验证每个说法即可得到结论． 【详解】解：①解方程， 因式分解得， 解得， ，满足2倍方程定义，①正确； ②方程的两根为， ∵方程是3倍方程， 故分两种情况讨论： 当时，，解得， 当时，，解得， 或，故②错误； ③若，则方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 由求根公式得， 即， ∴，满足2倍方程定义，故③正确； ④设方程的两根为， 由根与系数的关系得：，， 则，， 将代入得：， 两边同乘整理得：，故④正确． 8．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，矩形是某小区地下停车位（，单位：）．经测量，该矩形的周长与面积的数值恰好相等，车位的长和宽均为正整数，则该停车位的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据该矩形的周长与面积的数值恰好相等得到，则可推出，根据均为正整数求出符合题意的的值即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴为正整数， 又∵为正整数， ∴或或， ∴或或， 当时，，满足，符合题意，则该停车位的面积是； 当时，，不满足，不符合题意； 当时，，不满足，不符合题意； 综上所述，该停车位的面积是． 9．（25-26八年级下·广西柳州·期末）“菱花窗镂映晴光，雪韵冰晶故事长”．我国传统建筑中的窗棂（如图1）古典雅致，含蓄灵动．构成某扇窗棂的一个窗格可抽象成如图2所示的菱形，若测得，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形的性质，结合勾股定理求解即可； 【详解】解：设的交点为O， 菱形，且，， 则，， 故； 10．（2026·黑龙江·三模）某零售商购进一批单价为16元的玩具，以每件20元的价格销售时，每月能卖360件；销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若每件涨价1元，则销售量就减少30件．为使每月获得1920元的利润，设每件需涨价x元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总利润=每件利润×销售量”，分别表示出涨价后的每件利润和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件涨价元， ∴涨价后每件售价为元，每件利润为元， ∵每件涨价1元，销售量就减少30件， ∴涨价元后，销售量为件， 结合总利润为1920元，可得方程． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）一元二次方程的根是______． 【答案】， 【分析】将原方程移项整理为一般形式，再用因式分解法求解一元二次方程，即可得到方程的根． 【详解】解： 移项，得， 提取公因式，得， ∴ 或 ， 解得，． 12．（25-26九年级上·上海闵行·阶段检测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m能够取到的最小整数是_________． 【答案】1 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别与方程解的关系是解题的关键． 先根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根则，得到关于m的不等式，求出m的取值范围，然后找到最小的整数值即可. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且， ∴最小的整数值为1， 故答案为：1． 13．（25-26九年级上·上海·阶段检测）某学校进行初二年级篮球比赛，赛制为单循环（两支队伍只赛一场），总共进行了45场比赛，那么这个学校初二年级有__________个班级． 【答案】 【分析】设初二年级共有个班级，单循环赛制中，每支队伍需要和其余所有队伍各赛一场，每场比赛会被重复计算一次，因此总比赛场次为，列一元二次方程求解，取符合题意的正整数解即可得到结果． 【详解】解：设这个学校初二年级有个班级，则比赛总场次为， ，整理得， 因式分解得 ， 解得． 班级个数为正整数，不符合题意，舍去． 因此，即这个学校初二年级有个班级． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，若将四根木条钉成的平行四边形木框变形为矩形的形状，则矩形的内角的大小为___________． 【答案】 【详解】解：矩形的四个内角都是直角， 则的大小为． 15．（24-25八年级下·山东德州·期中）已知：线段，，．求作：矩形．以下是甲同学的作业： 老师说甲同学的作图都正确．则甲的作图依据是：__________________． 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】本题主要考查矩形的判定，根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理解答． 【详解】解：由作图可知：,, 则四边形是平行四边形， 又, 则平行四边形是矩形， 则甲的作图依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形； 故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 16．（24-25九年级上·全国·随堂练习）观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：； 第2个方程：； 第3个方程：； 第4个方程：； …… 直接写出第n个方程为________，第n个方程的解为________． 【答案】 / ， 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先观察给出的方程序列，总结规律写出第n个方程，再用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】由题意得，第n个方程为， ， ，或， ，， 故答案为：；，． 17．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若，那么长为_______． 【答案】/ 【分析】由折叠的性质，得，然后求出，则求出的长度，再根据勾股定理建立方程，求出即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， 由折叠的性质，得， ∵， ∴， 又， 在中，， ， 解得， ． 18．（24-25八年级下·湖南常德·期中）如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短______ 【答案】/ 【分析】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，设与交于点O，于交于点，由菱形的性质得，，，在中由勾股定理可求出，则得出，在中由勾股定理可求出，则求出，然后再求出结果即可． 【详解】解：设与交于点O，于交于点，如下图所示： 依题意得：四边形，四边形均为菱形，且，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， 即的长需要缩短． 故答案为：． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（25-26九年级上·河南周口·期末）解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，； （2）解：， ，，， ， ， ∴，． 20．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有一个根是1，请求出的值和另一个根． 【答案】(1) (2)，另一个根是7 【分析】本题考查根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，可知，然后即可求得m的取值范围； （2）将代入题目中的方程，可以求得m的值，然后即可求出方程的根，从而可以得到方程的另一个根． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程为有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得； （2）解：∵方程有一个根是1， ∴， 解得， ∴方程为， 解得，， ∴方程的另一个根是7． 21．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，是的角平分线，交于点E，交于点F，请问四边形是菱形吗？说明你的理由． 【答案】四边形是菱形，证明见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定，等角对等边，先根据平行线的性质和角平分线的定义证明，则可证明，再证明四边形是平行四边形即可证明四边形是菱形． 【详解】解：四边形是菱形，证明如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． 22．（24-25九年级上·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，F是边上的一点，连接，使得，平分交的延长线于点G，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定是解题的关键．根据矩形的性质得到，利用平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，进而得出，再推出，根据平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：矩形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形． 23．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）小明与小强两位同学解方程的过程如下： 小明： 解：两边同除以， 得， 则． 小强： 解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”； 小明________，小强________； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)， (2)解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 【分析】（1）小明：没有考虑的情况；小强：提取公因式时出现了错误；所以他们的解法都不正确； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：小明：没有考虑的情况，所以解法不正确； 小强：提取公因式时出现了错误，所以解法不正确． （2）略 24．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图．在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动．、两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设点运动时间为秒． (1)求线段的长 （用含的代数式表示）． (2)当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值． (3)如图，若点为边上一点，且，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)当是以为腰的等腰三角形时，的值为或或 【分析】（1）点运动到点时，共用了，总共运动了，分两种情况讨论：当时，当时，进行计算即可求解； （2）若四边形为平行四边形，则，根据题意得，分两种情况讨论：当时，当时，进行计算即可求解； （3）过点作于点，根据矩形的判定与性质以及勾股定理求出，根据等腰三角形的性质得，当，则，进行计算即可；当，过点作，则，，在中，根据勾股定理得进行计算即可． 【详解】（1）解：点运动到点时，共用了，总共运动了， 当时，， 当时，， 综上，； （2）若四边形为平行四边形，则， 由（2）得，， 根据题意得，， 当时，解得：， 当时，解得：， 综上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，或． （3）过点作于点， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 当时， 则， ， 解得：， 当，如图所示，过点作， 则四边形是矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理得，即， 解得：或； 综上，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质性质，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 25．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）小明运用所学的一元二次方程的根与系数的关系，对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征进行了探究.定义： 倍根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个相等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【答案】(1) (2)这个方程的根是是2和4，或和 【分析】本题主要考查了阅读理解类题目，一元二次方程根与系数的关系的应用． （1）设方程的两个根是，根据定义可设，再根据根与系数的关系求出答案； （2）设方程的两个根是，根据题意可知或，列出方程求出解即可． 【详解】（1）设方程的两个根为， 一元二次方程是“倍根方程”， 不妨设， ， ， ，， ； （2）设一元二次方程的两个实数根分别为、， 这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， 不妨设， ①当时，即，解得或（舍去）， ， ②当时，即， 解得或（舍去）， 这个方程的根是2和4，或和． 26．（25-26八年级下·河南南阳·期末）综合与实践 定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形． 乐乐提出问题：中点四边形的形状由原图形的什么因素决定?为了解决这个问题，他进行了如下的画图探究过程： (1)【作图与操作]如图20-①，画四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图②，③，④中四边形的中点四边形．（用刻度尺度量画图即可） (2)【观察与猜想]乐乐猜想中点四边形的形状由原四边形对角线的数量关系和位置关系决定，请填写下表： 四边形的对角线与的关系 中点四边形的形状 图① 既不相等，也不垂直 图② ，但与不垂直 图③ ， 图④ ， (3)【证明与表达]根据表中对图②，图③，图④的画图和猜想，选择其中一个进行证明． 选择图________，已知：在四边形中，E，F，G，H分别是四边的中点，对角线________，求证：四边形是________．（请你写出证明过程） 【答案】(1) (2)平行四边形；菱形；矩形；正方形 (3)②；，但与不垂直；菱形 证明：分别是的中点， 是的中位线， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， 同理，由分别是的中点， 可得，， ，但与不垂直， ， 四边形是菱形． ③；，；矩形 证明：分别是的中点， 是的中位线， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 同理，由分别是的中点， 可得，， ，即， 四边形是矩形． ④；，；正方形 证明：分别是的中点， 是的中位线， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 同理，由分别是的中点， 可得，，， ，即， ， ， 四边形是正方形． 【分析】（1）由刻度尺量出中点，依次连接即可； （2）由平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质求解即可； （3）选②，由中位线得且，四边形为平行四边形，又，且，故，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 选③，同理得四边形为平行四边形，由且得，又，故，即，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 选④，同理得四边形为平行四边形，由得，故为矩形；又，得，邻边相等，邻边相等的矩形是正方形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 27．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，．    素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决：（1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）由素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． （3）由素材3，为推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 【答案】（1）；（2）；（3）50元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）、设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据某影院正月初一的票房收入费用为6万元，正月初三的票房收入达到8.64万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）、设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）、设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，根据该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可 【详解】解：（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为； （2）设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为； （3）设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， 答：下调后每个手办的售价为50元． 28．（2022·山东青岛·一模）问题提出： 在如图所示的正方形网格中，我们称格线的交点为格点，以格点为顶点的正方形称为“格点正方形”．如图所示正方形ABCD、EFGH都是“格点正方形”，那么像图中这种（即边长为8个单位）的正方形网格中“格点正方形”一共有多少个呢？ 问题转化： 我们可以把“格点正方形”分为两类：一类称作“正向正方形”，即“格点正方形”的边在格线上的，如正方形ABCD；另一类称作“斜向正方形”，即“格点正方形”的边不在格线上的，如正方形EFGH． 探究一： 我们先来研究“正向正方形”的个数和： ①在的正方形网格中，“正向正方形”的个数是1； ②在的正方形网格中， 边长为2的“正向正方形”的个数为1； 边长为1的“正向正方形”的个数为4； 在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：； ③在的正方形网格中， 边长为3的“正向正方形”的个数为1； 边长为2的“正向正方形”的个数为4； 边长为1的“正向正方形”的个数为9； 在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：； ④在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是： ； ⑤在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是： ． 探究二： 经过研究得到 的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是0； 的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是1； 的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是6； 的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是20； 探究三： 将前面的研究结果制作成表格如下： 1×1 2×2 3×3 4×4 5×5 “正向正方形”的个数和 1 5 14 “斜向正方形”的个数和 0 1 6 20 “格点正方形”的总数 1 6 20 从表格中数据看出，“斜向正方形”的个数和与“格点正方形”的总数有非常紧密的联系， 借此规律：在的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是 ． 问题解决： 在的正方形网格中，“格点正方形”的总数是 个． 拓展延伸： 如果用表示的正方形网格中“格点正方形”的总数，那么 ． 【答案】30；204；30；50；55；50；105；50；540； 【分析】根据规律“正向正方形”和“斜向正方形”规律填空即可． 【详解】由题意得到规律： 在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是； “斜向正方形”的个数是正方形的“格点正方形”的总数； ∴探究一： ④在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：； ⑤在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：． 探究三： 将前面的研究结果制作成表格如下： 1×1 2×2 3×3 4×4 5×5 “正向正方形”的个数和 1 5 14 30 55 “斜向正方形”的个数和 0 1 6 20 50 “格点正方形”的总数 1 6 20 50 105 从表格中数据看出，“斜向正方形”的个数和与“格点正方形”的总数有非常紧密的联系， 借此规律：在的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是50． 问题解决： 5×5 6×6 7×7 8×8 “正向正方形”的个数和 55 91 140 204 “斜向正方形”的个数和 50 105 196 336 “格点正方形”的总数 105 196 336 540 在的正方形网格中，“格点正方形”的总数是540个． 拓展延伸： 根据规律得： ∴ 【点睛】本题是一道找规律的试题，通过分析找出“正向正方形”和“斜向正方形”规律是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学暑假结业卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：1~2章全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·天津蓟州·期末）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（     ）． A．对角相等 B．邻边互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）关于x的一元二次方程的常数项是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，图中阴影部分是一个正方形，则这个正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏无锡·二模）已知m，n（）是关于x的方程的两根，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，将正方形沿折叠，点落在对角线上的点处，已知，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（     ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 8．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，矩形是某小区地下停车位（，单位：）．经测量，该矩形的周长与面积的数值恰好相等，车位的长和宽均为正整数，则该停车位的面积是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·广西柳州·期末）“菱花窗镂映晴光，雪韵冰晶故事长”．我国传统建筑中的窗棂（如图1）古典雅致，含蓄灵动．构成某扇窗棂的一个窗格可抽象成如图2所示的菱形，若测得，，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·黑龙江·三模）某零售商购进一批单价为16元的玩具，以每件20元的价格销售时，每月能卖360件；销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若每件涨价1元，则销售量就减少30件．为使每月获得1920元的利润，设每件需涨价x元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）一元二次方程的根是______． 12．（25-26九年级上·上海闵行·阶段检测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m能够取到的最小整数是_________． 13．（25-26九年级上·上海·阶段检测）某学校进行初二年级篮球比赛，赛制为单循环（两支队伍只赛一场），总共进行了45场比赛，那么这个学校初二年级有__________个班级． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，若将四根木条钉成的平行四边形木框变形为矩形的形状，则矩形的内角的大小为___________． 15．（24-25八年级下·山东德州·期中）已知：线段，，．求作：矩形．以下是甲同学的作业： 老师说甲同学的作图都正确．则甲的作图依据是：__________________． 16．（24-25九年级上·全国·随堂练习）观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：； 第2个方程：； 第3个方程：； 第4个方程：； …… 直接写出第n个方程为________，第n个方程的解为________． 17．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若，那么长为_______． 18．（24-25八年级下·湖南常德·期中）如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短______ 三、解答题（10小题，共66分） 19．（25-26九年级上·河南周口·期末）解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法）． 20．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有一个根是1，请求出的值和另一个根． 21．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，是的角平分线，交于点E，交于点F，请问四边形是菱形吗？说明你的理由． 22．（24-25九年级上·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，F是边上的一点，连接，使得，平分交的延长线于点G，连接．求证：四边形为平行四边形． 23．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）小明与小强两位同学解方程的过程如下： 小明： 解：两边同除以， 得， 则． 小强： 解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”； 小明________，小强________； (2)写出你的解答过程． 24．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图．在四边形中，，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动．、两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设点运动时间为秒． (1)求线段的长 （用含的代数式表示）． (2)当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求的值． (3)如图，若点为边上一点，且，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 25．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）小明运用所学的一元二次方程的根与系数的关系，对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征进行了探究.定义： 倍根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个相等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 26．（25-26八年级下·河南南阳·期末）综合与实践 定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形． 乐乐提出问题：中点四边形的形状由原图形的什么因素决定?为了解决这个问题，他进行了如下的画图探究过程： (1)【作图与操作]如图20-①，画四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图②，③，④中四边形的中点四边形．（用刻度尺度量画图即可） (2)【观察与猜想]乐乐猜想中点四边形的形状由原四边形对角线的数量关系和位置关系决定，请填写下表： 四边形的对角线与的关系 中点四边形的形状 图① 既不相等，也不垂直 图② ，但与不垂直 图③ ， 图④ ， (3)【证明与表达]根据表中对图②，图③，图④的画图和猜想，选择其中一个进行证明． 选择图________，已知：在四边形中，E，F，G，H分别是四边的中点，对角线________，求证：四边形是________．（请你写出证明过程） 27．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，．    素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决：（1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）由素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． （3）由素材3，为推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 28．（2022·山东青岛·一模）问题提出： 在如图所示的正方形网格中，我们称格线的交点为格点，以格点为顶点的正方形称为“格点正方形”．如图所示正方形ABCD、EFGH都是“格点正方形”，那么像图中这种（即边长为8个单位）的正方形网格中“格点正方形”一共有多少个呢？ 问题转化： 我们可以把“格点正方形”分为两类：一类称作“正向正方形”，即“格点正方形”的边在格线上的，如正方形ABCD；另一类称作“斜向正方形”，即“格点正方形”的边不在格线上的，如正方形EFGH． 探究一： 我们先来研究“正向正方形”的个数和： ①在的正方形网格中，“正向正方形”的个数是1； ②在的正方形网格中， 边长为2的“正向正方形”的个数为1； 边长为1的“正向正方形”的个数为4； 在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：； ③在的正方形网格中， 边长为3的“正向正方形”的个数为1； 边长为2的“正向正方形”的个数为4； 边长为1的“正向正方形”的个数为9； 在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：； ④在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是： ； ⑤在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是： ． 探究二： 经过研究得到 的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是0； 的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是1； 的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是6； 的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是20； 探究三： 将前面的研究结果制作成表格如下： 1×1 2×2 3×3 4×4 5×5 “正向正方形”的个数和 1 5 14 “斜向正方形”的个数和 0 1 6 20 “格点正方形”的总数 1 6 20 从表格中数据看出，“斜向正方形”的个数和与“格点正方形”的总数有非常紧密的联系， 借此规律：在的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是 ． 问题解决： 在的正方形网格中，“格点正方形”的总数是 个． 拓展延伸： 如果用表示的正方形网格中“格点正方形”的总数，那么 ． 学科网（北京）股份有限公司 $