上海交通大学附属中学2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试题

2025—2026学年度第二学期 高二数学期末考试 （满分100分，60分钟完成．答案一律写在答题纸上） 一、填空题（本大题共有10题，满分46分，第1～4题每题4分，第5～10题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1． 2．． *3．1或者4． 4．300． 5．． 6． *7．． *8．． 9．． 10．． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 11．C． 12．C． 13．D． 14．A． 三、解答题（本大题共有2题，满分34分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 15．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分） 答案：（1）、；（2）；（3）． 解（1）由展开式各二项式系数的和为512知，即．此时展开式中二项式系数最大的项的第五项为和第六项． 解（2）、、、、．总的取法有种；符合题意的取法为在、、…、中任取两个，或者同时取、，共有种．因此所求的概率为． 解（3）为展开式第9项的二项式系数． 当时，此时小于的有、…、，共个数．所求概率为，其值随的增大而增大；由解得． 当时，此时小于的项有、…、，共个数．所求则概率为，其值随的增大而减小；由，解得． 因此整数的取值范围为． 16．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分8分） 解（1）由，得；由，得．于是，可将整理得，该不等式解集为，因此． 解（2）对求导可得，由导数的几何意义，曲线在处切线的斜率为；进而，该处的切线方程为． 由切线经过点，将坐标代入直线方程得，解得或，结合，可知．，．不等式等价于，整理得，解得． 综合上述，． 解（3）先证明：． 设，则根据导数的运算法则，函数在上存在导函数，且． 由，可知不等式的解集为．因此，当时，当且仅当时，，从而是函数在上唯一的最大值点，从而也是唯一的极大值点．因此，即，也即． 再证明：． 由可得；由．由不等式的性质，结合可得，即． 不等式即，整理得．于是，二者解集相同，即，因此，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期 高二数学期末考试 （满分100分，60分钟完成．答案一律写在答题纸上） 一、填空题（本大题共有10题，满分46分，第1～4题每题4分，第5～10题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．底面半径为1、高为2的圆柱的侧面积为__________． 2．设，则__________． *3．若，则的值为__________． 4．由、、、、、这六个数字，能组成的无重复数字的四位数共有__________个． 5．空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数）．若，则实数的值为__________． 6．从标有、、、、的五张卡片中任取两张，卡片上数字和为偶数的概率为__________． *7．的展开式合并幂指数相同的项后，含项的系数为__________． *8．设（常数，），若函数为奇函数，且在处取得极值，则__________． 9．设点集，从集合中任取一点满足的概率为__________（结果用最简分数表示）． 10．设，（常数），若函数和分别存在零点、，且，则实数的最小值为__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 11．空间中，两条直线、的方向向量分别为、，则“”是“”的（ ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 12．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，以下选项中的两个事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）． A．至少有1个白球和2个都是白球 B．至少有1个白球和至少有1个红球 C．恰有1个白球和恰有2个白球 D．至少有1个白球和2个都是红球 13．设函数的定义域为，（）是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）． A．对任意， B．是的极小值点 C．是的极小值点 D．是的极小值点 14．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点在直线上的动点，给出以下两个结论 ①存在唯一点，使得； ②的面积最小值为； 其中（ ）． A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 三、解答题（本大题共有2题，满分34分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 15．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分） 设是正整数，展开式的通项中的组合数称为该项的为二项式系数．对于，考虑以下问题： （1）若展开式各二项式系数的和为512，求展开式中二项式系数最大的项； （2）当时，若从展开式的二项式系数中任取两项，求和为偶数的概率； （3）当时，若从展开式的二项式系数中任取一项，要使这个二项式系数小于的概率大于0.7，求的取值范围． 16．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分8分） 设函数定义域为，其导函数为．对于常数，定义集合 ． （1）设，求； （2）设，若函数在处的切线经过点（），求的值并求出集合； （3）若且，求． 学科网（北京）股份有限公司 $