2025-2026学年北师大版九年级上册期末数学试卷（考试范围：九上 九下第一、二章）

2025-2026学年北师大版九年级上册期末数学试卷 （考试范围：九上 九下第一、二章） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图是一个空心圆柱，关于它的主视图和俯视图正确的是（   ） A． B． C． D． 2．根据平行四边形如图所标注的角的度数，则一定能判定其为菱形的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 4．有4根细木棒，它们的长度分别是3cm、5cm、8cm、9cm．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（　　） A． B． C． D． 5．如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么下列说法错误的是（    ） A．线段被点黄金分割 B．点是线段的黄金分割点 C．与的比等于黄金比 D．与的比等于黄金比 第5题 第8题 第9题 6．下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 7．已知反比例函数的图象上有两点A，B，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 8．如图，在中，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，矩形纸片，，点在上，且．若将纸片沿折叠，点恰好落在上，则矩形的面积是（    ） A．12 B． C． D．15 10．如图1，在矩形中，点以速度从点出发沿匀速运动，同时点从点出发，速度为，依次沿，两边匀速运动，点运动到点时，、两点同时停止运动．连接，设点运动的时间为，的面积为，关于的部分函数图象如图2所示，其中是曲线的最高点，为线段．则点的纵坐标是（   ） A． B． C． D．11 第10题 第13题 第15题 二、填空题 11．计算： ． 12．数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 （精确到0.01） 13．如图，已知直线，如果，，那么线段的长是 ． 14．双曲线经过点A(-1，)，B(2，)，则 (填“>”，“<”或“=”). 15．如图，平面直角坐标系中，连接，过反比例函数图象上的点向轴引垂线，垂足为点，交于点；过点向轴引垂线，垂足为点，交于点，若，则k＝ ． 三、解答题 16．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 17．将矩形和矩形按如图所示的方式交叉叠放在一起，交于点M，交于点N，点D在上，．求证：四边形是菱形． 18．如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)在网格中画出，使与关于轴对称； (2)在网格中画出，使是的位似图，且位似中心 为点，位似比值为； (3)写出，两点的坐标． 19．某班为推荐选手参加学校举办的“祖国在我心中”演讲比赛活动，先在班级中进行预赛，班主任根据学生的成绩从高到低划分为，，，四个等级，并绘制了不完整的两种统计图表．请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)参加比赛的共有_____人，并把条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中，_____，_____，等级对应扇形的圆心角的度数是_____； (3)获得等级的4名学生中恰好有1男3女，该班将从中随机选取2人，参加学校举办的演讲比赛，请利用列表法或画树状图法，求恰好选中一男一女参加比赛的概率． 20．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 21．通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．已知小明的身高为． 【解决问题1】根据常识猜想小明在沿方向从向前进时， 小明的影长如何变化________． 【解决问题2】求灯杆的高度． 22．数学兴趣小组尝试利用抛物线的知识，探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响，下面是此次课外实践活动的试验报告： 活动主题 探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响 活动过程 数学兴趣小组为了探究此问题，做了两次投掷试 验（出手角度不同）．实心球出手后的飞行路线可 以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面 直角坐标系，从投掷到着地的过程中，实心球的 竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． 活动说明 实心球着地点到出手点的水平距离分别为、（即两次试验的掷球成绩），且两次试验实心球所达到的最大高度相同． 测量数据 第一次试验 第二次试验 实心球的水平距离x与竖直高度y的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 （1）根据上述数据，直接写出 ；此次试验中实心球达到的最大高度是 ． 实心球的竖直高度与水平距离的函数图象的一部分如图所示，其中为第二次试验抛物线的顶点．    （2）求第二次试验的抛物线的解析式． 探究结论 （3）比较两次投掷的成绩： ．（填“”“”或“”） 23．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025-2026学年北师大版九年级上册期末数学试卷 （考试范围：九上 九下第一、二章）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B C A A D C C 1．B 【分析】本题考查三视图．熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．注意存在看不见的用虚线表示． 根据从正面看和从上面看得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：该几何体的主视图和俯视图为： 故选B． 2．B 【分析】此题主要考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法． 【详解】解：A、只有一个角为的平行四边形无法判断为菱形，故不合题意； B、由已知角可得一组邻边相等，这样的平行四边形为菱形，故符合题意； C、由已知角无法得出边的相应关系，故不能判定菱形，不合题意； D、由已知角无法得出边的相应关系，故不能判定菱形，不合题意； 故选：B． 3．B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程． 【详解】解：A．是一元一次方程，故A不符合题意； B．是一元二次方程，故B符合题意； C．是分式方程，故C不符合题意； D．是二元一次方程，故D不符合题意； 故选：B． 4．B 【分析】利用列举法得到所有四种可能的结果数，再根据三角形三边的关系得到能够组成三角形的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：从四根细木棒中随机抽出三根木棒，所有结果为3、5、8；3、5、9；3、8、9；5、8、9，其中能够组成三角形的结果数为2， 所有能够组成三角形的概率＝， 故选B． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了三角形三边的关系． 5．C 【分析】本题主要考查了黄金分割， 根据黄金分割、黄金比的定义解答. 【详解】解：∵， ∴线段被点C黄金分割，点C是的黄金分割点，与的比等于黄金比， ∴C不正确，A，B，D正确. 故选：C. 6．A 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． 利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，树高与影长的比相等”对各选项进行判断． 【详解】解：两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，树高与影长的比相等，所以A选项满足条件． 故选：A． 7．A 【详解】试题分析：对于反比例函数y=，当k＞0时，在每个象限内y随着x的增大而减小，因为1＜2，则m＞n． 考点：反比例函数的性质 8．D 【分析】根据勾股定理，得，根据计算解答即可． 本题考查了勾股定理，余弦的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 9．C 【分析】证明，求出即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 又∵将纸片沿折叠，点恰好落在上， ， ， ， 矩形的面积是． 故选：． 【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，直角三角形角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 10．C 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数综合，由矩形的性质可得，由函数图象可得，为线段，且面积逐渐减小，故当时，点运动到点处，结合题意求出，，当时，，，则，表示出，再由二次函数的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由函数图象可得，为线段，且面积逐渐减小， 故当时，点运动到点处， ∴， ∵由图象可得，当点运动到点处时，的面积为，点以速度从点出发沿匀速运动， ∴，， ∴，， ∵点以速度从点出发沿匀速运动，点从点出发，速度为， ∴当时，，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴是曲线的最高点，则点的纵坐标是， 故选：C． 11． 【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】解： =×+× =+ =. 故答案为. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值. 12．0.53 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可． 【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53， 故答案为：0.53． 13．4 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由平行线所截线段对应成比例可知，然后代入的值求解即可． 【详解】解：∵线 ， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】把点A、B的坐标代入函数解析式求出，，比较大小即可． 【详解】解：把点A、B的坐标代入函数解析式得 ，， ∴＞． 故答案为：＞ 【点睛】本题考查了根据函数解析式比较函数值的大小，本题也可以画出函数图象，描点，借助图象比较函数值的大小． 15．3 【分析】如图，过点作轴于点，过点作轴于点，由，可得是等腰直角三角形，即可得出 ，再结合即可得出，利用矩形性质可得，，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 四边形和四边形是矩形， ，， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等，根据找出是解题的关键． 16．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）运用配方法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 17．见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据题意得到，，推出四边形是平行四边形，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理得到结论． 【详解】证明：∵四边形和四边形都是矩形，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形． 在和中， ∴（AAS）． ∴． ∴四边形是菱形． 18．(1)见解析； (2)见解析； (3)，． 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，位似变换作图，根据要求正确画出图形是解题的关键． （1）确定对称点坐标，，，描点，连线即可； （2）根据位似性质，描点，连线即可； （3）根据（1）（2）中图可直接写出，． 【详解】（1）解：，，关于轴对称的为，，， ∴如图所示：与关于轴对称． （2）解：如图所示，即为以点为位似中心的位似图，且位似比值为． （3）解：由（1）可知，点的坐标为， 由（2）可知，点的坐标为． 19．(1)40，图见详解； (2)10，40，； (3) 【分析】（1）由D等级的人数除以所占百分比得出班级总人数，即可解决问题； （2）求出， ，则， ，再由乘以C等级的人数所占的百分比即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中一男一女参加比赛的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：班级总人数为∶ (人)． B等级的人数为∶ (人)， 故答案为∶40． 把条形统计图补充完整如下∶ （2）解：，， ，， ， 等级对应的扇形的圆心角的度数为， 故答案为：10，40，； （3）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中一男一女参加比赛的结果有6种， 恰好选中一男一女参加比赛的概率为． 20．(1) (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数的图象上，则，可得反比例函数的解析式，将代入，求出后可得的坐标，再由待定系数法可得一次函数的解析式即可； （2）设直线与直线的交点坐标为，把代入得，即，设，则，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意，在反比例函数的图象上， ． 反比例函数为， 将代入， ． ． 由题意，将，分别代入，得 ， 解得， 一次函数为； （2）如图，设直线 与 的交点为， 把代入得， 即， 设， △的面积为21， ， ， 解得或， 的坐标为或． 21．[解决问题1]：逐渐变长；[解决问题2] 【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． [解决问题1]：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长，即可得到答案； [解决问题2]：根据相似三角形的判定与性质分别得出比例式，进而得出，求出，即可得到答案． 【详解】[解决问题1]：由题意，可知：小明在沿方向从向前进时，小明的影长逐渐变长； [解决问题2]：解：由题意，可知：，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， 把代入， 解得：．    22．（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，实数大小比较，解题的关键是读懂题意，能够从表格中获取有用信息列出函数关系式． （1）先根据表格中的数据找到对称轴，然后根据对称性求得，找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值； （2）已知顶点坐标，利用待定系数法代入顶点式即可求出函数解析式； （3）设着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，得出和，再比较即可． 【详解】解：（1）∵根据表格可知，当与时相等，所以对称轴为直线， ∴故当时，其对称点为，， ∴顶点坐标为， ∴此次试验中实心球达到的最大高度是； （2）∵两次试验实心球所达到的最大高度相同， ∴为第二次试验抛物线的顶点为， ∴设第二次试验的抛物线的解析式为， ∵把代入，得， ∴； （3）设第一次抛物线为， ∵把代入，得， 解得， ∴， ∵在中， 令得：， 解得，（舍去）， ∴； 在中， 令得：， 解得，（舍去）， ∴， ∵， ∴． 23．（1）； （2）； （3）当时，线段有最大值，最大值为． 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系、旋转的性质属于综合题． 将绕点顺时针旋转得到，根据正方形的性质可知，因为，可得：； 过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，可证，根据全等三角形的性质可得，可以求出，根据勾股定理可得：，即可求出；     将绕点逆时针旋转得线段，连接、，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可证，当、、三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ； 故答案为：；                    解：如下图所示，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，     ，，，， 直角梯形中，（），，， ， 四边形是正方形，，， 点与重合，、、三点共线，                    ， 由可知， 在和中，， （）， ，                                          ， ， ，， ， 在中，， ， 解得：；                                      当时，线段有最大值，               如下图所示，将绕点逆时针旋转得线段，连接、， 是等腰直角三角形，， ， ，              四边形是正方形， ，， ，即， 在和中，， ， ，                                 当有最大值时，有最大值， ，， 当、、三点共线时，有最大值， 最大值为， ， 此时， 当时，线段有最大值，最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $