精品解析：重庆巴蜀中学校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

重庆巴蜀中学校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上； 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．综合题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡交回，试题卷自行保存． 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分． 1. 复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，空间四边形中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 在正三棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角，，的对应边分别为，，，且，则的形状为（ ） A有一个角是的等腰三角形 B．有一个角是的直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 7. 已知三棱锥，平面，，，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为3的正方体中，点，分别在线段和上，下面结论中正确的是（ ） A. 为中点时，过、、三点的正方体截面是正方形 B. 时，过、、三点的正方体截面周长是 C. 过点，，三点的正方体截面一定是平行四边形 D. 过点、、的正方体截面不可能是平行四边形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则以下说法正确的是（ ） A. 的虚部是 B. 的共轭复数 C. 复数是方程的一个根 D. 10. 在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学做了一次实地测量活动．如图，、两点都在河的对岸（不可到达），他取了相距100米的、两点作为测量基点（、、、四点在同一平面，点在点的正西方向）测得，，，，点处有一座塔，站在处看塔尖，测得仰角为（身高忽略不计），经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ） A. 点在点的北偏西方向上 B. 米 C. 米 D. 塔高米 11. 如图，直四棱柱各棱长均为2，底面为菱形，且，点是棱上的动点（包含端点），记四棱柱的体积为．以下说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 点在运动过程中，如果记三棱锥体积的最大值为，最小值为，则 C. 当点位于时，三棱锥的外接球半径为 D. 直线与平面所成的角的正切值的最大值为1 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则________． 13. 正四棱台的上下底面边长分别是和，侧棱长是，则该正四棱台的体积为_______． 14. 已知中，，，是上一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在棱长为的正方体中，是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且． （1）若为的外接圆，求的半径； （2）求面积的最大值． 17. 如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面，与相交于点． （1）证明：平面平面； （2）若，，求二面角的正弦值． 18. 如图，已知四边形四点共圆，且，已知，， （1）若，求三角形周长； （2）若，求四边形的面积； （3）求的最大值． 19. 在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．侧面底面，且，点在侧棱上． （1）证明：； （2）若点为的中点，当最大时，求； （3）若点在的内部，且，求的最大值． （已知个正数的算术平均数满足不等关系：，当且仅当时取等号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆巴蜀中学校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上； 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．综合题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡交回，试题卷自行保存． 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分． 1. 复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】∵， ∴复数所对应的点为， ∴复数在复平面内对应的点位于第二象限. 2. 已知平面向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， ， 所以. 3. 如图，空间四边形中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的加法与减法可得出关于、、的表达式. 【详解】由已知， . 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】依据空间线线、线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，通过举反例排除错误选项，验证正确选项. 【详解】对选项A：根据面面垂直的性质定理，若两平面垂直，当直线在其中一个平面内且垂直于交线，可得直线垂直于另一平面， 该选项未说明，故与可能平行、相交或，A错误； 对选项B：由，，可得或，又，则与的位置关系可以是平行、相交或异面，不一定垂直，B错误； 对选项C：由，，根据面面平行的性质可得； 又，则平行于内的某条直线，由线面垂直的性质得，故，C正确； 对选项D：由，，可得或，即便，与也可能平行，不一定垂直，D错误. 5. 在正三棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用线面角的向量计算公式求解. 【详解】取中点，连接，因为为正三角形，故， 正三棱柱中，平面，平面，故， 又，平面，因此平面， 以为原点，、过且平行于的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 已知底面边长，故，高，得各点坐标：，，， 直线的方向向量， 平面上所有点的坐标为，故其一个法向量为，， 设直线与平面所成角为，根据线面角的向量关系：  ， 计算得，，代入得：，故B正确. 6. 在中，角，，的对应边分别为，，，且，则的形状为（ ） A有一个角是的等腰三角形 B．有一个角是的直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由，利用正弦定理可推出，再由，利用降幂公式和余弦定理推出，结合勾股定理即得直角三角形即可判断. 【详解】由和正弦定理得，即， 因为 且，所以，即为等腰三角形． 因为，则得， 即，化简得，即， 由余弦定理和，可得，则得，即， ，则得， 故为等腰直角三角形． 7. 已知三棱锥，平面，，，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由棱锥体积求出相应棱长，然后把三棱锥补成一个长方体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，求出球半径可得球表面积. 【详解】设，则，， ，所以， 以为棱把三棱锥补成一个长方体， 如图，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 由图可知外接球直径为， 所以球半径为，可得球表面积为. 8. 如图，在棱长为3的正方体中，点，分别在线段和上，下面结论中正确的是（ ） A. 为中点时，过、、三点的正方体截面是正方形 B. 时，过、、三点的正方体截面周长是 C. 过点，，三点的正方体截面一定是平行四边形 D. 过点、、的正方体截面不可能是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，延长辅助线找出平面与正方体棱的全部交点得到截面四边形，计算边长证得为菱形，再由邻边平方和不等于对角线平方判定内角非直角，故截面不是正方形；对于B，先根据线段比例确定点位置，延长线段找到平面与正方体棱的交点得到截面四边形，再分别算出四条边长求和得到实际周长；对于C，利用正方体两组对面互相平行的性质，根据面面平行推出截面两组对边分别平行，从而判定截面为平行四边形；对于D，先说明为中点时同时是中点，则过的正方体截面即平行四边形. 【详解】对于A：延长交延长线于点，由为中点，可得， 连接并延长交的延长线于点，则，连接交于， 则为中点，截面为四边形， 因为， ，所以截面是菱形但不是正方形，故A错误； 对于B：由，棱长为3，得， 连接并延长交的延长线于点，则， 连接交于点，则为线段靠近点的三等分点，截面为四边形， ，，​ ，， 周长为：，故B错误； 对于C：因为平面平面， 所以过点三点的平面与平面和平面的交线平行， 即在平面内存在过点的直线，设， 连接，由平面平面，可得， 所以截面是平行四边形，故C正确； 对于D：当点为中点时，点也是中点， 此时经过的截面为平行四边形，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则以下说法正确的是（ ） A. 的虚部是 B. 的共轭复数 C. 复数是方程的一个根 D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】A选项，，故虚部为1，A正确； B选项，的共轭复数，B错误； C选项，由于， 故复数是方程的一个根，C正确； D选项，，D正确. 10. 在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学做了一次实地测量活动．如图，、两点都在河的对岸（不可到达），他取了相距100米的、两点作为测量基点（、、、四点在同一平面，点在点的正西方向）测得，，，，点处有一座塔，站在处看塔尖，测得仰角为（身高忽略不计），经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ） A. 点在点的北偏西方向上 B. 米 C. 米 D. 塔高米 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点在点的正西方向，，即可判断A；分析判断为等边三角形，得，利用正弦定理判断B；利用余弦定理判断C；结合仰角定义和三角函数定义判断D..D 【详解】对于A，因点在点的正西方向，，故点在点的西偏北方向上，即北偏西方向上，故A错误； 对于B,在中，，故， 由正弦定理：，则,故B正确； 对于C,因，则为等边三角形， 在中，已知， 由余弦定理,米，故C正确； 对于D,设塔高为，因在处看塔尖的仰角为，则，即， 因,则米，故D正确. 11. 如图，直四棱柱各棱长均为2，底面为菱形，且，点是棱上的动点（包含端点），记四棱柱的体积为．以下说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 点在运动过程中，如果记三棱锥体积的最大值为，最小值为，则 C. 当点位于时，三棱锥的外接球半径为 D. 直线与平面所成的角的正切值的最大值为1 【答案】BC 【解析】 【分析】A.代入体积公式，判断A，B.利用补体，结合点到平面的距离比值，判断B，C.根据几何体的特征，代入外接球的半径公式，判断C，D.根据线面角的定义，求正切值，判断D. 【详解】A. 因为平面 平面，所以点到的距离为， 因为平面，所以点到平面的距离为点到平面的距离， 也是点到直线的距离，为， 所以， 而，所以三棱锥的体积为，故A错误； B.如图，再补一个和完全相同的四棱柱， 平面即平面，交平面于点， 点到平面的距离为点到平面的距离的， 所以当点在点时，三棱锥的体积最小，最小值为， 当点在点时，三棱锥的体积最大，最大值为，所以，故B正确； C.，，所以， 则外接圆的半径为， 所以当点位于时，三棱锥的外接球半径，故C正确； D.因为，所以点到平面的距离为点到平面的距离， 也是点到直线的距离，为，且点在平面的射影落在直线上， 点与直线上的点的距离的最小值为点到直线的距离，为, 所以直线与平面所成的角的正切值的最大值为，故D错误. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求解. 【详解】由已知， 因为，所以，解得. 13. 正四棱台的上下底面边长分别是和，侧棱长是，则该正四棱台的体积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出正四棱台的高，再代入棱台体积公式计算即可得到结果. 【详解】由题意知正四棱台的上底面为边长的正方形，面积；下底面为边长的正方形，面积， 其对角面为上、下底分别是和，腰为的等腰梯形，如图所示，其中，，， 侧棱长、棱台的高、上下底面中心到对应顶点的距离之差构成直角三角形， 由勾股定理得：， 代入棱台体积公式， 即. 14. 已知中，，，是上一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过建立平面直角坐标系，设出各点坐标后将表示为关于点横坐标的二次函数，利用二次函数最小值在​处取得的条件求出点纵坐标的绝对值，最终代入三角形面积公式计算得到结果. 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，， 由，，得， 设上任意点（），， 则，， 因此，这是关于的开口向上的二次函数， 由，可知二次函数的最小值在处取得， 即二次函数对称轴为，即 ，解得，即， 已知，所以，化简得，即， 所以三角形的面积. 四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在棱长为的正方体中，是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】（1）连接，交于点. 正方体中，侧面​是矩形，因此是的中点. 又是的中点，因此中是中位线，可得. 因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）找的中点，用三角形的中位线定理并结合线面平行的判定定理可得； （2）根据异面直线所成角的定义可得就是所求角，再通过解三角形可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，因此与所成的锐角（或直角）即为与所成角， 正方体棱长为，在中，，，， 因此，​是正方体的体对角线， 则，由是中位线得.  由是​的中点，​是正方形​的对角线， 则，因此. 在中，，所以， 所以直线与直线所成角为，则. 因此直线与直线所成角的余弦值为. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且． （1）若为的外接圆，求的半径； （2）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理将已知边角等式转化为边的关系，结合余弦定理求出角，再由正弦定理求外接圆半径； （2）利用余弦定理结合基本不等式求的最大值，代入三角形面积公式得到面积最大值. 【小问1详解】 已知，交叉相乘得  由正弦定理，其中为的外接圆的半径， 化角为边可得，整理得， 由余弦定理，代入上式得， 又，故，再由正弦定理，代入、， 得，解得. 【小问2详解】 因为的面积公式为，代入得： ， 由余弦定理，代入、得： ， 由基本不等式（当且仅当时取等号）， 代入上式得，即， 将代入面积公式得，当且仅当时取等号， 故面积的最大值为. 17. 如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面，与相交于点． （1）证明：平面平面； （2）若，，求二面角的正弦值． 【答案】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为菱形，所以， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定即可证明； （2）过点作，垂足为，过点作，交于点，得出二面角的平面角为，再结合线面垂直的性质，勾股定理及余弦定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，垂足为，过点作，交于点，如图所示， 因为平面平面，平面，平面， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面， 所以，同理得， 又，，所以， 在中，，则， 在中，，同理得， 在中，， 在中，， 在中，， 则， 在中，， 在中，， ， 则， 在中，， 在中，， 所以， 所以二面角的正弦值为． 18. 如图，已知四边形四点共圆，且，已知，， （1）若，求三角形周长； （2）若，求四边形的面积； （3）求的最大值． 【答案】（1）; （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据，正弦定理得到，由同角三角函数关系求出，由余弦定理可得，求出周长； （2）在和中，由余弦定理得到方程，求出，分别求出和的面积，相加即可； （3）设，，在和中，利用余弦定理得到方程，消去得，同理在和中，得到，表达出，由基本不等式可得最值. 【小问1详解】 四边形四点共圆，故， 因为，所以，故为钝角，为锐角， 在中，由正弦定理得， 因为，所以， 即， 因为均为锐角，所以，， 因为，所以， 因为，所以， 因为，故，， ， 所以的周长为. 【小问2详解】 ，，所以， 由（1）可知，， 在中，， 在中，， 因为，所以， 即，解得， 所以，， 同理可得， 所以， ， 故四边形的面积； 【小问3详解】 设，则，记，则， 在中，， 在中，， 联立可得，整理得， 联立消去得，， ，故， 在中，， 在中，， 两式联立可得， 故， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 所以，故， 此时，，满足要求， 故的最大值为. 19. 在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．侧面底面，且，点在侧棱上． （1）证明：； （2）若点为的中点，当最大时，求； （3）若点在的内部，且，求的最大值． （已知个正数的算术平均数满足不等关系：，当且仅当时取等号） 【答案】（1）由底面是直角梯形，，，得. 因为侧面 底面 ，交线为，且底面， 根据面面垂直的性质定理，得 平面 . 又 平面 ，故 . 又因为，且 ，平面， 由线面垂直判定定理得 平面 ，因为 平面 ， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质及线面垂直的判定定理可得； （2）设 ，再由余弦定理得，要使，则最大， 由勾股定理及二次函数的性质可得，进而只需解三角形可得； （3）先由四点共面可得，再将所求式子转化为，先固定求的最大值，进而可得，再由题中所给的不等式可得最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设 ，在  中，，，故 ，即 . 由（1）知 平面 ，平面 ，所以. 在 中，，所以. 同理，，且平面底面，平面底面 故 平面 ，平面 ，所以. 在  中，，所以. 在底面梯形中，过作于，得 ，即 为定值. 在 中，由余弦定理： ， 得 ，化简得： ， ，在上单调递减，要使 最大，则 最大.  因为， ​​ 当  ​ 时，最大，最大. 即最大时，，，即. 此时为等腰三角形，且， 在中，，，， 由余弦定理得， . 因此. 【小问3详解】 因为在内部，且 根据四点共面的性质得. 因为， 对固定 ，，由均值不等式 ， 当且仅当 时取等，代入得：  当且仅当时等号成立，解得时等号成立. 因此，故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $