重庆市南开中学校2025-2026学年高一下学期期末学业水平检测数学试题

2025-2026学年高一（下）期末学业水平检测 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，矩形是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形ABCD的对角线（ ） A. B. C. 2 D. 6 4. 三棱锥中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正三棱锥中，两两垂直，E为BC中点，则直线AE与PC所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 下图是正方体的平面展开图，则在原正方体中，下列命题正确的是（ ） A. B. 平面平面BEM C. EF和CD为异面直线 D. 平面DEM 7. 已知半径为1的球与正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，点D为AC边上的点，且，使得.若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知三条不同的直线m，n，l，两个不同的平面，，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则或 D. 若，，，则 10. 在平面四边形中，，，，，其中．若，则（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 已知正方体的棱长为2，动点P满足，其中.经过三点的平面与正方体表面的交线构成多边形，则（ ） A. 当时，直线与平面垂直 B. ，使得多边形为五边形 C. ，使得 D. 平面截正方体内切球所得截面的面积最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）. 12. 已知圆锥的底面半径为3，侧面积为，则该圆锥的母线长为________． 13. 在中D为边AC上一点，且，若点P在线段BD上，设，则________． 14. 已知四棱锥的底面为等腰梯形，其中，，四条侧棱长均为3，则该四棱锥外接球的表面积为________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）． 15. 如图，在正四棱台中，为的中点，，该棱台的表面积为． （1）求证：平面； （2）求四棱台的体积． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求的值； （2）若的面积为3，求的值． 17. 如图，在矩形ABCD中，，Q为CD的中点，将沿AQ翻折至，使得二面角P-AQ-D的大小为． （1）若，求证：平面平面； （2）若，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A，B，C； （2）已知，P，Q，R分别在边AB，BC，CA上（不含端点），且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若为等边三角形，求面积的取值范围． 19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PCD是等边三角形，平面平面ABCD．M在棱PC上满足．过A，M作平面与棱PB，PD分别交于E，F两点（不含端点）． （1）若． （ⅰ）求证：直线平面； （ⅱ）求平面与平面ABCD所成锐二面角的正切值； （2）记四棱锥P-ABCD被平面所截得的上、下两部分几何体的体积分别为，，求的最小值． 2025-2026学年高一（下）期末学业水平检测 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ## 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）． 【15题答案】 【答案】（1）连接交于点，连接， 在正四棱台中，四边形为正方形， 因为，则为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，故平面. （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）在矩形中，， 所以根据勾股定理得， 而，所以，所以. 因为二面角为直二面角，所以二面角也是直二面角， 又平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明：由点在上，设，则， 在中，，可得， 由正弦定理得，可得， 因为，所以， 在中，，可得， 由正弦定理，可得， 两式相除，可得，即. （ii） 【19题答案】 【答案】（1）（i）取CD的中点，连接， 侧面PCD是等边三角形 ，，， 又平面平面ABCD，平面平面ABCD， 平面， 如图所示建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 由，故，由，故， 从而,， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 取， 又,， 所以，又平面，所以直线平面； (ii) . （2）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $